книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

Теперь, опираясь на положения первой главы, можно пе­ рейти к изложению основного материала с использованием понятия о квадратичных формах, отмечая, кстати, что изложе­ ние метода наименьших квадратов с точки зрения математи­ ки можно вести различно. Французский математик А. Андуайэ применил для этого теорию квадратичных форм, которая занимает видное место в работах Эрнесто Чезаро [15] и Н. И. Идельсона [8].

Г ЛАВА II

СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§ 1. Квадратичные формы

Определение нормальной системы

Нормальные системы встречаются при решении многих вопросов экономико-статистического анализа, главным обра­ зом при использовании метода наименьших квадратов для аппроксимации и обработки эмпирических данных.

Прежде чем ввести определение нормальной системы, да­ дим понятие квадратичной формы.

Целый однородный полином второй степени от п перемен­ ных называется квадратичной формой этих переменных.

В общем случае квадратичная форма имеет вид -

21

Наоборот, для всякой симметрической матрицы ||а;у|| можно построить соответствующую квадратичную форму

( 2, 2) .

Квадратичная форма (2, 1) называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положи­ тельные (отрицательные) значения, обращаясь в нуль лишь при Xi=X2 = . . .= хп =0. Подробное изложение этого вопроса можно найти в работе [7].

Определение. Линейная система SП

i=\

называется нормальной, если:

1. Матрица коэффициентов А — || |) — симметрическая.

2.Соответствующая квадратичная форма

ПП

и= ^ ^ a ^ X i X j — положительно определенная. i=l ;=1

§ 2. Суммы степеней натуральных чисел

Числа Бернулли

Существует два главных направления в практике аппрок­ симации функций методом наименьших квадратов.

1.Приближение осуществляется с использованием орто­ гональных полиномов.

2.Ортогональные полиномы не используются.

Отдавая должное первому направлению, мы избрали вто­ рой путь, применив для решения систем нормальных уравне­ ний формулы сумм степеней натурального ряда чисел в раз­ личных модификациях.

Ряд натуральных чисел принадлежит к таким фундамен­ тальным творениям человеческой культуры, что изучение свойств этого ряда, в частности, нахождение формул сумм степеней натуральных чисел и сумм четных степеней нату­ ральных и нечетных чисел привлекло внимание многих круп­ нейших математиков и статистиков.

Еще в XVII веке И. Фаулхабер (1580— 1635) в «Продол­ жении нового чудесного искусства» привел суммы одиннадца­ ти первых степеней рядов вида:

1г + 2' + 3' + ... + /гг .

Хотя вывод у Фаулхабера отсутствовал, можно .полагать, что он составил такие суммы для первых значений i. Позднее

22

Фаулхабер вычислил суммы степеней целых чисел до Еп17 и при этом получил первые восемь чисел Бернулли. Фаулхабер приводит формулы этих сумм в виде многочленов, которые он не смог разложить на множители, так как теорема Безу появилась позже.

Профессор Франк Александр Росс из Колумбийского Уни­ верситета пишет, что наиболее известными таблицами для суммирования степеней первых п натуральных чисел являют­ ся «Таблицы для статистиков и биометриков» под редакцией Карла Пирсона, в которых имеются суммы первых семи сте­ пеней натуральных чисел до я=100 включительно. 1 Росс го­ ворит, что он не знает подобных таблиц для сумм степеней нечетных чисел и предлагает несколько простых формул для подсчета таких сумм до 56 включительно. Таким образом его небольшой по объему реферат является попыткой «закре­ пить» приоритет в этом вопросе.

Внашей работе кроме формул для сумм степеней первых

пнатуральных чисел применены аналогичные формулы для сумм четных степеней натуральных чисел и сумм четных сте­ пеней нечетных чисел до 5ю включительно.

При дальнейшем изложении нам потребуется вычисление

следующих сумм:

Общая формула для отыскания таких сумм имеет вид [16]

В данной работе мы несколько раз будем применять числа Бернулли, .получающиеся из многочленов Бернулли. Эти мно­ гочлены играют большую роль в математическом анализе

1 Ф. А. Росс. «Формулы для облегчения расчетов при анализе вре­ менных рядов» Журнал американской статистической ассоциации 1425, март

23

и имеют ряд важных приложений; о них существует обшир­ ная литература, в которой приводятся специальные таблицы чисел Бернулли.

Я. Бернулли при изучении свойств сумм степеней после­ довательных натуральных чисел с натуральными показате­ лями получил формулы многочленов, носящих его имя. Фор­ мулы для первых десяти многочленов имеют вид

В0(х) = 1

в1(х) = x ~ Y

В2(х) = х 2— + ~

в ч(х) = х 7 — - j xS + \ х ь — Y x3 + х

24

Приведем значения нескольких чисел Бернулли 1 (пропу­ щены числа, равные нулю).

Все Бернуллиевы числа с нечетным значком равны нулю,

1

кроме В1— Бернуллиевы числа с четными значками име­

ют поочередно знаки плюс и минус.

§3. Системы нормальных уравнений

сравноотстоящими узлами 2

(общий случай)

1. Постановка задачи

Очень многие вопросы теории и практики из области ста­ тистики, экономики и техники приводят к следующей задаче. Для п значений аргумента

известны п значений «экспериментальной» функции

( 2, 6)

Требуется найти аналитическое выражение «теоретиче­ ской» функциональной связи

дающее в некотором смысле наилучшее приближение экспе­ риментальной функции.

После того как вид теоретической функциональной связи (2, 7), исходя из конкретных соображений рассматриваемо­ го вопроса, избран в виде семейства функций, зависящего от т параметров

25

при которых функция (2, 8) дает наилучшее, в некотором смысле экстремальное приближение функции (2, 6). Будем искать функциональную связь на множестве многочленов сте­ пени т — 1. Тогда теоретическая функциональная связь бу­ дет иметь вид

Наиболее распространенным и теоретически обоснован­ ным методом аппроксимаци является метод наименьших квадратов. Согласно этому методу значения параметров (2.9), при которых достигает минимума выражение

П

и Ь1= у1х\ + у2х [-\ -.. .+ упХп = ^p1iji x j(i=Q,\,t ...,m-\)(2, 12)

;=1

Практически наиболее важен случай равноотстоящих уз­ лов, т. е. случай, когда

Если произвести линейное преобразование

1

t = —^ ~ (x — x 1) + 1 ,

то новый аргумент t будет принимать при х = х и х2, ..., х п первые п натуральных значений 1, 2, ..., п, а коэффициенты и свободные члены системы нормальных уравнений (1,4) со­ ответственно равны:

26

То обстоятельство, что коэффициенты (2, 13) системы нор­ мальных уравнений имеют специальный вид сумм степеней первых п натуральных чисел, позволило для 5 решить си­ стему в общем виде.

При этом искомые параметры выражаются в виде линей­ ных форм

27

Матрица А2 системы (2, 17) имеет определитель

отличный от нуля. Поэтому система (2, 17) имеет единствен­ ное решение, для нахождения которого вычислим обратную матрицу к матрице А2:

(2,18)

6_________ 12

(n—l) II (П— 1) П (/2+ 1)

Здесь через Atj обозначаются алгебраические дополне­ ния (адъюнкты) элемента матрицы, стоящего на пересече­ нии i-ro столбца и /-й строки. Обозначим элементы матрицы

(2, 18) через = 1,2) . Здесь нижние индексы указыва­ ют соответственно номера строки и столбца матрицы, а верх­ ний индекс 2 — число уравнений системы (2, 16). Таким об­ разом

В этих обозначениях решение системы (2, 17) имеет вид

й-а= Тп — Tl2 bi

(2,20)

fll= —T2|60-f Т22 bt

28

На ЭВМ по формулам (2,19) были вычислены коэффици­

енты угу линейных форм (2, 20) для п от 2 до 50 включи­ тельно и сведены в таблицы. Таким образом решение систе­

где Si выражаются в соответствии с (2, 3):

29

3 Л8 3 _______________180____________

Т з з _ |Л| "" (л -2 )(л -1 )л (л + 1 )(л + 2) ;

зЛ33_______________—180_________

Т23= I Л3 I “ ( л - 2 ) ) (л -1 ) л (я+?) '

Решение системы (2, 21) имеет вид

«о = Tii Ь0— т?2 Ьг + 7?3 Ь2

где коэффициенты 5г выражаются в соответствии с (2, 3) :

30