Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

слранства. Тогда потенциал в бесконечности									равен	нулю,	а в точ
ке	A4,-находящейся			на	конечном расстоянии,
						м
			<p(/W) = —			j	Erfl =	J E r f l ,			(3)
где	М м — т о ч к а в бесконечности.
	Д л я	наглядного		представления				электростатического			поля, а
т а к ж е		для	расчетов	вводят		в	рассмотрение		понятия эквипотен
циальных			поверхностей		и векторных			линий поля.
	Эквипотенциальные				поверхности			определяются		уравнением
					cp(^:,y,2)=const,
откуда		получаем, что на эквипотенциальной							поверхности

d 9 =

Рис. 1

Eydz'-Ezdy=0,

откуда получаем

ô£dx+d^dy+d-l.

^ = g r a d cprfl=-(Erfl)=0,

где d\ — элемент длины линии на этой ж е по верхности. Следовательно, векторные линии Е перпендикулярны эквипотенциальным поверх ностям. Найдем уравнения векторных линий Е. Пусть dl' — элемент длины линии (рис. 1). Поскольку векторы Е и dV коллинеарны, то есть

E x r f l ' - O ,

то

Ezdx'—Exdz'=-0,

Exdy'=Eydx'=0,

S 2

S y

ßx

Если известны Ex,		Ey, Ez как функции координат-x,			y, z,	то ре
шив эту систему дифференциальных уравнений, можно					определить
искомые векторные линии Е.
3.	Уравнения	Пуассона и Лапласа		и их решение		<
3.	Уравнения	Пуассона и Лапласа		и их решение
П о л а г а я	e = const и подставляя Е=—grad<p			в уравнение		I I I , по
лучаем
		divgràd 9 —	—
		£	0 £

или
			V	<	P	—	(	4	)
где
2 д' J _ д~ _1_ д				п
Ѵ 2 = ^ + ^ - 3 + - д ^ — о п е р а т о р Л а п л а с а .
Соотношение			(4) — это	уравнение		Пуассона;	в	тех	областях
пространства		где	нет зарядов, т. е. р = 0, уравение					Пуассона пре
вращается	в	уравнение Л а п л а с а
				Ѵ2 ?=0.					(5)
Таким	образом, система			уравнений		Максвелла		для	электро

статического поля свелась к одному скалярному уравнению Пуас

сона или Л а п л а с а для потенциала <р Найдя				потенциал, нетрудно
по	формуле	(1) вычислить	напряженность поля Е. Найдем реше
ние	уравнений (4) и (5).			з а р я д а величины g
	Начнем	с простейшего	случая — точечного	з а р я д а величины g

		Рис.	2
Такой	з а р я д создает поле,	векторные линии		Е которого	направ
лены по	радиусам . Б л а г о д а р я	этой	сферической	симметрии	поле Е
определяется весьма просто. Д л я			этого используется третье урав
нение Максвелла в интегральной			форме

Проводится	сфера радиуса г	с центром в точке,	где располо
жен з а р я д . Поскольку векторные		линии Е нормальны	к этой сфере
из последнего	соотношения, получаем

откуда

4w2 E„

Это поле найдено из третьего уравнения Максвелла, а поэтому оно ему удовлетворяет.

П о т е н ц и ал ср находим		по формуле		(3):
	Т	J	4л:еп т-
		г
Из этой	последней формулы следует, что поскольку Е =—gradcp.
то найденный вектор Е удовлетворяет				и первому	уравнению		Мак
свелла.					qu q2,		q„
Рассмотрим теперь систему точечных зарядов					qu q2,	^з,	q„
(рис. 3).
Так как	уравнения Максвелл а		линейны, то, пользуясь			принци

пом суперпозиции для суммарного потенциала этой системы заря дов в точке с координатами — х, у, z (точка наблюдения), можем написать

где

Этот результат можно обобщить на случай непрерывного распре деления з а р я д а и написать (рис. 4)

где
Формула		(6), очевидно, представляет собой			решение уравнения
Л а п л а с а	(5), поскольку она		является	обобщением		формулы	для
дискретной		системы точечных	з а р я д о в ,	когда потенциал определял
ся не в этих точках.
Однако		мы сейчас покажем, что формула			(6)	является	т а к ж е
решением	и уравнения Пуассона . В самом деле, пусть точка наблю-

	Рис. 3			Рис.	4		Рис. 5
Д Й Н И Я	с	координатами х,	у,	z расположена		в	области, где рф-0
(рис.	5).	Тогда, выделив	эту	точку,	о к р у ж а я	ее	сферой малого ра-

диуса /о и	объемом Ѵо, м о ж н о		д л я		потенциала,		созданного			заря
дами в остальной части объема			Ѵи	написать
Исследуем		выражение
		A(f=^7Îf				dV.
			Va
Очевидно,	что			/•„п2-
				/•„п2-
	Л<Р<\|рмакс I J" ¥ =\|Рмакс\| ]				] ]	' ^ ' " ^	^	Г	^ О .
		Ѵ о		ООО				г°-*°	I
Таким	образом доказано, что			и д л я		уравнения		Пуассона		реше
нием является		выражение

< Р = т М — dV.

аV

4.Потенциал системы дискретно распределенных зарядов

на больших расстояниях

Согласно изложенному выше можем написать

Положение точки наблюдения будем характеризовать радиусомвектором г, а положение зарядов будем характеризовать вектором /,: (рис. 6), причем будем считать, что

Тогда можно полагать

	гі=г—		/(Cos	Ѳ,;
1	1		_ 1	/(cos 8f
Гі	Г—lfiOS	Ѳг	г

Рис. 6

и, следовательно,

(7)

i=\

так как

/(Cos Ѳ(=г°1(.

Из этого выражения (7) можно сделать два в а ж н ы х вывода:

1)	на больших	расстояниях		от системы	потенциал такой		ж е ,
как и потенциал одиночного точечного з а р я д а						величины
				л
				1 = 1
2)	если система	нейтральна,		т. е.
		і =	\			.
то потенциал обратно пропорционален квадрату расстояния и							ра
вен				л
				л
	л
Вектор р = 2 ^ / 1 /		называется	электрическим			моментом системы
	1-1
зарядов . Свойство этого вектора — величина						его не зависит от на
чала	отсчета. В самом деле,		пусть начало		отсчета смещено на а
і! находится в точке О' (рис.			7).	Тогда
	і ; = 1 , - а ; р ' = І ^ і ; = І і < 7 Д - а ) =				£	д^-а^д^р,
		i=i	i-i		i=i	i-i

Рис. 7

т. е. момент такой ж е , как если бы смещения начала не было.

ЛЕКЦИЯ 8

ЭЛ Е К Т Р И Ч Е С К ИЙ Д И П О Л Ь . ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ

МО Д Е Л Ь Д И Э Л Е К Т Р И К А

1.Электрический диполь.

2.Мультиполи.

3.Вектор поляризации .

4.Внутреннее поле.

5.Формула Клаузнуса — Мосотти .

1.Электрический диполь

Электрический

диполь — это

система из

двух

равных

по

вели

чине и противоположных

по знаку

электрических зарядов

qn—q.

Найдем

поле

электрического

диполя. Д л я

этого

вводим

сфериче

скую систему

координат

г,

ср

(рис. 1)

(координату

<р не

смешивать

потен

циалом

<?).

Согласно

изложенному

предыдущей

лекции

потенциал

этой

системы

равен

pcosS-

4 * * аГг

где p = ql — электрический

момент

диполя.

Н а п р я ж е н н о с т ь

поля

равна

Е=—grad <р=

Здесь учтено, что в силу осевой симметрии производная по коор динате <р равна нулю. В результате получаем

E = - r £ - s ( 2 r 0 c o s & + 8 0 s l n & ) ,

т. е. составляющие векторы напряженности поля в сферической си стеме координат; равны

Ег=	2pcos а-	ps'm 8-
Ег=

В е к т о р н ые линии диполя изображены схематически на рис. 2. Диполь с меняющимся во времени диполыіым моментом является простейшим излучателем радиоволн.

			2. Мультиполи
Н а р я д у	с	диполем	можно	себе	представить	более	сложные
нейтральные		системы	зарядов,	называемые мультиполями.
На рис.	3 изображены диполь,				квадруполь и	октуполь.
К а ж д ы й		мультиполь, как и диполь, обладает				своим	моментом:

					<		КдаИрупт	ИтупиЛй
					Диполь
	Рис.	2					Рис. 3
квадруполь — квадрупольным, октуполь — октупольным								моментом.
Б ы в а ю т мультиполи				и более высокого порядка. Найдем				потенциал
и момент мультиполя произвольного						порядка. Вычисления произ
водятся по		той ж е	схеме, по которой			вычисляются момент и потен
циал	диполя и		не	нуждаются	в	дополнительных		пояснениях
(рис.	4).			Диполь:
				Диполь:
						/ і « г ;
				<Рі -			_ Я	гг.
				<Рі -	4 я е		4™ а	гг.
					_ qlYcos 9-		p,cos 6- _
							;
				Квадруполь:
	Рис.	4				/ 2 « г ;
	Рис.	4
		ср2=-		PlCQS »! L _	±Л_	Picas*	г * - г \
				4 я е „		4тіга	ггг\
		_ fllCQsfr (r—rjlr+rj			=	2/»1 bcosa-1 cos fr.

Отсюда для потенциала и момента				мультиполя	/-го	порядка
находим
		ipi-ilfios	9-,-cos	... cos
		^ ~	4nEer'"+î	'
Из	формулы	для потенциала	видно, что поле мультиполя очень
быстро	убывает	с расстоянием	по мере повышения		его	порядка.

Мультнполь может рассматриваться как модель кристаллической

решетки. Действительно, кристалл в первом		приближении	пред
ставляют себе как решетку,	в узлах которой	расположены	поло
жительно или отрицательно	з а р я ж е н н ы е ионы	атомов.

3. Вектор

поляризации

Фа радей

впервые заметил,

что если

между обкладками

конден

сатора

поместить

диэлектрик,

то

происходит

увеличение

емкости

конденсатора, то

есть без диэлектрика

разность

потенциалов

г'

определялась

формулой U=

Со

-•-

где

a) d

qs— з а р я д

на обкладке

к о н д е н с а т о р а

(рис. 5,а),

C0=-jï—емкость

конденсатора

и для

напряженности поля

получалось

(1)

Р и с

При

внесении

диэлектрика

разность

потенциалов вследствие

увеличения емкости

уменьшается

и, следовательно,

уменьшается

напряженность поля. Этот эффект

можно

объяснить

тем, что под

влиянием электрического

поля

молекулы

вещества

диэлектрика

поляризуются и в результате на обкладках

конденсатора

образу

ется

поверхностный

з а р я д противоположного

знака

первоначально

му

поверхностному

з а р я д у

(рис. 5,6). Так что теперь

вместо

(1)

кмеем

(2)

причем

p's<Ps.

Если ввести в рассмотрение дипольный

момент единицы

объема

Р или, иначе

называемый,

вектор поляризации, имеющий, как вид

но из соотношения

[Pi

Кл

размерность поверхностной плотности зарядов, то можно предпо ложить, что

где Рп—

его

нормальная

обкладке

конденсатора

с о с т а в л я ю щ а я

(рис. 5,в). Тогда из формулы

найдем,

что

Ps=Dn=t0En+Pn.

О б о б щ а я ,

можем

написать, что внутри диэлектрика

D ^ S û E + P.

(3)

Подставив

это

выраж&ние

в третье

уравнение М а к с в е л л а

находим

d i v D = p,

d i v ( s 0 E ) = p — d i v P .

отличие

от

р— плотности свободных зарядов — div Р

назы

вают

плотностью

связанных

или

поляризационных, зарядов,

т. е.

Pn<M= - div Р.

случае

изотропного

диэлектрика

вектор

Р пропорционален

вектору

Е,

т. е.-

Р = 8 0 Х , Е ,

(4)

где

У-е

называется

электрической

восприимчивостью.

Соответ

ственно

D = e 0 ( l + X e ) E - e 0 e E ,

т. е. относительная

диэлектрическая

проницаемость

равна

В - 1 + Х в .

(5)

Учитывая

щхо равенство,

вместо

(4)

можем

написать

Р = е 0 ( е - 1 ) Е .

(6)

В случае

анизотропного

диэлектрика

электрическая .восприимчи

вость

является

тензором.

С о г л а с н а

(5)

компоненты тензора

диэлектрической

проницае

мости связаны с компонентами тензора

электрической

восприим

чивости

формулой

[4j\ =

[Weu\-

4.Внутреннее поле

Ди п о л ь н ый момент единицы объема равен произведению ди-

польного	момента	одной молекулы р м на число молекул N в		еди
нице объема, т. е.		Р=УѴрм .
		Р=УѴрм .
Молекула поляризуется под воздействием поля			и поэтому	ди
польный	момент р м	должен быть пропорционален	напряженности

поля. Однако возникает вопрос, какое поле действует на индиви дуальную молекулу. Ведь мы ввели вектор Р в предположении не прерывности вещества диэлектрика . При этом предположении ни

каких	промежутков между молекулами			нет.	Но в действительности
к а ж д а я		молекула находится в вакууме		(е =	1),.хоть она и окруже -
на другими молекулами . Поэтому нельзя ожидать, что то поле, ко
торое	индуцирует момент		р м , будет равно		полю Е, которое полу
чается	в	предположении	непрерывности	диэлектрика .

Мы должны, следовательно, считать, что этот момент индуци

руется некоторым		эффективным полем		Е Э ф ф так,		что
где а — так н а з ы в а е м а я			Ри —£ о а Е э фф,
			поляризуемость		молекулы,		а
Е, — дополнительное			«внутреннее»	тгале, которое			нам	надле
ж и т найти.
Итак,	к а ж д а я	молекула находится		в	некоторой полости			внутри
диэлектрика .						- - -'-
Самое	простое	предположение относительно				формы		полости,

которое само собой напрашивается, это то, что эта полость пред

ставляет собой шар . Вне этого шара действует					вектор поляриза
ции Р. Значит на	поверхности	шара действует			поляризационный
поверхностный з а р я д плотностью,			согласно (3),		равной
	Р п о л 5 =	—	Р"-
Что означает знак	«—»? В случае		Ds=os	вектор	D выходит из по-

4 ложительных зарядов . Следовательно, знак «—» означает, что век тор Р выходит из отрицательных зарядов (рис. 6).

Рис. 6 Рис. 7

Вектор напряженности поля Е/, действующий на молекулу, на ходящуюся в центре ш а р а , изображен на рис. 7. Э т а напряжен -

4 ЧорныА

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ