книги из ГПНТБ / Техника бурения при разработке месторождений полезных ископаемых

Обозначим:

инайдем функции F n (Z) и F3 (Z) по известной функции F^iZ). Условия непрерывности смещений и сил в сечении х = 0:

333

Определим величины сил в прошедшей и отраженной волнах,

используя (171), (172), (164), (165), (166):

334

Пользуясь выражениями (179) и (180), можно производить рас­ четы по определению усилий в ударных системах с плоскими удар­ ными сечениями как аналитическими, так и графическими методами.

Метод характеристик для решения задач с использованием при­ веденных выше дифференциальных уравнений распространения пло­ ских волн в твердых и жидких телах разработан Л. Бержероном [26]. Метод носит название градодинамического. Пользуясь этим методом, Г. Фишер [157] решил основные задачи применительно к конструированию ударных буровых машин.

Александров Е. В., Флавицкий 10. В. и Хомяков К. С. [5] раз-- работали табличный метод определения напряжения в твердых телах. Метод основан на работах Арндта и Герца и позволяет учесть изменение формы импульса при ударении стержней с закруглен­ ными концами. Ф. Арндт [151] и С. Ферхарст [156] для некоторых простых случаев соударения твердых тел нашли аналитическое ре­ шение.

Перечисленные выше методы подробно изложены в работе [61]. Здесь приводится способ определения сил при ударе, приспособлен­ ный для решения задач на ЭВМ. Решение сводится к рассмотрению прохождения силовых импульсов через стержень с переменным се­ чением.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ УДАРНЫХ СИСТЕМ

Если стержень заданной длины и движущийся с определенной скоростью v0 ударяет по стержню бесконечной длины равного се­ чения (рис. 189), то от места соударения будут двигаться волны де­ формации в обе стороны со скоростью звука а.

Можно полагать, что стержни движутся навстречу друг другу

335

Время удара определяется скоростью прохождения волны на­ пряжения по наиболее короткому, т. е. ударяющему, стержню:

где I — длина ударяющего стержня. Энергия импульса

Пример. Отрезок штанги длиной 50 см и сечением 5,1 см: ударяет о штангу того же сечения бесконечной длины со скоростью 500 см/сек. Определить силу

t

в ударном импульсе, напряжения, возникающие в штанге, время удара и энер­ гию импульса. При равенстве сечений коэффициент прохождения Q будет равен 1, а коэффициент отражения R равен нулю,

Форма импульса будет прямоугольная (рис. 189).

Рассмотрим удар утолщенного цилиндрического стального стер­ жня по тонкому стержню (>?! > S 2) (рис. 190). При ударе утолщенным стержнем происходит деформация конца этого стержня и часть энергии, а следовательно, и силы переходит во второй стер­ жень, а часть энергии отражается. Коэффициент прохождения силы определяется коэффициентом Q. Следовательно, во время первого прохода волны по короткому стержню во втором стержне будет генерироваться импульс с амплитудой

336

Часть энергии будет отражаться от плоскости X X обратно в утол­ щенный стержень, уменьшая амплитуду силового импульса. При втором проходе волны к штанге подойдет импульс с уменьшенной амплитудой, величина которой определяется как произведение

(187)

а

5

п

W = У И'„ = 2,5 кгс-м.

1

Вприведенных выше двух примерах массы ударников одинаковые

иравны 2 кг. В первом случае получается импульс прямоугольной формы с максимальной амплитудой 5340 кг, во втором — импульс сту­ пенчатой формы с максимальной амплитудой 8900 кг. Энергия обоих импульсов при п —> оо будет одинаковой. Таким образом, при равной

энергии прямоугольный импульс создает наименьшие напряжения в штанге, что увеличивает долговечность бурового инструмента.

Если силовой импульс, распространяющийся по штанге, встре­ чает на своем пути участок с увеличенным сечением, например бурт, то перед ним возникают увеличенные напряжения, что может явиться причиной поломки буровых штанг.

338

Пример. Определить напряжения, возникающие в штанге перед буртом, еслп по ней распространяется импульс с амплитудой 16 000 кг, сечение штанги S 1 = 5,1 см2, сечение бурта S„ — 40,7 см2.

Определим коэффициент отражения:

/? = 40,7 — 5,1 = 0,78-

5,1 + 40,7

Сила в отраженном импульсе

/ ’отр = 16 000 • 0,78 = 12 500 кгс.

Действующее усилие перед буртом

/•’= 16 000+12 500 = 28 500 кгс.

Напряжение в штанге перед буртом

ст = _28КЮ =5660 кгс/см2.

Если начальный ударный импульс встретит ыа своем пути мест­ ное сужение поперечного сечения стержня (шейку), то в шейке

шейка представляет собой «ловушку» для импульса сжатия, где импульс, многократно отражаясь, усиливает местные напряжения.

Рассмотрим случай, когда длина волны намного больше длины шейки. В этом случае напряжения в шейке будут равны сумме амплитуды прошедшего импульса и всех отраженных. Имеем схо­

Пример. Определить силы и напряженпя, действующие в шейке штанги, если по штанге проходит прямоугольный импульс с амплитудой 20 000 кгс.

Сечение штанги перед шейкой S 1 = 10 см3. Сечение шейки 7 см2. Сечение штанги после шейки S s = 15 см2.

Как видно из расчетов, наличие буртов и шеек крайне нежела­ тельно. В обоих случаях в стержнях возникают напряжения, которые превосходят допустимые. Поэтому

ментарная длина укладывается целое число раз. Рассмотрим про­ стейшие случаи.

Двухступенчатый ударник, имеющий длину большой ступени, равную половине первой, наносит удар по стержню (рис. 192)i Ударник движется со скоростью v0. Определим коэффициенты про­ хождения и отражения для каждого сечения.

340

По условию Z2 = 2Z3. S 3 — сечение второй ступени. F 1)2 • • •, п усилие в тонком стержне. За единицу времени принимаем время

прохождения волны напряжения по самой короткой ступени t — - А ,

где а — скорость звука в материале стержня.

Время прохождения волны в обоих направлениях по ударнику

другая часть силы, равная Сх, пройдет через сечение I — I и сло­ жится с предыдущей силой, и обе силы через плоскость соударения пройдут в тонкий стержень, образуя силу F 2. Через время 2т воз­ никает сила Fз и т. д. Нетрудно видеть, что значения последущих сил определяются из предыдущих, через систему рекуррентных формул. Здесь обобщенными формулами являются формулы с ин­ дексами в левой части (га—1), по ним производится расчет. В дальней­ шем при выводе формул будем приводить только общие формулы.

При увеличении числа ступеней увеличивается число сил, ко­ торые вместо букв будут обозначаться цифрами.

Рассмотрим удар трехступенчатого бойка по стержню (рис. 193). Для этого случая коэффициенты прохождения Q и отражения R будут определяться следующими терминами:

341

Определим первоначально силы с индексом один (кгс), исходя из начальных условий, и составим систему рекуррентных формул для определения сил в стержне:

В табл. 84 приведены результаты расчетов по рекуррентным формулам (рис. 194). Силы, возникающие в стержне (штанге), при-

342