книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

§ 23. Разложение Фурье волны с произвольной зависимостью от времени

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагае­ мых на временную зависимость волны р (t, г), которые будем считать выполненными, можно представить волну в виду супер­ позиций гармонических волн различных частот путем разложе­ ния по Фурье функции р. Эти условия таковы: если функция

мени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спа­ дание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплекс­ ным представлением волн.

где

СО

Ав(г) = -2 )Г J р Ѵ’ Г) e'ai(it

Коэффициенты рш (г) называют спектральной плотностью ампли­ туды разложения. Элементы интеграла в области от —оо до нуля —

волны с отрицательными частотами. В этой области ра = р1ш. Покажем, что каждое из гармонических слагаемых, т. е. член ряда р„ (г) или элемент интеграла da рш(г) е~ш , яв­ ляется волной, способной распространяться в данной среде. Математически это значит, что гармонические слагаемые должны

каждое в отдельности удовлетворять уравнению (2 2 .2 ).

Волна р (t, г) удовлетворяет по условию волновому уравнению

Гармоническую компоненту ряда или интеграла можно записать,

70

опуская постоянный множитель, в виде

для компоненты номера п есть /гео 0; для непериодической функции

времени в пределах от а до Ь. В первом члене, меняя порядок

IАр еш dt = А J р еш dt = Арш.

Во втором члене дважды произведем интегрирование по частям:

Но для периодической функции значения функции и ее производ­ ных на концах интервала длиной в один период равны между собой, поэтому первые два члена исчезают. Для непериодической функции эти члены исчезают потому, что по условию сама функ­ ция р исчезает на бесконечности. Следовательно,

Отсюда получим, подставляя в проинтегрированное уравнение, Арео + ^Рш = О,

т. е. компоненты Фурье действительно удовлетворяют уравнению Гельмгольца, а значит, члены разложения данной волны действи­ тельно являются волнами, каждая из которых может распростра­ няться независимо от других.

Доказанная теорема имеет важнейшее значение: она придает физический смысл разложению Фурье по времени. Эта математи­ ческая операция имеет смысл замены волны с произвольной вре­ менной зависимостью суперпозицией волн со стандартной зави­ симостью от времени — гармонической зависимостью.

71

Ответ на этот вопрос зависит от акустической ситуации. Если известно поле данной гармонической волны на плоскости, то в качестве стандартного набора можно взять плоские гармони­ ческие волны (мы увидим в § 33, что это возможно только при некотором обобщении понятия плоских волн), если известно поле на сфере, то удобно производить разложение в спектр по набору так называемых сферических волн, и т. п. В данной главе рассмот­ рим разложение поля, по плоским волнам. Для этого теперь изучим подробно плоские волны и их обобщения.

§ 25. Плоские гармонические волны

Произвольную плоскую волну можно разложить в спектр, т. е. ее можно представить в виде суперпозиции плоских же гармонических волн (оговорки — те же, что и выше для спек­ трального разложения любой волны). Напишем в комплексной форме бегущую плоскую гармоническую волну. Как указано в § 17, выражение для плоской волны (в векторной записи) полу­ чается из выражения для временной зависимости в точке путем

где ро — постоянная (вообще— комплексная). Эту постоянную будем называть комплексной амплитудой плоской волны. Для гармонических волн удобно пользоваться вместо вектора медлен­ ности S пропорциональным ему волновым вектором к = aS. Плоская гармоническая волна записывается тогда в виде

= const, перпендикулярными к к. Комплексная амплитуда коле­ бания в какой-либо точке есть р 0 ехр (ikr) и равна амплитуде волны р о (общей для всех точек), умноженной на фазовый множи­ тель ехр (ikr). Если в той или иной задаче амплитуда волны не­ существенна (например, при нахождении коэффициента отражения волны от препятствия), то амплитуду, как и временной множитель, опускают:

Для того чтобы вернуться к вещественной записи плоской волны, необходимо предварительно восстановить оба комплекс-

73

В плоской гармонической волне зависимость от координат в дан­ ный момент времени также является синусоидальной, как и вре­ менная зависимость в каждой данной точке. Фаза е комплексной амплитуды волны окажется существенной, только если придется иметь дело одновременно с несколькими волнами. Имея дело только с одной волной, всегда можно выбрать начало отсчета времени, например, так, чіюбы амплитуда волны была веще­ ственна (е = 0 ).

Для плоской волны можно написать разложение Фурье, при­ нимая за аргумент вместо времени линейную комбинацию t — Sr. Тогда спектр разложения не будет зависеть от координат. Разло­ жение для волны, бегущей вдоль оси х, имеет вид

(при k = м/с) для непериодической волны, разложимой в интеграл Фурье по времени. Отсюда видно, что волна в каждый момент времени оказывается разложенной в спектр по координатам, т. е. представлена в виде суперпозиции синусоидальных простран­ ственных распределений. Амплитуды спектров разложения р„ (или Po) не зависят ни от координат, ни от времени.

Кроме плоских волн, разложимых в ряд или в интеграл Фурье, возможны еще волны, хотя в таком виде и не представимые, но которые все же можно выразить в виде суперпозиции гармониче- ' ских плоских волн. Такими волнами будут, в частности, волны вида

74

получим из (25.2) координатное представление плоской гармони­ ческой волны:

ky — k cos ß, kz = k cos у равны волновым числам следов волны на координатных осях. Так как эти проекции меньше модуля волнового вектора, то медленность следов меньше, чем медлен­ ность волны, а скорость следов больше скорости волны.

На координатных плоскостях следы волны представляют собой

kx -(- kl — ^ sin у, равным проекции волнового вектора k на пло­

скость 2 = 0. Скорость этого следа также больше скорости волны. Из уравнения (22.2) следует

Каждая комбинация трех вещественных чисел kx, ky, kz, удовлетворяющих уравнению (25.7), соответствует плоской гар­ монической волне данной частоты, бегущей в направлении, опре­ деляемом направляющими косинусами

cos а = kjk, cos ß = kylk, cos у = kjk.

Часто располагают какую-либо координатную плоскость (на­ пример, плоскость xz) параллельно волновому вектору данной

сительно оси X или относительно плоскости ху.

Комплексная форма записи удобна не только для звуковых, но и для любых гармонических волн. Так, температурную волну

§ 26. Сохранение формы бегущих гармонических плоских волщ Дисперсионное уравнение

В средах, подчиняющихся волновому уравнению, плоская волна любой формы распространяется без искажения. В других средах этим свойством обладают только гармонические плоские волны. Единственное условие, налагаемое, при этом на среду, —

75

это ее линейность: в среде должен быть справедлив принцип су­ перпозиции, и, кроме того, если в среде может распространяться какая-либо волна, то волна, отличающаяся только множителем при давлении,- скорости частиц и т. п., также может распростра­ няться в данной среде. Уравнение, которому подчиняется, напри­ мер, давление р в такой среде, можно записать в виде

Докажем свойство сохранения формы гармоническими волнами произвольной частоты или произвольной длины волны для такой среды. Для этого нужно доказать, что в числе решений уравне­

для любой длины волны (и соответственной частоты) или для любой частоты (и соответственной длины волны).

Пусть оператор 9? переводит некоторую функцию р в некото­ рую функцию q:

Если q = 0, то соответственная функция р представляет собой свободную волну в среде. Возьмем р в виде (26.2) и, подставив в (26.3), продифференцируем обе части этого равенства по времени.

Всилу линейности и однородности оператора дифференцирование

идействие оператора можно переставлять между собой, так что

где q от времени уже не зависит, но вообще зависит от со. Под­ ставляя это выражение в (26.3), получим уравнение, в котором временные зависимости отсутствуют и содержащее частоту какпараметр. Например, для волнового уравнения получится урав­

нение Гельмгольца относительно амплитуд колебаний q в разных точках. Далее, дифференцируя (26.3) по координатам, найдем снова в силу тех же свойств оператора

Ѵр = 99£ (р) = 3? (Ѵр) = 3 (ikp) = ikSS (р) = ikq,

т. е. Ѵр = ikq. Отсюда следует, что q можно представить в виде

q = f (о, k) exp (— m t + ikr),

где / может зависеть, помимо со и k, только от коэффициентов опе­ ратора.

76

При произвольных а» и k функция ехр (— m t + ikr), конечно, не представит волну, которая могла бы распространяться в дан­ ной среде, так как вообще эта функция не является решением уравнения (26.1). Но если выбрать со и А; так^чтобы выполнилось условие

то будет и q = 0 , и для такой комбинации со и к уравнение (26.1) будет удовлетворено: соответственная монохроматическая волна в среде сможет распространяться как свободная. Вообще каждому значению со будет соответствовать решение уравнения (26.4) относительно к и каждому значению k будет соответствовать решение уравнения (26.4) относительно частоты со. Для изотроп­ ной среды это уравнение может содержать только модуль волно­ вого вектора, так что уравнение можно привести к виду

Уравнение (26.5) называют дисперсионным уравнением для данной среды. Например, дисперсионное уравнение, соответст­ вующее волновому уравнению (16.1), есть

k 2 — со Ус2 = 0 ,

где с — постоянная. Дисперсия в средах, описываемых волновым уравнением, таким образом, отсутствует: фазовая скорость гармо­ нической волны любой длины есть с.

Пример дисперсионного распространения дают изгибные волны на стержне. Как известно из курса сопротивления материалов, уравнение для поперечного смещения £ стержня при малых коле­ баниях можно записать в виде

д% , _P _É^ _n

дх* ~r G dt2 ~ ’

где G — коэффициент изгибной жесткости. Отсюда, подставляя решение вида ехр (— m t + ikx), найдем дисперсионное уравне­ ние изгибных волн в виде.

(в § 7 мы применили другой способ нахождения этого дисперси­ онного уравнения). Зависимость фазовой скорости от частоты или волнового числа имеет вид

Еще пример — морские волны на поверхности воды («грави­ тационные волны»). Как известно из гидродинамики, на поверх­ ности несжимаемой жидкости, находящейся в поле силы тяжести,

77

могут распространяться поверхностные волны. Потенциал ско­ рости таких волн удовлетворяет уравнениям

Ä<p=0. 3 + T - S * “ 0-

Первое из этих уравнений — условие несжимаемости среды, вто­ рое — уравнение движения поверхностной волны. Поверхност­ ную волну можно найти в виде ф = ехр (— m t + ikx -f- kz). Подставляя это выражение, автоматически удовлетворяющее тре- ' бованию несжимаемости среды, в уравнение движения, найдем

дисперсионное уравнение в виде

Скорость поверхностных волн зависит от частоты или волнового

что, в отличие от изгибных волн на стержне, соответствует нор­ мальной дисперсии.

Спектральный подход к решению задач акустики требует нахождения всех монохроматических волн, способных распро­ страняться в данной среде. В принципе это можно сделать, решая дисперсионное уравнение относительно со или относительно k (фактически такое решение может оказаться очень трудным).

всегда имеет место дисперсия: случай волнового уравнения, когда дисперсия отсутствует, — исключение, но исключение очень важ­ ное: это, как мы видели, уравнение волн в свободной неограни­ ченной среде.

В акустике встречаются два принципиально различных типа дисперсии. Один тип обусловлен физическими свойствами среды: зависимостью упругих напряжений не только от деформаций, но и от скорости изменения деформации. В плоской звуковцй волне в неограниченной среде возможен только этот тип диспер- •сии. Он всегда сопровождается поглощением звуковой энергии. Классические примеры таких сред-— лед, вар. При малой ско­ рости деформирования возникающие упругие силы малы, и за достаточно долгое время эти тела могут растекаться подобно жид­ костям под действием собственного веса. Но при резком ударе возникающие силы — такие же, как в обычных твердых телах: кусок льда или вара разбивается при таком ударе на осколки. Поэтому в таких телах при разной частоте колебаний скорость волн различна: с ростом частоты всегда растут'и упругие силы,

78

скорость звука увеличивается (аномальная дисперсия). Опыт показал, что такой дисперсией обладает также ряд жидкостей и многоатомные газы. «Область дисперсии», т. е. частотный диапа­ зон, в котором зависимость упругости от частоты заметна, ме­ няется в различных веществах от долей герца до тысяч мегагерц. Более подробно этот тип дисперсии рассмотрен в гл. XII.

Другой тип дисперсии обусловлен границами среды, в которой распространяется волна, и не зависит от свойств среды. Этот тип с поглощением звука не связан и целиком определяется кинема­ тикой волнового движения в ограниченной среде. Такова, напри­ мер, рассчитанная выше дисперсия скорости изгибных волн в стержне. Физическая картина дисперсии для изгибных волн заключается в том, что коэффициент упругости стержня растет при уменьшении длины изгибаемого участка; поэтому с умень­ шением длины волны, т. е. с увеличением частоты, скорость волн

§ 27. Групповая скорость. Распространение узкополосного сигнала

Монохроматическая волна не может передать никакой инфор­ мации, никакого сигнала: в такой волне в каждой точке проис­ ходили, происходят и всегда будут неизменно происходить гармо­ нические колебания. Чтобы передать сигнал при помощи волны, необходимо, чтобы в ней что-нибудь менялось, чтобы волна была модулирована тем или иным способом, например, чтобы она дли­ лась ограниченный промежуток времени. Это уже не будет моно­ хроматическая волна; такой сигнал можно рассматривать как интерференционную картину, образованную суперпозицией гар­ монических волн разных частот. Информацию передаст именно эта интерференционная картина.

Но в диспергирующей среде сама интерференционная картина меняется, так как компоненты разных длин волн распростра­ няются с разной скоростью. Таким образом, в диспергирующей среде передаваемая информация оказывается искаженной.

Какова глубина этого искажения и в какой мере все-таки можно передавать сигнал в диспергирующей среде, можно выяс­ нить при помощи фурье-представления волны.

Выясним раньше всего, как найти изменение данного профиля волны при ее распространении в среде с заданным законом диспер­ сии. Для этого достаточно выполнить следующие действия: раз­ ложим по Фурье данный профиль на сумму синусоид различных длин волн и припишем каждой синусоиде временной множитель соответственно дисперсионному уравнению среды, как сказано в предыдущем параграфе. Каждая из полученных таким образом компонент — свободная гармоническая волна, фазовая скорость

79