Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Второе уравнение		М а к с в е л л а (в	некоторых книгах	оно	счита
ется первым) имеет вид
і
	I I .	jHtdUf+^D^s,
где	i	s
где
/ — ток	проводимости;
~jlDndS	— ток с м е щ е н и я ;
/ — фиксированный		контур;
S — произвольная		поверхность,	о п и р а ю щ а я с я на	этот	контур
(рис. 2).

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по не подвижному контуру равна полному току — сумме тока проводи мости и тока смещения, протекающему через поверхность, опира

ющуюся на этот контур.	\
Третье уравнение Максвелла
I I I . s	§DndS=q,
где q — электрический з а р я д	(рис. 3).

Поток вектора электрического смещения через замкнутую по верхность равен з а р я д у , заключенному внутри этой поверхности.

Четвертое уравнение

IV . JBndS=0. s

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверх ность равен нулю (рис. 4). Иначе — вектор магнитной индукции

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

не имеет источников, т. е. в природе нет магнитных зарядов, ана логичных электрическим.

3. Уравнения Максвелла — обобщенная формулировка

экспериментальных законов

Первое уравнение является обобщением закона электромагнит ной индукции, открытого Фарадеем в 1831 году. Этот закон гласит

с л е д у ю щ е е: при изменении потока магнитной индукции через по верхность, ограниченную замкнутым проводом, в последнем воз никает ток индукции, направление которого определяется прави лом Ленца, т. е. индуцированный ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле стремится скомпенсировать изме

нение этого потока. Математическая			формулировка этого	закона
где
g — э л е к т р о д в и ж у щ а я		сила индукции, возникающая в		проводе;
Ф — поток магнитной		индукции.
Обобщение состоит в установлении			равенств
		і
		<P=SBndS,
		s
причем	вместо провода	может быть	любой в о о б р а ж а е м ы й	контур
/ (рис.	5).

Второе уравнение М а к с в е л л а является обобщением закона пол ного тока, который в свою очередь является обобщением экспери ментального закона взаимодействия двух параллельных токов, от

крытого Ампером в 1820 году			после	обнаруженного		Эрстедом в
том ж е 1820	году действия	тока	на магнитную		стрелку.
Закон Ампера для силы F			взаимодействия		двух	параллельных
токов Іиіі	формулируется	так:
		F-	^ а / ;	1
		1 -	2пг	'
где г — расстояние м е ж д у		проводами		(рис. 6),	ра—магнитная		про
ницаемость	среды.

Рис. 5	Рис.	6
Если токи одинаково	направлены, то имеет	место притяжение,

а если они противоположно направлены, то имеет место отталки

вание.
И з л о ж и м	соображения, приводящие к обобщению закона Ампе
ра во второе	уравнение Максвелла . Ток / создает магнитное поле

H = s ~ , векторные линии которого представляют собой концентри ческие окружности с центром в точке, где проходит ток (рис. 7,о). Проведем произвольный замкнутый контур / в той ж е плоскости в которой проходят векторные линии И, и найдем (рис. 7,6).

^ H,dU	§ tfcos(l0,H)rf/==	J tfrd<p=/.
1	1	о
	В	ß

Рис. 7

Этот результат, очевидно, можно обобщить на .случай, когда контур / охватывает не один, а много параллельных токов, и тогда получим закон полного тока

М~ f H id 1=^1

i=l,

который формулируется так: м а г н и т о д в и ж у щ а я сила M в замкну том контуре, охватывающем суммарный ток /, равна этому току.

Д а л ь н е й ш е е обобщение сделал Максвелл . Он

ввел

в закон пол

ного тока

новый ток — ток

смещения

~'f'D„dS.

Так

что

магнито

лу

д в и ж у щ а я

сила в замкнутом

контуре

создается

суммарным

током—

током проводимости и током

смещения. Введение

тока

смещения

явилось

наиболее существенным

обобщением

домаксвелловскон

теории

электромагнетизма .

Третье уравнение есть обобщение закона Кулона для силы F

взаимодействия двух зарядов,

открытого Кулоном в 1785 г.:

44s

где

г—

расстояние м е ж д у з а р я д а м и ;

£ а — диэлектрическая проницаемость среды.

Если з а р я д ы одинакового

знака,

то

происходит

отталкивание,

если

разного — притяжение.

И з л о ж и м

соображения, приводящие

обобщению закона Кулона

третье уравнение

Максвелла .

За.ряд q создает электрическое поле

векторные линии которого суть радиусы - прямые, исходящие из за ряда q.

Проведем	произвольную	замкнутую	поверхность,	охватываю
щую з а р я д q	и, учитывая, что	D—BaE=^~^,	найдем	(рис. 8)
		it 2к
§DndS=,§Dcos(tt,r°)dS		= J	$Drn-smM<?db=q.
S	S	0 0

Рис. 8

Этот результат легко обобщается на случай, когда внутри замк-" нутой поверхности имеется не один з а р я д q, а много зарядов, т. е.

и мы получаем третье уравнение Максвелла .


Четвертое		уравнение Максвелла		является	обобщением	очень
д а в н о известного			экспериментального факта,		что сколько	бы	раз
мы	и и половинили		бы магнит, все равно получается магнит			с	дву
мя	разными	полюсами — северным		и южным, т. е. южный и		север
ный	полюсы	не могут существовать		раздельно. В то ж е время			за

кон взаимодействия двух магнитных полюсов вполне аналогичен закону Кулона для взаимодействия электрических зарядов . На ос новании этих двух экспериментальных фактов и приходим к за ключению, что поток вектора индукции через замкнутую поверх ность должен равняться нулю. То есть векторные линии В всегда замкнуты .

4.Закон сохранения зарядов

За к о н сохранения зарядов м о ж н о рассматривать как следствие

уравнений	М а к с в е л л а .	Действительно, если	во втором уравнении
М а к с в е л л а	контур / стянуть в точку, то получим, что			контурный
интеграл будет равен		нулю, поверхность 5	окажется	замкнутой

Воспользовавшись третьим уравнением, находим, что

Это соотношение формулирует закон сохранения з а р я д а . Изме

нение зарядов внутри некоторого объема,				ограниченного замкнутой
поверхностью, равно току, протекающему				через эту	поверхность.
	Если в первом уравнении		М а к с в е л л а	стянуть	контур	в точку,
то	контурный	интеграл будет	равен нулю, поверхность S			окажет
ся	замкнутой	и мы получим

j ' ß „ r f S = c o n s t ,

причем согласно четвертому уравнению const = 0.

Таким образом, из второго и третьего уравнений М а к с в е л л а вытекает закон сохранения электрических зарядов, а из первого и четвертого уравнений вытекает закон сохранения своего рода «магнитных зарядов», т. е. всегда действует суммарный «магнит ный заряд», равный нулю. ІТначе говоря, в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим.

ЛЕКЦИЯ 3

У Р А В Н Е Н ИЯ МАКСВЕЛЛА В Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Й ФОРМЕ

1.Преобразование интегральных уравнений Максвелла в диф ференциальные .

2.Уравнение непрерывности.

3.Плотность силы Лорентца .

1.Преобразование интегральных уравнений Максвелла

вдифференциальные

Втеории электромагнитного поля обычно оперируют уравне ниями Максвелла в дифференциальной форме в силу их значи тельных преимуществ перед уравнениями М а к с в е л л а в интеграль ной форме.

Эти преимущества			таковы:
а) дифференциальные уравнения представляют собой									наибо
лее адекватное описание поля, поскольку они определяют									физиче
ские величины	в каждой			точке пространства;
б) дифференциальные уравнения более удобны для									решения
необъятного количества частных задач .
Преобразуем		уравнения			Максвелла	в интегральной		форме		в
уравнения Максвелла в дифференциальной форме. При									этом	бу
дем пользоваться формулами Стокса и теоремой							Остроградского —
Гаусса.
В первом	и	втором		уравнениях М а к с в е л л а			производим преоб
разование по	формуле			Стокса. Согласно		этой формуле		имеем:
									п
Считаем поверхность S плоской площадкой,
ограниченной		контуром,			и настолько	малой
(рис. 1), что вместо
jrot„ErfS			= - ^ b		„ d S		Рис.		1

м о ж ем записать:

r o t „ E A 5 = - ^ n - A S .

Здесь полная производная по времени "заменена частной про

изводной, потому что гоІ„Е и			Ь'„	в последнем				р а в е н с т в е — э т о
средние значения этих величин на				очень малой			площадке		AS, т. е.
это почти их значения в точке. Следовательно,							rot„E и		Вп	здесь
являются у ж е функциями не только времени,						но	и	координат.
Поскольку последнее		равенство		д о л ж н о выполняться для						произ
вольно ориентированной		площадки		AS=n^5',		то оно может				выпол
няться	только тогда, когда имеет		место		равенство
		1 - 0 1 Е — Л Г -			'
Смысл	этого уравнения — вихрь		вектора		напряженности электриче
ского поля в какой-либо точке равен скорости изменения										вектора
магнитной индукции с обратным знаком					в той ж е		точке.
Второе уравнение Максвелла аналогичным образом представ
ляется в виде
	J r o t „ H r f 5 = / +			iADndS.

Вводим в рассмотрение плотность тока J по формуле

берем произвольную достаточно малую площадку Л 5 и получаем

r o t „ H A S = / n A 5 4 ^ Л - Ѵ .

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольным, образо^і ориентированной площадки AS = nAS, то оно будет вы полняться только тогда, когда имеет место равенство

			r o t H = J + - \| ? .
Смысл этого уравнения: вихрь вектора напряженности				магнит
ного	поля в	какой-либо точке равен сумме плотностей		токов —
тока	проводимости и тока		смещения.
В третьем		и четвертом	уравнениях М а к с в е л л а производим пре
образования		по теореме Остроградского — Гаусса .

Одновременно вводим в рассмотрение плотность з а р я д о в по фор муле

Тогда вместо третьего и четвертого уравнений М а к с в е л л а					полу
чаем
	J d i v D d l M p d V ;
	V	V
	J d i v B d l ^ O .
	V
Эти соотношения д о л ж н ы выполняться д л я произвольных					объ
емов и в том" числе	д л я достаточно малого Л V, и		мы	можем	запи
сать
	div DAV=pÄV;
		йіѵВАѴ^О.
Отсюда получем	вторую па,ру уравнений М а к с в е л л а
		d i v D = p ;
		d i v B = 0 ,
то есть расходимость вектора электрического смещения в					какой-
либо точке равна плотности электрических зарядов в				этой ж е точ
ке, а расходимость	вектора	магнитной индукции	везде	равна	нулю.

Таким образом, система уравнений М а к с в е л л а такова:

I . r o t E » - ^ ;

П. r o t H = J + - ^ ;

I I I .	d i v D = p ;
I V .	d i v B = 0 .

Эта система уравнений является наиболее фундаментальной си стемой уравнений современной физики.

Вполне разумным является вопрос: почему наиболее фунда ментальные законы природы — законы электромагнитных явлений описываются уравнениями именно такого вида ?К сожалению, сов ременная физика на этот вопрос не в состоянии ответить.

2. Уравнение непрерывности

Как мы видели, из уравнений Максвелла	какчСледствие	вытека
ет закон сохранения зарядов . Формулировка	этого закона	в д и ф

ференциальной форме получается соответственно из уравнений Мак свелла в дифференциальной форме.

В силу того, что

div rot H = О,

2 Чорный

из уравнения I I находим

div J + - ^ - d i v D - 0 .

Учитывая уравнение I I I , получаем

d i v J + | f =0 .

Это — уравнение непрерывности — и является указанной форму лировкой закона сохранения аа>рядов в дифференциальной форме.

3. Плотность силы Лорентца

	Найдем формулировку д л я силы, действующей в электромаг
нитном поле в дифференциальной форме.							Aq
	И з закона Кулона		следует,	что	на	з а р я д	Aq	действует	сила
			к¥ъ	= Д с Е ,
а из закона Ампера для силы,				действующей со стороны магнитно
го поля с вектором магнитной индукции В на ток /								элемента	длины
іН,	имеем
			A F M - = / A I X В .
	Как известно, направление			действия		этой	силы	устанавливает
ся	правилом	правой руки — направление				тока	по	большому	паль
цу, направление магнитного поля (вектор В ) по остальным									паль
цам, тогда		направление силы		A F M	будет перпендикулярно ла
дони.
	Ток / определяется		формулой
			/ 1	A q
			/ 1	at •

Поэтому

A F U - A ? 4 x B = A < ? V X B .

С у м м а р н а я сила, действующая	на движущийся з а р я д t\q, равна
№=\Fa+\FM=t±q(E	+ V X В ) .

Отсюда получаем в ы р а ж е н и е для силы Лорентца, действующей на единицу объема (плотности силы Л о р е н т ц а ) :

^ = і л = Р ( Е + ѵ Х В ) .

ЛЕКЦИЯ 4

ЭЛ Е К Т Р О М А Г Н И Т Н ЫЕ СВОЙСТВА И КЛАССИФИКАЦИЯ

СР Е Д

1.Материальные уравнения .

2.Изотропные и анизотропные среды.

Однородные, неоднородные и другие

среды.

Среды

п р о в о д и м о с т ь ю — в р е м я

релаксации;

комплексная

диэлектрическая

проницаемость.

Материальные уравнения

Простейшей

по своим

электрическим

свойствам

средой

явля

ется свободное пространство — вакуум .

Д л я

этой

«среды»

имеет

место

следующая связь

м е ж д у

векто

рами

поля:

D =

eu E,

= — в . I

0 )

Со

е о и

— диэлектрическая

и магнитная

проницаемости

свобод

ного пространства, причем

1 0 - 9

Л • ІП-7 1

Свободное пространство характеризуется еще одним производ

ным

параметром:

с~ . 1 _ - 3 - 108

Y --

— скорость распространения электромагнитных волн в свобод

ном пространстве. П а р а м е т р ы е0 ,

и.0 — это

все характеристики

сво

бодного

пространства

как

среды.

Что

касается других

сред,

то

здесь мы имеем большое разнообразие соотношений между векто

рами поля, аналогичных (1) и значительно более	сложных.
Эти соотношения называются материальными	уравнениями.

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ