книги из ГПНТБ / Штейнберг, Ш. Е. Промышленные автоматические регуляторы

y=-lkpA0

+

^-A0ty

Обозначим

Ги(о =

£2, тогда

Wm(iQ)

= - k p

+

i ^ - t

(1-7)

или

№ П И (ІЙ) =

h.

exp і

+ arctg Qj .

(1-8)

Графики амплитудно-фазовой характеристики (АФХ)

амплитудно-

и

фазочастотних

характеристик

(АЧХ

и ФЧХ) также приведены в табл. 1-1.

Из выражения

(1-6) нетрудно

убедиться, что ПИ-ре-

гулятор, как и И-регулятор, не имеет остаточной

нерав­

номерности.

4. ПД-регулятор

( С 0

= 0 )

(пропорционально-диффе­

ренциальный регулятор или пропорциональный регуля­

тор

с предварением).

Уравнение этого

регулятора

y = - k p ( T n ^ + x y

(1-9)

где

Г д

— время дифференцирования или время

предва­

рения

регулятора.

Передаточная функция ПД-регулятора

Упд(Р) = - М 7 > + 1 ) -

< Ы ° )

Выражение

амплитудно-фазовой

характеристики

Wm(m)

=

-kp(\+iTR(o).

Для

безразмерной частоты

Q H = 7 ' H G )

^ П Д Ю

= -^Р11 +

'Ч).

( И »

^ п д (<Ч) = к У 1

+ Й ^ Р ' " ^ + а г с і § й д ) -

i J A макс

.

4

6 Ф (0 =

1

1 0 t

Ф0\

со

| 6 Ф ( 0 < # = 1 .

-—со

Аналитическое

выражение

переходной

функции

*/(о = - М о [ і + м ° ) ] -

Переходная

характеристика,

АФХ, АЧХ

и ФЧХ

ПД-регулятора приведены в табл. 1-1.

5. ПИД-регулятор

(пропорционально-интегрально-

Уравнение регулятора

y = - k p

( T ^ + x + ± J x d t y

(1-12)

и о

Передаточная функция

^ п и д ІР) = ~К Г д

Г и р 2 т

+ „ Г и Р + 1

•

(1-13)

1

и Р

Аналитическое выражение

переходной

функции при

ступенчатом воздействии Ао на входе

y(t) = ~kp

л 0 [ г я б ф

( 0 ) + 1 + J L ] .

Q — 7\,со и

с1=Тд/Тп

1 — Г 1 —

^ п и д

= -

(1-14)

•d]•2 Q4 X

или Wnv[a (iQ) = ІЕ- 1 Л + Й2 (1 — 2d) +

Q

X е х р / ( я — arctg

— rfQ2

Q

Закон

регулирования ПИД-регулятора,

подобно

ПИ- и И-регуляторам, имеет интегральную

составляю­

щую, т. е. является

астатическим и не имеет

остаточной

ных

в §

1-1 уравнений идеальных регуляторов. Рассмот­

рим

сначала

линейную модель реального регулятора, т. е.

предположим,

что уравнение

реального регулятора ли­

неаризовано,

но отличается

от уравнения стандартного

идеального регулятора.

Для

анализа отклонения

характеристик идеального

^ р ( Р) = ^ и Я ( р ) ^ 6 а л ( р ) .

(Мб)

Структура

регулятора представлена, таким

обра­

зом, в виде

последовательного соединения идеального

рактеристиками

балластного

звена. Если

№ б а л ( р ) = 1 ,

т. е. модуль балластного звена Мбал(ю) =

1 и фаза бал­

ластного

звена ф б а л ( м ) = 0 ,

то регулятор

идеален. Чем

больше

^бал(гсо)

отличается

от единицы, тем значи-

тельнее различие

качества регулирования

в системах

с идеальным и реальным регуляторами.

Введем понятие

о некоторой области, в

которой ча­

чае появится

еще одна координата

ОНР .

Итак,

область

в

пространстве

амплитуд,

частот

входного

сигнала

и параметров

настройки регулятора,

в которой

амплитудно-частотные

и

фазочастотные

ха­

рактеристики

реального

регулятора

отличаются

от

со­

ленные

значения, будем

называть

областью

нормальной

работы

(ОНР)

регулятора.

Допустимые

нормы отклонений

частотных

характе­

ристик идеального и реального регулятора

устанавлива­

ются ГОСТ 7191-69. В

соответствии с этим ГОСТ ча­

стотные

характеристики

могут отличаться

по

модулю

на ± 1 0 % и по фазе на ± 1 5 % -

Обычно для

системы

регулирования существенным

наиболее существенной

для САР. Отклонение частотных

характеристик

на этой

частоте

в значительной

степени

определяет различие качества

регулирования в

системе

с идеальным

и реальным регуляторами.

В [Л.1]

показано,

что величина произведения

7, н (оР ез=йреа

для ПИ- и

ПИД-регуляторов приблизи­

регулирования

(см. также

§ 2-2).

Это значение й р е з

удобно принять

в качестве

частоты,

на которой прово­

вии

с ГОСТ 7191-69

для ПИД

-регуляторов Qpe3=4,2;

для

ПИ-регуляторов

й Р е з = 3 , 7 .

Рекомендуемое ГОСТ

Приняв

эти величины

за

постоянные,

оставим

в каче­

стве

координат

О Н Р

для

ПИ- и ПИД-регуляторов

только параметры настройки. При этом

О Н Р часто мо­

жет быть сведена к области на плоскости.

Рассмотрим

несколько

примеров расчета

балластных

звеньев

и О Н Р линейных

моделей

реальных

регуляторов с различными

зако­

нами регулирования.

6) П-РЕГУЛЯТОРЫ

Рассмотрим

структурную

схему

П-регулятора,

приведенную

на

рис. 1-1. Такие линейные

модели

характерны для всех

отечественных

гидравлических и электрических П-регуляторов

(см., например, § 5-3,

х

Ти.мР

Рис. 1-1. Структурная схема

П-регулятора.

6-2). В структурной схеме на рисунке передаточная функция

электри­

ческого

или

гидравлического

исполнительного

механизма

аппрокси­

мируется

выражением

Wh.m(P) =

1/Ги.мР,

усилитель — kt.

Переда­

точная

функция для структурной

схемы, приведенной

на рис. 1-1, мо­

жет быть записана в виде выражения *

К

W (р) = —

^

—

=

1

.

+

W

\ M i

/

Передаточная функция идеального П-регулятора

W п (р) = 1/6Р .

Обозначим. Ги .м/6р&і = Гбал,

тогда передаточная функция

бал­

ластного звена запишется в виде

^6ал(р)=-

1—— .

(1-16)

' б ал Р +

1

*

Знак

«—» существенен

для

системы

регулирования; здесь

и

в дальнейшем опущен. Характеристики балластного

звена

при

этом

не изменяются;

фаза

идеального

регулятора уменьшается на угол

я .

низма Ги .м и коэффициента

пропорциональности регулятора & р .

На рис. 1-2 приведены

переходные и частотные характеристики

'бал=

тбалі

Тбал1-^>*^^.

•— —

S

N \

гбвл2 ь

гбал'

Г

бал2

б)

а) гбал=°

Мл.* Ш = -

1

(1-17)

фазовая характеристика

Фбал (ю) = — arctg Г б а лШ .

(1-18)

Из условий

д м < і — Мба л ;

Аф < Фбал

легко определить О Н Р в координатах

Гбал, со.

в) ПИ-РЕГУЛЯТОРЫ

Структурные схемы ПИ-регуляторов

приведены на

рис.

1-3.

На

рис. 1-3, а изображена структурная схема линейной модели

регуля­

тора ЭАУС (см. § 4-5, 4-7), на рис. 1-3,б — регулятора

РУ4-16

("см.

§ 6-2)

и др. На

структурной схеме

1-3, а усилитель k{ охвачен

об­

ратной

связью

в

виде апериодического звена. На схеме

1-3,6

уси­

литель

вместе

с

исполнительным

механизмом охвачен

обратной

функцией 6рГ и р/(Ги/?+1) .

регулятора,

имеющего

структурную

Передаточная

функция

схему, изображенную

на рис.

1-3, а может быть

найдена из

выра­

жения

W(p)

=

1

£i8p

Тц.мР

1 + тпР + 1

*р

( Г и Р + 1 )

(1-19)

(5 + 1)

где

1

и р ' и.м

Сравнив это выражение с

передаточной функцией (1-6)

идеаль­

ного ПИ-регулятора, получим, что балластное звено и в этом

случае

апериодическое с постоянной времени sTK/(s+l)

и с

коэффициентом

усиления l / ( s + l ) .

Д л я структурной схемы на

рис. 1-3,6 найдем,

что значение

ко­

эффициента пропорциональности

регулятора & Р =

1/8Р, т. е. kp

для

ханизма Ги .м и от постоянной

времени интегрирования ТИ.

Переда­

точные функции балластных звеньев для обеих схем одинаковы.

Из (1-19) легко найти значения частотных характеристик бал­

ластного звена.

Выражения для модуля и фазы запишутся в виде

1

Л Ц „ («) ==

;

(1 -20а)

<P6a,.= - a r c t g — S - c o .

(1.206)

s + 1

Переходные и частотные характеристики регулятора со струк­

турными схемами, изображенными на рис.

1-3, приведены на рис. 1-4.

При значении s = 0 регулятор

становится

идеальным. Чем больше

значение s, тем сильнее отклонение

характеристик

рассматриваемой

модели от характеристик идеального

регулятора.

Область нормальной работы определяется неравенствами

AM

<

1 —

м б а л ;

Дф <

фбал.

к.

1

Ти.мР

Tfp+f а)

Тгр+1

6)

Рис. 1-5.

Структурные схемы ПИД-регулятора

с колебательным бал­

ластным

звеном.

W(p)

=

(ГгР+1)(Т2р+1)

Т»Р

'

,

,\ [

s d

„2 2,

s

T u

V s +

1 и

s

——1 1

(1-21)

где

Тж = Тх +

Г 2 ; ftp

= Т и / б р Г „ . м ;

Г д =

Т^ІРі

+

Г 2 ) ;

d =

ТА/ТН;

s =

Ги.м^р/йхГи.

В этом случае

передаточная

функция

балластного звена

име­

ет вид:

1

^ б а л (Р)

=

—

•

(1 -22)

теми же постоянными времени Ті и Т2.

Поэтому параметры настрой­

ки регуляторов с такими структурными

схемами

взаимозависимы.

Это приводит

к ограниченности величины

d.

Действительно,

d -

T l T *

-

T

l l

T i

Продифференцировав это

выражение

по

параметру 7 У Г 2 и

при­

равняв нулю

полученную

производную,

найдем, что

а М а к с = 0,25

при

7\ = Г2 .

При s = 0

№бал(/>) =

1 и регулятор

становится

идеальным.

Исследуем балластное звено регулятора. В зависимости от ко­

эффициентов

полюса в выражении

(1-22) могут быть действитель­

Сравним выражение

(1-22)

с передаточной функцией

колебатель­

ного звена вида

1

W

" i

p ) = t*/+Vtp+i-

( 1 - 2 3 )

Выражения (1-22)

и

(1-23)

идентичны при условии

(s+l)d

Если £ < 1 ,

то

звено с

передаточной функцией (1-23) является

колебательным,

при

С ^ 1 —

апериодическим. При £ / М а к с = 0 , 2 5 .

[условие

комплексных

значений

полюсов балластного

звена

wenn(p)]

и балластное

звено в этих

структурных схемах

колеба­

1

Уб*я(р) =

-

—

,

(1-24)

^ /

)

>

+

l J ( 5 a 7 > + ] )

, a ( s + l

где a = 1 + — (A, +

1); Г и = Tja;

s =

T K . H k p j H ; s2 =

T2/T„,

причем

T2

приведенной на рис.

1-7,6, й р =

Т и /Ги . м6р . Остальные

обозначения

те же . Передаточные

функции идеального ПИД-регулятора совпа­

дают с выражением (1-13).

На рис. 1-8 приведены графики

переходных и частотных харак­

теристик регуляторов,

собранных

по

этим структурным

схемам.