Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Ф а зу как случайную функцию времени можно себе представить следующим образом. Через к а ж д ы й промежуток времени т ф а з а

меняется скачком, принимая случайное значение.					В		результате,
если усредним	(1) по интервалу	времени,	значительно			большем т,
то получим
и	cos				"		(2)
и
	А%=А\-\-A	I ,
где черта сверху	означает среднее, значение.
Такие два колебания, для которых имеет место (2),							являются
'некогерентными.
Заметим, что фазы обоих колебаний могут				быть		случайными
функциями времени, но при этом
	<pl—<p2=const.
В этом случае колебания т а к ж е будут когерентными.
3. Время когерентности. Д л и н а			когерентности
Рассмотрим сферические волны, создаваемые					элементарным
вибратором с током, начальная фаза колебания				которого			меняется,
через к а ж д ы й промежуток времени т скачком, принимая							случайные
значения. Величина т называется временем			когерентности.
Н а с будет интересовать вопрос: когерентны				ли колебания поля,
создаваемые этим источником в разных точках				пространства?
Если из источника как центра		провести	сферу		радиуса г,, то

эту поверхность будут пересекать так называемые цуги волн, дли

тельность которых с-. Величинасх	называется	длиной		когерентно
сти. В течение времени т начальные	фазы колебаний в любой				точке
сферы будут одинаковы. П о истечении этого		промежутка времени
фаза во всех точках меняется на	одну н ту	ж е	случайную		вели
чину.
Проведем другую сферу радиуса	?"2. Выясним,		когда	колебания

на-этих двух сферах будут когерентными и когда они некогерентны.

Очевидно, что		если	г2—ГХ>СХ,
			г2—ГХ>СХ,
то колебания	будут некогерентны.						• •
Если ж е			г2—гх<сх,
			г2—гх<сх,
су	. I	то в этом		случае	колебания		будут когерентны
		в	течение	времени		(рис. 4)
Рис. 4				"	с	'
т. е. не в течение		всего	промежутка времени t,				а только части его.
В виду этого	колебания называются				частично		когерентными.

13Q

Ясно,	что колебания поля в	каких-либо точках,		находящихся
на одной	и той ж е сфере, будут всегда		когерентными.
Таким	образом, по мере того,	как	разность r2—гх	уменьшается,

колебания от некогерентных переходят в частично когерентные и

затем при Гі = г2	становятся	когерентными.
4. Временная	когерентность.		Пространственная			когерентность
Рассмотрим	теперь суперпозицию			волн,	создаваемых				двумя
разнесенными . элементарными			вибраторами		в	экваториальной
плоскости. Здесь возможны следующие случаи.
Если разность фаз токов обоих вибраторов постоянная									величи
на, то разность фаз волн, приходящих				в к а ж д у ю		точку		простран
ства от обоих вибраторов, сохраняется все время и волны									будут
когерентными.
В этом случае, мы видели,			имеет	место	явление		интерферен
ции.
Если разность колебаний токов у обоих вибраторов								является
случайной величиной, то в каждой точке пространства								колебания
поля, сздаваемые к а ж д ы м		вибратором, будут ' некогерентными и
волны будут некогерентными. Интерференции не будет.
Пусть теперь второй вибратор является зеркальным								изображе
нием первого вибратора, создающим отраженные от з е р к а л а									волны,
и пусть фаза тока в этом вибраторе меняется указанным								выше слу
чайным образом .
Очевидно, что прямые и отраженные волны будут							в	соответ
ствии с изложенными в пункте			3 когеренты		или	частично			коге

рентны, если они принадлежит	одному и тому ж е цугу волн. Такого
рода когерентность называется	временной.

Реальный источник волн в действительности не точный. Однако, если источник имеет достаточно малую пространственную протя женность, то он совместно со своим зеркальным изображением мо ж е т создать четкую интерференционную картину. Источник, удов летворяющий этому условию, .называется пространственно когерен тным.

Д в а пространственно когерентньіх источника волн в произволь ных точках, вообще говоря, создают некоге.рентные или частично когерентные колебания . Колебания в двух точках будут когерент ными только в том случае, если разность расстояний от одного ис точника к этим точкам минус разность расстояний от другого ис точника к тем ж е двум точкам, равна целому числу длин волн.

ЛЕКЦИЯ 23

ДИ С П Е Р С И Я . ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ

1.Понятие дисперсии.

2.Элементарная теория дисперсии.

3.Групповая скорость.

1.Понятие дисперсии

Под дисперсией в физике понимают зависимость показателя преломления среды или скорости распространения электромагнит ных волн от частоты.

Явление дисперсии приводит к тому, что скорость распростра нения сигнала в среде оказывается отличной от фазовой скорости. Это следствие дисперсии почти очевидно. В самом деле, любой сигнал может рассматриваться как результат наложения бесчис

ленного

множества монохроматических

волн,

к а ж д а я

из

которых

распространяется

со

своей фазовой скоростью. Поэтому

ясно,

что

д о л ж н а существовать

некоторая

средняя скрость,

которой

пере

носится сигнал в целом.

Очевидно, что если нет дисперсии и фазовые

скорости

всех

мо

нохроматических воли одинаковы, то эта средняя скорость

д о л ж н а

совпадать с фазовой .

Вопрос о скорости

распространения

сигнала

диспергирующей

среде будет рассмотрен несколько позже. Здесь

ж е

у к а ж е м ,

что

изучение явления дисперсии позволяет познать

некоторые

в а ж н ы е

стороны атомного строения вещества. Мостом,

связывающим

ма

кроскопическую теорию электромагнитного поля

с теорией

атомно

го строения вещества,

является

формула

Л о р е н т ц а — Л о р е н ц а .

Это

соотношение получается

из

ф о р м у л у

Клаузнуса — Моссоти,

если в

последней

подставить

е = л 2

(см. лекцию

8).

М о ж е т

пока

заться

странным,

что

почти

тождественные

формулы

удостоены,

разных наименований. Однако следует

учесть,

что

формула

(1)

была получена в 1880

г. вскоре после открытия

уравнений

Максвел

ла, когда равенство s=n 2 ,считалось еще не совсем доказанной гипо тезой.

132

	2. Элементарная теория дисперсии
Согласно формуле (1) поляризуемость молекулы при					наличии
дисперсии д о л ж н а зависеть от		частоты. Теория	дисперсии		д о л ж н а
объяснить эту зависимость.
К а ж д а я	молекула состот из	нескольких т я ж е л ы х		положительно
з а р я ж е н н ы х	частиц (ядер атомов, образующих		молекулу),			вокруг
которых «обращаются» легкие частицы — электроны .
Центры тяжести легких и т я ж е л ы х частиц могут				не совпадать. В
этом случае молекулы о б л а д а ю т электрическим			дипольным			момен
том и в отсутствие внешнего электрического			поля. Такие		молекуг
лы называются полярными. Однако здесь такие				молекулы		рас
сматриваться не будут. Мы будем рассматривать				вещества,		у ко

торых молекулы поляризуются под влиянием электрического поля

распространяющейся волны.
П о д влиянием этого поля в такт с изменением	электрического
поля начинают двигаться все з а р я ж е н н ы е частицы	молекулы'. Но

массы ядер в тысячи раз больше массы электронов и поэтому дви жением ядер можем пренебречь.

С хорошим	приближением			можно считать, что электроны ведут
себя так, как если бы они отклонялись					от положения равновесия
под влиянием квазнупругон силы — шрпт. .
Так что уравнение движения электрона					таково:
			ю ^ + ю О / и г . - е Е . ф ф ,		(2)
где			кг — масса
/п=9,106 • Ю - 3 1				электрона;
е=—1,602-	1	0 _ 1 Э	К л—заряд	электрона .
Подчеркнем,		что справа в		(2) не напряженность поля волны Е,

а	в соответствии		с изложенным в лекции			8,-^- эффективное	поле.
	Решение	уравнения		(2) ищем в виде
и	получаем				г = г 0 е ' ш '
и	получаем
				г -	еЕ"ФФ		' •
	Отсюда	видно,	что	ш 0 — и м е е т смысл		резонансной частоты дви
жения электрона.			К а ж д ы й		электрон Б Н О С И Т в дипольный		момент

молекулы вклад

Р---СХ.

Предположим сначала, что в молекуле имеется лишь один элек трон, тогда дипольный момент молекулы будет равен

р = е г = е 0 а Е 8 ф ф .

133

С р а в н и в а я это соотношение с (3), получаем

а((о)=

т - 2 — г •

г 0 т ( ш - - с о » )

Отсюда, согласно формуле (1), находим

		3	г0т^1-<а-)	л 8 + 2 "				(5)
Это соотношение позволяет определить путем измерения стати
ческой диэлектрической			проницаемости («=0)			резонансную		часто
ту u)0no формуле
			Ne*	« ~1
			3/«50(»Q
Кривая а(ш)		приведена на рис.		1. М ы	видим, что		при резонан
сной	ч а с т о т е ^	поляризуемость - молекулы			а	терпит	разрыв,	кото
рый	в действительности		не наблюдается . Это			объясняется тем, что

Рис. 1

в уравнении д в и ж е н и я электрона мы пренебрегли диссипативными силами, которые обусловлены излучением ускоренно движущегося электрона и соударениями электрона с другими частицами. Н а л и чие этих сил приводит к тому, что оказывается при всех ча стотах конечной величиной. Реальный ход кривой а(ш) в окрест ности резонансной ш0 показан на рис. 1 пунктиром.

Из формулы

2/Ѵа

1+-

		Na	(6)
		Na
		~з~
полученной из (1), видно,	что с	увеличением частоты при tu g	ш0 ,
когда величина а растет,	растет	и показатель преломления,	то

есть в этих областях изменения частот имеет место		нормальная
дисперсия. Из сопоставления формулы	(6) и реальной	кривой <х(и>)
на рис. 1, следует, что в окрестности	резонансной частоты показа-

134

тель преломления д о л ж е н убывать с увеличением частоты, то есть

в этой области частот дисперсия а н о м а л ь н а я .
Когда изучают распространение электромагнитных волн в дис
пергирующих средах, обычно имеют в виду области	нормальной
дисперсии, при которой ослабление мало. Поглощение	электромаг

нитных'воли средой		при аномальной дисперсии весьма				велико.
Д о сих пор мы считали,			что молекула имеет только один элек
трон. Однако	в действительности она содержит много					электронови
данной резонансной		частоте <% может		соответствовать		<?* электро
нов. Поэтому вместо		(5) мы д о л ж н ы принять более общую формулу
		/ г а +2	3E„W• s -
Д л я газов nœl	и последняя		формула	может быть представлена в
виде
		/ 7 2 - 1	= С3		) ! '	(8)
где
	_	Ne*gK	v _ ? - c	j	2-е
		=0			и..
Используя	тождества
		X	1 + -
			1 + -

вместо (8) м о ж е м написать

где

В формулах (8) и (9) обычно оказывается достаточным учесть лишь несколько резонансных частот. Так, для всей видимой обла сти спектра, то есть для всего диапазона оптических волн справед лива формула

л - 1 =	а(і+-^У
где для воздуха
А • Ю 5 = 28,79;	В • 10э см*-=5,67 см?.

135

В- случае веществ с большой плотностью, то есть жидкостей и твердых тел п2 в знаменателе в формуле (7) нельзя заменить еди ницей. Тем не менее и в этом случае формула (7) упрощается, по скольку, как уж е было указано, при расчетах можно ограничить ся лишь несколькими резонансными частотами.

	3. Групповая скорость
Рассмотрим	распространение сигнала в диспергирующей среде.
В такой среде	к а ж д а я из монохроматических волн, на которые

разлагается сигнал, распространяется со своей фазовой скоростью.

Эта скорость	находится из	уравнения поверхности равной фаз ы
	•\|)(/І ,г,ш)=(в/—^-rt(iu)2=const					(10)
путем дифференцирования последней по времени и равна
	dz	. / \	с
	dt	- - Ф ѵ - / -	и ( ш )	•
Ввиду того, что фазовые скорости				монохроматических		волн
различны, сигнал по мере		распространения,			вообще говоря,	будет
расплываться	и по прошествии достаточного				промежутка времени

«рассыпется». Однако, как сейчас увидим, если спектр сигнала до статочно узкий, этот промежуток времени достаточно большой и

совокупность

монохроматических

волн,

составляющих

сигнал,

бу

дет распространяться как единое целое

с определенной

скоростью,

которую нам

и надлежит определить.

Пусть разность фаз двух монохроматических

волн

на

несущей

частоте %

на частоте ш, л е ж а щ е й

интервале

ш0 —Лш н ш 0 +Дш,

в момент времени tt

в точке z\ равна

Wl>Zi^)-ty{tuZvu0).

( Ц )

В последующий

момент

времени

поверхность равной

фазы

на частоте % будет находится в точке

z2 . Очевидно, что

волна

на

частоте ш

в этот ж е

момент

времени

І2

в точке z2

будет

иметь

дру

гую фазу,

отличную

от той, которую она имела в

момент

времени

в точке Z[. Так что

разность

ф а з

/2.z2

что

УА<г2*шо)

в случае,

О 2 )

не

равна

разности

фаз<H(9),,u>)—

когда

фазовы е скорости одинаковы, и функция

Ф(тЫФ(<2.22.<и)—Ф('а,22.шо)]- -MMi.0»)—Wl.Zl.«»!))]

отлична от нуля.

136

Б у д ем считать, что ширина	спектра сигнала	2Дш достаточно
мала; тогда, р а з л а г а я Ф(«>) в	р я д Тейлора вблизи	частоты <о0, мо

жем ограничиться первым членом р а з л о ж е н и я и получить

( ш — ш 0 ) .

Из этой формулы видно, что пакет, группа монохроматических волн распространяется как единое целое, т. е. так, как если бы фазовые скорости всех волн были одинаковы (Ф(ш) = (_)), когда выполняется условие

				дФ\		= 0 .
				дт
Смысл этого р а в е н с т в а — в с е					ф а з ы группы волн совпадают.
Отсюда находим	соотношение
	1	d		іо		С йш
1	с	а		іо		С йш		0
ИЛИ
			t.,-tl			d
то есть скорость пакета волн					как единое		целое,	или	иначе группо
вая скорость, равна
		ü rp=			,		dn		И З )
				d	,		dn		И З )
Именно с .этой	скоростью				переносится		энергия		сигнала, если
ширина его спектра 2Д<о			достаточно мала .

Однако в ы р а ж е н и е справа в (13), действительно, имеет смысл скорости распространения сигнала только в том случае, если вы полняется требование теории относительности

г> г р < с .

Аэто возможно лишь при нормальной дисперсии, т. е. при

								СОДЕРЖАНИЕ
						ЛЕКЦИЯ			1.	ВВЕДЕНИЕ
1.	Понятие			поля		.											3
2.	Основная			характеристика				скалярного			поля		,				4
3.	Основные			характеристики				векторного			поля						4
4.	О дифференциальных и интегральных характеристиках поля														и	на
глядном		его представлении . . .									.						5
5.	Интегральные характеристики								поля								6
ЛЕКЦИЯ			2.	УРАВНЕНИЯ			МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ								ФОРМЕ
1.	Общий		смысл уравнении Максвелла .										. . . .		.		8
2. Формулировка уравнений Максвелла в интегральной форме															. .		9
3. Уравнения Максвелла — обобщенная формулировка эксперименталь
ных законов				,	. • . .												10
4.	Закон сохранения					зарядов											,14
ЛЕКЦИЯ		3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ														ФОРМЕ
1. Преобразование интегральных уравнений Максвелла в дифференци
альные		. .			.	,										:	15
2.	Уравнение				непрерывности											.	1 7
3.	Плотность				силы	Лорентца			.								18
ЛЕКЦИЯ		4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА И КЛАССИФИКАЦИЯ СРЕД
1.	Материальные уравнения								.	. . . . . . .					.		19
2.	Изотропные и анизотропные среды										.						' 2 1
3.	Однородные, неоднородные и другие										среды						22
4.	Среды		с	проводимостью — время						релаксации;			комплексная диэлек
трическая проницаемость							,								:	:	23'
					ЛЕКЦИЯ		5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1.	Смысл		граничных			условий			. .								26
2.	Граничные условия для векторов									D и	В	_					27
3.	Граничные				условия для			векторов		H	и	Е	_	.	. .		28
4. Преломление векторных линий электромагнитного поля на границе
раздела		сред			,								і	»		î	30

138

ЛЕКЦИЯ 6, ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ "ПОЛЕ. ТЕОРЕМА II ВЕКТОР ПОИНТИНГА

1.	Вектор		Умова									,	.	. :	:	:		32
2. Теорема Пойнтинга и вектор Пойнтинга																		33
3.	Баланс энергии при наличии источников электромагнитного поля																	35
4.	Вектор		Пойнтинга			в	случае		гармонической			зависимости			поля		от
времени .																		36
ЛЕКЦИЯ		7. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. УРАВНЕНИЯ										ПУАССОНА			И	ЛАПЛАСА
1.	Уравнения Максвелла для статических полей. Электростатика																.	38
2.	Электростатический потенциал									.	. . . . . .							39
3.	Уравнения			Пуассона			и Лапласа			и	их решение . . . .							40
4. Потенциал системы дискретно распределенных зарядов на больших
расстояниях			.	.		.		,		.								43
ЛЕКЦИЯ			8. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ						ДИПОЛЬ. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ
						МОДЕЛЬ			ДИЭЛЕКТРИКА
.1. Электрический					диполь			.		. . . . . . . .								45
2.	Мультиполи																	46
3.	Вектор		поляризации															47
4.	Внутреннее			поле			. . . . . . . . . . .											49
5.	Формула Клаузнуса—Мосотти								. . . .					. . . .				50
	ЛЕКЦИЯ			9. ПРОВОДЯЩИЙ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ШАР В
			ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ											ПОЛЕ
1.	Постановка			задачи			.		.		. . . . . . .							51
2.	Идеальнопроводящий шар в электростатическом												поле . . .					52
3. Диэлектрический						шар	в однородном				электростатическом				поле		.	53
	ЛЕКЦИЯ			Ю, ЭНЕРГИЯ				ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО							ПОЛЯ
1.	Энергия дискретной						системы		и	непрерывно			распределенных				в
пространстве			зарядов			. .												56
2.	Энергия электростатического							поля		в	анизотропной			среде. Симме
тричность тензора				диэлектрической				проницаемости										59
3.	Эллипсоид энергии тензора диэлектрической проницаемости^
(эллипсоид		Френеля)				.	,		.									60
ЛЕКЦИЯ			II.	МАГНИТОСТАТИКА. ПОЛЕ								ПОСТОЯННОГО				ТОКА.
				ПОЛЕ			ПОСТОЯННОГО МАГНИТА
1.	Поле		постоянного			тока. Векторный					потенциал			. . . .				63
2.	Магнитное			поле	линейного			тока.		Магнитный диполь . . .								65
3.	Магнитные			свойства			вещества . . . . . . . .											66
4.	Поле		постоянного			магнита			.		.							68
5.	Ферромагнитный					шар в однородном					магнитном		поле- . . .					69

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ