книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

D1очевидно делится и на все разности вида Ь£—bk

Вынося из D1 все множители вида (а, — ак) и {bk— bk) , получим:

П [(«,—«,)(4|—4,ц

П (ai+h) I, k=l

Вычислим D "'. Для этого заметим, что каждый из элемен­ тов определителя D1 является многочленом порядка (п— 1) относительно aL и Ьг Определитель имеет порядок п. Таким образом относительно аь и Ь£ он является многочленом по­ рядка п (п — I). С другой стороны

П { ( ъ - а Л Ь - б ь )] l+i 'k+ln

также является многочленом степени п (п + 1) относительно си и Ь£. Таким образом D '" = const и не зависит от значений at и bk, (i—1, ... п; к—\, ..п); тогда, полагая в определителе

i=pk

Таким образом D " '—1, т. e. определитель D вычислен.

41

Подставляя значения а£ =i, вь = к — 1, £=1,2, . . п; к = 1, . . п, получим

П («-А-1)3= [(Д-1)!(«-2)!...1!]2

Л=Л—1

Таким образом,

_ [1! 2! ... (л- l ) ! ] 3

л!(л+1)!... (2л—1)! '

Вработе [12], вышедшей в 1969 г., на стр. 98 написано: «В матричных вычислениях в качестве примеров часто ис­

пользуются <и иногда неправильно — матрицы Гильберта». Матрицы Гильберта интересуют авторов главным образом потому, что они очень плохо обусловлены при небольших зна­ чениях п и при их использовании нужно соблюдать осторож­

ность.

Поясним понятие обусловленности матрицы.

Рассмотрим систему уравнений АХ =в, где А — невырож­ денная матрица порядка п, т. е. det (А)=£0. Матрица А име­ ет единственную обратную матрицу А~';это означает,что си­ стема имеет единственное решение Х = А ~ 1в. Если исходные данные (элементы А и в) в какой-то степени .не определены, например матрица А известна точно, а вектор «в» — с неко­ торой неопределенностью (или наоборот), то для любой не­ вырожденной матрицы А существует число ее обусловленно­ сти cond(i4)=||A||-||A-1||ssl, которое интерпретируется как ме­ ра относительной неопределенности в задании вектора «в».

Если cond(A) относительно велико (по отношению к си­ стеме линейных уравнений), то матрица А является плохо обусловленной. Отметим, что сказанное не имеет отношения к нашей задаче, так как определитель Гильберта у нас нахо-

42

дится в знаменателе и представляет собой не что иное, как определенное число.

Отметим (без доказательства), что необходимым и доста­ точным условием неравенства нулю определителя системы нормальных уравнений является макоимальность ранга мат­ рицы системы условных уравнений, т. е. равенство этого ран­ га числу неизвестных.

Заметим, впрочем, что на практике легче вычислить оп­ ределитель нормальной системы, чем проверить это условие.

§7. Возможность приведения результатов измерений

кравноотстоящим значениям аргумента [11]

Выше уже отмечалось, что при равноотстоящих значени­ ях аргумента все вычисления значительно упрощаются.

Разберем вопрос о возможности приведения неравноот­ стоящих значений аргумента к равноотстоящим. Рассмотрим случай прямолинейной зависимости. Приведение должно вы­ полняться по формуле

Определим вес ук по формуле

1

(2,28)

43

приведение неравноотстоящих значений измеренных величин к равноотстоящим, вообще говоря, упрощений в вычисления

величиной малой, которой можно пренебречь без ущерба для точности определения искомых величин, то преобразования к равноотстоящим значениям аргумента могут оказаться по­ лезными. Для этого необходимо, чтобы одна из величин « и (3 была малой величиной', тогда вторая будет близкой к значе­ нию принятого интервала приведений.

Все сказанное полностью распространяется на любой вид зависимости, связывающей результаты измерений.I*

I а ] > |р | и |а |« j р |

44

§ 8. Нахождение параметров гиперболической формы связи 1

При анализе многих экономических и технических процес­ сов часто используются гиперболические формы связи вида

Однако при практическом решении задач такого рода воз­ никают серьезные вычислительные трудности. При их преодо­ лении, как отмечал акад. В. М. Глушков, наметилось две тен­ денции. С одной стороны, можно использовать ЭВМ. С дру­ гой— малые машины типа клавишного арифмометра. Обе эти тенденции имеют существенные недостатки.

Действительно, для расчета на ЭВМ нужно составить про­ грамму, перфорировать условия задачи, решить задачу на ма­ шине, записать результат. Все эти этапы весьма трудоемки и, учитывая это, экономист, инженер, научный работник зача­ стую не пользуется услугами вычислительных центров, а пред­ почитают решать задачи «вручную». Дело, однако, усложня­ ется тем, что для решения задачи, содержащей тысячу ариф­ метических операций, на клавишной машине уходит полный рабочий день. Задачи же объемом в десятки тысяч операций

ивовсе «не по плечу» такой технике.

Вработе предлагаются таблицы, с помощью которых мож­ но находить параметры уравнений, характеризующих гипер­

болическую форму связи вида (2,29) для т = 2 и т = 3 без помощи ЭВМ, которая уже использована при составлении таблиц.1

1 Написан совместно с доц. Ю. И. Сорокиным.

45

Уточним постановку задачи. Пусть для х= 1 , 2 (к это­ му случаю можно свести общий случай § 3) даны значения экспериментальной функции у ь у2, ... у п. При этом значения (г/г = 1, 2, ..., п) таковы, что есть основания полагать гипер­ болическую форму связи (2,29) наилучшим образом отражаю­ щей аналитическую зависимость между х и у. Наилучшее при­ ближение понимается в смысле метода наименьших квадра­ тов, т. е. минимизируется сумма

П

^ ] [ /(■*/) — У/Г = <Р(а0> ait...,a m-i) .

лШВШ i= 1

Как известно, задача сводится к системе нормальных уравнений, получающейся дифференцированием:

da

Здесь и ниже отсутствие индексов суммирования у знака

^следует понимать как суммирование от 1 до п.

Наиболее важными для практики представляются случаи т = 2 и т — 3. Рассмотрим их. Введем обозначения

46

47

матриц были получены все необходимые значения 7% и 7?;

исведены в таблицы, приведенные в приложении 2. Гиперболические формы связи часто используются при эко­

номическом анализе деятельности торговых организаций. Известно, что общая сумма издержек обращения состоит

из двух частей:

'И

можно составить аналогичную программу для ЭВМ БЭСМ-6 или М-20, которая позволяет получить 8— 9 знаков в мантиссе. Отметим, что в прин­ ципе можно составить программу, которая производила бы арифметиче­

ские действия с удвоенной или еще большей степенью точности. Однако составление такой программы несколько затруднено.

48

1). Расходы, зависящие от объема товарооборота, напри­

мер: заработная плата продавцов, транспортные расходы

ит. д.

2). Расходы, не зависящие от объема товарооборота, на­

пример, заработная плата административного персонала, амортизация, аренда и т. д. Если обозначить х — объем то­ варооборота, у — уровень издержек обращения на единицу товарооборота, то зависимость между ними будет

I аг У= «оЧ— L ?

X

где а0 — параметр, определяющий среднее значение суммы расходов на единицу товара, зависящих от объема товарооборота;

ах — параметр, определяющий среднее значение суммы расходов, не зависящих от объема товарооборота.

При изучении зависимости между себестоимостью и раз­ мером выпуска продукции также применяется уравнение (2, 32), его параметрами являются:

а0 — размер пропорциональных издержек на единицу про­ дукции;

<3t — размер постоянных издержек.

Например, при определении расхода электроэнергии, часть его (освещение) относится к постоянным издержкам, а дру­ гая часть (например, транспортировка продукции) — к про­ порциональным.

§ 9. Применение гиперболической формы связи при анализе конкретных экономических процессов

Пример I. Зависимость между размером предприятия по стоимости основных средств (х ) и себестоимостью единицы продукции (у) дана в первых двух столбцах табл. 4.

Если нанести значения у на логарифмическую бумагу, то получим линию, близкую к прямой, образующую тупой угол с осью ох, это значит, что разумно избрать т =2

во=<\,Тм—clT?2 = 69 • 0,506269—30,967 • 0,83168 = 34,932— —25,754633 = 9,18;

а, = clT|2—с0у|, =30,967 • 2,03677—69 ■ 0,831681=' 63,07266 —

— 57,38599 = 5,68667.

Ъух ^:Ъу. Это подтверждает правильность определения пара­ метров. Уравнение связи получает вид

Пример 2. Влажность муки в процентах (х) и выход хлеба на килограмм муки {у) характеризуется следующими данны­ ми, приведенными в первых двух столбцах табл. 5.

Если нанести значения у на логарифмическую бумагу, то

50