книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

емкость. Если объем элемента остается в процессе теплопередачи неизменным, то С есть теплоемкость при постоянном объеме; если неизменно давление, то С есть теплоемкость при постоянном дав­ лении. Суммируя сказанное, приходим к выводу, что температура в неоднородно нагретой среде меняется по закону

где %= х/рС есть температуропроводность вещества. Например, для воздуха при 20 °С и нормальном давлении %р =

= х/рСр = 0,18 см2/сек; %ѵ — х/рСѵ = 0,25 смѴсек. Для воды Хр^Хѵ = 0,0014 см2/сек.

Теперь решим поставленную выше задачу о передаче тепла в среду от плоскости с заданной переменной температурой. Ре­ шение уравнения (19.1) будем искать в виде плоской синусоидаль­ ной волны т: амплитудой, экспоненциально убывающей по мере

Условия на границе удовлетворяются таким решением авто­ матически, а величина £х определяется при подстановке (19.2) в (19.1):

| х = іЛ>/2х.

Таким образом, распределение температур — быстро убываю­ щая температурная волна, бегущая от плоскости в среду. Ее вол­ новое число и коэффициент затухания равны друг другу. Ампли­ туда колебаний температуры спадает в е раз на расстоянии

8Х= 1 /|х = У 2х/арС = Ах/2п,

где Ах обозначает длину температурной волны. Расстояние бх можно считать «глубиной прогревания» при данной частоте. На расстоянии же одной длины температурной волны амплитуда спа­ дает в 535 раз, т. е. в обычных условиях до пренебрежимой ве­ личины.

Найденные соотношения объясняют малую роль теплопровод­ ности при распространении звука в однородной среде, о чем мы уже говорили. В самом деле, степень выравнивания температур между сжатыми и разреженными участками в звуковой волне могла бы быть велика, только если глубина прогревания была бы сравнима с длиной звуковой волны. Но соотношение между этими величинами делается ясным из рис. 19.1, на котором показано, как зависят от частоты волновое число звуковой волны k = со/с и волновое число температурной волны | х. Первый график — пря­ мая, второй —- парабола. Мы видим, что в низкочастотной области

60

'спектра волновое число температурных волн очень велико по сравнению с волновым числом звуковых волн: глубина прогрева­ ния относительно мала по сравнению с масштабом неоднородности температуры и процесс распространения звука действительно можно считать адиабатическим.

Переход к изотермичности процесса, а значит, и переход от лапласовой к ньютоновой скорости звука мог бы наблюдаться только при приближении к точке пересечения графиков со'. Однако

Рис. 19.1. Волновые числа звуковых и температурных волн. Почти весь рису­ нок лежит в диапазоне частот, при которых распространение звука уже прекра­ тилось: в выбранном масштабе диапазон распространяющихся волн — малый участок вблизи начала координат.

для всех реальных сред при частоте, приближающейся к ©', рас­ пространение звука уже практически прекращается. Например,' для воздуха точка перехода соответствует примерно 2 -ІО10 гц, что отвечало бы длине волны звука около ІО-6 см — меньшей длины свободного пробега молекул. При этой частоте никакого распространения звука уже нет. Пока звук распространяется, его скорость в любой однородной среде всегда можно считать лап­ ласовой.

В микронеоднородной же среде температурная неоднородность задается самой структурой среды: размерами неоднородностей. В ней частота перехода со" определяется соотношением между

происходит при сравнительно низких частотах. При высоких ча­ стотах теплообмен ослабляется. На рис. 19.1 горизонтальный пунктир отвечает обратной величине характерного размера а не­ однородностей (например, радиуса зерен эмульсии). Точка пере­ сечения этой лрямой с параболой волновых чисел температурной волны лежит в области перехода от ньютон-лапласовой скорости к лаплас-лапласовой скорости звука в эмульсии.

Глубины прогревания для воздуха и для воды равны (частота / выражена в герцах):

8Х(воздуха) = 0,24/1//, бх(водй) = 0,021/]//.

61

Глубина прогревания меняется с изменением частоты мед­ ленно — обратно пропорционально корню квадратному из ча­ стоты. Поэтому, например, в воде глубина прогревания у поверх­ ности при сезонных изменениях температуры воздуха (период— один год,- f = 0,000000032 гц) составляет всего 1,2 м. Фактически наблюдаемое летнее прогревание до глубин в сотни метров вызвано-

в земле амплитуда годовых (не говоря уже о суточных) колебаний температуры мала уже на сравнительно небольшой глубине — порядка 2—3 м. На такой глубине температура весь год мало от­ личается от среднегодовой.

В умеренном климатическом поясе водопроводные трубы на

Зная глубину прогревания при той или иной частоте, можно найти, при каких частотах звука произойдет заметное выравни­ вание температур между компонентами в эмульсии, т. е. найти дисперсионную область для эмульсии. Дисперсионная область лежит вблизи частоты, при которой глубина проникновения близка к радиусу зерен эмульсии. Например, для эмульсии бензола в воде

(для бензола бх = 0,0175/Ѵ7 см) при размере зерен эмульсии микрон эта критическая частота лежит вблизи 5 кгц. При частотах много ниже 5 кгц скорость звука в эмульсии соответ­ ствует микроизотермическому процессу, а при частотах много

выше — микроадиабатическому.

В вопросе о передаче движения в среду вязкостью достаточно» рассмотреть такую задачу: пусть плоскость х = 0, осуществлен­ ная в виде какой-либо пластинки, совершает в своей плоскости колебания по синусоидальному закону:

0 (*=о) = уо cos at.

Если с пластинкой соприкасается среда, то силы вязкости будут переносить движение в глубь среды в виде своеобразной вязкой волны, быстро затухающей при удалении от плоскости. Картина, таким образом, аналогична случаю задания на плоскости пере­ менной температуры.

Для того чтобы найти вязкую'волну, напишем уравнение дви­ жения среды под действием силы вязкости. Рассмотрим слой жид­ кости, лежащий между х и х + dx. Как известно, сила вязкости, действующая на плоскость, пропорциональна производной ско-

62

роста течения вдоль плоскости в направлении, перпендикулярном к плоскости. На сторону х выделенного слоя в расчете на единицу площади действует сила вязкости F = —т) (дѵідх), где ті — коэф­ фициент вязкости; на противоположную сторону действует сила вязкости

Результирующая этих сил равна

Л д2ѵдх2 dx.

Но масса слоя в расчете на единицу площади есть рdx. Следовательно, уравнение движения слоя можно записать

в виде

где V = г|/р есть кинематический коэффициент вязкости среды. Это— уравнение вязких волн, аналогичное уравнению (19.1)

для температурных волн. Так как уравнения для плоской вязкой и плоской температурной волн совпадают по форме, то одинако­ вую форму имеют и решения, с той разницей, что в решении для вязких волн вместо коэффициента температуропроводности сле­ дует взять кинематический коэффициент вязкости. Вязкая волна имеет, таким образом, вид'

До сих пор мы еще не задавались вопросом об излучении волн и только, выясняли, каково их поведение, если они уже созданы. Теперь покажем, как излучить в покоившуюся первоначально среду бегущую плоскую волну.

Пусть требуется создать плоскую волну, бегущую в положи­ тельном направлении, профиль давлений в которой был бы задан формулой

63

Проведем мысленно плоскость перпендикулярно к направлению1 распространения этой волны, например плоскость х = 0. Среда слева от этой плоскости действует на среду справа с силами дав­

менится. Но, согласно (17.2), частицы в бегущей волне должны двигаться со скоростями, равными ѵ = pipe. Значит, установив в плоскости X = 0 бесконечный поршень и сообщив ему скорость ѵ0 ■— ро/рс в направлении оси х, получим в среде справа от поршня требуемую бегущую волну р — р (t — х/с). При этом между дав­ лением на поршне и скоростью поршня все время будет сохра­ няться соотношение р 0/ѵ0 = рс.

Эта картина создания плоской волны с заданным профилем, так называемое поршневое излучение, — не более как мысленный эксперимент, принципиально неосуществимый в действительности, так как для этого потребовался бы поршень бесконечных размеров. Если же взять поршень конечных размеров, то плоская волна не сможет быть создана, хотя бы потому, что точки в середине поршня и точки у краев поршня будут находиться в различных условиях. Если, однако, размеры поршня очень велики по сравнению с рас­ стоянием, пробегаемым звуком за время Т, характерное для рас­ сматриваемого звукового процесса (например, период для гар­ монического движения), то для большей части поверхности поршня отношение р 0/ѵ0 будет мало отличаться от рс. Поэтому для до­ статочно большого поршня результирующая сила F, необходимая для придания жидкости, прилегающей к поршню, скорости ис, будет мало отличаться от величины Spcn0, где 5 — площадь поршня. Соответственно этому волна вблизи поршня будет по­ хожа на плоскую волну.

Можно, однако, получить и точную картину плоской волны, если поршень конечной площади вставить в цилиндрическую трубу с абсолютно жесткими стенками. В этом случае внутри трубы движение частиц и возникающие давления в точности соответ­ ствуют картине плоской волны в безграничном пространстве, и все соотношения, выведенные нами для плоских волн, выпол­ няются для такой волны полностью.

Допустим, что создание волны длилось конечное время, так что, например, за пределами интервала времени (t 0, t j поршень неподвижен. Найдем полный импульс J звукового давления в лю­ бой точке среды. Поскольку одни и те же значения давления по­ вторяются во всех точках с соответственным запаздыванием, до­ статочно проинтегрировать по времени давление на поршне:

^t i

J = j Po(t) dt.

t o

64

Но ро = рсѵ0. Значит,

Ясно, что если в конце процесса поршень вернулся в исходное положение, то суммарный импульс равен нулю. Далее, если дав­ ление в волне было все время одного знака, то поршень должен был все время двигаться в одном направлении (вправо при поло­ жительном давлении и влево при отрицательном), и, следова­ тельно, после того как волна будет излучена, поршень окажется в смещенном положении.

3 М. А. Исакович

\

Г Л А В А III

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

§2 1 . Гармонические волны

Внастоящей главе подробно рассмотрим гармонические волны разных типов. В теории колебаний гармоническая зависимость от времени играет важную роль. В частности, это связано с тем, что гармоническая зависимость сохраняется при прохождении коле­ баний через линейные колебательные системы с постоянными пара­ метрами— резонаторы, фильтры и т. п.: эти системы дают гар­ монический отклик на гармоническое воздействие. Так как в линей­ ных системах принцип суперпозиции справедлив, то в них ока­ зывается удобным рассматривать колебания с любой зависимостью

от времени при помощи разложения Фурье, т. е. представлять их в виде суперпозиции колебаний с одним-единственным, гармони­ ческим видом зависимости от времени.

В вопросах акустики гармоническая зависимость от времени имеет аналогичные преимущества: для сред, в которых волны удовлетворяют линейным уравнениям (а таковы практически все среды для волн малой амплитуды), синусоидальная зависимость от времени сохраняется при распространении волны, при ее отра­ жении и преломлении, при рассеянии от препятствий и т. п. Волны с другой зависимостью от времени таким свойством не обладают. Так как, кроме того, для линейных уравнений акустики справед­ лив принцип суперпозиций, то волну с практически любой за­ висимостью от времени можно представить в виде суперпозиции гармонических волн разных частот. Такое представление позво­ ляет вместо волн с любой зависимостью от времени изучать волны с одной-единственной зависимостью — гармонической, что удобно именно ввиду сохранения этими волнами своей временной зави­ симости. Такое разложение волн на гармонические составляющие называют, как и в случае колебаний, спектральным разложением Фурье. В зависимости от того, периодична или нет исходная волна, приходим соответственно к ряду или к интегралу Фурье. Обратное преобразование позволяет восстановить исходную волну по ее спектру.

Поэтому, зная поведение гармонических волн разных частот в тех или иных условиях распространения, можно методом Фурье найти поведение волн любого типа.

66

для краткости записи временной множитель е~ш опускают. От­ метим, что умножение на і, равносильное умножению на еіл/2, соответствует изменению фазы колебания или фазы волны на четверть периода.

Величину р в (22.4) называют комплексной амплитудой коле­ бания; она зависит только от координат и характеризует ампли­ туду р' и фазу е колебаний среды в различных точках. Уравне­ нию Гельмгольца удовлетворяют как полное решение (22.4), так и его комплексная амплитуда р в отдельности. Веще­ ственная же амплитуда р' уравнению Гельмгольца не удов­ летворяет.

Введенные комплексные гармонические волны удобны при рас­ четах, потому что в них входит только одна (экспоненциальная) функция вместо двух различных тригонометрических функций- (косинус и синус), переходящих друг в друга при дифференциро­ вании и интегрировании. Следует, однако, иметь, в виду, что сами комплексные решения уравнения Гельмгольца не имеют никакого физического смысла. Действительно, всякая физическая величина,, всякое показание прибора, например отсчет по тому или иному индикатору, всегда есть вещественное число. Физический смысл имеет только вещественная часть комплексной волны. Для пере­ хода от комплексной волны к имеющей физический смысл вещест­ венной волне необходимо предварительно восстановить опущенный, временной множитель е~ш , а затем взять от комплексной величины вещественную часть. Чтобы вещественная часть результата опера­ ций над комплексными волнами равнялась результату тех же опера­ ций над вещественными частями комплексных волн, эти операции должны быть линейными: допустимо сложение, вычитание волн, дифференцирование их по времени и по координатам. Но, напри­ мер, вещественная часть произведения не равна произведению вещественных частей комплексных чисел. Поэтому энергию или мощность волны нельзя получить непосредственно перемноже­ нием комплексных величин, характеризующих волну, а приходится возвращаться к вещественной записи (см. гл. IV). ,

При изучении гармонических колебаний и волн весьма удобно пользоваться также отношениями комплексных величин. Для гар­ монического процесса такое отношение не зависит от времени (мно­ жители е~ш сокращаются). Фаза полученного отношения равна разности фаз делимого и делителя. Если обе величины одной при­ воды, например падающая на препятствие волна и отраженная волна, то модуль отношения равен отношению вещественных амплитуд этих волн. Весьма полезными оказываются и отношения величин различной природы, например давления и скорости (так называемый импеданс) и т. д. В дальнейшем мы часто будем встре­ чаться с такими величинами.

Дифференцирование по времени комплексной волны осуще­ ствляется умножением на —іа, интегрирование — делением на

—іа. Например, комплексная скорость частиц в комплексной

68

волне р = р'е~‘ш+1г равна, согласно (13.3),

= 1 i r (Vlnp' + iVe)p. (22.5)

Отсюда видно, в частности, что движение каждой частицы в гар­ монической волне — плоское: скорость частицы параллельна век­ торам Ѵр' и Ѵе, а компоненты вдоль этих векторов сдвинуты по фазе на четверть периода. В разных точках плоскость движения частиц может быть разной.

Так же удобна для расчетов и сопряженная (22.4) комплексная комбинация

где звездочка, как обычно, обозначает комплексно-сопряженную величину. Обе комбинации различаются знаком при і, однако часто говорят, что вторая комбинация соответствует отрицатель­ ной частоте,- это связано с видом временного множителя, прини­ мающего для второй комбинации вид еш , который действительно можно получить из временного множителя первой комбинации изменением знака частоты. При расчетах с отрицательными ча­ стотами все комплексные величины также должны быть заменены сопряженными значениями, дифференцирование и интегрирование должно осуществляться умножением и делением на іш, комплекс­ ная скорост.ь выразится через сопряженное давление формулой

^(VIn - ІѴе)

плоская волна, бегущая направо, запишется в виде р = еш ~Скх

ит. д. Все результаты линейных операций получатся комплексно сопряженными по отношению к результатам, исходящим из выражений для положительных частот. Заменяются на сопря­ женные вообще все функции от комплексных характеристик волн, в частности и отношения комплексных величин, характеризующих волну (например, коэффициент отражения, импеданс). Оконча­ тельные результаты всякого расчета также получатся комплексно сопряженными по отношению к результатам, исходящим из вы­ ражений для положительных частот. С отрицательными частотами

приходится встречаться, например, в разложениях волн в инте­ грал Фурье, распространенный на частоты о т—оо до +©о, в слу­ чае, когда разложение Фурье производится по комплексным экспонентам, а не по тригонометрическим функциям.

При переходе к вещественной части результат получится один

итот же независимо от знака частоты: волны, различающиеся только знаком частоты, совпадают как физические объекты, несмотря на различную математическую запись.

69