Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

М а т е р и а л ь н ые уравнения представляют любой соотношения

м е ж д у

самими векторами поля. Этим они отличаются

от

уравнений

Мак

свелла,

которые

являются дифференциальными

уравнениями .

Простейшие

материальные

уравнения

для .реальных сред име

ют, как у ж е было

сказано, такой

ж е

вид, как

н в

случае свобод

ного пространства,

т. е.

Н = — В ,

(2)

где

Ра — а б с о л ю т н а я

£а>

диэлектрическая

магнитная

проницае

мости,

причем

6 а = е е о .

^а=№о;

fi — относительные

диэлектрическая

магнитная

проницае

мости.

Существенно, что плотность тока J в уравнениях

Максвелла

мо

ж е т

играть двоякую, роль. Ток

может

быть

источником

поля,-

то

есть причиной возникновения поля, но он

может

порождаться

по

лем, т. е. может являться следствием.

В последнем случае имеет место еще одно материальное урав

нение

Сименс

Ом\

„

где а—

проводимость среды I [а] = —

—

= —

I .

Это

соотноше

ние представляет собой формулировку закона Ома в дифференци альной форме. П а р а м е т р ы s, u-, а находятся либо эксперименталь но, либо теоретически на основе модельных представлений о стро

ении

вещества.

М а т е р и а л ь н ы е

уравнения (2)

связывают,

между

собой

«сило

вые»

векторы Е и

В и «количественные» векторы поля D и Н. Век

торы

Б и

В называются

силовыми потому,

что

они,

как

видно из

в ы р а ж е н и я

для силы Лорентца

F = < 7 ( E + V X B ) ,

определяют

собой

силу, действующую на

з а р я д

в электромагнит

ном

поле.

D и H называются количественными потому, что они

Векторы

как видно из

второго и третьего уравнений Максвелла

в интеграль

ной

форме,

определяются

непосредственно

величинами

зарядов и

токов, т. е.

величинами,

характеризующими

источники

электро

магнитного

поля.

Ознакомившись

с простейшими материальными уравнениями и

их смыслом,

ниже

рассмотрим

классификацию

сред

по

их

элек

трическим свойствам. \

2.Изотропные и анизотропные ереды

Из о т р о п н ы ми называются среды, у которых электрические свой ства одинаковы по всем направлениям . В этом случае в произволь но выбранной прямоугольной системе координат при произвольно

направленном векторе Е имеют место равенства

D y = e 0 e £ y ;

Dy=s0zEz.

Следовательно, здесь как быни был направлен вектор Е, будет

D=en eE

и аналогично

J = o £ ,

то е'сть, в изотропной среде вектор D коллинеарен Е, вектор В коллинеарен Н, вектор J коллинеарен Е.

Анизотропными называются среды, у которых электрические свойства различны в разных направлениях . В этом случае в неко торой прямоугольной системе координат может оказаться, что при направлении вектора Е по осп ох, получим

		^ > л - = е о е і е . ѵ = о 1			= Е 0 е 1 £ 1 ;			(За)
при направлении по оси оу
			D3 ,=e0 E2 £y =D2		=--s0 e2 £'2 ;			(3 6)
при направлении по оси oz
		Dz=e0s3Ez=D3=e.0z3Ea.						( З в )
Предположим, что			вектор Е л е ж и т в			координатной		плоскости
хоц	той ж е	системы координат и направлен под					произвольным уг
лом	к оси	ох. В этом	случае,	р а с к л а д ы в а я		вектор	В на	составляю
щие'1	по координатным		осям,	получим

И п о с к о л ь к у е,=£е2 , вектор

уже не будет коллинеарен вектору Е (рис. 1).

Однак о соотношения (3) и последующие справедливы в исклю чительной системе координат. В произвольной прямоугольной си-

стеме .координат соотношения между составляющими векторов D и

Е для анизотропных

сред более сложны:

(4)

Рис. 1

Д е в я т к а чисел в,•tj

называется

тензором.

Тензор

записывается в

виде матрицы

}zx SZy

zzz.

где

Тензор является обобщением с к а л я р а и

вектора.

С к а л я р — в е

личина,

которая

характеризуется

одним

числом, и дл я его

описа

ния не требуется

никаких индексов. Вектор — величина,

которая

характеризуется

тремя

числами

(тремя

координатными

составля

ю щ и м и ) ,

и для его описания требуется

один индекс

(х или у или

z). Т е н з о р — в е л и ч и н а ,

которая характеризуется девяткой

чисел, и

д л я его описания

требуется два индекса

(хх

или ху

или yz

и т. д . ) .

Соответственно скаляр - тензор нулевого

ранга,

в е к т о р — т е н з о р

первого

ранга, а

тензор диэлектрической

проницаемости — тензор

второго

ранга .

Тензорами могут являться и магнитная

проницаемость

[х и про

водимость а. Если

хотя бы один из электрических параметров

е, \і, а

является

тензором, то среда анизотропна.

П р и м е р а м и анизотропных сред являются кристаллы, ионосфера-

Тензор диэлектрической проницаемости, как, впрочем,

тензо

ры \l, а как будет показано, — симметричный

тензор, т. е.

(6)

Это означает, что тензор диэлектрической

проницаемости

в дей

ствительности характеризуется не 9, а лишь 6 различными

числами.

3. Однородные, неоднородные и другие среды


Однородной называется среда, у которой электрические							парамет -
метры не зависят		от координат. Так, в случае			изотропной		среды
е = const,	^ = const, о = const. В случае			однородной		анизотропной
среды все	составляющие тензоров		электрических			параметров		не
д о л ж н ы зависеть от координат.
Неоднородной		называется среда,	у	которой	электрические			па
р а м е т р ы зависят		от координат или хотя		бы один	из параметров за

висит хотя бы от одной координаты.

П р и м е р ом неоднородной среды может служить атмосфера . Среды бывают линейные и нелинейные. Линейной называют

среду, у которой электрические параметры не зависят от величин

векторов	электромагнитного поля.		Нелинейной	называют среду,
у которой	электрические	параметры	зависят от величин		векторов
электромагнитного поля.		Примером	такой среды	может	служить

ферромагнетик, у которого магнитная проницаемость зависит от величины напряженности магнитного поля.

В принципе все среды нелинейны, однако эта нелинейность про

является при очень больших величинах	векторов поля.
4. Среды с проводимостью — время	релаксации; комплексная

диэлектрическая проницаемость

Среды, о б л а д а ю щ и е проводимостью, характеризуются еще производным параметром — временем релаксации . Получим этот параметр:

J=oE (полагаем a—const);

div J + 1 = 0 ;

		d l v E = —					(полагаем e=const).
Из этих трех соотношений							находим
Р е ш а я	это уравнение				дл я фиксированной точки,			находим •
							t
где
Po — н а ч а л ь н а я			плотность				з а р я д о в ;
t =	—время		релаксации; оно показывает,					ка к быстро рас
текается скопление зарядов плотностью р0 в среде.
Например, для :
— меди о ~ 1 0 7			—	,	е = 1 ,
т ~ 1 0 - 1 8 < : ;
— морской		воды		а=4		^	, s=80,
х = 2 - 10 - 1 0		с;
— стекла o = 1 0 ~ 1 2 ^ <						е =2 ;

т = 2	0	с;
— к в а р ц а б = 1 0 - п				Щ-,	е = 2 ,
х=2-		106 с ^ 2 5	суток .
К а к		видно из	этих	данных, в металле скопление зарядов почти

мгновенно	растекается		и оказывается на поверхности проводника.
Д а л е е заключаем, что			чем лучше изолятор, тем больше в,ремя ре
лаксации .
В настоящем		курсе	лекции мы будем изучать теорию электро
магнитного	поля	применительно только к линейным средам . В этом

случае уравнения М а к с в е л л а линейны. Поэтому зависимость от времени здесь удобно представлять при помощи временного мно жителя е ы . Так что л ю б а я величина, х а р а к т е р и з у ю щ а я электро магнитное поле, представляется в виде произведения функции ко

ординат и указанного временного	множителя . При этом		функция,
з а в и с я щ а я от координат, может	быть и	комплексной.	Значит
функции, зависящие от координат в теории		электромагнитного		по
ля, могут одновременно быть и векторными,		и комплексными.		На
пример,
Е ( х , у , г , 0 = Е ( л , у , г ) с ' ^ ,

т. е. здесь Е(х, у, z) — векторная комплексная функция координат:

Е ( х , у	z ) = x ° \| £ ; r ( x , y , 2 ) \| e W ' * * ) + у 0 Еу(х,у,г)\е>^х-У^			+
	+ г 0 \| £ г ( х , у , г ) \| е ' ^ у . г ) і
где \Ex[x,y,z)\	.. — модуль, а		ср,(.г,£/,2)...—аргумент или	фзза	к о м
плексного числа Ех[х,у,г)		и	т. д .
Учитывая,	что
			д
т. е. производная по времени			есть оператор умножения	на /ш,	у р а в
нения М а к с в е л л а запишем в			виде
	I .	r o t E = - / ' i u B ;
	П.	r o t H = J + /(DD;
	I I I .	d i v D = p ;
	І\Л	d i v B - 0 .

П о л а г а я во втором уравнении

J=*E, D =ea E, м о ж е м его представить в виде

r o t H = / a > ^ 0 - / ^ - J E .

24-..

С р а в н и в а я это уравнение с . уравнением в случае диэлектрика	(а=0)
т. е. с уравнением
rot Н = / ш е я Е ,	(7)

видим, что целесообразно ввести в рассмотрение комплексную ди

электрическую

проницаемость

е ' =

в„—/—

и написать

rot Н=/и>ея Е.

(8)

Сравнива я уравнение (8) с

уравнением

(7), видим,

что

фор

мально уравнения в случаях офО

<з=0

не

отличаются

друг

от

друга. Это

обстоятельство,

как

увидим далее,

приводит

зачастую

к значительным

упрощениям .

Итак, диэлектрическая

проницаемость,

как

впрочем и

магнит

ная проницаемость,

может

быть

комплексной

величиной.

связи

с этим заметим,

что

тензор диэлектрической

проницаемости

об

щем

случае

удовлетворяет

условию

Ѵ = Ѵ

(9)

(Звездочка означает комплексно сопряженное число) .

Тензор, обладающий этим свойством, называется эрмитовым

(по

имени

ученого

Э р м и т а ) .

Следовательно,

симметричность

тензора

(равенство

(6))

вытекает

из условия

(9).

радиотехнике

параметры

е, <з,

ц многих

сред почти

не

зависят

от частоты. Т а к а я зависимость

начинает сказываться лишь

самой

коротковолновой

части спектра

радиоволн.

В оптическом

диапазоне

волн

s и а зависят

от частоты,

т. е. име

ет место дисперсия.

ЛЕКЦИЯ 5

ГР А Н И Ч Н ЫЕ УСЛОВИЯ

1.Смысл граничных условий.

2.Граничные условия для векторов D и В.

3.Граничные условия для векторов H и Е.

4.Преломление векторных линий электромагнитного поля на границе раздела сред.

1.Смысл граничных условий

Вуравнениях М а к с в е л л а фигурируют векторы и источники

электромагнитного поля. Но непосредственно в них не фигури

руют параметры среды		. Следовательно,	уравнения Максвелла
справедливы для	сред с	любыми п а р а м е т р а м и и в том		числе на
границе раздела различных сред. Однако на границе эти				уравне
ния принимают	специальный вид — они		формулируются	в виде

граничных условий. Эти граничные условия мы далее и хотим по

лучить.
Если		среда однородна, то на воображаемой			поверхности
внутри среды как нормальные т а к и тангенциальные					составляю
щие	векторов поля будут		меняться непрерывно	при	переходе		че
рез	эту	поверхность.
Если		ж е это граничная	поверхность между	двумя	средами		с
различными" электрическими п а р а м е т р а м и , то заранее					ниоткуда		не
следует,		что эти составляющие будут меняться		непрерывно.		Ап
риори неясно, какие составляющие векторов поля должны						меня
ться непрерывно, а какие составляющие могут терпеть скачок						(раз
рыв	непрерывности).
Чтобы получить ответ на эти вопросы, мы воспользуемся тем
обстоятельством, что в действительности нет резкой границы						меж

ду двумя различными средами с различными электрическими па раметрами . Имеется некоторой толщины переходной слой, внутри которого электрические параметры меняются непрерывно от их значений в одной среде до их значений в другой среде. Поэтому внутри слоя, как и вне его, справедливы уравнения Максвелла .

Резкую границу, а равно как и формулировку уравнений Мак свелла на границе, т. е. граничные условия, мы получим путем пре дельного перехода.

2. Граничные условия для векторов		D a ß
И т а к, пусть ось ох перпендикулярна переходному			слою и пусть
ка рис. 1 кривая представляет собою	изменение		какого-нибудь
электрического параметра при переходе	от среды	I к	среде I I .

					Рис.	1
Представим третье уравнение Максвелла в виде
			дРѵ	,	àDy	dDz
			дх і	-	ду	дг
и проинтегрируем		обе части			этого уравнения			в пределах от точки /
до точки 2	(рис.	1). Тогда		получим
			2		ôD	2		2
	Dx2	- DX1	+		dx+	f		dx=Udx
или, считая	переходной		слой		достаточно		тонким, найдем
					dDv	àD, .		.
	D x , - D x V				'У a	àD, .		.
	D x , - D x V
		dDy	д£)
Производные		- ^ - и			поскольку		они	представляют собой

изменения величин Dy и Dz в плоскости, параллельной граничной плоскости, должн ы быть конечными, поэтому при ДА'-»-0 получим

где ps—поверхностная		плотность зарядов, равная
		( О
		4*->-0
причем	Кл
причем	\РЦ]=ЙГ

Видим, что уравнения Максвелл а допускают существование по верхностных зарядов и плотность их должна определяться фор

мулой (1).	п к граничной плоскости по оси ох,
Н а п р а в и в нормаль	п к граничной плоскости по оси ох,	можем
граничное условие для	вектора D представить в виде
	Dn2-Dnl=ps,	(2)

если	имеются поверхностные з а р я д ы и
	D«2=Dnl,		(3)
если	на граничной поверхности	таковых	нет.
Н о р м а л ь н а я составляющая		вектора	электрического смещения

при переходе через поверхность раздела двух сред терпит скачок,

равный поверхностной плотности зарядов, или меняется	непрерыв
но, если поверхностных зарядов нет.
Совершенно аналогичным образом можем получить граничное
условие для вектора В:
В„2-Впѵ	(4)

Н о р м а л ь н а я составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух сред меняется непрерывно.

3. Граничные условия для векторов H и Е

Пусть переходной слой такой, как показано на рис. 1. Пред ставим второе уравнение М а к с в е л л а в виде трех скалярных урав нений

	дНу	= 4 +	dDx
'ду	~дТ	= 4 +	dt	;
дНх	дН2		ôDy
dz	дх		~~дТ :
дНу	дНх	=JZ+	dD,
дх	ду	=JZ+	dt
-Проинтегрируем последие .два		уравнения в предела-х от точки
/ к точке 2 и получим
	2		2	- 2
	1 ,	1		1
î	}	1		1
Считая переходной слой достаточно тонким, получаем
—{H2i-HzX)+^f		^x=Jy^x+		Дх;

г,	дНх	,	dHx	. ..
П р о и з в о д н ы е - ^ 1		,	-^f-,	поскольку они представляют собой

2В

изменения

величины

#,. в плоскости, параллельной граничной пло-

dDy

ÖD

скости, конечны, равно как и —^-

поэтому

при

Дя-э-О

по

лучим

H n - H ^ J z s

(5)

где

Jy = y°JyS

4- z°JzS— вектор поверхностной

плотности

T O K J P ,

определяемый

равенствами

JyS=limJyàx,

JzS=\imJzbx,

(6)

Дл^О

их-*-О

J ѵ ~ » - э о

У2 -»-ао

причем

[Jo] =

4 -

Видим, что уравнения Максвелла допускают существование

п о

ъерхностных токов и плотность их

д о л ж н а определяться

форму

лами

(6).

Н а п р а в и в нормаль

п к граничной плоскости по оси ох,

из гранич

ного

условия

(5)

получим

n X ( H 3 - H J = J 5 ,

( 7)

если имеются

поверхностные токи, и

п Х ( Н 2 - Н , ) = 0

пли,

взяв

вектор

касательный к

поверхности

раздела,

И^Н-Л,

(8)

если на граничной поверхности таковых нет.

Тангенциальная

составляющая

вектора

напряженности

маг

нитного

поля

при

переходе через

поверхность

раздела

двух

сред

іѵрпит скачок, равный поверхностной плотности токов, или

меня

ется непрерывно, если поверхностных токов нет.

Совершенно аналогичным образом можно получить граничное

условие

для - вектора

Е:

Е^=Еи.

(9)

Тангенциальная составляющая вектора напряженности элек

трического поля при -переходе через

поверхность

раздела

двух

сред

меняется

непрерывно.

( з = о о ) ,

Внутри

идеального -проводника

как

следует

из

соотно

шений

-L

= E = Ü - ^ r o t E=-ycDjx0 H->rot

H = J = 0 ,

поле

равно, нулю. Поскольку ж е

соответствующие

составляющие

поля

при

переходе

черезповерхность

идеального проводника

тер-

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ