книги из ГПНТБ / Штейнберг, Ш. Е. Промышленные автоматические регуляторы

практически точно может быть рассчитана по формулам скользящего режима.

3. Анализ выражения (3-7) показывает, что уменьше­ ние зоны нечувствительности реле приближает регулятор к идеальному. При 6 = 0 релейный регулятор описывается уравнением идеального П-регулятора. Однако при умень­ шении зоны нечувствительности частота включения реле увеличивается.

На рис. 3-6 приведены частотные характеристики ре­ лейного П-регулятора со структурной схемой, изображен­

щего режима найдены из условия (3-2), на рисунке эти границы отмечены двусторонними стрелками. Слева от границ расчет проводится по формулам скользящего ре­

Определим коэффициент усиления реле в скользящем ре­ жиме для ПИ-регулятора со структурной схемой, изобра­ женной на рис. 3-7. Как и для П-регулятора, найдем сна­ чала значение относительного времени включения реле при постоянной скорости сигнала на входе в регулятор,

затем определим значение у при гармоническом входном сигнале и, наконец, найдем значение эквивалентного ко­ эффициента усиления реле путем деления среднего зна-

чения сигнала на выходе реле х р = су на среднее значе­

ние сигнала перед реле хл.

Пусть входной сигнал изменяется с постоянной ско­ ростью, т. е. x=Xi-{-at (рис. 3-7). В момент отключения

92

где Ті — постоянная времени, а бР — коэффициент усиле­ ния апериодического звена в обратной связи регулятора.

Разложим е в 1 в ряд Маклорена, ограничившись ли­ нейными членами разложения (справедливость такой ли­ неаризации показана ниже). Решив уравнения, найдем:

93

Определим среднее значение относительного времени включения реле при гармоническом изменении входного

выходе реле половину периода имеют одну полярность и половину — противоположную. Пусть спустя время tc от начала периода входного сигнала полярность сигнала на выходе реле изменяется.

Среднее значение у может быть определено по фор­ муле

т

У = ~ J ydt.

т

Поскольку начиная с tc до tc-\-~ импульсы имеют одинаковую полярность, то значение tc может быть най­ дено из условия максимального среднего значения сигна­

ла х р на выходе реле.

Выполним интегрирование, подставив у из (3-11). По­

94

Отсюда легко определить эквивалентный коэффици­ ент усиления реле:

^і&реле, можно определить безразмерный параметр бал­

ПИ-регулятора. Структурная схема регулятора приведена

(3-2). Слева от границы расчет частотных характеристик проводится по формулам скользящего режима, т. е. вме­ сто значения ki в передаточную функцию балластного

звена подставляется значение &і&реле. Значение основно­ го параметра балластного звена s находится по форму­ ле (3-14). Справа от границы частотные характеристики рассчитываются из условия функционирования регуля­ тора в режиме постоянной скорости по формулам (1-29), (1-30);. t7i и q2 находятся из графика на рис. 3-2 или фор­ мул (3-1).

Приведем формулы (без вывода) для расчета частот­ ных характеристик ПИД-регулятора со структурной схе­ мой, изображенной на рис. 1-5, а. Значение среднего вре-

95

мени включения реле Y при гармоническом входном сиг­ нале записывается в виде

Рис. 3-8. Частотные характеристики релейного ПИ-ре- гулятора (ш=0,3; &i =3,33).

(g)—то же при Л = 15 в; •—экспериментальные значения при Л =6 в; X —то же при Л = 15 в.

96

Значение коэффициента усиления реле определяется из выражения

- ~ У 1 + (Q — d/fi)2 — /Их

< W = , c v , = ^ . (3-16)

Определим условия, при которых эти допущения не вносят существенных ошибок в расчеты.

В момент включения реле справедливо следующее ра­ венство (рис. 3-7):

жения функции линейными членами ряда не превосхо­ дит 5 %, если x0/Ti s=; 0,3.

Воспользовавшись выражением (3-18), запишем не­

Неравенство (3-19) представляет собой условие справедливости принятого допущения в случае, если на

Рис. 3-9. Частотные характеристики релейного ПИД-регулятора (m=0,7; £i = 3,33).

— • — —характеристики идеального регулятора; характеристики линейной модели регулятора; О — расчетные значения нелинейного регулятора при

4=6 в;^) _ то же при Л = 15 в; ф —экспериментальные значения при А=6 в; X — т о же при А = 15 в.

98

(3-19). Проинтегрировав обе части неравенства в тех же

При выполнении неравенства (3-21) погрешность най­ денного значения у н е превосходит 5% для постоянного или изменяющегося с постоянной скоростью сигнала на входе в регулятор. Для синусоидального сигнала на вхо­ де найдем:

То и тв . Очевидно, если т 0 и т в определены с одинаковой относительной ошибкой, значение у будет найдено точно. Если же ошибка определения т 0 и тЕ одного знака, но различна по величине, то погрешность при нахождении у будет во всяком случае меньше погрешности каждого из значений, т. е. меньше 5%.

Итак, принятые допущения не вносят в расчет замет­ ных погрешностей, если выполняются приведенные нера­ венства.

2. Выведенные зависимости могут быть использованы для других структурных схем с реле, устанавливаемыми

достаточно умножить амплитуду входного сигнала на модуль этого линейного оператора. Если вместо рассмот­ ренной структурной схемы ПИ-регулятора, приведенной

значение бр на 6PTJT„,M. Таким же образом следует по­ ступать, если нужно рассчитать регулятор со структур­

ПИ- и ПИД-регуляторов в скользящем режиме уменьша­ ется с увеличением частоты и амплитуды входного сиг­ нала.

4. Регулятор с релейным элементом, имеющий зону нечувствительности, не может быть точно аппроксимиро­ ван линейным уравнением, так как во всем диапазоне ча-

стот основной параметр балластного звена s зависит от амплитуды входного сигнала. Однако при малых значе­ ниях s (например, s^0,05) влияние балластного звена в существенном диапазоне частот столь незначительно, что может не учитываться как при расчете переходных процессов, так и частотных характеристик.

5. Определим границы области, в которой частотные характеристики идеального и реального регуляторов близки (ОНР) .

Пусть заданы допустимые для О Н Р значения погреш­ ностей по модулю и фазе частотной характеристики. Под­ ставим их в формулы, приведенные в § 1-2, определяю­ щие модуль и фазу балластного звена. В эти же фор­ мулы подставим значения s, приведенные выше. Решив полученные уравнения, найдем зависимость между амп­ литудой и частотой входного сигнала при заданных па­ раметрах настройки или между параметрами настройки при заданных амплитуде и частоте. Эти соотношения оп­ ределяют границы ОНР . Еще одна граница области оп­ ределяется существованием скользящего режима. Эта граница может быть найдена из условий (3-2) или (3-3). Необходимо обратить внимание также на то, что графики зависимостей, определенных формулами (3-20), (3-22),

100

могут пройти на некоторых участках внутри ОНР, т. е.

на заданном участке расчет параметра s и определение границы О Н Р произведены неточно.

6) Приведем еще одну формулу для определения ко­ эффициента усиления реле в скользящем режиме, кото­ рой можно пользоваться для приблизительных расчетов систем регулирования с релейным регулятором в сколь­ зящем режиме. Она представляет интерес как наиболее точная аппроксимация частотных характеристик автома­ тического регулятора линейным уравнением. Полученные

нами значения & р е Л е зависят от амплитуды входного сиг­ нала, и регулятор не мо­ жет считаться линейным.

Для вывода воспользуем­ ся следующими обстоя­ тельствами.

На границе между скользящим режимом и режимом постоянной ско­ рости частотные характе­

чета: в скользящем режиме слева и в режиме постоян­ ной скорости справа.

В точках, лежащих на границе скользящего режима, эквивалентный гармонический коэффициент усиления ре­

На границе скользящего режима из (3-2) определим

2Ь(1 + т1):

101