книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

которой может быть найдена из дисперсионного уравнения. За заданный промежуток времени каждая синусоида пробежит рас­ стояние, пропорциональное ее скорости. Сложив эти синусоиды

вих новом положении, получим новую форму профиля.

Вотсутствие дисперсии весь набор гармоник просто сместится на одно и то же расстояние как одно целое, и в результате профиль волны также сдвинется на то же расстояние, сохранив свою форму. Но в диспергирующей среде смещения отдельных синусоид раз­ личны, так как различны их фазовые скорости. Синусоиды «расфазируются» друг с другом по мере распространения, и их суперпо­ зиция по истечении некоторого времени даст уже новую интер­ ференционную картину — новый профиль, другой формы, чем исходный. Сигнал, распространяясь, меняет свою форму. Поэтому понятие скорости к такому сигналу неприменимо.

Из сказанного ясна связь между возможностью передачи инфор­ мации при помощи волны и применимостью к волне понятия ско­ рости.

Все же удается найти некоторый элемент интерференционной картины, который не меняется при распространении и при нали­ чии дисперсии, если спектр сигнала достаточно узок, т. е. если длины волн (и частоты) компонент данной волны мало отличаются друг от друга. Этот элемент — огибающая интерференционной картины. Если спектр узкий то, как сейчас покажем, огибающая сигнала не меняет своей формы и перемещается с некоторой определенной скоростью, хотя сам сигнал внутри огибающей свою форму меняет.

Скорость огибающей называют групповой скоростью. Вводя групповую скорость, мы обобщаем понятие скорости-для волн: сохраняет форму все же не волна, а только ее огибающая. Но это дает нам возможность отождествлять форму огибающей, подобно тому как в бездисперсионной среде мы могли отождествлять форму самой волны. И это снова дает нам возможность передавать

соиду с медленно меняющейся амплитудой». Этот термин условен: амплитуда по определению — постоянная величина. Рис. 27.1 поясняет этот термин: на нем показана «моментальная фотогра­ фия» участка интерференционной картины двух монохроматиче­ ских волн близкой длины волны, бегущих в одну сторону. «Длина периода» получающихся пространственных биений («длина пе-

риода» огибающей) равна L — -гт---- j-r-, где k x и k 2— близкие

I Й 1— й2I

80

Возможна волна в виде «синусоиды с переменной амплитудой», у которой огибающая — ограниченная в пространстве кривая, выделяющая некоторую «группу» или «цуг» волн (рис. 27.2). Спектр такой группы, даваемый интегралом Фурье исходной волны, как можно показать, обязательно сплошной. Чем уже спектр, тем длиннее цуг: имеет место соотношение L-Afe Ss 2 я,

Рис. 27.1. Биения, их огибающая (тонкая линия) и их дискретный спектр — две близкие спектральные линии k i и к г .

где L — длина цуга, Д& — ширина спектра, т. е. длина интервала волновых чисел спектра, вне которого амплитуды спектра пре­ небрежимо малы. Это соотношение можно назвать принципом неопределенности в акустике: чем уже спектр, тем хуже локали­ зована волна в среде, т. е. тем больший участок она занимает. Аналогичное соотношение не­

■биений между двумя монохроматическими волнами. Пусть соста­

сительную скорость огибающей с с2, получим искомую скорость ■огибающей относительно среды, т. е. групповую скорость и.

В новой системе координат вторая синусоида неподвижна, а первая движется относительно нее со скоростью сх—с2. На рис. 27.3 обе синусоиды изображены схематически, в виде решеток •с шагом, равным соответственной длине волны. Будем следить за каким-либо определенным местом огибающей, например за местом совпадения каких-либо штрихов решеток. При движении первой решетки относительно второй место совпадения будет

81

переходить с одного штриха на другой. Средняя скорость этогоперемещения и есть скорость огибающей в новой системе коорди­ нат. Так как для перемещения места совпадения с одного штриха на соседний (при выбранном соотношении между длинами волн и скоростями — на предыдущий штрих) первая волна должна пройти расстояние —Х2, то этот переход займет промежуток времени (А,!— Х2)І(сг — с2); за это время место совпадения сме­ стится в отрицательном направлении на расстояние Х2. Значит,

Рис. 27.3. К выводу формулы для групповой скорости. «Гребенки» длин волн напоминают основную и нониусную шкалы штангенциркуля.

скорость перемещения места совпадения штрихов, т. е. относи-

Эта формула остается справедливой и при любом другом соот­ ношении между длинами волн и скоростями составляющих волн.

Легко получить и другие формы записи этого соотношения:

Если разности волновых чисел и частот малы по сравнению с са­ мими волновыми числами и частотами, то групповую скорость можно записать в виде

Из полученных формул видно, что групповая скорость совпа­ дает с фазовой только в том случае, когда фазовая скорость не за­ висит от длины волны, т. е. в отсутствие дисперсии. При наличии дисперсии групповая скорость, как и фазовая, зависит от длины волны (или от частоты) составляющих. Как и фазовую скорость, групповую скорость в принципе можно найти из дисперсионного уравнения. Если дисперсионное уравнение дано в виде (26.5), то групповая скорость равна

82

Групповую скорость картины биений можно найти и расчет­ ным способом. В самом деле, картина биений есть суперпозиция двух волн:

Это выражение можно записать так:

р = ехр (—ib3xt -f ik 1x)\p1 +

+ р 2 ехр [— і (соa — сох) t -f i {k2— k x) я]}.

Если I h2 — то выражение в фигурных скобках — медленно меняющаяся функция по сравнению с множителем за ■ скобками. Волну ехр (—ш гі + ikxx) при такой записи картины биений называют несущей. Функцию

Рі + р а ехр [—і (со2 — coj t + i {kг — k x) x] =

= Pi + Pi exp [i (k2— k x) {x— ut)]

называют огибающей. Огибающая бежит без изменения со ско­ ростью

U = (со г — c o j/^ a — k x).

Изменение волны в целом можно представить себе как пере­ мещение огибающей без изменения формы, происходящее с груп­ повой скоростью, и перемещение несущей внутри огибающей, происходящее с фазовой скоростью. Относительно огибающей

фаза несущей бежит со скоростью с — и = X При нормаль­

ной дисперсии эта скорость положительна, при аномальной дисперсии — отрицательна.

Групповую скорость для более сложного случая — суперпо­

и пусть длины волн составляющих настолько близки, что для любой пары волн номеров / п и п ' '

(27.5)

83

Учитывая условие близости частот и длин волн, имеем прибли­ женно

в фигурных скобках) также распространяется, не изменяя своей формы, со скоростью и, в то время как несущая бежит внутри огибающей.

То же рассуждение годится и для суперпозиции не только дискретного, но и непрерывного множества монохроматических волн, т. е. для волны со сплошным спектром, при условии доста­ точно узкого спектра разложения волны в интеграл Фурье. «Моментальную фотографию» такой суперпозиции можно записать в виде

р (х) = exp (ikox) / (х),

где / (х) — огибающая, медленно меняющаяся по сравнению с экспоненциальным множителем и быстро спадающая за преде­ лами «длины цуга»: спектр ее лежит в области волновых чисел, много меньших волнового числа k0 несущей монохроматической

откуда, пользуясь (26.7), найдем, что групповая скорость изгибных волн вдвое больше фазовой скорости волн этой же частоты:

Аналогично из (26.8) и (26.9) найдем, что групповая скорость гра­ витационных волн вдвое меньше фазовой скорости. В обоих примерах групповая скорость зависит от частоты (длины волны).

Важно отметить, что групповая скорость может сильно отли­ чаться от фазовых скоростей всех монохроматических волн, вхо­ дящих в состав спектра данного сигнала, несмотря на то, что

84

в узкополосном по частоте сигнале все составляющие имеют близкие фазовые скорости.

Уточним, что значит требование «достаточной узости» спектра волны. Групповая скорость получается одинаковой для любой пары составляющих только приближенно, в результате прирав­ нивания отношений конечных разностей (ю— a>0)/(k — k 0) про­ изводной da/dk в точке k 0. В действительности эти отношения вообще отличны от производной, и поэтому огибающая будет постепенно менять свою форму, причем тем быстрее, чем шире спектр волны. Для того чтобы найти, в течение какого временн и на каком расстоянии можно еще пренебрегать изменением формы огибающей для волны с заданной шириной спектра, учтем сле­

Члены высших порядков по отношению к малой разности волно­ вых чисел k— kg опущены. Вызванная опусканием второго члена ошибка в фазе составляющих за время Т не превысит

_і_

2

где Ak — ширина спектра волновых чисел. Пока эта ошибка остается малой по сравнению с единицей, можно считать, что огибающая не меняет своей формы и движется с групповой ско­ ростью, определяемой как и — dw/dk в точке k 0. Таким образом* время, в течение которого можно считать огибающую неизмен­ ной, должно удовлетворить неравенству

Так как огибающая движется со скоростью и, то отсюда сле­ дует, что она сохраняет свою форму на. отрезке пути I, удовлет­ воряющем неравенству

^(du/dk)о(Д£)2

Для данного времени пробега Т или данной длины пробега волны I можно считать спектр узким и применять понятие групповой скорости, а огибающая волны сохранит свою форму, если выпол­ нены условия

Д * « У Ѵ д а т или

соответственно.

85

§28. Распространение широкополосного сигнала

вдиспергирующей среде

Воспользуемся теперь понятием групповой скорости для того, чтобы выяснить, как передается в диспергирующей среде волно­ вой сигнал с произвольно большой шириной спектра. Это можно •сделать, хотя для такого сигнала в целом нет какой-либо опре­ деленной групповой скорости и огибающая сигнала изменяется на рассматриваемом участке пробега волны.

В самом деле, такой широкополосный сигнал всегда можно представить в виде некоторой интерференционной картины, обра­

разных групп будут вообще различны, так как различны их несущие частоты. Поэтому по мере распространения сигнал будет «расползаться»: группы с большей групповой скоростью опередят группы с меньшей групповой скоростью и короткий исходный •импульс превратится в длинную группу, вдоль которой будет меняться не только амплитуда, но и несущая частота. При этом в голове группы будут находиться волны, для которых групповая -скорость имеет наибольшее значение, а в хвосте группы — волны с наименьшей групповой скоростью. Диспергирующая среда производит как бы спектральное разложение сигнала, раздвигая в пространстве (и по времени прихода в отдаленную точку) группы

гравитационных волн на поверхности воды превращается по мере распространения в колебание, начинающееся с больших длин волн и кончающееся короткими волнами. Например, гравита­ ционные волны цунами, вызванные зёмлетрясением на дне океана, пробежав большое расстояние по поверхности моря, обруши­ ваются на берег в виде очень длинной волны (длина свыше 1 0 км, период 10—15 и более минут), после чего приходят более корот­ кие волны высших частот. В обоих случаях первыми приходят волны с большей фазовой скоростью. Форма звукового сигнала, принимаемого в воде от дальнего взрыва, произведенного в глу­ бине моря, растягивается на многие секунды и приобретает осцил­ лирующий характер, указывающий на наличие дисперсии звука

86

при таком распространении. Аналогичная картина наблюдается и при дальнем приеме взрыва, произведенного в атмосфере или в толще земли.

Дисперсия скорости звука в атмосфере, в океане и в земной коре обусловлена неоднородностью среды и влиянием границ (дно и поверхность воды, земная поверхность). Эта дисперсия ока­ зывает сильное влияние на распространение звука. При распро­ странении в море сигнал, приходящий по воде (звук взрыва при­ ходит раньше всего по земной коре, скорость звука в которой много больше, чем скорость звука в воде), начинается с волн,, обладающих наименьшей фазовой скоростью, так как именно эти волны имеют наибольшую групповую скорость, а время прихода волн данной частоты определяется их групповой, а не фазовой; скоростью.

§ 29. Пространственное спектральное разложение по плоским волнам

Теперь вернемся к вопросу о пространственном спектральном разложении волн. В § 24 мы упоминали, что если известно рас­ пределение поля гармонической сложной волны на какой-либо плоскости, то распространение этой волны удобно изучать, раз­ лагая ее на суперпозицию гармонических плоских волн. Пусть на плоскости задано распределение давлений или нормальных скоростей частиц. Тогда, как известно из теории дифференциаль­ ных уравнений, в отсутствие волн, приходящих из бесконечности, поле в полупространстве, прилегающем к плоскости и не содер­ жащем источников звука, определяется по заданному полю на границе единственным образом.

Отсутствие источников проверяется тем, что волновое уравне­ ние удовлетворяется во всем полупространстве. Приход волн из бесконечности имеет следующие признаки; для плоских волн признаком прихода из бесконечности является отрицательность компоненты волнового вектора вдоль нормали к плоскости, обра­ щенной внутрь данного полупространства. Для полей более сложной формы признаком наличия волн, приходящих из беско­ нечности, служит следующее: если в среде есть сколь угодно' малое затухание, то для создания конечного поля на данной плоскости поле на бесконечности должно было бы быть беско­ нечным. Поэтому достаточно проверить, как будет вести себя на бесконечности поле, если, сохраняя поле на данной плоскости, ввести слабое затухание в среду. Это можно сделать, приписывая в выражениях для волн волновому числу малую положительную мнимую часть, что равносильно, как увидим в гл. XII, наличию малого затухания звука в среде. Если в результате этого ам­ плитуда той или иной волны будет стремиться к бесконечности по мере удаления от плоскости, то такая волна будет прихо­ дящей.

87

Будем ниже рассматривать случай, когда приходящих волн нет. Поле в полупространстве можно тогда считать полем, излу­ ченным заданным распределением давлений или нормальных скоростей частиц на плоскости. Давления можно осуществить силами, перпендикулярными к плоскости и распределенными с требуемой плотностью. Нормальные скорости частиц можно создать, сообщая соответственные нормальные скорости точкам плоскости.

Схема нахождения поля в полупространстве в виде суперпо­ зиции плоских волн такова. Пусть задано гармоническое поле на плоскости (давление или нормальная скорость) как некоторая функция двух координат. Разложим заданное распределение давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) по Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (опускаем амплитуду) ехр (—/со/ + і\х + іг\у), т. е. будут представлять собой двухмерные плоские волны одной и той же частоты, бегущие по плоскости г — 0 с разными скоростями. Если удастся к каж­ дой такой двухмерной волне пристроить уходящую от плоскости трехмерную волну (на это можно надеяться потому, что каждая трехмерная волна создает на плоскости двухмерную волну как свой след), то суперпозиция всех найденных уходящих волн будет иметь на плоскости заданное распределение давлений (или нормальных скоростей) и явится, в силу теоремы единственности, искомым разложением поля в полупространстве на плоские волны.

§ 30. Поршневое излучение

Начнем выполнять намеченную в предыдущем параграфе программу для простейшего случая поршневого излучения, когда на плоскости задано равномерное распределение давления или скорости частиц. В этом случае задача решается совсем просто, даже если отказаться от гармоничности волны. В самом деле, пусть на границе 2 = 0 задано равномерное распределение дав­ ления р (t) и требуется «пристроить» к этому распределению ухо­ дящую от плоскости в полупространство 2 >■ 0 волну, которая обращалась бы на плоскости 2 = 0 в эту заданную функцию времени. Легко видеть, что бегущая от границы волна

есть искомое решение.

Проследим на этом примере, к чему привел бы отказ от тре­

также удовлетворит условию на плоскости 2 = 0. Более того, волна

88

при любом А также удовлетворит условию на границе. Поставив требование ухода волны от плоскости, мы выбрали определенную акустическую ситуацию: излучение звука границей. Решение (30.2) соответствует падению волны, пришедшей из бесконечности, на идеальный поглотитель (таким поглотителем могло бы быть

три задачи отвечают вполне реальным ситуациям, каждая иэ которых дает на плоскости одно и то же поле; выбор решения определяется не только распределением давления на плоскости, но и условиями задачи в целом. Мы выбрали условие отсутствия приходящих волн; это уже определяет выбор решения (30.1) однозначно.

Попытаемся теперь пристраивать уходящие плоские волны к другим распределениям давления на исходной плоскости, при­ чем больше не будем оговаривать подразумеваемое в дальнейшем требование ухода волны на бесконечность.

§31. Пристраивание плоской волны в среде

кбегущей волне давления на плоскости

стоты to, бегущей в плоскости 2 = 0 вдоль оси х. Для того чтобы пристроить к этой бегущей волне плоскую волну в пространстве, вспомним (§ 17), что след любой гармонической плоской волны на плоскости есть двумерная волна с той же частотой и ампли­ тудой давления и с волновым числом, равным проекции волно­

На рис. 31.1 дано построение для нахождения искомого вол­ нового вектора. На оси х отложен отрезок £ и из конца его вос­ становлен перпендикуляр в плоскости хг до пересечения с окруж­ ностью, описанной в той же плоскости радиусом k = со/с из. начала отрезка. Волновой вектор искомой волны соединяет центр окружности с точкой пересечения. Решений оказывается два: одно соответствует волне, бегущей от плоскости, — это и естьнужное нам решение; второе соответствует волне, приходящей из бесконечности, и поэтому мы должны его отбросить. Компо­ нента по оси 2 волнового вектора пристроенной волны равна

Y k 2— I 2, так что окончательное решение для уходящей волны

89•