книги из ГПНТБ / Монахенко Д.В. Исследование сейсмостойкости бетонных плотин на моделях математические модели, условия подобия и их реализация в модельных исследованиях

с различными типами граничных условий содержатся в работах (154, 155]. Для пространственных задач известно, что решения, как правило, являются рацио­ нальными функциями коэффициента Пуассона [99—100], однако эта информа­

сейсмограммы или дважды проинтегрированные акселерограммы конкретных реальных землетрясений '. В силу постоянства масштаба т ио модель должна быть подвергнута соответственно подобной по амплитудам, длительности и

и спектр частот определены размерами и материалами натурного сооружения и его модели (условия подобия 3.14—3.15). Практическая реализация такого «модельного землетрясения» связана с преодолением значительных технических трудностей и требует создания испытательных стендов и платформ с авт.оматическпм программным управлением. Работы по созданию такого оборудова­ ния ведутся в СССР, и за рубежом [101— 104, 156—158]. Одна из главных труд­ ностей заключается в необходимости удовлетворить требованиям, предъявляе­ мым к техническим характеристикам оборудования, содержащимся в условиях

(3.14—3.15).

В настоящее время испытания моделей плотин проводятся или при гар­ монических воздействиях определенной частоты, или при импульсных, причем моделируются амплитуды, соответствующие определенной балльности земле­ трясений [73—77, 80—82, 105—111]. При таких испытаниях реальные сейсмиче­ ские воздействия «сильно» схематизированы, а соответствующие результаты модельных исследований позволяют дать только приближенную оценку поведе­ ния натурного сооружения. Очевидно, что при этом степень приближения ос­ тается неустановленной.

Усложним схематизацию (3.4) путем рассмотрения системы (3.3) с урав­ нением состояния для линейного вязко-упругого тела. Соответствующую систе­ му уравнений запишем в виде [58]:

где £o, v0— мгновенные динамические значения, Г, N — ядра продольной пол­ зучести и поперечной релаксации, остальные обозначения тождественны (3.4).1

1 Вопросы точности такого приближения и несоответствия записей переме­ щений и ускорений одного и того же землетрясения здесь не рассматриваются, так как требуют отдельного анализа.

20

Производя е (3.1&, 3.19) процедуру, аналогичную (3.5—3.7), получаем следую­ щую систему условий подобия:

Реализовать условия (3.20) практически трудно дйже в случае подбора модельного материала только по функциям продольной ползучести, поэтому если эксперимент'ведется на модели из полимерного материала, то диапазон натурных материалов, на которые могут быть перенесены, его результаты, ока­ зывается весьма узким.

В вязко-упругости применяется частотный метод определения характери­ стик ползучести и релаксации, в основе которого лежат две серии опытов [18]. Периодическая ползучесть исследуется на образцах, находящихся под дейст­ вием периодического напряжения, измеряются амплитуда деформации и сдвиг фаз между деформациями и напряжениями. Связь между девиаторами напря-

где е°тп — амплитуда деформации;/(ш), g(u>) — частотные характеристики сдвиговой периодической ползучести. Аналогичным образом могут быть из­ мерены частотные характеристики / , (ш) и g, (<■>) объемной периодической1

1 На эту особенность условий подобия нам указал Л. К. Малышев.

21

ползучести на образцах, помещенных в камеру с пульсирующим давлением1. Соответствующие ядра определяются интегралами Фурье, например,

оо

К (t ) = J К* (“ ) ехр (Ш) d<n.

о

Периодическая релаксация исследуется на образцах, находящихся под действием периодической деформации. Измеряются

которые называются частотными характеристиками сдвиговой периодической

Всистеме (3.20) условия (3.27) заменяктдва последних.

Впрактике используют упрощенную схематизацию [18, 114]: считается, что объемное деформирование (связь между относительным изменением объема 6 и средним давлением з) упругое

не зависит от частоты.

Соответственно из (3.24, 3.25, 3.28, 3.29) имеем условия подобия:

В этой системе необходимо задать значения четырех масштабов. Модельный материал должен удовлетворять следующим условиям:

1 В лабораторной практике обычно определяют характеристики периоди­ ческой ползучести при продольной или изгибной деформациях стержневых об­ разцов, а характеристики объемной ползучести вычисляют.

22

гости). Необходимо отметить, что распространение такой схематизации на частоты, при которых /(ы ) Ф const, не обосновано и может привести к оши­ бочным результатам.

В качестве примера, иллюстрирующего трудности реализации подобия не­ линейных задач, получим условия моделирования динамической задачи квад­ ратичной теории упругости при граничных условиях, тождественных (3.3). Уравнение состояния (2.13) является источником условий подобия:

Эту систему необходимо дополнить условиями подобия уравнений дви­ жения, формул Коши и граничных условий:

Условия (3.33 — 3.34) существенно ограничивают диапазон модельных материалов:

и, что самое существенное, если даже материал для модели подобран, то подобие возможно только при фиксированном уровне перемещений и0м, а,

Из (3.35), например, следует, что изменение и0м (при фиксированном и0”) возможно только на модели из того же материала, но другого масштаба гео­ метрического подобия, т. е. необходимо изготовлять новую модель: уровни де­ формаций и напряжений в модели могут оказаться или недостаточными для измерений, или превосходить предел прочности и т. д.

Перечисленные трудности вообще присущи нелинейным задачам. Так, если моделируется геометрически нелинейная задача, т. е. формулы Коши имеют вид

К аналогичному результату приходим в (3.33) при тх

Получим условия подобия упруго-пластических задач, схематизированных по теории малых упруго-пластических деформаций. Уравнения состояния за­ пишем в виде:

при нагружении

23

при разгрузке (см. 2.16)

Трудности подбора модельного материала, удовлетворяющего условиям

(3.38), очевидны.

Перейдем к учету в модели влияния водной среды. Для сооружения выбе­ рем линейно-упругую схематизацию (3.4) без объемных сил, для воды — про­ стейшую (идеальная несжимаемая жидкость), описываемую (2.27), граничные условия в виде (2.32). Эти уравнения с учетом соотношения

дФ р = Ро dt

приводят к условиям подобия (3.13) и дополнительным

где /Ир — масштаб давлений в жидкости, тро — масштаб плотностей жидко­ сти, Рассматривая (3.13) и (3.39) совместно, получаем:

Система (3.40) позволяет задать четыре масштаба. Однако при выборе в качестве таковых пц, mf, тЕ и таа имеем

л Н

Ро

т. е. при/йртМ в модели необходимо применять жидкости, отличные от воды: при /Пр<1 более тяжелые, при т р>1 более легкие, что вызывает известные

выше, к повышению частот в модели.

Для учета в модельных исследованиях влияния сжимаемости воды необ­ ходимо вместо (2.27) исходить из уравнения (2.26), которое дополнит систему (3.40) условием

т Е

(3.42)

те/ пм

Это условие при шр = т с0=1 не позволяет изготавливать модели из низ­ комодульных материалов. Совместное рассмотрение (3.39) и условий подобия

24

других схематизаций сооружения может быть проведено аналогичным образом. Анализ условий подобия, полученных анализом размерностей, содержит рабо­ та [115].

Необходимо отметить, что ряд модельных исследований проводился с уче­ том воды в верхнем бьефе, но условие подобия (3.41) при этом не соблюдалось. Однако результаты этих исследований позволили качественно оценить влияние водной среды на динамические характеристики бетонных плотин [116].

Рассмотрим условия подобия схематизаций основания. Необходимость учета податливости основания при определении напряженно-деформированного состояния бетонных плотин общеизвестна. Уравнения, описывающие напряжен­ ное состояние основания, аналогичны уравнениям для тела плотины, поэтому следующие из них условия подобия тождественны полученным выше. Если основание схематизируется в виде прилегающих друг к другу нескольких зон, то на границах зон накладываются условия равенства напряжений и смеще­

Как и плотины, основания часто схематизируются в виде линейно-упругого тела. Рассматривая совместно условия подобия (3.13), записанные для зон основания «1» и «2», и (3.44), получаем

На границе плотина—основание условия аналогичны (3.43), поэтому для пло­ тины и я-зонного основания имеем

m F = тЕ,

(3.46)

тл = тл

9 91

Условия подобия при других схематизациях физико-механических свойств ос­ нования могут быть получены аналогичным образом.

В модельных исследованиях может быть воспроизведена только ограни­ ченная зона основания. Определение размеров учитываемой зоны является одним из наиболее трудных вопросов моделирования. Рассмотрим имеющиеся в настоящее время позиции для определения размеров этой зоны при линейно­ упругой схематизации свойств основания [117].

Для статических задач широко применяются способы Фогта [159] и Фогта— Тельке [160], в которых используются решения задач Буссинеска и Черутти. Для арочных плотин А. Л. Можевитиновым разработана методика и полу­ чены формулы для деформаций основания в виде рядов по степеням отноше­ ния сторон опорной площадки, которая принимается в виде прямоугольника с площадью, равной площади подошвы плотины. Обзору теоретических и эк­ спериментальных исследований посвящена работа [118]. Следует указать,%что в статических задачах зона основания, в которой имеется концентрация на­ пряжений, сравнительно невелика, и ее размеры могут, в принципе, быть уста­ новлены на основе имеющихся точных решений простых задач.

Учет влияния основания в задачах о колебаниях плотин при сейсмических воздействиях разработан далеко не полностью, имеется значительное количест­ во работ, в которых рассматриваются различные аспекты. Прежде всего от­ метим задачи о колебаниях жестких штампов (круглых и прямоугольных) на линейно-упругом полупространстве и соответствующие задачи на полупло­ скости. Подробный обзор содержат работы Н. М. Бородачева [119, 121].

В. А. Ильичевым [120] учтена инерционность полупространства при не­ стационарных колебаниях квадратного штампа.

25

Другой цикл работ посвящен определению напряженного состояния со­ оружения (в частности, фундаментов) с учетом податливости основания (на­ пример, '[122]). Для бетонных плотин проведен ряд расчетных и эксперимен­ тальных исследований.

Методом конечных элементов определялись частоты и формы собственных колебаний системы «бетонная гравитационная плотина — ограниченная зона ос­ нования» [123]. Решалась плоская задача теории упругости с зоной основания

исследования пространственных моделей. Так, например, испытания модели Ингурской ГЭС [86] проведены при Е0сн/Етот =0,3; 1; 3; 30. Необходимо от­ метить, что в упомянутых исследованиях размеры зоны основания были неве­ лики и назначались априори. Вопросы же обоснования размеров моделируе­ мой зоны не изучались.

Рассмотрим случаи, когда размеры учитываемой зоны основания могут быть определены на основе общих соображений о характере его деформиро­ вания.

Экспериментальные исследования сейсмостойкости бетонных плотин часто проводят путем статических испытаний [124—126], при этом инерционные силы, вызванные землетрясением, прикладываются в виде дополнительной внешней нагрузки или центрифугированием. В такой постановке, соответствующей ста­ тической теории сейсмостойкости, размеры основания можно найти или ис­ пользуя решения простых задач, или проводя специальные экспериментальные

В настоящее время расчет сейсмостойкости плотин ведется по спектраль­ ной теории [127, 128]. Для расчета необходимо знать частоты и формы собст­ венных колебаний, которые в силу известных математических трудностей часто определяются на моделях. Основание в таких опытах играет роль упругой (или неупругой) заделки подошвы плотины. В указанных выше работах в модели воспроизводился ограниченный участок основания и, следовательно, определя­ лись частоты и формы системы «плотина—основание». Естественно, что по­ пытка установить для такой системы асимптоту у зависимости собственной частоты от размеров основания не может привести к положительному резуль­ тату, а выделить частоты и формы собственно сооружения не представляется возможным.

Как известно, задачи сейсмостойкости включают исследования волновых процессов в основании н в самом сооружении. В экспериментальных исследо­ ваниях [129—138] размеры зоны основания выбираются достаточно большими и определяются размерами сооружения, материалом модели и длительностью воздействия. Так как распространяющаяся в модели волна претерпевает отра­ жения не только от бортов каньона или сооружения, но и от краев воспроиз­ веденной зоны основания (в натуре это отражение отсутствует), то изучаемые на модели поля будут соответствовать натурным до тех пор, пока в исследуе­ мую точку не придут «вторичные» волны. Таким образом, при исследовании волновых процессов размеры моделированной зоны основания устанавлива­ ются достаточно просто. Аналогичная ситуация имеет место при внешнем воз­ действии в виде землетрясения определенной длительности, но размеры не­ обходимой зоны основания при этом резко увеличиваются по оравнению с размерами при одиночном импульсе.

Модельные исследования сейсмостойкости бетонных плотин нередко про­ водятся с доведением моделей до разрушения [60, 70, 81, 107, 139]. При этом, естественно, ужесточаются требования к модельному материалу. Так, при линейно-упругой вплоть до разрушения схематизации свойств материалов мас-

26

штабы напряжений, деформаций и смещений, входящие в (3.13), определяются уже не масштабами тЕ, пц и /яи0, а тЕ, пц и масштабом пределов прочно-

Уже отмечалось, что по условиям (3.13) экспериментально на модели ре­ шается задача об определении напряженно-деформированного состояния на­ турного сооружения. Суждение о том, является ли конкретное сейсмическое воздействие опасным или безопасным, высказывается для натуры на основе сравнения напряженного состояния (найденного в модели и пересчитанного на натуру) с критическим.

При использовании же условий (3.47) разрушение модели производится при воздействии «0рм (минимальном разрушающем), вычисляется ему со­ ответствующее натурное воздействие

тЕпц

и сравнивается с воздействием и0Н, на возможное действие которого проекти­ руется сооружение.

Нетрудно видеть, что в рамках применяемой схематизации (линейно-уп­ ругая задача) оба подхода эквивалентны, но второй налагает дополнительное условие подобия тс— т . Если прочность материала определяется несколь-

чем еще больше затрудняет подбор модельного материала. Очевидно, что в случае более сложных схематизаций свойств материалов подбор материала модели практически может быть осуществлен очень редко.

Вы в о д ы

1.Количественная оценка сейсмостойкости бетонных плотин проводится методами математического и физического моделирования. В основе этих

методов лежит аппроксимация поведения натурного сооружения той или иной математической моделью (схематизацией), представляющей собой систему уравнений, начальных и граничных условий, описывающих одну из задач ме­ ханики сплошной среды.

2. Схематизация задач сейсмостойкости плотин в символической форме за­ писывается в виде объединения схематизаций тела плотины, ее основания, воды в бьефах, условий совместности их движения и сейсмического воздейст­ вия. В свою очередь, каждая из схематизаций среды представима в виде объ­ единения подсхематизаций геометрии, свойств материалов, условий совмест­ ности движения отдельных областей и т. д. Такое представление дает возмож­ ность устанавливать алгебраические соотношения между схематизациями типа включения, объединения, пересечения и эквивалентности.

3. Соотношения между схематизациями позволяют сопоставлять исходные позиции расчетных и экспериментальных исследований и их результаты. В частности, имеется возможность сравнивать: экспериментальные исследова­ ния одного и того же сооружения, проведенные на моделях разных масштабов и разными методами, расчеты, проведенные по различным расчетным схемам, а также расчеты и эксперименты друг с другом. Кроме того, сопоставление ис­ ходных позиций позволяет оценить целесообразность и экономическую обос­ нованность планируемых исследований.

27

4. Для решения задач сейсмостойкости бетонных плотин Путем испытания их физических моделей применяется, как правило, следующая схематизация: материалы плотины и учитываемой зоны основания считаются однородными, изотропными и линейно-упругими до разрушения, подошва плотины или гра­ ница учитываемой зоны основания полагаются абсолютно жесткими, сейсмиче­ ское воздействие аппроксимируется импульсом или рядом гармоник,

5. Моделирование задач сейсмостойкости осуществляется в настоящее время на основе теории подобия, существенным ограничением которой являет­ ся требование тождественности схематизаций натурного сооружения и его фи­ зической модели. В принципе, легко установить условия подобия для любой достаточно сложной схематизации натурного сооружения, однако реализация этих условий в эксперименте далеко не всегда практически выполнима. Так, условия подобия требуют эквивалентности механических свойств материалов модели и натуры, подобия внешних воздействий, подобия армирования и т. д.

\