книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

ли очень удобные таблицы множителей для вычисления пара­ метров параболических уравнений. 1

В 1963 году вышла книга Н. С. Четверикова [17], в кото­ рой помещена небольшая по объему, но весьма содержатель­ ная статья «О технике вычисления параболических кривых». В этой статье приводятся те же таблицы множителей.

В. Д. Пирятин дает подробную разработку формул, уп­ рощающих технику вычислений при использовании метода наименьших квадратов, и приводит общее решение полиномов степени т. [11]

Д. Р. Каустон предлагает таблицы и способ их использо­ вания для построения полиномами кривых регрессий .по ме­ тоду наименьших квадратов. Таблицы дают возможность подбирать многочлен до 4-го порядка только при двенадца­ ти равноотстоящих значениях абсцисс, но тем не менее его работа имеет общий характер. 2

В последнее время в НИИ ЦСУ СССР группа научных сотрудников под руководством Е. А. Александрова вела ра­ боту эвристического характера с целью испытания способа выравнивания динамических рядов (экспериментальная пси­ хология). Группе испытуемых студентов были предложены задачи на выравнивание с целью объединить прошлый опыт или привычки в законе гомогенности (опыт в психологическом поле).

Был разработан метод трех параметров, метод ветвящихся процессов и т. д. Полученные кривые математического урав­ нения не имеют, упрощения в вычислениях при ручном счете

Оказалась возможной значительная формализация вычис­ лительного процесса. Это обстоятельство намного расширило круг задач, допускающих практическое решение. Однако из этого вовсе не следует вывод об эффективности ЭВМ во всех случаях. Известно, что надежды, возлагавшиеся на внедрение ЭВМ, оправдывались не всегда.

Поэтому к помощи ЭВМ следует прибегать только тогда, когда это экономически обосновано.

§ 3. Постановка задачи

Пусть дана система, состоящая из т функций

2 «Биометрике», Нью-Йорк, 1968, № 2.

11

определенных на отрезке [а, в] и линейно независимых, т. е. таких, что ни одна из этих функций не является линейной комбинацией остальных. Выражение вида

аппроксимации таких функций являются: 1) наилучшее сред­ нее приближение (метод наименьших квадратов) и 2) наи­

f{xt)— Pm- 1 (Xi)

;= 1

называемая квадратичным отклонением.

Метод наименьших квадратов заключается в минимиза­ ции величины е.

В качестве системы { <р,-(л')} на практике используются системы функций двух видов

а) фо(х) = 1, (pi (х) =х, ..., <pm-i (х) = х т~1 ;

б) ортогональные полиномы Чебышева.

Каждая из этих систем применяется в методе наимень­ ших квадратов.

В случае а) обобщенным полиномом является обычный

12

Для достижения минимума квадратичного отклонения приравняем к нулю частные производные от величины

приняты ортогональные полиномы Чебышева, принципиаль­ но не отличается от разобранного выше случая а), однако, имеет преимущества при машинном и ручном счете.

13

П

если ^ ф (л;) •ф (лу) = 0 i=s0

Система функций { <р,- (л )} называется ортогональной на данном множестве X, если все функции системы попарно ор­ тогональны.

Для случая равноотстоящих узлов задача минимизации суммы квадратов отклонений решена Чебышевым в работе «Об интерполировании величин равноотстоящих» [15], где Чебышев вводит линейную замену переменной таким обра­ зом, что значения узлов представляются натуральными чис­ лами.

Для этого случая В. И. Хотимским впоследствии были вычислены таблицы, определяющие числовое значение поли­ номов Чебышева и сумм их квадратов (числа Чебышева) [13].

При вычислениях с помощью таблиц ряд значений аргу­ мента заменяется рядом этих чисел.

Для полинома первого порядка (прямая линия) исполь­ зуется один ряд чисел Чебышева — pi,

У\= а+ Ррь

для полинома второго порядка (квадратичная парабола) бе­ рется два ряда чисел Чебышева — р\ и рч, Уч—о.+^>Р\+УР2 , а для полинома третьего порядка (кубическая парабола) бе­ рется три ряда чисел Чебышева — р\, рч и р3, г/3= а + р /?1+ + У/?2+ брзРяды чисел Чебышева в таблицах приводятся для значений аргумента от п = 5 до л = 50 [13].

Каждое число Чебышева умножается на соответствующее значение функции «у», все .произведения суммируются, и

14

Применение таблиц с использованием чисел Чебышева позволяет упростить вычисления и дает возможность после­ довательно повышать порядок полинома, причем результаты всех предыдущих вычислений полностью используются при дальнейших расчетах. Теоретическое обоснование метода на­ именьших квадратов при помощи полиномов Чебышева про­ изведено академиком В. С. Немчиновым [10].

Приведем пример аппроксимации (наилучшее среднее приближение), когда за основную систему функций приняты ортогональные полиномы Чебышева.

таблицы № 1. Обработаем эти данные в полиномах Чебыше­ ва для равноотстоящих величин.

Для перехода к натуральному ряду чисел введем пере­ менную х. В табл. 1 приведены числа Чебышева для равноот­ стоящих величин Р 1, Р2, Р3 и суммы их квадратов при п = 10.

хорошо производится аппроксимация, вычислим коэффициен­ ты для полиномов 1, 2 и 3 порядков.

Так как полиномы Pt — симметричны, можно вести даль­ нейшие вычисления только для верхней части ряда, но часто­ ты нужно предварительно преобразовать. Для нечетных по­

Полином 3-го порядка Уз= 100+4.44Р, + 0,165Р2— 0,015Р3

№

Полином Pm—i {x) = a l + a'\ x-\~... -\-an-i x m~1,

построенный с этими коэффициентами, называется полино­ мом, осуществляющим на отрезке [а, в] наилучшее равномер­ ное приближение функции f(x). Говорят также, что полином

1 (х) на отрезке [а, в] наименее уклоняется от данной функции f(x) (по сравнению со всякими другими полинома­ ми той же степени), при этом

Дот- i = min { max|/(x)i°m_i (л)| j ,

называется наилучшим равномерным приближением данной функции / (дг) на отрезке [а, в] посредством полиномов сте­ пени т— 1.

Если Р (х) — произвольный полином (т — 1)-й степени, а Рт - 1 (х) — полином наилучшего равномерного приближе­

max |f {х) — Pm_i (.v) |> max |f (л') — Р*т - 1(л) |= Am-i

Геометрически это означает следующее: если построить три кривые lo, h и /2 по уравнениям

l0:y = f(x); у = /(jc)-f- Am_ i ; y — f (х)— Дт-1

18

обязательно выйдет за пределы этой области. Иначе (рис. 2)

кривая у = Дт-i — f(x) — Р*т —1(х), а ^ х - ^ Ь

не выходит за пределы горизонтальной полосы шириной

бирается так, чтобы кривая у —Kn-i = f{x ) —P*m-\(x)уместилась в горизонтальной полосе наименьшей ширины, симметричной относительно оси О х\ при среднем приближении полином Р т - 1 (лг) надо подобрать так, чтобы величина

называемая средним квадратичным отклонением, обращалась в минимум (рис. 2).

При среднем приближении кривая у ~ Р т-\{х) близко подходит к кривой y = f(x ), хотя в отдельных точках возмож­ ны большие отклонения (рис. 3). При равномерном прибли­ жении эти отклонения сделаны наименьшими (рис. 3).

Мы видели в § 4, что коэффициенты полинома Pm_ i(x), осуществляющего наилучшее среднее приближение данной функции, могут быть найдены из уравнений (1, 4).

общего метода, как для построения полинома Рт-\ (*)• П. Л. Чебышевым было доказано, что «для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], существует единственный

обобщенный полином P*m- i (х), осуществляющий равномер­ ное наилучшее приближение; указанный полином характери­ зуется тем необходимым и достаточным свойством, что раз­

ность f ( x ) — Р т* - 1 (х) достигает на отрезке [а, в] своего на­ ибольшего модуля L по крайней мере т+ 1 раз, последова­ тельно меняя знак» [1].

В некоторых простейших случаях это утверждение позво­ ляет решить задачу о нахождении такого полинома до кон­ ца.

Однако, как говорит акад. С. Н. Бернштейн: «В общем случае о точном решении этой задачи не может быть и ре­ чи»

1 Имеется в виду ручной счет.

20