книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

По такому же рецепту можно решать и задачу о прохождении звука через слой, через последовательность слоев и т. п. Все задачи о падении плоской волны на любую «многослойную» среду можно решать при помощи уравнений, полученных для нормального па­ дения, выполняя соответственные замены медленностей звука в каждом слое на соответственную проекцию медленности. Этим способом вся теория длинных линий переносится на случай на­ клонного падения.

Есть все же одна особенность наклонного падения, не имеющая аналогии в теории длинных линий: это падение на границу двух сред под закритическим углом падения; отражение при этом пере­ стает быть правильным. Поэтому для волн произвольной формы этот случай нужно исключить. Но для гармонических волн попрежнему можно пользоваться формулами теории длинных линий, имея только в виду, что для закритических углов придется поль­ зоваться комплексными углами преломления или, что то же, вво­ дить мнимую компоненту медленности по оср z или мнимую компо­ ненту волнового вектора. Такой случай в одномерной задаче (при нормальном падении) встретиться не может.

Применим сказанное для нахождения отражения и прохожде­ ния через слой гармонической плоской волны при наклонном па­ дении. Для этого в формулах (49.15) для нормального падения

заменим п на У п 2— cos2 Ѳ/sin Ѳи k на k sin Ѳ:

Отсюда получается, в частности, условие полного прохождения звука через слой:

ния прошедшей волны в слое. Это значит, что на толщине слоя укладывается целое число полуволн следа волны на оси z в слое. Таким образом, пластина может служить монохроматором для слу­ чая наклонного падения, причем одна и та же пластина будет про­ пускать при разных углах падения волны разной частоты. С дру­ гой стороны (и этому нет аналогии для нормального падения волны на слой), пластина может служить монохроматором и для волн

’■ 200

одной и той же частоты, но идущих с разными углами падения: полностью будет пропускаться только одно направление падения. Как и для нормального падения, монохроматизация будет тем более острой, чем больше различие свойств среды и слоя. В при­ мере, приведенном в § 49, отклонение направления падения волны от нормального на 1 0 ' уже приведет к отражению половины энер­ гии, а на 30' — к отражению 99% падающей энергии. При косом падении на пропускающий слой избирательность будет еще гораздо больше.

При закритических углах скольжения полного прохождения не произойдет. В самом деле, в этом случае аргумент тангенса станет мнимым, а тангенс от мнимого аргумента (гиперболический тангенс) никогда в нуль не обращается (кроме неинтересного слу­ чая нулевой толщины слоя). Выражения для коэффициентов отра­ жения и прохождения выразятся при закритических углах сколь­ жения формулами

Ни <2/, ни ffl никогда не обращаются в нуль. Коэффициент прохождения убывает с -увеличением толщины слоя экспонен­ циально. Особый интерес представляет падение в точности под критическим углом. Тогда формулы принимают вид

При увеличении ^толщины пластины амплитуда прошедшей волны убывает в этом случае не экспоненциально, а медленнее: при больших значениях kh коэффициент прохождения убывает как Mkh.

N

Г Л А В А VII

ВОЛНЫ В УЗКИХ ТРУБАХ

§ 61. Узкие трубы „

Цилиндрическую трубу с абсолютно жесткими стенками можно рассматривать как длинную линию, поскольку вдоль такой трубы может бежать одномерная волна любого профиля. В широких трубах могут распространяться также и неодномерные волны, но если труба достаточно узкая, распространение других волн не­ возможно: всякое неодномерное возмущение быстро затухает вдоль трубы. Термин узкая труба имеет относительный смысл: в гл. VIII мы покажем, что для звука с длиной волны X труба пря­ моугольного сечения со стороной L будет «узкой» при L ■< Х/2, а круглая труба радиуса а будет «узкой» при а <0,61Х.

Если труба «очень» узкая, т. е. L <С Х/2 или а •С 0,6IX, то, как мы уже упоминали в.§ 52, распространение волны в ней не зави­ сит от того, прямая ее ось или изогнутая или даже имеет изломы: во всех случаях давление и скорость частиц, оставаясь практиче­ ски постоянными по всему сечению трубы, зависят только от одной координаты — расстояния, отсчитываемого вдоль оси трубы. Скорость волн, отсчитываемая вдоль оси трубы с жесткими стен­ ками, всегда равна скорости звука в неограниченной среде *).

Если труба не узкая, то считать ее длинной линией можно, только если труба прямая и только для плоской волны, бегущей вдоль оси трубы; в такой трубе возможны, однако, и волны других типов.

В этой главе будем заниматься главным образом стоячими волнами в отрезках узких труб, закрытых крышками.

§ 62. Гармонические волны в узкой трубе

Хотя в данной главе мы будем изучать стоячие волны, сделаем предварительно несколько замечаний о распространении звука в неограниченных узких трубах. В таких трубах могут распростра­ няться гармонические волны любой частоты. Самый общий вид

*) В случаях изломов трубы и вообще крутого изгибания трубы появляется и отраженная волна, однако при поперечнике трубы, малом по сравнению сдлиной волны, амплитуда отражения очень мала.

202

гармонической волны данной частоты со можно записать, например, в одном из следующих видов (множитель е~ш , как обычно, опу­ скаем):

Любую из этих трех формул можно получить из любой другой соответственным подбором коэффициентов (вообще говоря, ком­ плексных), и любая из этих формул может изображать как бегу­ щую, так и стоячую волну, а также квазистоячую волну с любой степенью бегучести. Так, бегущую волну ё кх можно получить из формулы (62.1), если положить в ней А•= 1, В = 0, из формулы (62.2), если положить в ней А = 1, В = і, и из формулы (62.3), если положить в ней А = sec а и устремить а к іоо.

В каждое из выражений (62.1), (62.2) и (62.3) входят четыре произвольные постоянные: вещественные и мнимые части вели­ чин А и В или А и а.

Фазу комплексной амплитуды бегущей волны можно изменить как угодно, как переносом начала отсчета времени, так и перено­ сом начала отсчета координат; для бегущей волны таким подбором начала отсчета всегда можно получить, например, вещественную амплитуду. Для стоячей волны переносить начало отсчета коорди­ нат нельзя, не меняя формы записи (например, при смещении начала координат на четверть волны функция cos kx переходит в sin kx): начало отсчета определено с точностью до целого крат­ ного длины волны.

Обычно запись (62.1) (при В = 0 или А — 0) применяют для бегущих волн, а запись (62.2) и (62.3) — для стоячих волн, хотя, как указано выше, можно, пользуясь комплексными постоянными, переходить от одной формулы к другой. Но при выборе веществен­ ных значений амплитуд и фаз термин «стоячая волна» по отноше­ нию к записи (62.2) или (62.3) или термин «бегущая волна» по отношению к записи (62.1) имеют обычный смысл. В дальнейшем будем считать, что амплитуды и фазы вещественны.

Любую гармоническую волну в трубе можно представить в виде суперпозиции стоячей и бегущей волны. Действительно, (62.1) при любых А и В можно записать в виде

Аеікх + Be~lkx = 2В cos kx 4- {A — B) e£kx.

В этой записи волна представлена в виде суперпозиции стоя­ чей волны и волны, бегущей в положительном направлении. Это не значит, однако, что энергия в волне также переносится в положи­ тельном направлении. В самом деле, ту же волну можно предста­ вить как суперпозицию стоячей волны и волны, бегущей в отрица­ тельном направлении:

Aeikx 4- Ве~ікх = 2Л cos kx 4- {B — A) e~ikx.

203

Таким образом, разбиение данной волны на стоячую и бегущую неоднозначно. Парадокса с направлением переноса энергии нет, так как потоки энергии в данном случае не аддитивны: мы видели в § 39, что аддитивность имеет место только для бегущих волн. Перенос энергии (в той степени, в которой о нем можно говорить для гармонических волн) будет происходить в ту сторону, для ко­ торой модуль амплитуды-Л или В больше.

§63. Ограниченные трубы. Собственные колебания

вограниченных трубах

Вузкой неограниченной трубе, как и в неограниченной среде, могут существовать свободные гармонические волны любой ча­ стоты, как бегущие, так и стоячие. Иначе обстоит дело с волнами

вконечном отрезке трубы, закрытом крышками, через которые звук не проходит. В таком отрезке трубы возможны только стоя­ чие волны, и притом только определенных дискретных частот. Эти стоячие волны называют собственными колебаниями трубы.

Основная задача о звуке в отрезке трубы заключается в нахожде­ нии этих дискретных частот собственных колебаний.

Начнем с простейшего случая труб, закрытых абсолютно жест­ кими или абсолютно мягкими крышками. Конечно, осуществление таких крышек возможно только с некоторой степенью точности: практически крышка может быть только достаточно жесткой или достаточно мягкой, в том смысле, что дальнейшее увеличение сте­ пени жесткости или податливости крышки уже не меняет заметно искомые частоты стоячих волн. Для труб, заполненных газом, осу­ ществление достаточно жестких крышек труда не представляет. Для жидкости крышка из твердого материала будет достаточно жесткой только при достаточной ее толщине; заметим, что при за­ полнении трубы жидкостью возникает также и вопрос о достаточ­ ной степени жесткости боковых стенок (см. ниже, § 6 8 ).

Абсолютно мягкой «крышкой» явится, конечно, граница, с ва­ куумом. Но такая граница неосуществима для газов. Почти абсо­ лютно мягкая «крышка» узкой трубы осуществляется гораздо проще — открыванием конца трубы: практически давление (зву­ ковое, а не атмосферное!) у открытого конца трубы равно нулю (расталкивать частицы среды в стороны в неограниченной среде легче, чем продвигать в одном направлении столб среды длиной порядка длины волны). Все же давление у открытого конца не

вточности равно нулю. Мы еще вернемся к этому вопросу при рас­ чете излучения звука открытым концом трубы.

Итак, обратимся к расчету частот гармонических колебаний, возможных в ограниченной трубе. Начнем со случая идеальных крышек,- На абсолютно жестких крышках скорости частиц обра­ щаются в нуль. Поэтому на крышках должны оказаться пучно­ сти давления, и, следовательно, на длине трубы уложится целое число полуволн. Отсюда следует, что для волновых чисел при

204

собственных колебаниях должно удовлетворяться уравнение

где L — длина трубы и I = 1, 2, 3, . . . Каждому значению I соответствует значение kt = ЫІЬ волнового числа стоячей волны, возможной в данной трубе; никаких других гармонических волн в трубе быть не может. Этот набор волн образует полнуюсистему гармонических волн в трубе с жесткими крышками. Давление в волне номера I распределено вдоль трубы по закону

Распределение скоростей частиц дается формулой

Собственное колебание наименьшей частоты называют основным, тоном, колебания высших частот — обертонами. В трубе с жест­ кими крышками частоты обертонов относятся к частоте основного тона как целые числа; такие обертоны называют гармоническими.

Отметим весьма важное свойство так называемой ортогональ­ ности. собственных‘колёбанййГ"

Из свойств ортогональности и полноты набора собственных ко­ лебаний в трубе следует, что любое свободное колебание в трубе можно однозначно представить как суперпозицию собственных колебаний, взятых с теми или иными амплитудами (см. § 6 6 ).

Аналогично найдем свободные колебания и в трубе с абсолютно мягкими крышками: на крышках должны лежать узлы давления, а следовательно, вдоль трубы снова должно укладываться целое число полуволн. Соответственное условие снова имеет вид (63.1). Распределения давлений и скоростей в трубе с открытыми концами имеют вид

205

Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц — та­ кое же, как распределение амплитуд скоростей и давлений соответ­ ственно в трубе с жесткими крышками. Частоты собственных коле­ баний оказываются такими же, как и в трубе той же длины с жест­ кими крышками. Обертоны открытой трубы также гармонические. Выполняется также условие ортогональности всех собственных колебаний, и они образуют полную систему функций: других гар­ монических колебаний в трубе быть не может.

В трубе с одной абсолютно же­ сткой и другой абсолютно мягкой крышкой на первой из них долж­ на оказаться пучность, а на вто­ рой — узел давлений. Поэтому на длине трубы должно укладываться нечетное число четвертей длин волн. Это дает следующее условие для волнового числа:

Формы первых трех колебаний показаны на рис. 63.2. Частоты по­ следовательных волн равны

со/ = - 1 пс. (63.8)

Органные трубы делают двух типов: открытые с обоих концов («открытые трубы») и открытые с одного и жестко закрытые с дру­ гого конца («закрытые трубы»). Открытый конец равносилен абсо­ лютно мягкой крышке. Поэтому при игре на органе в «открытых» трубах возбуждается весь набор гармонических обертонов основ­ ного тона, а в «закрытых» — только нечетные обертоны. Это при­ водит к характерному различию тембров этих двух типов труб.

§64. Труба, ограниченная крышками

сконечной проводимостью

Дискретный набор обертонов получается и для любых неидеаль­ ных звуконепроницаемых (т. е. полностью отражающих) крышек трубы, но, вообще, обертоны в этом случае негармонические. Оха­ рактеризуем крышки трубы входными проводимостями. Для звуко­

205

непроницаемых крышек проводимости должны быть чисто мни­ мыми; вообще говоря, они могут зависеть от частоты. Обозначим проводимость первой крышки через У0 и возьмем на этой крышке начало координат. Проводимость второй крышки, имеющей коор­ динату х = L, обозначим через УL- Граничные условия для давле­ ния и скорости каждого из собственных колебаний трубы имеют вид

ѵір = — У0 при X = 0; vtp = Y L при х — L.

Знак минус в первой формуле указывает на то, что направление «входа» в первую крышку противоположно положительному на­ правлению оси X. Искомые решения можно записать в виде р =

— cos (kx — а). Тогда

ѵ = - ^ - ъ \ п { к х - а ) и ^ - = - - ± - \ g {k x ~ a ) .

Подставляя в граничные условия, получим

tg а = — ipcYо, tg (kL — а) •-= —ipcYL.

Эти уравнения можно записать по другому:

а = —arctg (ipcY0), kL — а = —arctg (г'рсУ^).

Согласно сказанному выше аргументы в правых частях равенств вещественны *). Складывая эти уравнения, найдем

kL = = — arctg {ipcY0) — arctg (ipcYL).

Это есть частотное уравнение колебаний в трубе с заданными проводимостями крышек.

В силу многозначности обратных тригонометрических функций удобно сделать приведение углов к первой четверти. Тогда частот­ ное уравнение можно записать в виде

где оба арктангенса подмодулю меньше п/2, а I принимает значе­ ния 0, 1, 2, . . . Каждому значению I соответствует обертон трубы. Частотное уравнение можно рассматривать и как уравнение отно­ сительно частоты со собственных колебаний, и как уравнение отно­ сительно величины kL, которая пропорциональна этой частоте. Величина kL/2n есть число длин волн, укладывающихся на длине трубы.

К уравнению (64.1) можно прийти и по-другому исходя из пред­ ставления собственных колебаний в трубе в виде суперпозиции двух_ плоских волн, бегущих в противоположных направлениях и переходящих друг в друга при отражениях от крышек. Получим

*) Заметим, однако, что те же уравнения, мы получили бы и при проводимо­ стях не чисто мнимых, а имеющих и вещественную часть. Эти случаи рассмотрим в следующем параграфе.

207

частотное уравнение, исходя непосредственно из коэффициентов отражения крышек. Пусть коэффициенты отражения крышек при падении на нихгармоническойволныравны^ои^ісоответственно. Эти коэффициенты могут быть функциями частоты. Пусть в трубе, закрытой такими крышками, происходят собственные колебания частоты (пока неизвестной) со. Поле в трубе можно написать в виде суперпозиции двух волн:

р = еікх -\-Ae-ikx.

взаимно переходящих друг в друга при отражении от крышек. У крышки X = 0 падающая волна есть Ае~ікх, а отраженная волна есть еікх. Следовательно, у этого конца трубы должно выполняться равенство 1 = А С170. На втором конце трубы падает волна е(кх и от­ ражается волна Ае~ікх. Следовательно, должно выполняться ра­ венство °17LeikL = Ae~ikL. Исключая А из полученных равенств, найдем искомое частотное уравнение

В этом уравнении частота входит как в k, так и в коэффициенты отражения. От этого уравнения легко вернуться к частотному уравнению, содержащему проводимости. В самом деле, согласно (45.2) коэффициенты отражения выражаются через проводимости крышек У„ и YL формулами

= I V L I exp [2t arctg (t'pcYL)].

Отсюда видно, что показатель экспоненты должен быть целым кратным 2пі.

Следовательно,

kL + arctg (ірсУ0) + arctg (ipcYL) = ln,

что совпадает с формулой (64.1), полученной другим способом. Рассмотрим, как меняются собственные частоты трубы при за­

мене идеальных границ крышками с конечной проводимостью. Так как проводимости обеих крышек входят в частотное уравнение одинаково, то достаточно выяснить характер изменений при за­ мене только одной из них. Поэтому будем считать, что одна граница (например, левая) абсолютно жесткая, т. е. У0 = 0, ,

208

Для реактивных крышек величина iY L вещественная, положи­ тельная для крышек упругого типа и отрицательная для крышек массового типа. Значит, крышка упругого типа понижает, а крышка массового типа повышает собственные частоты трубы. Относитель­ ное изменение частоты составляет для колебания номера /

где со о — собственная частота данного колебания при второй жест­ кой крышке, а значение проводимости (вообще зависящей от ча­ стоты) должно быть взято при уже измененной собственной частоте -со0 + Асо, а не при застоте ©„.

На рис. 64.1 даны распределения скорости измененного соб­ ственного колебания трубы с левой жесткой крышкой и правой упругой и массовой. В трубах с неидеальными крышками узел скорости смещен от крышки: длина волны изменилась соответ­ ственно изменению собственной частоты колебания. Отрезок от узла до узла скорости равен длине трубы, снабженной обеими жест­ кими крышками, имеющей ту же собственную частоту, что и дан­ ная труба с неидеальной крышкой. Эта, эквивалентная длина больше фактической длины трубы при упругой крышке и меньше при массовой. Относительная разность фактической и эквивалент­

Пусть крышка осуществлена в виде безмассового поршня, удер­ живаемого пружинкой с коэффициентом упругости (на единицу площади трубы), равным х. Тогда iYL = со/х, и уравнение (64.3) примет вид

tg kL = — pc = — -g - kL.

На рис. 64.2 показано, как решать графически это транс­ цендентное уравнение для kL. Значения kL для последовательных собственных колебаний найдутся как абсциссы точек пересечения последовательных ветвей тангенсоиды tg kL с прямой, угловой коэффициент которой равен взятому с обратным знаком отношению двух коэффициентов упругости: коэффициента упругости рc2/L столба среды единичного сечения длины L и удельного коэффи­ циента упругости X крышки.

Из графика видно, что обертоны не гармоничны: нарушение гармоничности наибольшее для первых номеров колебаний; при увеличении номера колебания последовательность частот стремится

209