книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие
.pdfгде
4 |
8(2л+1)(л2+л—3) |
|
|
|
||
Т п = : |
(я—3)(л—2 )(я - 1 )л |
’ |
|
|
||
4 |
4 |
|
220(2/z-fl) |
|
|
|
Tl3C= |
T31 ~ |
(/2—3) (n—2) [n— I } n ’ |
|
|
||
4 |
Tai = |
- |
20 (6я2 + 6я 4- 5) |
|
|
|
Tl2 |
(n—3)(л—2)(л—1)я ’ |
|
||||
4 |
4 |
|
H U |
|
|
|
Tn = |
T-ii = |
— |
(n_3) (n—2) (n— 1) n |
’ |
|
|
4 |
200 (6я* + 27n3 + 42/г2 + 30n+11) |
|
||||
^22 |
(л—3) (л—2) (л—1) л (я+1) (л+2) (я+3) |
|
||||
4 |
4 |
|
____________300(9л2+21я+10)__________ |
|
||
У23 — 732 |
|
(л-3) (« -2 ) (л— I) л (я+1) (л+2) (я+3) |
|
|||
|
|
|
|
|||
4 |
4 |
___________ 280 (6л2+ 15л—II)___________ |
|
|||
Т24 = |
Т42 = |
(л—3) (я—2) (л—1) л (л+1) (л+2) (л+-3) |
|
|||
|
|
|
||||
4 ______________ 360 (2л+1) (9я+13)____________ |
|
|||||
Тзз~ |
(л—3)(и—2) (л— i) л(л+1) (л+2) (л+3) ’ |
|
||||
4 |
Т « |
|
_________________ 4200___________________ |
|||
Т34= |
|
(л—3) (п—2) (л—1) п (л+1) (л+2) (л+ 3) |
||||
|
|
|
||||
4 _____________________ 2800___________________ |
|
|||||
"^4 |
(л—3)(л—2) (л—1) л (л+1) (л+2) (л+3) |
|
||||
Решение системы |
(2, 23) |
имеет вид |
|
|
||
|
&о — fii Ь„ — f jo by |
Ti3 bs— Tl4&з |
|
|||
|
a x = — T2I h + T22 by — Тгз ь г + |
724 ь з |
(2,24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
=T31 b0— '(32 by -|- "(33 b2— *(34 b3
« 3 = — T41 ba- j - T42 by ----T43 b2 4 - "(44 bs j
§ 4. Решение систем нормальных уравнений при анализе конкретных экономических процессов
Рассмотрим примеры решения системы нормальных ура внений, используя готовые формулы (2, 20; 2, 22; 2, 24) и со ставленные нами таблицы коэффициентов. При решении при меров мы не всегда будем обосновывать выбор степени поли
31
нома, определять выровненные уровни и строить графики, так как эти вопросы хорошо изложены в учебной литературе, например [3].
Пример 1. Выравнивание уровней ряда, характеризующих помесячный объем проданных шерстяных тканей за 1962— 1964 гг. в торговой сети Москвы. Фактические уровни (у) да ны в табл. 1.
Решение. Выровняем данный динамический ряд по прямой
у—йо-\~CtiX
Внашем случае т= 2 и п = 36. Значения параметров йо и а\
найдем по формулам (2,20), |
взяв значения Тг; |
из приложе |
|||||
ния 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
X |
У |
ху |
X2 |
X |
У |
ху |
X2 |
1 |
10,3 |
10,3 |
1 |
19 |
7,2 |
136,8 |
361 |
2 |
10,2 |
20,4 |
4 |
20 |
7,0 |
140,0 |
400 |
3 |
10,8 |
32,4 |
9 |
21 |
8,0 |
168,0 |
441 |
4 |
7,3 |
29,2 |
16 |
22 |
7,4 |
162,8 |
484 |
5 |
5,4 |
27,0 |
25 |
23 |
6,8 |
156,4 |
529 |
6 |
8,6 |
51,6 |
36 |
24 |
8,5 |
104,0 |
576 |
7 |
7,7 |
53,9 |
49 |
25 |
6,8 |
170,0 |
625 |
8 |
9,0 |
72,0 |
64 |
26 |
7,8 |
202,8 |
676 |
9 |
8,5 |
76,5 |
81 |
27 |
8,6 |
232,2 |
729 |
10 |
8,3 |
83,0 |
100 |
28 |
5,4 |
151,2 |
784 |
11 |
7,7 |
84,7 |
121 |
29 |
4,1 |
118,9 |
841 |
12 |
7,9 |
94,8 |
144 |
30 |
3,6 |
108,0 |
900 |
13 |
8,0 |
104,0 |
169 |
31 |
5,7 |
176,0 |
961 |
14 |
8,5 |
119,0 |
196 |
32 |
6,4 |
204,8 |
1024 |
15 |
9,5 |
142,5 |
225 |
33 |
6,6 |
217,8 |
1089 |
16 |
6,3 |
100,8 |
256 |
34 |
6,4 |
217,6 |
1156 |
17 |
4,4 |
74,8 |
289 |
35 |
6,1 |
213,5 |
1225 |
18 |
5,0 |
90,0 |
324 |
36 |
6,8 |
244,8 |
1296 |
|
|
|
|
S, = 666 |
fc0=262,9 Ьг =4493,2 S2= 16206 |
||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а о = 262,9-0,11587 — 4493,2-0,0047619 = 9,06605, |
|
|||||
|
fli = 262,9 •0,00476194-4493,2 •0,00025740= — 0,09536. |
||||||
|
Итак, выровненные уровни задаются уравнением |
|
|||||
|
|
ух = |
9,06605 — 0,09536 х . |
|
|
||
32
Для определения погрешности подставим найденные зна чения параметров в левые части системы нормальных уравне ний (2, 16):
36 я0 + 666 = 262,9 |
666 а0 + 16206 aj = 4493,2 I
Получаем соответственно 262,868 и 4492,587. Отсюда от носительные погрешности равны:
262,90 — 252,87 |
■ 100% 0,01 % ; |
|
262,90 |
||
|
||
4493,2 — 4492,6 |
100% ^0,01% |
|
4493,2 |
||
|
Пример 2. Зависимость месячного выпуска продукции у от величины стоимости основных средств х. Оба показателя ок руглены до миллионов рублей. Уравнение корреляционной связи будем вычислять в виде параболы второго порядка. Фактические уровня даны в таблице 2.
Группы предпри |
/Месячный выпуск |
Среднее |
значе |
ятий по стоимости |
продукции у |
ние интервалов |
|
основных средств |
|
X |
|
0,5— 1,5 |
ю |
I |
|
1,5—2,5 |
12 |
2 |
|
2,5—3,5 |
28 |
3 |
|
3,5—4,5 |
40 |
4 |
|
4,5—5,5 |
42 |
5 |
|
5,5—6,5 |
52 |
6 |
|
|
Ь0 =184 |
2* |
=21 |
Таблица 2
ху |
хгу |
10 |
10 |
24 |
48 |
84 |
252 |
160 |
640 |
210 |
1050 |
312 |
872 |
О соо II |
Ьг =3872 |
Решение. |
Здесь т—3 и я = 6. |
Уравнение корреляционно |
|
го полинома |
имеет вид у j, = ao+ aiX+a2x2. |
Его параметры |
|
п0, щ, а2 находим по формулам |
(2, 22), а значения +, бе |
||
рем из приложения 2. |
|
|
|
Получаем: |
|
|
|
о0 |
= 3,2 •184 — 1,95-800 + 0,25-3872= — 3,2; |
||
я, = — 1,95-184+800 -1,369643 — 0,1875 |
3872 = 10,91424; |
||
о,2= 0,25 -184-— 0,1875 •800 •+ 0,0267857 •3872=—0,28577.
3 —9S4 |
33 |
Искомая зависимость будет
ух = — 3,2+10,914*— 0,286л:2
Для определения погрешности подставим значения пара метров в левые части системы нормальных уравнений:
|
|
§a0-\-2\al + |
91a2 = |
184 |
\ |
|
|
|
2la0 -f-91a,-f- |
441a2 = |
800 |
i |
|
|
|
91 a0+ 441a, + |
2275as= |
3872 j |
||
Тогда в правых частях получим |
соответственно 183,99; |
|||||
799, 97; 3871, 85. Относительные погрешности равны |
||||||
Si |
0,001 |
100% = 0,005%; |
32 |
0,03 |
100% =0,0037% ; |
|
184 |
800 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
0,15
100% =0,0004%
3872
§ 5. Теорема об определителе системы нормальных уравнений с равноотстоящими узлами
Если проследить изменение определителя системы нор мальных уравнений (1,4) с увеличением числа т, то можно усмотреть закономерности в изменении числителя и знаме нателя
(п— 1)п2(п+\)
Л2 | =
12
\Аа \
( П - 2 ) (/2 1 ) 2 я » ( я + 1 ) з ( п + 2 )
2160
(я—3) (я—2)» (п—I)3 и4 (я+1)3 (п+2)3 (л+3)
6 048000
\АЬ\ = (n—k+l)(n—k+2)2 (n—k+3)3... nk (л-Ы)*-1 (n+2)ft-2...
... (n+k—1) • Ck .
Здесь
1
2
с , =
12 ’
2 3
34
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
J _ |
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
k |
|
|
|
I |
i |
1 |
|
I |
[I! 2! ... |
(fe—l)!]3 |
2 |
3 |
4 |
' " Л+1 |
|||
|
|
|
|
|
k\ {k+\)\ |
... (2fe—1)! |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
k |
£+1 |
" 2k—1 |
|
|
||
— определитель Гильберта. Он является определителем сим метрической матрицы; в статистической литературе встреча ется в работе Б. С. Ястремского «Теория дисперсии как тео рия изменяемости».
Эти закономерности приводят нас к необходимости дока зать следующую теорему.
Определитель системы нормальных уравнений, коэффици енты которой имеют специальный вид
аи = |
ал - |
V] |
2 = |
Si+j-2 О ) , |
||
|
|
15Г |
|
|
|
|
вычисляется по следующей формуле: |
|
|||||
50 |
.. ■ 5ft_i |
С* П ( « - /) * “ т , |
||||
Sx 5a |
••• 5, |
|||||
|
|
(2,25) |
||||
Afc (Л) = |
|
|
|
|
||
■S/г—i Sk . •• 5 2(ft_i) |
|
|
|
|||
22ft-4 . |
32ft-6 . |
42fe-8 |
_ _ |
(fe—2)* (fe—l)2 |
||
где Ск |
|
32ft-3 . |
g2ft-5 |
_ |
_ (2&—3)3 (2fe—1) |
|
2*(ft—1) . |
||||||
Доказательство. Для суммы 5 имеет место формула (2,3).
3* |
35 |
Следовательно, Aft (п) может быть представлен в виде многочлена от п. Коэффициент при высшей степени этого многочлена равен определителю, составленному из коэффи циентов при высших степенях элементов Ак(п).
Таким образом Ck есть определитель Гильберта
|
JL j |
|
|
|
2 |
3 |
__ i_ |
J_ J_ J_ |
|||
2 |
3 |
4' |
ft+i |
С* = |
|
|
|
j___ i_ |
|
i |
|
к |
k+1 |
|
2k—l |
Очевидно, что при К —1 формула (2,25) справедлива. Пусть она справедлива для К=т. Покажем, что (2,25) имеет
место и при к = т + 1. |
|
|
|
|
|
По нашему предположению, (т— 1) |
является корнем для |
||||
дт (л)- |
строки |
определителя |
Ат{т — 1) |
линейно |
|
Следовательно, |
|||||
зависимы, т. е. существуют коэффициенты Ко, |
... |
Xm_i не |
|||
все равные нулю и такие, что |
|
|
|
||
X.S0 + |
|
Sm—l — О |
|
|
|
^0^1+ |
+ •••+ |
Ат-1 Sm = 0 |
|
, |
^ |
-Ь )'1Sm |
Хта_1 5г(т-1) = 0 |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
Без ограничения общности можно полагать последнее уравнение системы (2,26) следствием остальных и в дальней шем его не рассматривать.
Введем обозначение |
|
|
|
|
m—1 |
A (i) = ).а i° + Х.1 i1-{- . . . |
-Г >*m—i im_1 == |
V i-v' • |
|
|
Р=0 |
Преобразуем уравнение с номером р(р = 0, 1, 2,.., т—2) системы (2,26)
36
= 2 |
•p.°p+p. — |
S " s |
vP+H- — |
|
KS> |
u.=n |
\i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
m—1 |
m—1 |
|
p.=0 |
vs=l |
|
|
X,,. vP+i1 = |
|
|
|
||
m—1 |
гл—1 |
|
|
|
Следовательно, система (2,26) (без последнего уравнения) может быть записана в виде квадратной системы {т — 1)-го порядка относительно L(i)
1°L(1) + 2°L(2) + |
... |
+ (т — i)°L (m — 1) = |
0 |
1*1(1) 4 - 2 4 (2 ) + |
. .. |
+ {т — 1)11(от— 1) = |
0 |
lm1Z (l) + 2“ - ‘ L(2) 4- ••.4 - (да— \ym-^ L {tn — 1)=0
Определитель этой системы является определителем Ван дермонда и отличен от нуля. Таким образом все L (t)=0,
(/.= 1, 2, .... т — 1), значит X0Sa + XxStt+i+ ... +Xm_ 15a+m_ i= 0
Отсюда следует, |
что в определителе Am+i («) |
корень (т — 1) |
имеет кратность |
на единицу большую, чем |
в Ат(п). |
Покажем теперь, что A m+i (m) = 0. Введем обозначение
j
п1 , тогда Am+i (т) запишется в виде
т=1
+ т° |
+ т> ... |
S i?-" + тт |
5{m_1) + т > |
Si1"-11 + т * . . . |
S lf+ P + т ^ 1 |
4 т т~ х |
S iT ~ l) + т т . . . S iZ -i + т ? т~' |
|
S ^ l) + |
+ т ” . . . |
+ т ^ |
37
Если мы теперь осуществим линейную комбинацию с ко эффициентами А0, А,ь . . Хт—1 сначала для последних т строк, а затем для первых т строк, то получим определитель, который, очевидно, равен нулю.
|
S(0m- 1} + |
т° |
+ |
т> ... |
S % -X) + mm |
|
S(im_I) + |
/rc1 5 Г " 1) + |
яга ... |
5'r+l 1)+/ram+1 |
|
|
S^-Ta0 + |
тт- п- |
SjLm+~i1)+ « m- |
•••S fca '+ m 2'" -2 |
|
|
L(m) -f- mm~ l m l (m) + |
mm.. |
mmL (tn) -j- m2m~l |
||
|
|
|
|
|
. mm- lL{rri)~\-m2m |
Для |
завершения |
доказательства остается показать, ЧТО |
|||
А* (я) |
вместе с корнем п содержит и корень (—я). |
||||
Составим определитель
*0 4 •• ''ft-i
. . "ft
АЛ —«)
Ik-i ’'ft ••T2(ft—1)
п
где ^ ~ |
^ |
■ |
j=i
Нетрудно видеть, что Aft(/i) = Afe(—я) .
Этим теорема доказывается полностью
§ 6. Определитель Гильберта
Определитель Гильберта имеет вид
|
J__1__1_ |
1 |
А> = |
2 3 4 |
п-Н |
|
|
|
|
I___ 1___ 1_ |
__1__ |
я п + 1 п + 2 '" 2л—1
1 Теорема доказана совместно с М. Ш. Марьясиным.
38
Искомый определитель D = C k является частным случаем более общего определителя D
(Oi-f |
^i)-1 |
A + 6 = )-' • |
(an + |
bз)-1 |
(an + 62) 11 . |
при ai —i’ e t = i — 1
Вычислим определитель D.
Вынесем из каждого его столбца общий знаменатель это го столбца. Тогда
D = |
D' |
------------------------------------------------------------------ = |
П (ai+ &0 |
П (а« + ба)... |
П (ai+ ьп) |
г= 1 |
г= 1 |
г=1 |
|
D' |
|
|
П (ai+ ьк) |
|
|
I, *=1 |
|
|
(a2+^i) (o3“l-bi) (a4+ 6 J .. |
.(я„-Нч); (a2+ 6 2) (a3+ 6 2) . .. |
|||||
(ai~b^i)(^3+ ^i)(®4+ 6i). . . |
(an-f-6i); (йз-На) fas-fA) ••• |
||||||
(ai+&i) (a2+6,) (a4+6,) |
--- K + ^ i); (at+*2) (a,+*2) ( M A ) ••• |
||||||
|
A |
■+•A) A ~\~b\) (a* -f- b2) (<z4 -f- bx) |
... {(2„_i -j-bx); |
||||
|
|
|
|
|
(fl2-j-62) (a3-|-62) ... |
||
...(a n + |
b2);. .. |
(a2+ b n) (a, + |
£„) (a4 + |
6n) . . |
- K |
„) |
|
.. .(an + |
b2y, ... (a, + 6„) • (аз + |
6л)(а4 + |
6л)... |
(а „ + |
^п) |
||
•••K +& 2);... |
(a, + &„) (a. + |
&„) |
• (a4 + |
&„)•■• (a„ + |
6„) |
||
... (a„_! -)- 62), . .. (ttj - f bn) (a2 -j- 6„) (a, -j- &„) (a4 -f- bn) . ..
•■(an-l + bn)
39
Вычислим DK Для этого вычтем из г-той строки определителя (Н-1)-ю строку, где 1 = 1, 2, 3, . . п — 1. Тогда
(а2—й^П^+б,); (а2—а,)П (ai+bt)\
/= 3 /= 3
п
■••(a»—ai) П • (аН А )
1=3
(а3—а2) П (ai + &i); (^з—аа) П (аг + 6=);
/=1,4,5...л /=1,4,5, ... п
|
.. .(а3—а2) |
|
1К) |
|
D' = |
|
/=1,4,5, п |
||
|
|
|
|
|
п—2 |
|
|
|
|
(а„—ап_0 П ( а;+ 61); |
(я„—a«-i) П |
(«;+£=); |
||
/= 1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
л—2 |
|
|
|
. ,.(а п—а„_1)П |
(<*/+*„) |
||
|
|
/= 1 |
|
|
л—1 |
Л -1 |
|
Л —1 |
|
П (ar\~b1); |
П (« и -* .) ;••• |
П 0Д4-А) |
||
г= 1 |
г= 1 |
|
г= 1 |
|
|
|
Л—1 |
|
|
|
А |
П |
— аг)‘ |
|
|
|
i=1 |
|
|
Таким образом D1 делится на все разности вида ш+\—ai7 где i= l, 2, 3, п — 1. Очевидно, что и вообще, если мы выч тем из строки 1 определителя D 1 строку К, из строки 2— строку /С+1 и т. д., из строки п — /С+Л строку п, то окажется,
что |
Л—k |
|
|
|
|
|
|
D' = Dl |
П (Я| — ak+i-\) , |
k — 1,2,3,.. .,п, |
|
|
i=i |
|
|
т. е. D делится на все разности вида |
а,—ak, k Ф i |
. Так как |
|
определители |
D и D1 симметричны |
относительно |
а и б, то |
40