книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

на матрицу

столбец

т. е.

C M Q = M £ ( C ) Q f , .

(6)

Аналогично,

как

нетрудно заметить, что д л я

ТѴИ-волны

где

0я(С)=Мя(С)0ял-,

(7)

с/я,

jZgCOS cpsin [К

(8)

cos ߣ

Матрицы

(5)

и

(8) называются

характеристическими матрица­

ми слоистой

среды.

Заметим,

что определитель обеих

матриц равен единице.

4. Решение

задачи

Мы установили полную аналогию задачи

о

распространении

электромагнитных волн в многослойной среде

с задачей о распро­

странении волн напряжения и тока в последовательно

соединенной

цепи отрезков длинных линий. Д л я

того чтобы

вычислить

напря­

жение

и ток

в некотором отрезке этой цепи, достаточно знать

пара­

метры

этого

отрезка линии и нагрузку на ее конце. В

рассматрива ­

емой задаче

ситуация вполне аналогична. Д л я

того,

чтобы

вычис­

логию теории

матриц, характеристическую

матрицу данного

слоя,

и матрицу - столбец амплитуд составляющих

поля.

Характеристическую матрицу к а ж д о г о слоя можно вычислить по

значениям коэффициентов преломления в

к а ж д о м

слое, используя

д л я этого закон Снеллиуса.

Итак, пусть требуется определить поле

внутри

первого

слоя

(рис. 1). Согласно формуле (6) или (7) можем написать

03)

Допустим, что нам известна матрица Q на границе ІѴ-го слря,

тогда согласно

(9) можно написать

2.

Условие Лорентца и

волновые уравнения д л я потенциалов.

3.

Скалярный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал.

4.

Векторный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал.

1. Введение электродинамических скалярного и векторного

потенциалов

Д о

сих пор мы изучали поле электромагнитных волн, не инте­

ресуясь источниками электромагнитного поля. Теперь

ж е мы дол­

ж н ы рассмотреть вопрос о

том, как связано электромагнитное по-,

ле с его источниками, т. е.

как .излучаются электромагнитные вол­

ны. В

этом случае должна

решаться полная система

уравнений

токи и з а р я д ы

д о л ж н ы считаться известными.

Итак, требуется решить систему уравнений

I .

r o t E = - w ;

I I .

rot H -

I I I .

d i v D = p ;

I V .

d i v B = 0

при заданных

плотностях

T O K a ' j и з а р я д а

р.

Уравнение

I V сразу

удовлетворяется

введением в шторного.по­

тенциала

B = r o t A .

(1)

П о д с т а в л я я это

в ы р а ж е н и е

для

В

в уравнение

(1),

получаем

rot

Е = - - ^ - r o t

А

или

г ° т ( Е

+ Ж

Отсюда следует,

что

E + ^ - = - g r a d c p ,

(2)

т. е.

E = - g r a d c p - 1 F

,

где <р— скалярный

потенциал.

Будем считать,

что с р е д а — о д н о р о д н ы й

диэлектрик,

т. е

s„=const,

[Ar t =const,

о — О.

2. Условие

Лорентца и волновые уравнения

для

потенциалов

Учитывая

соотношения

D = er t E

н В = р.а ІІ,

подставляем

С )

и

(2)

в уравнение М а к с в е л л а

I I и

получаем

1 rot

rot А

=

-

- ^ ( g r a d

<?+

j s a + j .

Ра

Д а л е е используем

векторное

тождество

rot rot A = g r a d div А — y 2 A ,

где

V2 — оператор

Л а п л а с а ,

применяемый

к

прямоугольным со­

ставляющим вектора

А и находим

- Ѵ 2 А + > і а е а ^ —

-

grandi v A - | - | i e 6 e ^ . j + | * J .

П о л а г а е м , что

d i y A + i v e ^ - = 0 ,

(3)

и получаем

волновое

уравнение д л я , в е к т о р н о г о потенциала

А:

V 2 A - ( V a ^ 7 r = - p J .

(4)

Соотношение (3) называется условием Лорентца .

На

условии

Лорентца мы еще остановимся несколько позже.

Найдем т а к ж е

уравнение

для <р. Д л я этого

подставим

(2)

в

уравнение М а к с в е л л а

I I I и получим

Р е ш е н и я ми / могут быть функции

аргументов

t - J - ,

t

+

~ ;

1

скорость распространения

волны.

где ѵ = -У РяЕа

Ф у н к

ц и я — решение,

имеющее смысл

сходящихся к

источнику волн,— физически неприемлемо.

Функция

/ ^ / — - ^ - j — р а с х о д я щ и е с я

от

источника

волны — соот-

(5= •

V

Найдем функцию fy— ~J-Для

этого проинтегрируем

обе части

уравнения (5)

по

объему

сферы

радиуса

г и с центром

в точке

расположения

источника, т. е. з а р я д а q(t)

:

V

V

V

Устремим

/•->(), тогда

получим

< / Ѵ - > -

і

• А - л 3 = 0;

J

<)/а ц v

r

dt*

3

V

vdV=lgradrçdS-

J V2<f^ V^jdivgra d

V

V

5

Потенциал в точке, находящейся

на

расстоянии

г от заряда

q,

опре­

деляется значением

з а р я д а не в

момент

а

его

значением

в

более

ранний

момент t—Ш,

т. е. значением

q{^—-~-

j

. .Поэтому

потенциал

<р (г, /)

и называется

з а п а з д ы в а ю щ и м .

Если имеется

п

точечных з а р я д о в

(рис.

1),

то потенциал

этой

системы зарядов

в точке наблюдения

будет

равен

v V

' ( '

-

v )

( = 1

Отсюда, перейдя

к

непрерывному распределению зарядов в объе­

ме V (рис. 2), получим

4яе„і/

г

где

V

Рис.

1

Рис. 2

4.

Векторный з а п а з д ы в а ю щ и й

потенциал

3.

Зоны вибратора . Б л и ж н я я зона.

4.

Д а л ь н я я пли волновая зона элементарного вибратора.

которому

протекает

переменный

во

времени ток, одинаковый по

всем

сечениям

проводника в к а ж д ы й

фикси­

рованный момент времени (рис. 1,а).

Практи ­

ческой

реализацией

элементарного

вибратора

й) j

может

служить

диполь

Герца. Диполь

Герца

представляет

собой

два

соединенных

прово­

дом

металлических

шара,

заряды

которых

-(-«7(0

и —q(l)

в каждый момент времени оди­

наковы по величине и противоположны по зна­

ку (рис.

1,6).

Если

после

зарядки

диполя

предоставить

его самому себе, то возникнут колебания, по­

скольку

шары,

соединенные

проводом,

обла­

дают

емкостью

и индуктивностью

и

неизбеж­

ным

сопротивлением,

которое

приводит

к за-

Рис. 1

туханию

этих

колебаний.

По

проводу, соединяющему оба ш а р а , потечет

ток

в к а ж д ы й фиксированный момент одинаковый

по всем сечениям

провода

(рис.

1,6).

Достаточно короткий элемент провода длины

/ любой

провод­

ной

антенны может рассматриваться

как

элементарный

вибратор,

если

эта длина значительно

меньше излучаемой Длины волны К, т. е.

/ « X .

(2)

2. Электромагнитное поле элементарного вибратора

Пусть ток

в элементарном вибраторе,

расположенном

в нача­

ле координат

(рис. 2), меняется по

гармоническому

закону

Найдем

поле

этого

вибратора .

Его

векторный

потенциал

А

согласно

(8)

лекции

19 и в силу

(2) равен

и„

Г У * » -

4я

г

Рис.

2

4кг

4пг

(3)

Из этого выражения, видно, что векторный потенциал А парал ­

лелен вектору I . Это обстоятельство

значительно

упрощает

расчет

вектора электромагнитного поля."

координат г,

Ь,

Применяем

сферическую

систему

ср. В

этой

си­

стеме координат, как видно из рис.

2, составляющие

вектора

А

равны

А г = Л с о э

9;

А в = Л cos (ъ 4- - ^ = - . -

A sin Ö ;

Ач=0.

отличны от нуля, а какие равны

нулю. Д л я этого обратимся

к фор ­

мулам

Н = — r o t A ;

(4)

Е -

~

rot H .

(5)

В сферической системе координат составляющие вектора при

наличии осевой симметрии [ ^д- =

0 |

таковы

rot,a=

I

э- ждь( а-9 з 1 п & ) ;

/-sin

1

д(га)

r o t e a = - — - д ^ -

(б)

rot

ç a=

1

1 даг

г

дг

~7~W

Сопоставляя м е ж д у

собой

формулы

(4) — (6), заключаем, что

ЕГФО,

ЕЪФО,

£ ç = 0 ,

т. е. вектор H имеет только

одну

«экваториальную»

составляющую

а

вектор

Е — радиальную

и

«меридиональную»

составляющие

Ег

и

Ей-

Составляющие вектора Е м о ж н о вычислить по

вектору

А дву­

мя

способами: по формулам

(4)

и

(5)

или, пользуясь ' условием

Лорентца, по ф о р м у л а м

<?= -г—

сііѵ А->-Е=

-grad «р- -g; =

№а*а

1

grad div А - / ш А .

Нетрудно

убедиться

в том, что оба

способа приводят к

одному

и тому ж е результату. В самом

деле, согласно (4) и (5),

Е

= = Т^ТТ rot r o t A = 7 - i T

(grad div А - ѵ 2

А ) .

у 2 А + к а А = 0 ,

имеем

Е = 7 ^ 7 ^ ( S r a d

div А+к2А)=

1

grad div А—у'шА

[К'

2 ft»8 a).

что и требовалось доказать .