книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

4___________ 45_________

Тз з - (4 ^_j)fe(fe+ 1 ) (2А+3)

4_ _____________175___________

'T44~ (А®—!)(4Аг- 1 ) A(A+2)(2A+3) -

Для четного случая:

Аналитическое уравнение параболы имеет вид

У( — #о Т- dxt -\-а.2^ 4" Дз^3

71

Сразу было неясно, какую дочность в подсчете обратных матриц дает ЭВМ, не получае#Щ ли при этом больших иска­ жений? Так как получилось хорошее совпадение в обоих ва­ риантах счета, (т. е. обращением матрицы и по выведенным формулам), то можно распространить наш способ на системы 5, 6 и т. д. нормальных уравнений.

4. Выравнивание по параболе 4-го порядка.

При т= Ъ система нормальных уравнений примет вид

I Л5 |

4(fe—I)2 k> (k+2y (2fe—3) (2k—l)3(2k+\f (2fe+3) (2fe+5) 35-55-7*

для четного случая

223 (k—2) (k—iy k5 (£+ l)3(k + 2) (2k— 3)2 (2 + 3)

1 ^ 1 = ---------------------------------------------------------------

а обратная матрица имеет вид

где

для нечетного случая

Т 13 = Тз1 = 4(4* 2— gj (4^г— 1)(2А + 5) ’

72

Решение системы будет:

для четного случая

5 3•5 (240A*— 90A2 + 407) 411== 2n-A (A2—4) (A2—1)

73

5 _______________ 32-5a-7____________

^53 2nft (ft2—4) (ft2— 1) (4ft2—9) (4ft2—1)

Аналитическое уравнение параболы имеет вид

§ 3. Выравнивание статистических рядов при анализе конкретных экономических процессов

Рассмотрим примеры выравнивания статистических рядов, используя формулы (3, 10; 3, 12; 3, 14;) и составленные нами таблицы коэффициентов.

Нечетный случай

Пример 1. Выравнивание по прямой линии. Собранные органами государственной статистики ценные материалы о наличии, составе и использовании специалистов в народном хозяйстве, о распределении молодых специалистов, о нали­ чии научных работников широко используются при планиро­ вании трудовых ресурсов в народном хозяйстве. Эти материа­ лы необходимы и для анализа статистической отчетности ВУЗов и техникумов по подготовке специалистов.

74

Т а б л и ц а 9

Выпуск специалистов с высшим образованием в народном хозяйстве РСФСР.

Специальность — технология виноделия (по данным Госплана РСФСР)

Для определения погрешности подставим найденные значе­ ния параметров в левые части системы нормальных уравне­ ний, которая имеет следующий вид:

7а0 = 610 1

28а, = 619 1

Получаем соответственно 609, 999 и 618, 999.

Относительные погрешности равны

75

Пример 2. Выравнивание по параболе второго порядка (по данным ассоциации воздушного транспорта США).

Решение. Здесь т—3, п = 7, k — З. Аналитическое уравнение параболы второго порядка имеет вид

yt^iao + a j + cbf

Его параметры ао, а\ и а2 находим по формулам (3, 10), а

Получаем:

а0 = 0,333333 •99458—0,047619 ■4444835= 11970,035754;

а, = 0,035714 ■108493 = 3874,7199002;

аа=0,047619 •99458+0,11905444835=559,670173.

Искомая зависимость будет

^=11970,04+3874,72*+559,670f3

Для определения погрешности подставим значение парамет­ ров в левые части системы нормальных уравнений (3, 9)

7а0 + 28а, = 99458

28а, = 108493 • ,

28а, + 196аа — 444835

76

тогда в правых частях получим соответственно 99460; 108492, 132; 444855. Относительные погрешности не превышают

0,0004%,.

Пример 3. Выравнивание по параболе третьего порядка. Исследование динамики урожайности зерновых культур по Красноярскому краю (данные отдела экономико-статистиче­ ского анализа ВЦ ЦСУ РСФСР).

Решение. Выровняем данный динамический ряд по парабо­ ле третьего порядка

у1 = 0.о + o^t -)- O^t' + O3 .

Здесь m =4, я=21, £=10.

Параметры a0, с ь a2, йз находим по формулам (3, 12), а

а0= 0 ,10755-188,4—0,0016345-5944.4=10,54630;

а,—0,0082485 ■(—64,6)—0,00010562-(—8980,6)=0,41568;

а3= —0,0016345-188,4+0,000044578-5944,6= —0,04295;

а,= —0,00010562 •(—64,6)+0,0000016052 •(—8980,6) =

= —0,007592.

77

Уравнение параболы имеет вид

Подставив найденные значения параметров в левые части системы нормальных уравнений (3, 11);

77а,+ 50666a3= —64,6;

770a0+ 50666a2= —5944,4;

50666a, + 83093010a3= —8980,6,

получим, что относительные погрешности не превышают

0,001%,.

Пример 4. В работе [13] на стр. 45 приводится пример на использование интерполяционного ряда Чебышева. Из этого примера видно, что для вычисления каждого коэффициента нужно произвести 10 операций, а само решение занимает 5,5 страниц.

Решим этот пример модифицированным методом и убедим­ ся, что решение (без записи условия задачи) занимает всего четыре строчки.

Выравнивание ряда средних годовых индексов цен на чу­ гун за период с 1895 г. по 1912 г. по параболической кривой 1 (см. табл. 4).

1 Пример взят из работы Б. С. Ястремского «Переменная корреляция»

Г19].

78

Здесь

т = 4, п — 19, к = —— = — = 9

2 2

Параметры находим по формуле (3, 12) и приложению 4;

а0= 0,1189739 ■1684 — 0,00221141 •55228 =178,22029;

^= —0,01118316- 206—0,0001752561 •880=—2,45795; аа = —0,00221141-1684+0,0000737137-55228=0,34704;

79

а3= 0 ,0001752561 ■206+0,00000325754-880=0,03897;

Четный случай

Пример 1. Уравнения динамики можно использовать для исследования тенденции качества продукции.

Например, для продукции конных заводов важным пока­ зателем качества является резвость.

Рассмотрим результаты Всесоюзных испытаний с 1922 по 1965 годы. Динамика резвости рысаков победителей Боль­ шого Всесоюзного приза и ход анализа видны из табл. 14.

Выровняем данный динамический ряд по прямой линии,

80