книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

пят

скачок, то

д о л ж н ы

появиться

поверхностные

з а р я д ы и токи,

так

что

р^.¥=0

и Js¥=0,

причем

Dm=,Dn=ps,

n X H = J y .

(10)

В

этом случае

тангенциальная

составляющая

электрического

поля

и нормальная

составляющая

магнитной индукции равны ну­

лю

(рис.

2) .

е 1 £ Л 1

е 2 Eni

Рис. 2

Рис. 3

О б о з н а ч а я

Е.

'2>

где

«! и a 2 — у г л ы

м е ж д у

линией, перпендикулярной

к

границе рдз-

дела

и векторами

Е,і и Е 2

в первой

и второй

средах

(рис. 3), по-

лучаем

tgа і =

j j .

( П )

Аналогичным образом, используя граничные условия (4) и (8),

находим

tg a i

_

(12)

t g a i

Hi *

где

границе раз-

a! и a2— углы

между

линией,

перпендикулярной

к

дела

и векторами

Hi и Н 2

в первой

и второй

средах.

2.

Теорема

Пойнтинга

и вектор

Пойнтинга.

3.

Б а л а н с

энергии при наличии

источников

электромагнитного

поля.

>•

4.

Вектор

Пойнтинга

в случае

гармонической

зависимости

поля

оі

времени.

1. Вектор

Умова

Энергия — греческое

слово — означает

деятельность.

Философское

определение понятия

энергии: энергия — это

об­

щ а я

мера различных форм движения материи.

Физическое понимание: энергия это есть величина, которая коли­

чественно

не меняется ни при каких превращениях, происходящих

в

природе.

Хорошо

нам

знакомы

превращения

энергии:

—

механическая

^ т е п л о в а я ;

—

механическая

электрическая;

—

электрическая

^ т е п л о в а я .

В

данной

лекции

нас

будет интересовать превращение электри­

ческой энергии

в тепловую. Это

превращение

происходит

в

соот­

ветствии с законом

Д ж о у л я — Л е н ц а .

Q=PR,

где Q — количество

теплоты, выделяющейся в

единицу

времени

в

проводнике

с

сопротивлением

Rf, при

прохождении

через

него

тока

/.

Существует' однако еще один закон сохранения энергии, уста­

новленный

профессором

физики

Новороссийского

(Одесского)

* = _ / = - f j j s

(1,

dW.

'VMS.

(2)

dt

s

Рис. 1

v '

J=pv,

где

р •— плотность

Н У

— с к о р о с т ь

зарядов . Соответственно Y опре­

деляется формулой

У =

шѵ, где w — плотность и ѵ — скорость дви­

жения энергии. Вектор

Y имеет смысл плотности потока энергии.

Его

размерность

г у |

джоуль

_ватт

_Вгп

I

' ~~ метр-

метр*

мг

а-

V ,

àw

п

;

dW

d i v Y + ^ 0

w = ^ ;

Y — вектор

Умова.

2. Теорема

Пойнтинга

и вектор

Пойнтинга

Ниже, руководствуясь законом сохранения энергии (2), найдем

формулировку

закона

сохранения

энергии

в

электромагнитном

поле. Однак о предварительно мы

обобщим

соотношение

(2).,

учи­

тывая, что

энергия

данного

вида

внутри объема может уменьша­

ться т а к ж е

за

счет

ее превращения в тепловую

энергию. Таким

об­

разом, мы будем пользоваться законом сохранения

энергии

в

бо­

лее общей формулировке, а

именно:

l?=-JYjtS-Q.

.(3)

Итак, будем считать, что в

некотором

объеме

V

существует

электромагнитное поле (рис. 2),

і.

е. внутри этого объема

Е Ф О,

В ^ О , D ^ O , Н ^ О , J # 0 .

3 Черный

33

С н а ч а ла выразим Q через

величины,

характеризующие элек­

тромагнитное поле. С учетом того (рис. 3), что

Q=PR,

/=JS,

R

= - ^ , '

j*S>i _ , о V .

o £ 2 = J E .

Следовательно,

Q =

S J E d V

Подставив под интегралом

в ы р а ж е н и е для J из второго уравне­

ния Максвелла, получим

Д а л е е , воспользовавшись

соотношением

d i v E X H = H r o t E - E r o t H ,

находим

Q = j

jEd K = ^ H r o t

Е -

div Е X H - E ^ j dV.

Здесь подставляем вместо

rot

Е->-—

• • Q = | j E d V = - [ ( E - | ? + H - ^ + d i v E x H ) d l / .

(4)

Учитывая, что

согласно,

теореме

Остроградского — Гаусса

[ d i v E X H d K = { [ E , H ] „ d S /

имеем

(5)

Выясним физический

смысл этой теоремы.

Д л я

этого

положим

'

и учтем, что

D = e a E , В = |ла Н

= A^fa^-lV

нд В -

(Цд№

^

д

dt

dt \ 2 / '

" dt

ді{

Тогда

вместо

(5)

будем

иметь

^

l (

^

+ l^f)dV--f}E^ndS-Q.

(6)

еаЕ>

раН*

2

2

плотность

энергии

электромагнитного

поля, причем:

Е Е'

- у - = ® э — плотность электрической

энергии;

^-у— ~wu—плотность

магнитной

энергии;

§[E,H\ndS

= §ï dS

— п о т о к - э л е к т р о м а г н и т н о й энергии через по-

иерхность

S;

[Е,Н] = Y s S — плотность

потока

энергии. Вектор S называется

вектором

Пойнтинга. Он был введен

Пойнтингом в 1884 г.

лировку закона сохранения энергии в электромагнитном

поле.

Теорема Пойнтинга в дифференциальной

форме согласно (4)

и (5) имеет вид

* " e _ d I v S - J E .

•

-

3. Баланс энергии при наличии источников

электромагнитного

поля

магнитного поля,

представляя их сторонними э.д.с. В теории элек­

трических

цепей

сторонняя э.д.с. сосредоточена в одном

месте. Н о

для того,

чтобы

ввести стороннюю

э.д.с. в

уравнения электромаг­

нитного поля, мы д о л ж н ы считать,

что она

может быть

распреде-

лона в пространстве и вместо

ёСтор оперировать

напряженностью

поля сторонней э.д.с. Е с т о р .

форме с учетом сторонней

э.д.с.

Закон Ом а в дифференциальной

будет представляться в виде-

J=a(E-}-Ec-TOp),

от сюда

Е =

—

Естор •

П о д с т а в л я я это в ы р а ж е н и е

дл я Е в уравнение

(4) слева,

после

некоторых преобразований получим

энергии электромагнитного

поля

при наличии

источников.

Видно, что энергия

источника

расходуется

на увеличение элек­

тромагнитной

энергии

-в объеме

V, на

поток

энергии из объема и

на джоулево

тепло.

В дифференциальной форме

(7) записывается так:

J E C T O p = ^ f + d i v S +

dt

4. Вектор

Пойнтинга в случае гармонической зависимости

поля от времени

Пусть векторы электромагнитного

поля во времени меняются

пи гармоническому - закону,

т. е.

E = E 0 c o s

Ы,

(8)

H = H 0 c o s ( W - f <р)

Тогда среднее значение

вектора

S за период Т равно

S c p = -і-j [ Е Н ] Л = [Е 0 Н 0 ] - ^ j c o s

m/-cos(<o/+<p)ç«=

о

о

1 г

1

2wfsin <?)dt,

= [ E 0 H 0 ] - j t | ( c o s 2

ü ) / c o s t p — s i n

т. е.

-Sep— 4--[E0Ho]cos ср.

(9)

3.

Уравнения

Пуассона

и Л а п л а с а

и их решение.

4.

Потенциал

системы

дискретно

распределенных зарядов на

теризующие лишь магнитное поле. Это

означает,

что

при

-Jj = 0

электричество

и магнетизм — явления разные.

электростатики;

П е р в а я пара уравнений

составляет

основу

вторая пара уравнений является исходной системой

уравнений

магнитостатики.

К этим парам уравнений для их решения

д о л ж н ы

быть добавлены еще и соответствующие

материальные

уравнения.

В данной лекции мы начнем изучать

электростатику,

которая,

следовательно,

определяется

уравнениями

I. r o t E = 0 ;

I I I .

dlvD - =p

"

и в простеишем

случае

изотропных

сред материальным

уравне­

нием

D=s 0 sE .

:

2. Электростатический

потенциал

Уравнение

1 утверждает,

что

электростатическое поле

безвих­

ревое. Поскольку

rot grad «р=0,

то м о ж н о положить

,

E = - g r a d t p = — у ?

(1)

дх

+ У

ду

dz

С к а л я р н а я

функция

<f> называется

электростатическим

потен­

циалом

или просто

потенциалом.

„

г

п

джоуль

=

Дж

Размерность

<Р = — — —

- 7 7 - .

r

l T J

кулон

Кл

Представление

электростатического

поля формулой

(1)

озна­

чает, что это

поле

потенциально. З н а к

«—» — результат

соглаше­

ния. Он

поставлен

для

того,

чтобы <р имела смысл

потенциальной

энергии. Точнее, чтобы работа, которую совершают внешние

силы

(против

сил

поля)

при

перемещении

единичного

положительного

з а р я д а

из одной

точки

поля в другую,

например из

точки

М{

в

точ­

ку Мг, равна

была

увеличению потенциальной энергии этого заря ­

да . Согласно (1)

эта работа

равна

г*

г*

grad fdl=

|j-dxAr

dy +

• '

t.

Mt

Mi

Mt

d

( 2 )

начального и

конечного

положения

з а р я д а .

Следовательно,

при

перемещении

з а р я д а по

замкнутой

кривой

работа

будет

равна

нулю.

Формулой

(1) функция ср определяется не полностью, а с точ­

ностью до произвольной

постоянной. О д н а к о

в большинстве

слу­

чаев

интересуются разностью потенциалов, и произвольная постоян­

ная

выпадает. Произвольная постоянная оказывается

равной

нулю