книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие
.pdfполучим линию, близкую к параболе второго порядка. Это означает, что полезно избрать т= 3, т. е.
+ Ct\ ■CLo
— + - г
Для сравнения уравнение корреляционного полинома бу дем вычислять при т = 2 и т = 3.
Произведем преобразование координат
х '= Ю (х — 13,4); у' = {у — 1345)
При т = 2 по формуле (2, 34) и приложению 2 получим
а0 = 114 •0,223992 — 43,5578 •0,423332 = 25,536088 —
—18,439323 = 7,095765
ах= — 114-0,42332+43,5578-1,44533 =
= — 43,259843 + 62,954088 = 14,694240
1 Для определения экстремумов продифференцируем это уравнение
по х.
_ Ду _ |
2вг= о |
|
__ __2да |
хг |
хга |
’ |
я, |
Если а2> 0 , то имеется минимум |
(рис. 6), если а2<0, то кривая имеет |
||
максимум (рис. 7). |
|
|
|
4* |
|
|
51 |
сл w
X |
У |
х' |
У' |
1 |
|
х ' |
|||||
|
|
|
|
||
13,5 |
1362 |
1 |
17 |
1,0000 |
|
13,6 |
1368 |
2 |
23 |
0,5000 |
|
13,7 |
1357 |
3 |
12 |
0,3333 |
|
13,8 |
1363 |
4 |
18 |
0,2500 |
|
13,9 |
1360 |
5 |
15 |
0,2000 |
|
14,0 |
1346 |
6 |
1 |
0,1667 |
|
14,1 |
1354 |
7 |
9 |
0,1429 |
|
14,2 |
1347 |
8 |
2 |
0,1250 |
|
14,3 |
1359 |
9 |
14 |
0,1111 |
|
14,4 |
1348 |
10 |
3 |
0,1000 |
(Я |
(Я (Я |
x ' |
ах |
|
|
|
|
Mi |
|
1,0000 |
1,0000 |
1,0000 |
17,0000 |
17,0000 |
0,2500 |
1,1250 |
0,0625 |
11,5000 |
5,7500 |
0,1089 |
0,0363 |
0,0121 |
3,9996 |
1,3068 |
0,0625 |
0,0156 |
0,0039 |
4,5000 |
1,1250 |
0,0400 |
0,0016 |
0,0016 |
3,0000 |
0,6000 |
0,0267 |
0,0046 |
0,008 |
0,1667 |
0,0278 |
0,0204 |
0,0029 |
0,0004 |
1,2861 |
0,1886 |
Т а б л и ц а 5
Mi |
|
Й*; |
Ух' |
|
|
||
x ' |
|
(X ')2 |
|
|
|
||
74,3651 |
— 55,5342 |
17,0515 |
|
37,1825 |
— |
13,8835 |
21,5196 |
24,7859 |
— |
6,0477 |
16,9588 |
18,5913 |
— |
3,4709 |
13,3410 |
14,8730 |
— |
2,2214 |
10,8722 |
12,3967 |
— |
1,5438 |
9,0735 |
10,6268 |
— |
1,1329 |
7,7145 |
0,0156 |
0,0020 |
0,0002 |
0,2500 |
0,1312 |
9,2956 |
— |
0,8663 |
6,6499 |
0,0123 |
0,0014 |
0,0002 |
1,5554 |
0,1722 |
8,2620 |
— |
0,6831 |
5,7995 |
0,1000 |
0,0010 |
0,0001 |
0,3000 |
0,0300 |
7,4365 |
— |
0,5553 |
5,1018 |
я=1С — |
55 с, =114 |
2,9290 |
1,5475 |
1,1968 |
1,0818 |
с ,= |
С2— |
— |
Ъух , = П 4 |
|
=43,5578 |
=26,2266 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ц |
|
|
|
|
т$ ■ |
|
|
|
|
$«б-- |
|
|
|
|
<ЗМ" |
|
|
|
|
тг |
|
|
|
|
яьо- |
|
|
|
|
«з« ■ |
|
|
|
|
&СС-- |
|
|
|
|
«54- |
|
|
|
|
ап-- |
|
|
|
|
а». . |
|
|
|
|
£> |
|
|
|
|
4FSj |
|
|
|
|
' а ж |
|
|
|
|
qjT<y"A? 4s + + + |
т Аз |
-*>Х |
||
|
Рис. 8. |
|
|
|
Согласно (2, 32), имеем |
|
|
|
|
Ух= 7,096+ |
14,69 |
(рис. |
8) |
|
х' |
||||
|
|
|
||
При т —3 по формуле (2, 35) и приложению 2 для yfy по лучим
а „= 114 •0,822823— 43,5578 •4,5040+26,2263 •3,74692=— 1,7794;
аг= — 114 •4,45040+43,5578 •28,5270—26,2266 •25,1978= =74,3551;
а2=114 •3,74692—43,5578 •25,1978+26,2266 •25,4449 =
=—55,53425.
53
Согласно (2, 33), |
имеем |
|
|
|
|
у'х = — 1,7794 + |
74,3651 |
X |
55,53425 |
) |
(рис. 8) |
|
|
|
|
По этой формуле вычислим сумму выровненных значений ор динат
У1= ^ У ^ = П 4
Равенство этих сумм подтверждает правильность вычисления параметров. Для глобальной проверки выпишем систему нор мальных уравнений (2, 31)
Юа0 + 2,929а1 + 1,5475а2 = 114 )
2,929 а0 4- 1,5475 аг 4- 1,1968 |
а, = |
43,5578 |
1,5475 а, + 1,1968 аг + 1,0818 |
а2= |
26,2266 ) |
и подставим в нее значения найденных параметров:
10 •( — 1.7794) + 2,929 •74,3651 + 1,5475 •( — 55,5342) = = 114,032;
2,929-(— 1,7794)4-1,5475-74,3651 4- 1,1968- (—55,5342) =
= 43,2269;
1,5475 •(1,7794) + 1,1968 •74,3651 + 1.0818 •( — 55,5342) =
= 26,1696.
Относительные погрешности будут:
8 |
П 4Д)82114 |
10о% = 0 ,0 0 0 7 % ; |
|
114 |
|
g |
1^56-43^23 . 10о % = 0,007% ; |
|
|
43,56 |
|
g |
26^23-2607_ |
100% = 0 ,02% . |
|
26,23 |
|
Малые относительные погрешности говорят о надежности таб лиц, составленных для определения зависимостей гиперболи ческого типа.
§ 10. Нахождение параметров логарифмической формы связи
Искомая форма имеет вид ух = а04- ailgx |
<2, 36) |
или
Ух = а0+ агх -f- а3\gx . |
(2, 37) |
54
Для определения параметров уравнений (2, 36) и (2, 37) соответственно нужно решить систему двух и трех нормаль ных уравнений. При пг— 2
айп -f-ail>lgx = Еу |
(2, |
38) |
|
a0Elgx: + a ^ lgA )2 = |
|||
Eylgx |
|
||
При m = 3 |
|
|
|
a0n -f- a,Ex -f- a,Elgjc = 'Ey |
(2, 39) |
||
a0Sx 4- ajEx2 + aX xlgx — Exy |
|||
a0Elgx 4- a^Ejclgx 4 a2S(lgx)3 = |
% Igx |
|
|
Определитель системы (2, 38) имеет вид
Л2 = |
п |
Elgx |
(2, 40) |
Elgx |
= aE(lgx)2 ElgxElgx, |
||
|
S(lgx)2 |
|
|
а ее параметры а0 и ai будут |
|
||
~У |
sigx; |
I (3, ---- |
п |
2у |
(2, 41) |
Si/lgArS(lgAT)2 |
21gx |
Slgxy |
|||
|
д2 |
|
|
д2 |
|
Параметры системы (2, 39) вычисляются аналогично. Так как х может принимать последовательные натуральные значения (х=1, 2, ..., п), то на ЭВМ были сформированы обратные мат рицы к матрицам из сумм степеней логарифмов натуральных чисел и сведены в таблицы (см. приложение 3). С помощью этих таблиц можно получить решение систем (2, 38) и (2, 39) соответственно по формулам (2, 42) и (2, 43):
ао = с0Тп — сгт?2 ;
(2, 42)
==г---СоТ21 “Ь ОТ22)
где
с0 = Еу и с2 = Eylgx, a y j
находятся в приложении 3 и
До = |
с07п —Ci4fH2+СаПз ; |
|
|
= |
— С0Т21 ~Ь ciT22— ^аТгз |
■ |
(2,43) |
= |
со7з1 — с27з2+ с27зз |
• |
|
55
Здесь |
|
а0 = Еу, а, = |
Т,ху, ai = '£y lgx , |
a т3ij также находятся из приложения 3. |
|
Покажем возможность |
применения формул (2, 42) и |
(2, 43) на конкретном примере исследования связей и зависи мостей в розничной торговле.
Известно, что изменение производительности труда на од ного работника в зависимости от размера товарооборота про исходит по логарифмическому закону.
Для анализа взяты данные о производительности труда на одного работника в плодоовощных магазинах, разбитых по размеру товарооборота (см. табл. 6).
Обозначим х 1= Л 105 .
По формуле (2, 42) имеем:
а0 = 152,55 •0,362258— 161,65 •0,319810 = 3,562;
а, = 152,55 •0,319810+161,65 •0,317399 = 2,519.
Зависимость производительности труда от размера товаро оборота в плодоовощных магазинах выражается уравнением
Уд.=3,56+2,52 lg 1Q |
(см. рис. 9) |
56
|
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
Группы магазинов |
|
|
Производитель |
|
|
||
X |
х' |
ность труда на |
|
|
|||
по размеру товаро |
lgx' |
ylgx' |
|||||
одного работника |
|||||||
оборота (тыс. руб.) |
|
|
|
|
|||
|
|
(тыс. руб.) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
До |
10 |
5 |
1 |
3,64 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
10—20 |
15 |
2 |
4,77 |
0,3010 |
1,4358 |
|
|
20—30 |
25 |
3 |
4,86 |
0,4771 |
2,3187 |
|
|
30—40 |
35 |
4 |
5,00 |
0,6021 |
3,0105 |
|
|
40—50 |
45 |
5 |
4,98 |
0,6990 |
3,4810 |
|
|
50—60 |
55 |
6 |
5,05 |
0,7781 |
3,9294 |
|
|
60—70 |
65 |
7 |
6,06 |
0,8451 |
5,1213 |
|
|
70—80 |
75 |
8 |
5,12 |
0,9031 |
4,6239 |
|
|
80—90 |
85 |
9 |
5,90 |
0,9542 |
5,6298 |
|
|
90—100 |
95 |
10 |
6,08 |
1,0000 |
6,0800 |
|
|
100—110 |
105 |
11 |
6,18 |
1,0414 |
6,4358 |
|
|
110—120 |
115 |
12 |
6,47 |
1,0792 |
6,9824 |
|
|
120—130 |
125 |
13! |
5,80 |
1,1139 |
6,4606 |
|
|
130—140 |
135 |
14 |
6,73 |
1,1461 |
7,7132 |
|
|
140— 150 |
145 |
15 |
6,96 |
1,1761 |
8,1856 |
|
|
150—160 |
155 |
16 |
6,17 |
1,2041 |
7,4293 |
|
|
160—170 |
165 |
17 |
7,12 |
1,2304 |
8,7604 |
|
|
170— 180 |
175 |
18 |
7,58 |
1,2553 |
9,5152 |
|
|
180—190 |
185 |
19 |
6,49 |
1,2788 |
8,2994 |
|
|
190—200 |
195 |
20 |
6,40 |
1,3010 |
8,3264 |
|
|
200—210 |
205 |
21 |
6,62 |
1,3222 |
8,7530 |
|
|
210—220 |
215 |
22 |
6,93 |
1,3424 |
9,3028 |
|
|
220—230 |
225 |
23 |
7,54 |
1,3617 |
10,2672 |
|
|
230—240 |
235 |
24 |
6,88 |
1,3802 |
9,4957 |
|
|
240—250 |
245 |
25 |
7,22 |
1,3979 |
10,0928 |
|
|
S |
3125 |
325 |
с„ = 152,55 |
25,1904 |
с, =161,65 |
|
§11. Нахождение параметров степенной формы связи
Если экспериментальные точки (хи у{), (х2, у2), ... ,(х„уп), нанесенные на логарифмическую бумагу, располагаются вбли зи прямой линии под острым углом к оси ох, то эмпирическая формула может иметь вид степенной функции
у = а0х а> |
(2,44) |
|
После логарифмирования формула (2, 44) |
получит вид |
|
\gy = lga0 + |
at lg x |
(2,45) |
Обозначив |
|
|
lg у=у', lg а0= |
Оо И lg А' = |
а ', |
57
получим линейное уравнение |
|
|
|
|
||
|
У' = а0 + |
ах х ' |
|
(2,46) |
||
Пример 1. Экспериментальные данные о динамике неко |
||||||
торого экономического |
процесса приведены в первых |
двух |
||||
столбцах табл. 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
X |
У |
|
ig |
Ig У |
lg*i |
ШУ |
10 |
1,06 |
1 |
0,0000 |
0,0253 |
0,0000 |
|
20 |
1,33 |
2 |
0,3010 |
0,1239 |
0,0373 |
|
30 |
1,52 |
3 |
0,4771 |
0,1818 |
0,0867 |
|
40 |
1,68 |
4 |
0,6026 |
0,2253 |
0,1358 |
|
50 |
1,81 |
5 |
0,6990 |
0,2577 |
0,1801 |
|
60 |
1,91 |
6 |
0,7782 |
0,2810 |
0,2187 |
|
70 |
2,01 |
7 |
0,8451 |
0,3032 |
0,2562 |
|
80 |
2,11 |
8 |
0,9031 |
0,3243 |
0,2930 |
|
|
X |
|
— |
b0= 1,7225 |
5, = 1,2078 |
|
|
здесь х х= - |
|
||||
|
10 |
|
|
|
|
|
Нанесем имеющиеся эмпирические данные на логарифмиче скую сетку (см. рис. 10).
58
Из графика видно, что все точки расположились вблизи пря мой. Следовательно, можно применить степенную форму свя зи вида (2, 44).
Система нормальных уравнений имеет вид |
|
||
айП-\-ахЪх' — Ъу' |
| |
]ga0/z + a ^ lg x — 'Zlgy |
|
a'oZx' + а 1Ъх'1 - х 'у ' |
J |
lga0Elg* + |
= Slgjclgу |
В нашей задаче п= 8, m =2,lga0 — a0
Параметры ао и аг находим по формулам
а' = Тп Ь0— Т12Й1=0,6324-1,7225—0,8813.1,2077 = 0,0252
—Т2! *о + 722 Ьг =-0,8813-1,7225+ 1,5308-1,2077= 0,3307
Здесь Ь0 и b1 взяты из табл. 7, а значения у?; — из прило жения 3. Так как lg a o = 0,0252, то а0= 1,059. Уравнение связи
\ о 33 |
0 33 |
( -++ |
Так как 10 = |
=2,138, то окончательно имеем: у = 0,49л:0-33
Пример 2. Имеются данные об основных производствен ных фондах за 7 лет.
|
|
|
|
Таблица 8 |
||
Годы |
Фонды |
|
|
|
|
|
млрд. руб. |
lgy |
lg* |
ig* 1gy |
lg Ух |
||
X |
||||||
|
У |
|
|
|
|
|
1 |
67,5 |
1,8293 |
0,0000 |
0,0000 |
1,7969 |
|
2 |
75,3 |
1,8768 |
0,3010 |
0,56497 |
1,8960 |
|
3 |
83,7 |
1,9227 |
0,4771 |
0,91732 |
1,9540 |
|
4 |
94,0 |
1,9731 |
0,6021 |
1,18800 |
1,9952 |
|
5 |
104,3 |
2,0183 |
0,6990 |
1,41079 |
2,0270 |
|
6 |
115,6 |
2,0630 |
0,7782 |
1,60543 |
2,0532 |
|
7 |
129,5 |
2,1123 |
0,8451 |
1,78510 |
2,0751 |
|
1 |
|
f 60=13,7955 ( |
|
bx =7,47161 |
62 =13,7974 |
|
На графике, аналогичном рис. 10, будет видно, что вырав |
||||||
нивание фондов |
нужно производить |
с помощью |
степенной |
|||
формы связи y = a0x ai т. е. lgу = lga0 + ах\g x . Имеем: |
||||||
lga0 = -п i |
в0 — т% в1 = 0,6700-13,7955—0,9966-7,47161 = 1,7969 |
|||||
Oi= — tIi*0+722 ei= — 0,9966-13,7955+1,8842-7,47161= 0,32931
59
Откуда ao=15,12
]gt/=l,7969+0,32931gx
Уравнение связи будет ух = 15,12 хР'33
§ 12. Многофакторная модель
Для случая двух независимых переменных Л. П. Градусом была проделана аналогичная работа, включая составление на ЭВМ соответствующих таблиц (приложение 6).
Приведем без вывода результаты, полученные Л. П. Гра дусом.
а) Линейная аппроксимация
Уравнение аппроксимирующей плоскости запишем в виде.
! (х, у) = а0о + аХ0х + |
а01 у, |
где |
|
^оо |
«0 |
оО |
|
flio |
= |
• АГ„ |
|
^D1 |
*2 |
М01 |
|
Здесь а0, аи |
«г — затабулированные |
коэффициенты, |
|
Мт = Е груч ■(£, /), |
a f (i, j) — |
|
|
известные значения f (х, у) при x = J, y = j.
(i = 0, ± 1, ± ± к] / = 0. ± 1, . .. ± I) .
Символ Е с опущенными индексами суммирования обозна чает суммирование по всем точкам определения дискретной функции.
б ). Аппроксимация поверхностью 2-го порядка.
Уравнение аппроксимирующей поверхности запишем в ви
де
f (■*> у) = (cit)x + с01у) + спху (с20х 2 + сй1у2+ с00)
Коэффициенты Сю, с0ь сц, С20, с0г, соо находятся аналогично.
С10 |
*1 |
|
^,0 |
С01 |
а2 |
|
м ах |
си _ |
*3 |
|
_ Мгг |
|
а4 |
0 - а8 |
|
^02 |
0 |
а5— а, |
лг02 |
соо |
—ав — |
M ot |
|
Здесь а3) а4,...а8 также затабулированы.
60