книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

ЛЕКЦИЯ

17

К О Э Ф Ф И Ц И Е Н ТЫ ОТРАЖЕНИЯ И П Р О Х О Ж Д Е Н И Я

1. Определение коэффициентов

отражения

и

прохождения .

2. Анализ коэффициентов отражения . Угол

полной

поляриза ­

ции (угол Б р ю с т е р а ) .

3. Полное внутреннее отражение .

4. Явления на границе раздела

диэлектрика

и

проводника

Скин-эффект.

1. Определение коэффициентов отражения и прохождения

Здесь

приведем энергетическое определение

коэффициентов от­

р а ж е н и я

и прохождения .

верхности

(рис. 1), т.

е.,

/ 1 \

где

S,-, SR

векторы

Пойнтинга.

Коэффициент прохождения определяется аналогично,

то есть

это

отношение нормальной составляющей плотности потока энер­

гии

прошедшей волны

через единицу поверхности раздела

сред к

Рис. 1

Рис.

2

нормальной

составляющей плотности потока

энергии

падающей

волны на ту

ж е единицу поверхности (рис. 2);

при

іхх =

(х2 = ц он

равен

П о д с т а в л яя в (1)

формулы

(8) н (11)

из лекции

16, нахо­

дим

qB=R%JI*£.

= tg'fr-*? •

(3)

В

-В \E,J2

tg2(? + 40

'

1 j

^

cos

ф

w, |-^гв|2

sin2<psin?4l

•5

COS!f

И,

iß,

12 =

sin2(tp-)-4')cosa(9—ф) >

(5)

.

cos ф

л, \Err\2

sin2cfsir^

г—

C 0 S ! ?

І ц Щ ^

"sln2 (cp+^)

1

(6)

причем, как

нетрудно

проверить, имеют место

равенства

< 7 B + r f B = 1 .

Яг+аг=1-

(7)

2. Анализ

коэффициентов

отражения. Угол

полной поляризации

(угол

Брюстера)

В силу

равенств

(7) достаточно проанализировать коэффициен­

ты отражения . Н а с

будет интересовать, как меняются эти коэффи­

циенты с изменением

угла

<р.

П р е ж д е

всего

очевидно,

что

при

нормальном падении

волны на

П ри горизонтальной поляризации коэффициент

отражения ни

при каком

угле tp в

нуль

не

обращается . При вертикальной

поля­

ризации

коэффициент отражения

обращается

в нуль тогда,

когда

то есть

когда

tg(?+1') = c o .

Поскольку

при этом

условии

S i n ^ = C O S c p ,

из закона

Снеллиуса

„

•'

находим

tt]Sln

cp = « . 2 c os f

1g?

= t g < p s = - ^ .

(8)

"î

Угол

ср£ ) определяемый этим

равенством,

называю т

углом

Брюстера

или углом

полной-поляризации.

П а д а ю щ а я под

углом

Брюстера вертикально

поляризованная

ходит полностью во вторую среду. Этот эффект аналогичен

явле­

нию согласования двух длинных линий с различными

волновыми

сопротивлениями.

При любой другой

поляризации при угле

Брюстера

отражается

лишь

горизонтально

поляризованная

составляющая

волны.

По­

этому

угол

Брюстера

называют утлом полной поляризации .

•В

оптике

эффект

полной поляризации используют для получе­

ния поляризованного

света.

Заметим, что при падении плоской волны на границу

раздела

изотропной н анизотропной сред происходит

двояколучепреломле -

ние. Так, плоская

волна в кристалле

расщепляется

на

две

волны.

К а ж д а я из

этих

расщепленных волн

распространяется

со

своими

Тогда согласно закону Снеллиуса ^ имеет

смысл

угла преломле­

ния

лишь при углах

падения <р, удовлетворяющих

условию

— s i n <р—sin ф ^ І .

(9)

fin

Возникает вопрос: что происходит на границе

раздела

сред,

если

это неравенство не удовлетворяется?

Д л я того

чтобы

отве­

тить

на этот вопрос,

рассмотрим фазовый множитель

плоской

вол­

ны

е~'к"пг.

З а м е н и в

здесь /• в

соответствии с рис. 3 в ы р а ж е н и е м

r = A ' S i n <Р +

2 C O S tp,

этот фазовый множитель м о ж н о предста­

вить в виде

g—У«Г(,лг__£—/«„(jrnsin <p+zncos ср)

(10)

Рис.

3

В таком

ж е виде можно представить (опуская

еІШІ)

фазовый

множитель волны и в среде 2

g—JK0(xn,sin ф+г/iscos

Как следует из закона Снеллиуса

cos

sm <s>

и при углах

<р, не удовлетворяющих

неравенству

(9),

cos ф = - / / ( ^ s i ^ ) 2 " 1

(12)

—• чисто мнимая величина.

З н а к «—» взят для обеспечения

ослабления

волны

при боль­

выполнении (9)

имеет

вид (опуская е'ы)

оy.r/;,siii if • a—Kzihy j\n.j'!±sin

çI

(13)

Следовательно в

рассматриваемом

случае распространения

волны в глубь

среды

2 не будет. Волновой

процесс будет только

п а р а л л е л ь н о границе

раздела, убывая

по

экспоненциальному за-

как проще всего установить из формулы

(10) лекции

16, равен

единице.

Действительно, отношение -=-

в обоих

случаях

поляризации

имеет вид а . 1 8 и, с л е д о в а т е л ь н о ,

a—je

= 1.

a+je

Явления

отражения

и преломления плоских волн на

границе

диэлектрика

и металла

т а к ж е происходят в соответствии

с зако-

Как было показано в лекции 13, в проводнике

2

(14)

Плотность

тока,

с о з д а в а е м а я полем

прошедшей

в

проводник

волны, будет

равна

(15)

Из формулы (14)

видно, что чем больше

частота

ш, тем больше

а и, следовательно, тем меньше обратная

величина

о =

1

Величина § — называется глубиной

проникновения,

поскольку,

как видно из (15), высокочастотные токи

практически

сосредоточе­

ны в слое толщины

о. Численно 8 равно расстоянию,

на

протяже ­

нии которого амплитуда поля убывает

в е

раз . На

очень высоких

радиочастотах, а тем более

в оптическом

диапазоне

волн

величина

ô очень м а л а .

Явление сосредоточения

поля в очень

тонком слое

проводника

называется скин-эффектом.

Для .

характеристики

скин-эффекта,

кроме 8, вводят еще в рассмотрение понятие поверхностного

со­

противления

Zs- 1\ля

его определения

вычислим

ток,

текущий

по

проводнику толщины d по полосе

шириной

в 1 м

(рис. 4):

/=

[Jdz^aE^e-^el^-^dz--

0

о

Отсюда

следует, что

Рис. 4

,

а £ 0 г

°ЬЕ0г

Пусть на многослойную среду (рис.

1)

падает

плоская

монохро­

матическая

волна. Требуется

найти

поле в любой

точке

любого

Z

слоя. Поскольку

каждый

слои

однород­

ный, т. е. в пределах

каждого

слоя

л —

= const, то можно предположить, что по­

ле в каждо м

слое представляется в

виде

пл

суммы

полей

двух плоских волн — пря­

мой

и

отраженной .

Пг

Очевидно, что при этом любую состав­

t

х

л я ю щ у ю любого

вектора

электромагнит­

ного

поля

можно представить в виде

Рис. 1

иЧ£/|еЛш '-*о'"'>,

где г — расстояние,

отсчитываемое

по

направлению

распростране­

ния плоской

волны.

Но это расстояние, 'как было показано на прошлой лекции,

мож ­

но записать

так:

r=xs\n

(p+ZCOS <р.

Используя эту запись, будем

иметь

и=£/(z)e-'(ü''-~A'°л"s',1

f\

(1)

где

U(z)=\U\e-JK»zncos<r.

(2)

Мы

хотим

сконструировать решение

задачи из плоских

волн,

составляющие

векторов

которых имеют

вид (1) и (2). Неизвест­

ными

в этих

выражениях

являются

постоянные амплитуда

волны

\U\ и

у г о л <р ее падения

на границу

слоя.

Очевидно,

что мы д о л ж н ы различать

здесь

два вида

поляриза ­

ц и и — горизонтальную

и

вертикальную.

Д л я

краткости

горизон­

кально п о л я р и з о в а н н у ю — Г М - в о л н о й . Итак,

будем предполагать,

что искомые составляющие

векторов поля

таковы:

Г Я - в о л н а

77И-волна

Е=Еу=иЕ(г)е^ШІ~к^"аіп^;

H=/Уy=U'

и(г)еНш'-"°хп%',п^\

Нх=

\yH(z)e>{-mt-l<»x"sin^\

Еѵ=

— V

Е(г.)е№-к°хпзіГІ,*\

Hz=WH(z)e^""~K-Y"tin^;

Ez=—\VE{z)e^l~^xn^

(3)

Ех=Ег=0,

Hy=0.

Hx=Hg*=0,

Ey=Q.

2.

Аналогия с

процессом

в

длинных

линиях

Подставим в уравнения

Максвелла

rot

Е = — Д о ц в Н ;

rot

Н = / ш е 0 Е

выражения

(3), предварительно записав эти уравнения

в скалярной

форме:

Г Е - в о л н а

ТѴИ-волна

дЕ

•

дЕх

дЕ,

.

и

дЕ

.

г,

дН

.

г,

—=-1щаНг;

-^=-jwzaEx;

дНх

~

дНг

.

дН .

-

IF

-Ыс

ёГ

=l™*Ez-

Отсюда

следует:

~;

dUF

,

dVE

-^~ІЩ^н\

-

-%г

-JK0nsin<fWE=-iw^aUH;

m

«yzsin

<p »,

DUH

;

,/ .

—

+jK0nsm

? WH=jwznUE.

WE=

"m,

4

UH.

dz

г а '

dz

dVH

dVE

- y = / u ) e a c o s 2 < p £ / £ ;

-fi-

~JM\iaCOS2<tüH.

Сопоставим

эти две системы

уравнений с телеграфными уравне­

ниями:

dU

. . ,

/ ( : ) = / - ^ s i n ß ; + / K c o s ^ ; ,

где

£Ло

— напряжение и ток в конце линии;

С— координата, отсчитываемая

от конца линии:

Результаты

сопоставления

приведены

ниже:

Г £ - в о л н а

ТѴИ-волна

иЕ--и,

UH-+I,

Ѵн-+І,

VE-+U,

Ь 1

Z.

-

л

f Ѵ-о

_

_

/

V

^os9=ZBcos^ZeH,

" ^ с - Б І ^ - с - Б І ^ » * '

UE((,) =

UEKCOS

ßC-нѴя«

. W

) = V £ „ c o s p C + ; t / w « Z e c o s <psin|»C,

l / „ ( Q = / ^ c o s

« p s i n ß C + V W o s ß C ,

c 7 w ( C ) = / - ^ - s l n p C + c / w „ c o s ß C (4)

Д л я

конструирования

решения

задачи

из приведенных, выше

формул

удобно

пользоваться

матричным

исчислением. В связи с

этим напомним

элементарные

правила

матричного

исчисления.

К в а д р а т н а я

матрица

/ьго

порядка

записывается

так:

'ап

а12...а1п

I

І = А.

і<з„, а „о

...а„

л

с , 7 =

~2iaiKbKJ.

Матрица может состоять из одного столбца, например

матрица -

столбец

Произведением квадратной

матрицы

А и матрицы - столбца

О н а

зывают матрицу-столбец Р, элементы которого

равны

п

Рі =

HjUIhCJk.

Л = 1

П ри внимательном

взгляде

на в ы р а ж е н и я

(4) о б н а р у ж и в а е м ,

что

в случае Г-Е-волны

эти в ы р а ж е н и я

представляют собой

матри­

цу

столбец

j

- ^ - sin ßC

, COS* ,

nr

/ - T - ' - s l n ß i .

cosßC,