книги из ГПНТБ / Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций

где

Zfm =const и / / m

= const, а постоянная распространения

к —

неизвестная

величина

и подлежит определению.

Воспользовавшись векторным соотношением

rot(At?) = grad <р X А,

где

А — постоянный

вектор, a tf — скалярная

функция, после

под­

становки (1) в уравнения Максвелла

получаем

Н

- 4 І П ° ' Е

1 ;

( 2 )

D — - £ - [ п » , Н І .

(3)

Из этих

соотношений

следует, что вектор

H

перпендикулярен

векторам Е

и п°, а вектор

D перпендикулярен

H

и п°.

кулярен направлению распространения волны.

С другой стороны, вектор

Пойнтинга, определяемый

формулой

S = [ E , H ] ,

перпендикулярен векторам Е

н Н. Отсюда следует, что

скорость

вательно, Б анизотропных средах

необходимо

различать две

ско­

р о с т и — 1 фазовую

скорость

Ѵф и

скорость ѵл

по направлению

вектора Пойнтинга

и называемую

лучевой скоростью.

2. Фазова я

и лучевая скорости

Фазовая скорость определяется

известным

соотношением

к=

(1)

Ü)

га,

—

=

—

Ѵф

с

где п — показатель

преломления.

Подставля я это

в ы р а ж е н и е

для

к в соотношения (2) и

(3),

получаем

D = - ^ [ n ° , H ] .

(5)

w=wB+wH~

~ S .

Отсюда находим

w

w

где s0 — единичный вектор в направлении

вектора

Пойнтинга.

Величина

есть лучевая скорость волны.

*

Таким образом,

получаем

-Ѵф = ѴлСО*($0,П0)=ѴлСО5а,

(6)

где а— угол м е ж д у

векторами s0

и п°. Замечаем,

что

Ѵф<ѵл.

3. Уравнения для определения

фазовой

и лучевой скоростей

среде характеризуется

5 векторами Е, D, Н,

п°, s0,

причем

вектор

H перпендикулярен .всем остальным векторам. Отсюда следует, что

векторы Е, D,

n°, s° компланарны, то есть

л е ж а т в одной

плоскости.

Ориентация всех векторов друг относительно

друга

ясна

из

рис. 2.

П о д с т а в л я я

вектор

H

из

соотношения

(4) в соотношение

(5),

находим

D = - ^ — [ n ° [ n ° , E ] U

s°

= ^ - ( Е - п О ( П ° Е ) ) = = ^ - Е , ;

(7)

n

ѴфР-а

ѴфРа

Рис.

2

n°(n°E) — э т о продольная

составляющая

вектора

Е

по

направ ­

лению п°; Е х — поперечная составляющая

вектора

Е

к

тому ж е

направлению .

Соотношение

D = - 4 — ( E - n ° ( n ° E ) )

(8)

рости

ѵл. Поскольку

D_[ п°, то, как видно из

рис. 2, поперечная со­

с т а в л я ю щ а я вектора

Е к вектору п° равна

продольной составля­

ющей

этого ж е вектора по вектору D, т. е.

У м н о ж а я

скалярно обе

части

этого

равенства на D, находим

D 2 = - 4 — ( E D ) ,

то есть

D2

1

(ED)

или

D'cos д =

c o s ? a

ED

vlv„

-

Учитывая

здесь формулу

(6),

получаем

D2 COS a _

1

или

Д а л е е , принимая

во внимание,

что поперечная

с о с т а в л я ю щ а я

вектора D к s0 равна

продольной

составляющей этого вектора по

Е, то есть

D,=D-sVD)=(d-|-)-§-,

находим

E = < D > f l ( D - s » ( s ° D ) ) .

(9)

4.

Определение

фазовых

скоростей

Формулы

(8)

и

(9) являются

следствием

уравнении

Максвелла

и поэтому

не зависят

от свойств

среды .

Теперь

включим

в паше рассмотрение

материальные уравне­

ния. Выберем

в

качестве координатных

осей

главные

направления

Введем, как

и

прежде,

обозначения

гХ 1 . = et,

вуу

— г2 , е „ = е3 ,

а индексы х, у,

z

заменим

числами

1, 2,

3. Тогда

векторное урав ­

нение (8) представится следующими

3 скалярными

уравнениями

ѵ\, ѵ\,

ѵ\,

Е оЕ іНл

Чв№а

е ое зНа

к

эту

систему

уравнений

м о ж н о

представить

в

в и д е

f i = 4 ( ^ - " 0 ( n ° E ) ) ;

£ 2 = 4 ( ^ - « S ( n ° E ) ) ;

Е3=^(Ев-п°(п°Е)),

откуда

п о л у ч а е м

р _

«

\

" , ( " ° Е ) ,

ѵ\

4[М).

P _

v

l

»§(n°E)

С j

,,

„

-

,

С2

9

0

j

£.3—

2

9

Ф 1_ .

Ф __£

,

Ф _JL 1

V l

ѴФ

Vl

У м н о ж а я

л е в ы е

и

правые

части

этих

равенств

на

/г°,

л§,

соответственно

и с к л а д ы в а я

их,

находим

2

02

9

02

'

02

Ф _ i _

J

Ф 2 j

ф _3_

j

2

2

2

ѴІФ

VФ

VФ

п0.2

л° 2

nf

(10)

1

1

-

3

=0.

V \ - V l

К ~ Ѵ 2

ѴФ~Ѵ'3

Таким образом, получаем,

что структура

анизотропной

среды

допускает распространение

в

любом данном

направлении

двух

плоских линейно поляризованных

волн

(между

составляющими

поля нет сдвига фаз) , распространяющихся с

разными фазовыми

скоростями, причем к а ж д а я

из этих

волн

может

распространяться

Е1

'

0

Ег

2 2

*;s,

f A s 2

^а^Е/Ч

ѵ\

'

e o.a a.Ss ?'Ê ''e '

-о!^а S S ;

Ѵл

1

2

Ѵ3

У м н о ж а я левые и правые части

этих

равенств

на S\°, s2 °, s3 ° со­

ответственно и складывая их, будем слева иметь

0 и в результате

получим уравнение

,02 '

„02

02

J _

1

1

2

_і_

J

3

_ п

1_ 1 J

1_ 1

1_

О

О

1 2

-]~ У.

1 . —и.

V ï

V l

Ѵ2

Ѵл

Ѵ3

V l

Это — квадратное

уравнение

относительно ѵ\. Следовательно,

к а ж д о м у направлению

вектора

s0

соответствуют

два разных зна­

чения к в а д р а т а лучевой скорости.

1.

Законы отражения и преломления плоских волн.

2.

Формулы

Френеля

при вертикальной поляризации.

3.

Формулы

Френеля

при горизонтальной поляризации .

появлению отраженной

и преломленной

волн.

Л ю б а я плоская волна в отдельности

является решением уравне­

ний Максвелла . Однако

д л я того, чтобы указанные волны представ­

д а ю щ е й волной удовлетворяли

граничным условиям на поверхно­

сти раздела сред.

Итак, пусть напряженность поля падающей волны

С С аЯи>'—к>пі')

Ь / = Ь о і £

' '

где К\= — V [ h e i = — » і - к2=—у

| і 2 е 2

= — л, (среды считаем д и ­

электриками).

Н а п р а в л е н и я распространения

будем характеризовать углами

( р и с . 1 ) :

<Р/—угол падения; этот угол считаем

известным;

<Ря и ф— искомые углы отражения и

преломления;

Ёо/ — известно;

Eo/?i Eor —

неизвестны.

Граничные

условия,

которым д о л ж н ы

удовлетворять

совместно

все три волны,

либо

Н-л=Нг2\

ѵхНіП^2Нп,.

(2)

В результате подстановки выражении

для полей

всех

трех волн

в какое-либо из граничных условий

получим соотношение

следующе­

го вида:

г д е / " — р а д и у с - в е к т о р

какой-либо

точки

граничной

плоскости, про­

веденный из точки падения (рис. 2) . Это

равенство

д о л ж н о выпол-

Рис.

1

Рис. 2

няться на всей

граничной плоскости

при любой

величине

вектора

г. А это возможно тогда и только тогда, когда

все

три

фазовых

множителя равны, т. е. когда выполняются условия

К1ПіГ=КіПцГ

=

КіПгГ.

Выясним смысл этих двух равенств.

Д л я этого учтем тождество

[ n [ n r ] ] = n ( n r ) — r ( n n ) = — г ( п о с к о л ь к у п г = 0 ) ,

и получим

K 1 n / [ n [ n r ] ] = « 1 n / f [ n [ n r ] ] = K 2 n , [ n [ n r J ] .

Произведем

здесь циклическую

перестановку

векторов

и

при­

дем к равенствам

l n , n ] [ n r ] = [ n * n ] [ n r ] ;

кЛпкп][пг]==к 2 [п,п][пг] .

Поскольку

эти равенства д о л ж н ы

выполняться

при любой

ве­

личине вектора

[пг], то д о л ж н о быть

[n( -n] = [n*n];

(3)

Кі[пКй\~ка[п,п].

(4)

З а т ем решаем систему

уравнении (5)

относительно

и Я,

и находим

g

g

e.jWjCOSf— E ^ C O S ^ .

/?В

, f i £ 2

n , C O S CF-f-eyljCOS ф '

(6)

p

P

2s1 /!.J cos ^

При І І І ; = Р - 2 : = 1 э т и ф о р м у л ы

принимают

вид

#в

lßn„cos <р+ /^cos Ф '

'RB-

tg(<p—W

Егв—Еів-

2cos cpsin \i

(8)

tg(<?-H)'

~r"

^"J cos(cf-^)sin(v"++)

Соотношения

(6) — (8)

называют

формулами

Френеля .

3. Формулы

Френеля

при горизонтальной поляризации

Д л я того чтобы найти

формулы

Френеля при

горизонтальной

Hrr=Hi

2|j.jn.2cos ф

(2), а т а к ж е . р и с . 3,

ІГ (JL2 /l1 COStf±fi1 «2 COS(jJ

виями для векторов Е и Н. Как видно из (1) и

искомые формулы можно получить из формул

(6), если

параметры

6j и е2 заменить параметрами

и ц2 , а Е-,в,

ÉRB, ЕГВ

с о о і в е т -

ственно

Ніг, HRr,

НтГ

(индекс

„Г" — горизонтальная

поляриза ­

ция) . В

р е з у л ь т а т е получим

ry

(j^WjCostp—}i1 n2 cos'|'.

(9)

Ч а щ е

всего оперируют вектором Е, и поэтому в формулах (9)

целесообразно векторы

H заменить векторами

Е, для чего

следует

воспользоваться равенством

При

этом в первой

ф о р м у л е

(9) коэффициент при Е ; г

останет­

ся без изменений,

вторая ж е формула преобразуется к

виду