книги из ГПНТБ / Гинзбург Г.Л. Руководство по использованию метода наименьших квадратов в экономико-статистических расчетах учеб. пособие

Теперь параметры вычислим по формулам (§ 2):

10= 6,97759 — 5,50236 = 1,47523;

Х1== 1,14752 + 1,13110 = — 0,01641;

ла = — 0,02961 + 0,04085 = 0,01124;

Х3 = — 0,0039948 + 0,0048099 = 0,0008151

Уравнение (3, 25) после подстановки полученных парамет­ ров примет вид

Ввиду малости коэффициента Хз, есть основание пола­ гать, что выравнивание по суперпозиции 2-го порядка тоже даст хороший результат.

Чтобы упростить расчет yt и построить график получен­ ной функции, прологарифмируем обе части выражения

(3, 26)

\gyx - 1,48—0,016* +0,011** + 0.0008*3

Найденные значения lgyt см. в табл. 25.

101

Т а б л и ц а 24

t

1,484311,475 1,545 1,754 2,134 2,715 3,546 4,644 6,049 7,793 9,911

После получения значений lgyt наносим на график вы­ ровненную кривую. На рис. 20 изображен график изменения денежной массы во время инфляции в Германии (1919— 1923 гг.) '.

1 Проф. А.Я. Боярский в работе [2] пишет, что... «в экономической области трудно найти более яркий пример преимуществ, которые имеет логарифмическая шкала, чем при изображении изменений в области финан­ сов и цен в период крупной инфляции».

102

По оси абсцисс откладываем / в линейном масштабе, а по

оси ординат lgyi н lgyt

§9. Приспособление методологии прогноза

кручному счету

Одним из нерешенных в настоящее время вопросов приме­ нения математико-статистических методов в практике прогно­ зирования является приспособление существующей методоло­ гии к «ручному счету». Это приводит к тому, что расчеты ве­ дутся короткими цепочками, прерываемыми неформализуемыми в настоящее время операциями: планирования «от базы» и «экспертными оценками». Перевод таких расчетов на вычис­ лительную технику весьма сложен: требуются надежные тео­ ретические модели оценки параметров различных по форме зависимостей данных наблюдений.

Весьма распространенным аналитическим методом прогно­ за является экстраполяция динамического ряда, выровненно­ го при помощи полиномов различных порядков, а также при помощи различных суперпозиций: полинома и экспоненты, по­ линома и .ригоер'болы .и т. д. При использовании суперпозиций высоких степеней применяются различные методы, сводящие процесс отыскания параметров к серии простых операций на счетно-клавишных машинах и облегчающие труд экономистаисследователя. Такие методы часто применяются при прове­ дении обширных экономических расчетов. •■

Наиболее распространенными методами выбора степени полинома являются подбор кривых различных видов по мини­ мальной величине остаточной дисперсии (критерий F), приме­ нение полиномов Чебышева и др. в разумном сочетании с эко­ номическими соображениями, «экспертными оценками» и т. д.

Однако повышение степени полинома ведет к усложнению вида искомой функции и увеличению числа параметров, под­ лежащих определению. Эти и другие соображения, подтверж­ денные расчетами, приводят к мысли, что задача экстраполя­ ции на незначительный период оптимально решается с по­ мощью полиномов и суперпозиций степени не выше третьей, а задачу прогноза на продолжительный период времени луч­ ше всего решать с помощью полиномов и суперпозиций степе­ ни не выше второй, так как они дают более «устойчивый» тренд.

Пример. Рассмотрим данные о численности населения .

СССР за период с 1950 по 1969 годы в оценке на 1 января, приведенные в статистическом ежегоднике «Народное хозяй­ ство СССР в 1969 году».

103

В таблице 26 выписан ряд динамики за п= 20 лет (число точек эксперимента — четное п—2 к, откуда &=10). Произве­

нат в середину динамического ряда. Параметры системы нор­ мальных уравнений (3, 11). определим по формулам (3, 12).

104

Произведем экстраполяцию на 1970 год, для чего в уравне­ ние кубической параболы подставим t=2\.

Получим, что у t= 241,1. Фактически по переписи 1970 го­ да численность населения СССР составила 241,6 млн. чел. (на

Относительная погрешность 6=0,25%,.

Такая точность в большинстве экономических исследова­ ний считается достаточной, так как аппроксимируемые вели­ чины точно известны не всегда и невозможно учесть все дей­ ствующие факторы.

Выровняем тот же ряд по суперпозиции полинома и экспо­ ненты третьего порядка вида

=1Q2,32+0,0038;—0,00002f’ —0,0000 Ог:3

105

Подставим в полученное уравнение t= 21.

Тогда

Д= 242,1—241,7=0,4 млн. чел.;

6=0,15%,.

В данном случае экстраполяция привела к более точному результату.

Если учесть, что оценка численности населения в статисти­ ческом ежегоднике дается на 1 января, а перепись населения произведена 15 января 1970 г., то результат экстраполяции окажется практически достоверным.

Произведем прогноз численности населения СССР на

1980 год:

а) по параболе 2-го порядка вида

Параметры параболы определены по формулам:

а0 = тп h — Г is Ьл=0 ,11297 -4203,5-0,00047 -557752,3 =

=210,79645;

04= 7226! = 0,000376-4451,1 = 1,67335;

а2= — 7з1 Ь0+ т13 Ь2= — 0,00047 •4203,5+0,00000356 ■ ■557752,3 = 0,00467.

Уравнение параболы будет

yt = 210,8+ 1,67^ — 0,0047^

106

Подставив в это уравнение / = 41, получим прогнозируемую величину =271,5 млн. чел.;

б) по суперпозиции полинома и экспоненты вида

у = 1 + +

Параметры суперпозици по формулам (3, 12) соответст­ венно будут:

сг0= 5 ,24359; «1= 0,00349; а2 = — 0,00002.

Уравнение суперпозиции получит вид

105'24+0’00з;~0’00002''2

При t = 41, г/t = 102'428 lg г/t = 2,428.

Прогнозируемая величина г/t =267,8 млн. чел.

§ 10. Экспериментальная проверка модифицированного метода

В мае—июне 1968 г. с целью испытания методов выравни­ вания статистических рядов и составления корреляционных

Г. В. Плеханова был поставлен педагогический эксперимент.

Две группы студентов II курса финансового факультета (№№ 921 и 922) в течение 6 часов изучали метод последова­ тельного исключения и модифицированный метод. Столько же времени они обучались выполнению расчетов на клавишных арифмометрах. После этого дважды была проведена экспе­ риментальная контрольная на составление корреляционного уравнения и выравнивание динамического ряда по параболе второго порядка.

В аудитории имелись малые вычислительные машины раз­ личных типов, на каждой машине работали по три студента.

Кроме того, 922 группа была снабжена специальными таб­ лицами коэффициентов для выполнения расчетов модифици­ рованным методом. (Количество таблиц было недостаточным).

Все исходные данные были выписаны на доске.

107

Задание 1 предусматривало решение задачи на составле­ ние корреляционного уравнения. Требовалось определить за­ висимость урожайности от количества удобрений.

исключения неизвестных. Первый правильный результат по­ ступил из 922 группы через 30 мин., из 921 группы через 1 час. 30 мин. Таким образом применение модифицированного мето­ да при решении этой, довольно простой, задачи дало эконо­ мию времени в три раза.

В задании 2 была предложена задача на выравнивание

Первый правильный результат поступил из 922 группы че­ рез 1 час, из 921 группы через 4 часа. Таким образом приме­ нение модифицированного метода дало экономию во времени в 4 раза '.

§ 11. Практические рекомендации и выводы

При выравнивании статистических рядов целесообразно переносить начало координат в середину рассматриваемого периода. В этом случае формулы для определения парамет­ ров уравнения связи еще более упрощаются, а объем вычис­ лительной работы сводится до минимума.

Таблицы, применявшиеся для общего, нечетного и четного случаев, с успехом могут быть использованы для нахождения параметров экспоненциальной формы связи.

1 Несколько студентов из обеих групп с задачей вообще не справились,

ГОВ

Решение конкретной задачи обычным способом с помощью ЭВМ при больших значениях т и п требует ввода в машину 10— 15 значных чисел и ЭВМ «решает» систему «округлен­ ных» нормальных уравнений. При вводе в машину наших фор­ мул получается точный ответ через число k в таком виде, ко­ торый пригоден для окончательных расчетов.

§ 12. Замечания к пользованию таблицами

При пользовании таблицами необходимо иметь в виду, что перед каждой мантиссой нуль опущен. Округление всюду про­ изведено с недостатком. Запись чисел в плавающей форме с одинаковым количеством знаков в мантиссе обеопечивает для всех чисел одинаковую относительную погрешность. Пе­ ред тем как возникает необходимость воспользоваться табли­ цами, рекомендуется просмотреть решение одного из приме­ ров, приведенных в работе.

Лример. Найти 7з2 при га= 17, пользуясь приложением 1.

в естественной форме (с фиксированной запятой)

Тз2 = 0,0023219814

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в,работе, уже опубликованы в не­ которых статьях и успешно внедряются в практику в таких организациях как Отдел внедрения математических методов и ЭВМ в планирование народного хозяйства Госплана РСФСР, Отдел экономико-статистического анализа ЦСУ -РСФСР, Отдел выборочных методов НИИ ЦСУ СССР, Все­ союзный научно-исследовательский институт торгового маши­ ностроения, ЦЫИЛ при .Главном управлении государствен­ ных материальных резервов, МИНХ им. Г. В. Плеханова, Мос­ ковский экоиомикощтатистический институт, Высшая школа профдвижения, Всесоюзный .науяно-исследовательский инсти­ тут по изучению спроса на товары широкого потребления и

•конъюнктуры торговли.

Полученные .результаты дают возможность сэкономить -время и труд -экономиотов-практиков и исследователей при решении широкого жруга экономико-статистических задач, а так же высвободить время работников ВЦ для выполнения 'массовых 'трудоемких 'расчетов.

.109

Использованию предлагаемого метода должен предшест­ вовать экономический анализ, позволяющий предположить наличие математического закона изменения данного процесса или явления. Метод прост, удобен и надежен. Одним из его достоинств является то, что для его применения нет необходи­ мости изучать всю предпосланную ему теорию. Вычислитель­ ные процедуры легко формализуются на счетно-клавишных машинах.

Решать задачи регрессивного анализа и выравнивания ди­ намических рядов смогут специалисты среднего звена, не имеющие высшего или специального образования. Метод дает экономию в расчетах и во времени в 3—4 раза и сокращает количество записей в 6—8 раз. Точность расчетов по данному методу весьма высока, относительные погрешности не пре­ высили 0,07%,.

Еще П. Л. Чебышев говорил: «Практика ищет всегда самого лучшего, самого выгодного» [15].

Для использования приведенных в работе вычислитель­ ных методов желательно применять счетно-клавишные маши­ ны, обладающие запасом не менее десяти знаков. Применение этих машин сокращает затраты труда при вычислениях в 2,4 раза ’ .

Большое количество экономических примеров иллюстри­ рует применение предлагаемого метода в экономических ис­ следованиях. Прежде чем решать данным методом специаль­ ную задачу экономист может выбрать для ориентации наибо­ лее подходящий для него пример.

В настоящее время в сфере материального производства, во всех звеньях социалистического строительства и особенно в области экономики, резко возрастает значение труда эконо­ мистов, инженерно-технических работников, работников науч­ ных учреждений, которые затрачивают огромное количество времени на выполнение различных расчетов.

Внедрение прогрессивных систем и методов расчетов с ис­ пользованием ЭВМ даст огромную экономию затрат общест­ венного труда.

Автор будет считать свою задачу выполненной и цель до­ стигнутой, если предлагаемый модифицированный метод вы­ равнивания статистических рядов пробудит интерес у эконо- миста-исследователя и будет использован при решении ак­ туальных экономических проблем.

Чрезвычайная признательность заранее выражается за всякие указания и, в особенности, за постановку новых эконо­ мико-статистических задач, в которых с успехом могут быть применены методы, изложенные в работе.

1 В. С. К р а сн и ц к и й. Применение ЭЦВМ в математической стати­ стике, Куйбышев, 1967 г.

110