книги из ГПНТБ / Монахенко Д.В. Исследование сейсмостойкости бетонных плотин на моделях математические модели, условия подобия и их реализация в модельных исследованиях

обобщения классических направлений механики сплошной среды — теории уйругости и гидромеханики вязкой жидкости [16]. В настоящее время общепри­ нято применение линейной вязко-упругой модели наследственного типа, кото­ рую для одномерного случая записывают следующим образом

сред разработаны различные нелинейные схематизации, из которых укажем квазинейную квадратичную [17, 18], модель, учитывающую влияние накоплен­ ных повреждений [18, 19], модель, учитывающую влияние вида напряженного состояния [20, 21].

В ряде случаев необходим учет пластических свойств' материала. Среди существующих теорий пластичности наиболее распространенной в практике

е„2 = - J Э уЭ у, Э у = с у — so y , 0 = 6Н,

где Si,-, э,-j — девиаторы напряжений и деформаций, ов, sB— интенсивности напряжений и деформаций, К — модуль объемного сжатия, о — среднее на­ пряжение, Ф — универсальная функция, не зависящая от вида напряженного состояния и определяемая экспериментально. Уравнения (2.15) справедливы только при нагружении. При разгрузке до появления новых пластических де­ формаций имеет место соотношение

где а* , Еу — напряжения и деформации перед "началом разгрузки. Необхо­

Нарушения прочности материалов и сооружений в целом относятся к наи­ более сложным задачам.

В настоящее время применяются два типа схематизаций (критериев) мак­ роскопического разрушения твердых тел [18, 25]. N

Первая и наиболее распространенная в инженерной практике схематизация выражается в виде различных механических теорий прочности [26]. В этих тео­

fm — универсальные функции. Если при всех т f m<Cm, то состояние прочное, если хотя бы для одного т = р fp = Cp , то наступает разрушение вида р. Боль­ шое число различных испытаний показывает, что (2.17) действительно являют­ ся критериями прочности материалов, обладающими линейными или нелиней­ ными упругими свойствами вплоть до разрушения, и макроскопической харак­

10

теристикой возникающих при разрушении микродефектов является сам тензор напряжений (или деформаций). При многократных нагружениях тензор напря­ жений не является такой характеристикой. В прочностных расчетах широкое применение нашли основные классические теории прочности. На основе пред­ ставления (2.17) строится, в частности, условие прочности материалов, обла­ дающих различными сопротивлениями растяжению и сжатию (Ю. И. Ягн, П. П. Баландин, И. М. Миролюбов).

Второй тип схематизаций макроскопического разрушения отражает реономность механических свойств. В применении к простому растяжению-сжа­ тию и определенному закону нагружения a(t) время разрушения t определя­ ется уравнением (интегралом Бейли) [21]

(2.18)

о

где tT(о) — время разрушения образца в условиях ползучести (при постоянном напряжении сг). Обобщение критериев (2.17—2.18) на случай сложного напря­ женного состояния и сложного нагружения сделано А. А. Ильюшиным.

Прочностные свойства бетона и железобетона исследуются в широком диапазоне нагрузок и при различных напряженных и деформируемых состоя­ ниях [27—31], особое внимание уделяется динамическим свойствам [32, 33

При однократном нагружении в основном считается, что бетон и железо­ бетон обладают склерономными свойствами т. е. для них можно пользоваться критериями вида (2.17). Типы применяемых критериев приведены в указанных выше работах. Переходя с такой позиции к воздействиям сейсмического типа, отметим следующее. За время сейсмического воздействия происходит в сред­ нем 50—200 циклов нагружения. Результаты усталостных испытаний бетонов и железобетонов показывают, что в диапазоне 0—500 циклов падение проч­ ности (предела прочности) невелико (5—10%) [34]. Учитывая при этом, что при однократных кратковременных нагружениях прочность выше статической примерно на 10—20%, критерий (2.17) можно считать применимым в первом приближении и при сейсмических воздействиях.

В то же время .известно, что бетоны обладают заметными реологическими свойствами, проявляющимися как при статических, так и при динамических воздействиях [35], в частности, для них считается применимым неразностное ядро ползучести Маслова — Арутюняна [36]. Таким образом, бетон следует считать вязко-упругим материалом. Имеется ряд работ [37, 38 и др.], в кото­ рых прямыми экспериментами доказано, что при деформировании в бетоне происходит процесс микротрещинообразования. При такой постановке, очевид­ но, необходимо исходить из критерия вида (2.18) и его обобщений на слож­ ное напряженное состояние и сложное нагружение.

Отметим общее положение, которое необходимо учитывать при примене­ нии двух описанных позиций. Обе они созданы для определения опасного для каждого материала напряженного состояния, которое считается критическим и, в принципе, не описывают процесса разрушения материалов. Естественно, что на их основе нельзя дать и описания процесса разрушения сооружения в целом. В соответствии с этим положением в расчетных методах, как правйло, определяется напряженное состояние, которое затем сравнивается с критиче­ ским для данного материала.

Схематизации плотины и основания включают в себя подсхематизации граничных и начальных условий. Граничные условия могут быть силовыми (в напряжениях):1

1 В механике система называется склерономной, если на нее наложены только стационарные связи. При нестационарных связях систему называют реономной.

11

и смешанными. Последние представляют собой условия на границе плотина— основание Уп_ 0 и относятся к контактному типу (линейная комбинация 2.19

и 2.20). Начальные условия задаются в виде перемещений и скоростей в на­ чальный момент времени. В большинстве задач эти условия можно принимать нулевыми.

Перейдем к рассмотрению схематизаций водной среды и ее влияния на на­ пряженно-деформированное состояние плотины.

Схематизацией воды являются уравнения гидродинамики [39]. При оп­ ределении динамического давления воды на гидросооружение воду обычно считают идеальной и однородной жидкостью. Соответствующая система уравнений [40, 41] состоит из уравнения движения

где ро, Ро — начальные плотность и давление, s — относительное изменение плотности, ср, cv — удельные теплоемкости при постоянном давлении и,объ-

12

не учитываются, что для (2.26) записывается в виде условия (Ув)

ЙФ

(2.29)

dt

Такая схематизация проверена расчетом (см., например, [43]).

На неподвижной границе водоема 1Д (дно водохранилища) обычно при­ нимается условие (У0_ в)

дФ

(2.30)

дп

где п — нормаль к поверхности 2 Д, которое выражает условие, что дно пол­ ностью отражает волны давления. Это условие имеет место, когда отношение

где а ц, и, — напряжения и перемещения сооружения.

При этом возникает связанная задача, т. е. сооружение и водная среда представляют собой единую систему (в частности, гидроупругую [39, 45]). Од­ нако в практических расчетах нередко при определении гидродинамического давления сооружение считают абсолютно жестким телом и на поверхности 2к задают закон движения такой же, как и в основании (тоже абсолютно жест­ ком) .

Воздействия, которым подвергается плотина, разнообразны. Обычно их подразделяют на статические (например, собственный вес, гидростатическое давление), температурные, и динамические. Причем, в ряде случаев возникают связанные задачи [46], одна из которых приведена выше. Поскольку в рас­ сматриваемом случае динамическим воздействием является землетрясение, то вызванные им возмущения относятся к нестационарным.

В реальных условиях источник сейсмических воздействий находится 'в земной коре и поэтому, строго говоря, должна рассматриваться задача о полубесконечном основании (полупространстве, полуплоскости) с источником вну­ три. Однако при решении практических задач приходится исходить из схема­ тизации, основанной на предположении, что центр землетрясения настолько удален от плотины, что прилегающая зона основания находится под воздейст­ вием плоских нестационарных волн [47].

При проектировании ответственных сооружений, как уже отмечалось, их сейсмостойкость исследуется различными расчетными и экспериментальными методами. При этом, естественно, всегда возникает необходимость сравнения результатов: расчетов,-произведенных По тем или иным расчетным схемам, экспе­ риментов, проведенных на моделях различных масштабов и разными методами,

13

и, наконец, расчетов и экспериментов между собой. Более того, учитывая, что В настоящее время трудоемкость, стоимость и время проведения эксперименталь­ ных исследований, как правило, выше, чем у расчетных, их постановку можно считать обоснованной, если результаты по объему содержащейся в них инфор­ мации будут дополнять или превосходить расчетные. Таким образом, имеется необходимость сопоставления расчетных и экспериментальных исследований на стадии их планирования и постановки, чтобы оценить их целесообразность и экономическую обоснованность. Такое сопоставление возможно и будет обос­ нованным, если проводить сравнение исходных позиций математического и фи­ зического моделирования, т. е. сравнивать математические модели (схемати­ зации) процессов, происходящих'в натурном сооружении.

Будем исходить из того, что любая схематизация задачи о прочности соо­ ружения имеет строго определенную математическую запись и соответствую­ щее этой записи символическое представление в виде объединения конечного числа подсхематизаций Х{

Используя понятия соотношений между множествами, введем следую­ щие соотношения между схематизациями С1 и С2:

1)эквивалентность—С '~ С 2, означающая, что схематизации С1 и С2 рав­ ноценны;

2)включение—С 'С С 2, показывающее, что схематизация С2 содержит

всебе схематизацию С1;

3)объединение—C4JC2 = С3, т. е. существует схематизация С3, пред­

14

2) СэпС р= 0 и CaU CP=Ci— экспериментальная й расчетная схематизаций являются частными случаями общей схематизации натурного сооружения Ci и при моделировании исследуются различные аспекты процесса Сь результаты расчета и эксперимента взаимно дополняют друг друга;

3)С3~ С Р— в основу эксперимента и расчета положена одна и та же ма­ тематическая модель, поэтому эксперимент не имеет преимуществ по сравне­ нию с расчетом, а также не является «эталоном» для проверки методики рас­ чета;

4)С3ССр — экспериментальная схематизация является частным случаем расчетной, поэтому результаты эксперимента будут «грубее» расчетных.

Очевидно, что те же случаи имеют .место при сопоставлении между собой расчетов одного и того же сооружения.: выполняемых на основе схематизаций

Ср1 и Ср2 или экспериментальных исследований С31 и С32. Приведем несколько примеров.

1. Расчет арочных плотин ведется в основном по двум схематизациям:

консолей).

В обоих случаях трехмерная задача сводится к двумерной, причем между при­ меняемыми схематизациями имеет место соотношение

СР2сСР*.

Экспериментальные исследования таких плотин проводятся на трехмерных моделях, для построения которых используются условия моделирования про­ странственной задачи теории упругости. Можно утверждать, что в данном слу­ чае в основе' эксперимента лежит схематизация более общая, чем в основе расчета, т. е.

СРСС9.

2. Расчет ряда гидротехнических сооружений таких, например, как бетон­ ных гравитационных плотин, земляных плотин, отдельных контрфорсов (при деформировании в своей плоскости) и других с помощью определенных допу­ щений приводится к плоским задачам теории упругости. Экспериментальные исследования таких сооружений нередко также проводятся на плоских линей­ но-упругих моделях.. В этом случае схематизации, положенные в основу рас­ чета и эксперимента, одинаковы

СР =*- С9.

3. Иногда в основу экспериментального исследования сооружения полага­ ют схематизацию в виде конечного числа сосредоточенных масс, соединенных упругими связями. При сопоставлении такой схематизации с расчетной (с рас­ пределенной массой) имеем

Сэ ССр.

4. При оценке сейсмостойкости плотин нередко поле смещений бортов каньона исследуют экспериментально на модели, а напряженное состояние пло­ тины, вызванное этим полем, определяют путем расчета. В этом случае экспе­ римент и расчет взаимно дополняют друг Друга, т. е.

C9n C P = 0 , C4JCP = Cj.

3. ФИЗИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И ОБЛАСТЬ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ

Физическое подобие является наиболее разработанным и широко приме­ няемым видом физического моделирования.

Физически подобными называют геометрически подобные тела «н» и «м» (натура и модель), в которых в сходственные моменты времени имеет место подобие полей физических величин: плотности, температуры, перемещений,

15

напряжений и т. д. Математической основой физического подобия служит тео­ рия подобия [48, 56], построенная на преобразованиях подобия (гомотетии) [57].

/;" = rn.fi = const, (3.1)

где / , н, f i M— находящиеся в соответствии величины „н“ и „ м rn.fi— масштаб или константа подобия >.

Суть физического подобия состоит в следующем. Если процесс в натуре определяется п величинами fiн, то в модели должен быть реализован процесс той же физической природы и определяемый п величинами / . м, связанными с /■н преобразованиями (3.1). При этом не все масштабы rn.fi могут иметь произвольные числовые значения, т. е. подобие между «н» и «м» существует, если величины масштабов выбраны в соответствии с условиями (индикатора­ ми) подобия.

Условия подобия можно определить методом анализа размерностей и ме­ тодом анализа уравнений. Учитывая, что непосредственный интерес представ­ ляет количественная оценка исследуемых величин, ниже применяется только анализ уравнений.

Метод установления условий подобия анализом уравнений требует нали­ чия конкретной схематизации натурного сооружения Снэ и основан на тож­

что равноценно тождественности их математических описаний. Способ полу­ чения условий подобия заключается в записи замкнутой системы уравнений для /г", замены переменных по формулам (3.1) и выяснения соотношений меж­ ду масштабами тц, при которых уравнения остаются теми же, но записан­ ными для / iM. Иными словами, находятся условия на rn.fi, при которых си­ стема уравнений, начальных и граничных условий принятой схематизации на­ туры, инвариантна к преобразованиям подобия (3.1).

Испытания физически подобных моделей бетонных плотин при воздейст­ виях, имитирующих сейсмические, широко проводятся и в нашей стране [62—68] и за рубежом [69, 141—149]. При этом нередки случаи, когда к физи­ чески подобным относят физически «похожие» качественные модели. С целью выделения и анализа количественных моделей ниже рассмотрены условия по­ добия некоторых основных схематизаций бетонных плотин.

Начнем с наипростейших схематизаций — водохранилище опорожнено, основание — абсолютно жесткое. Систему уравнений, описывающих напряжен­ но-деформированное состояние, запишем в виде:

„н I рн __ „н'/.н

где Si — поверхность плотины, свободная от напряжений (верх и стороны ниж­ него и верхнего бьефов), S2 —поверхность контакта с основанием, f — уравне­ ние состояния, остальные обозначения совпадают с (2.5, 2.6), начальные ус­ ловия приняты нулевыми.1

1 При разработке основ теории подобия масштаб подобия обозначался

нию, не отражают смысла преобразований подобия. В современной теории мо­ делирования масштаб является оператором [58, гл. П], поэтому в настоящей работе для него принят символ т у (нем. — majistab).

16

тио

где trig— масштаб моделирования ускорений сил тяжести. Эти условия пред­ ставляют собой шесть соотношений, связывающих между собой десять мас­ штабов, т. е. условия (3.11) недоопределены. Для того, чтобы система (3.11) была определенной, необходимо задать четыре масштаба. Например, выбирая размер модели, ее материал и условия испытания (естественное поле гравита­

находятся в распоряжении экспериментатора. Так, учитывая, что бетонные плотины, как правило, моделируют с большим масштабом линейных размеров

Очевидно, малый уровень воздействия ит приведет к малым уровням изме­ ряемых величин, соизмеримым с погрешностями измерительной аппаратуры.

Для схематизации (3.4) выход может быть найден, если воспользоваться принципом суперпозиции и представить (3.4) в виде суммы статической

С®ст и динамической Cjj дин схематизаций

Тогда объемные силы войдут в статическую задачу, и их моделирование мож­ но будет осуществить центрифугированием или. пригрузками (70, 71, 150]. Ди­ намическая схематизация будет представлена системой (3.4) с нулевыми объ­ емными силами, что приведет к менее «жестким» условиям подобия (72]:

1 Критериальная форма условий подобия показывает, что численные зна­

18

тЕтр mtmi

(3.13)

в которых также необходимо задать четыре масштаба. Однако в отличие от (3.11) в (3.13) могут быть заданы: mi, тЕ, т? и масштаб воздействия тип,

т. е. условия подобия (3.13) позволят выбирать амплитуду воздействия и0м, исходя из условий эксперимента, и тем самым получить в модели уровень на­ пряжений и деформаций, достаточный для их измерений.

Как известно, определение частот и форм собственных колебаний бетонных плотин в настоящее время широко ведется на моделях (73—89] и .[151—153]. В основном применяется резонансный метод, при котором колебания возбуж­ даются вибратором, вводимым в контакт последовательно с различными точ­

пытаний моделей плотин необходимы Высокочастотные вибраторы. Диапазон

плотностью (рм > ри, /ир< 1). Разработка таких модельных материалов ведется

в организациях, занимающихся модельными исследованиями сейсмостойкости бетонных плотин [90—95]. Имеющаяся в настоящее время тенденция применять для моделей кочень» низкомодульные материалы (£м<1000 кг/см2), приготов­ ленные на Ь^нове полимеров, с точки зрения подобия не всегда достаточно оправдана, так как такие материалы обладают заметными реологическими свойствами. Действительно, по теории подобия схематизации натуры и модели тождественны, соответственно тождественны подсхематизации свойств мате­ риалов Мн=Мм и, в частности, 2 Н= 2 М. Из этого положения следует, что если для натуры принята линейно-упругая подсхематизация связи напряжений с деформациями, то для модели должен применяться материал с линейно-упру­ гими свойствами. Использование же вязко-упругих материалов не отвечает этим требованиям и может явиться источником дополнительных, не учитывае­ мых погрешностей эксперимента. Попутно укажем, что применение низко­ модульных материалов усложняет технику измерения деформаций [96, 97].

Существенно ограничивает диапазон модельных материалов требование ра« венства коэффициентов Пуассона материалов натуры и модели

В экспериментальных исследованиях обычно это условие удовлетворяется весьма приближенно, так как практически отсутствуют материалы с модулями нормальной упругости, отличающимися на несколько порядков и равными ко­ эффициентами Пуассона. При изготовлении моделей из композитных материа­ лов требованию (3.16) удается удовлетворить за счет введения пробковой крошки [98]. В общем случае провести оценку погрешности, возникающей из-за невыполнения (3.16), невозможно, так как неизвестна зависимость решения от коэффициента Пуассона. Исследования этой зависимости для плоских задач

19