книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

к заключению, что волна никогда не затухнет. Здесь также при­ чина неправильного заключения — в неучете накапливающегося эффекта. Ясно, что как квадратичными членами при определении скорости, так и вязкими силами при определении амплитуды волны можно пренебрегать только на ограниченных участках распростра­ нения волны. «Достаточная» малость s означает, что на данном участке распространения волны ошибка не успевает накопиться до существенной в рассматриваемой задаче величины.

Из (9.4) следует, что условие применимости для плоской волны принятых аппроксимаций — малость акустического сжатия s — может быть сформулировано еще и как условие малости отношения ѵ/с скорости частиц к скорости звука по сравнению с единицей. Вообще отношение какой-либо скорости к скорости звука назы­ вают числом Маха и обозначают буквой М. Значит, линеаризация для плоской волны допустима (во всяком случае на ограниченных участках) в тех случаях, когда число Маха для движения частиц, среды в волне мало по сравнению с единицей. Для оценки порядка чисел Маха в обычно встречаемых звуках укажем, что в воздухе при мощных звуковых волнах, создающих в ушах болевое ощуще­ ние, число Маха достигает всего 0,0014.

В этой книге нас будут интересовать волны малой амплитуды* для которых линеаризация дает малую ошибку. Только в гл. XIII мы специально рассмотрим, какие изменения вносит учет следую­ щего приближения в нелинейных уравнениях, которым подчи­ няются звуковые волны.

§ 10. Замечание относительно закона Гука

Из сказанного ясно, что кинематическая аппроксимация тем точнее, чем меньше деформация (сжатие) в волне. На первый взгляд представляется, что так же должно всегда обстоять дело> и с динамической аппроксимацией и что для любой среды и для деформации любого вида (пока она мала) сила должна быть про­ порциональна величине, характеризующей деформацию. Можно попытаться обосновать это утверждение тем, что при малом изме­ нении формы тела возникающую силу всегда можно разложить в степенной ряд по величине, характеризующей деформацию, к пренебречь в разложении всеми членами, кроме первого.

Однако утверждение, что упругая сила всегда пропорциональнавызывающему ее смещению, не всегда верно. Например, для рас­ тянутой упругой (т. е. растяжимой) нити, закрепленной в двух точках без провисания и оттягиваемой действием .силы, при­ ложенной к ее середине, можно принять за величину, характери­ зующую деформацию, поперечное смещение нити в точке действия силы. Легко видеть, что для малых значений поперечного смеще­ ния сила пропорциональна кубу смещения. В этом случае линеари­ зация неприменима ни при каких амплитудах. Ясно, что линеари­ зация возможна только тогда, когда разложение в степенной, ряд.

зо

начинается с члена, содержащего первую степень величины, харак­ теризующей деформацию.

Встречаются, как исключение, и неограниченные среды, в ко­ торых нельзя произвести линеаризацию соотношения деформа­ ция — сила даже для малых деформаций, например сыпучие тела, -порошки. Так, при сжатии песка или порошка упругие силы воз­ никают, но при растяжении песчинки просто отходят друг от друга и сила упругости не возникает. Линейность соотношения деформа­ ция — сила получится, если песок уже сжат предварительно, как, например, в песчаном грунте на большой глубине, где песчинки -прижаты друг к другу весом вышележащих слоев; сжатие будет увеличивать, а разрежение — уменьшать уже имеющуюся упру­ гую силу взаимодействия Іиежду песчинками и дополнительная сила будет линейно зависеть от деформации.

Опыт показывает, что в обычных однородных связных средах закон Гука справедлив для малых деформаций и без всякого пред­ варительного сжатия. Среды, в которых выполняется закон Гука для малых деформаций, будем называть линейными.

)

Г Л А В А II

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

§11. Полная система уравнений гидродинамики

Вэтой главе мы начинаем систематическое изучение акустики. «Остановка движения» — искусственный прием, которым удается рассматривать только одномерные бегущие волны. Поэтому сейчас обратимся к полной системе уравнений гидродинамики (о ней уже упоминалось в § 3), которая позволит изучать любые волны. На­ помним вкратце вывод этих уравнений (подробности можно найти

влюбом учебнике гидродинамики).

Начнем с вывода уравнения Эйлера — уравнения движения частиц под действием сил”упругости среды. Рассмотрим малую ча­ стицу среды объема П, ограниченную поверхностью 5. Так как частица мала, а характеристики среды непрерывны, можем считать плотность среды по всей частице постоянной, массу частицы приравнять pQ и, полагая, что вся частица движется как одно целое, найти ее ускорение как производную dv/dt ее скорости по времени. Силы, действующие на частицу со стороны окружающей среды, — это силы давления. На элемент поверхности dS = N dS (iiS — площадь элемента, N — единичная внешняя нормаль к по­ верхности) действует сила —р dS; результирующая сил давления составит

— I р dS. s

Таким образом, в применении к частице, находящейся под дей­ ствием только сил давления, второй закон Ньютона имеет вид

Согласно теореме Гаусса—Остроградского интеграл по поверх­

ности можно заменить интегралом по объему:

(

I р dS = J Vp dQ. s а

Но при непрерывности всех характеристик среды градиент давле­ ния на протяжении малой частицы можно считать постоянным, так

32

что интеграл равен Q Ѵр. Окончательно, сокращая на Йи пере­ нося все члены в одну часть, получим уравнение Эйлера

Если помимо сил давления на среду действуют сторонние силы, распределенные с плотностью /н а единицу объема, то уравнение (11.1) примет вид

Уравнение движения среды есть нелинейное векторное уравнение первого порядка относительно характеристик среды р, ѵ, р.

Так как скорость частиц зависит и от времени, и от координат, то ее производную по времени следует брать с учетом того, что координаты частицы сами зависят от времени. Ускорение выра­ жается через частные производные скорости по времени и по коор­ динатам следующим образом:

Первый член справа — так называемое локальное ускорение — производная скорости по времени, явно входящему; эта часть уско­ рения характеризует изменение скорости в данном месте простран­ ства. При установившемся течений среды (например, при равно­ мерном протекании жидкости по трубе переменного сечения) эта производная равна нулю. Остальные члены образуют так называе­ мое конвективное ускорение, обусловленное переходом частицы из места с одной скоростью в место с другой скоростью. Например, при равномерном течении жидкости в трубе переменного сечения эта часть характеризует увеличение скорости частиц при переходе из широкой части трубы в узкую и уменьшение — при переходе из узкой части в широкую. Пользуясь (11.3), можно записать уравне­ ние Эйлера в виде

Выведем теперь уравнение неразрывности среды. Название свя­ зано с тем, что это уравненйё’справедливо, только если в среде не образуется разрывов (как, например, разрывы при кавитации).

Рассмотрим объем й среды, ограниченный неподвижной по­ верхностью 5. Если разрывов нет, то приращение массы в объеме равно массе среды, втекшей через поверхность 5. Скорость прира­

щения массы в малом объеме равна й -|j-; масса, втекающая за

единицу времени через элемент поверхности dS, равна —р® dS.

Следовательно, уравнение неразрывности выразится следующим равенством:

ß -ff = — [ pvdS. s

Снова заменяя интеграл по поверхности интегралом по объему, получим

—JV(pw)dQ.

ß

Ввиду малости рассматриваемого объема можно положить интеграл равным QV (рг>). Сокращая на Q и перенося все члены в одну часть, получим окончательно уравнение неразрывности в виде

Уравнение неразрывности скалярно и, как и уравнение Эйлера, нелинейно относительно характеристик среды.

В дальнейшем встретятся случаи движения среды, удовлетво­ ряющие вместо уравнения неразрывности уравнению вида

Это уравнение можно также интерпретировать как уравнение не­ разрывности, но примененное к среде, куда поступает «из ниоткуда» дополнительное «стороннее» количество среды. Величину V назы- #вают плотностью сторонней объемной скорости', она дает допол- *нительный объем, поступающий за единицу времени в единичный объем.

Наконец, уравнение состояния связывает давление, плотность (или сжатие) и температуру среды. Уравнение состояния не имеет какого-либо стандартного вида для всех веществ, наподобие урав­ нения Эйлера или уравнения неразрывности. Поэтому запишем его здесь в самом общем виде:

Уравнение состояния также нелинейно.

Если при данном движении среды плотность однозначно свя­ зана с давлением (так бывает обычно в акустике), то уравнение

Система уравнений (11.1), (11.5) и (11.7) или (11.8) является

полной системой уравнений гидродинамики.

34

§ 12. Граничные условия

На границе жидкости с другими телами движение жидкости подчиняется определенным условиям — граничным условиям. Например, на абсолютно жесткой поверхности нормальная компо­ нента скорости частиц должна обращаться в нуль:

Это соотношение можно считать определением абсолютно жест­ кой поверхности. Реальное осуществление такой границы воз­ можно с хорошей точностью только для газов: в нормальных усло­ виях достаточно массивное твердое тело или поверхность жидкости (но только для звуковых волн *)) практически почти всегда можно считать абсолютно жесткими. Для жидкостей и твердых тел осу­ ществить абсолютно жесткую границу затруднительно, но, как увидим, в ряде случаев понятие об абсолютно жесткой границе окажется полезным и для этих сред (см. § 41).

Если жидкость идеальна, то абсолютно жесткая поверхность не накладывает никаких ограничений на касательную компоненту скорости частиц, равную ѵ — N (Nv): жидкость может беспре­ пятственно скользить вдоль границы. В действительности реаль­ ная жидкость прилипает к границе и касательная скорость также обращается в нуль: вблизи границы жидкость оказывается затор­ моженной, причем расстояние, на котором торможение еще за­ метно, определяется вязкостью жидкости и частотой колебаний. Эта толщина акустического пограничного слоя во всех практически интересных случаях настолько мала по сравнению с длиной звуко­ вой волны, что эффектом прилипания обычно можно пренебрегать (см., однако, §§ 19 и 58).

Другой важнейший тип границы — абсолютно мягкая граница. Граничное условие на такой границе (которое можно принять за

Особенность этого условия по сравнению ^предыдущим состоит в том, что"оно должно быть выполнено не на определенной поверх­ ности в пространстве, а для определенных частиц жидкости, так как для того,„чтобы давление оставалось равным нулю, поверх­ ность должна перемещаться в.пространстве. Это граничное усло­ вие осуществляется на границе капельной жидкости или твердого тела с вакуумом. Для газов границу с вакуумом осуществить нельзя, но есть случаи, как увидим в § 41, когда некоторые по­ верхности будут играть роль абсолютно мягких границ и для газов.

Другие типы граничных условий будем рассматривать по мере необходимости, когда будем встречаться с ними в конкретных задачах.

*) Для установившихся течений газа поверхность жидкости нельзя считать абсолютно жесткой: ведь морские волны вызываются именно движением воздуха}

§ 13. Полная система акустических уравнений и ее упрощение (линеаризация). Особенность картины сплошной среды

в акустике

Полная система, уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости; значит, звуковые волны также удовлетворяют этим уравнениям. Это — точные уравнения. Но акустика интересуется только малыми колебаниями среды, и по­ этому точность уравнений гидродинамики в акустике — это не только лишнее, но даже и вредное обстоятельство, поскольку оно связано с большой сложностью этих уравнений, в частности с их нелинейностью. Так как в дальнейшем мы будем интересоваться только звуковыми волнами малых амплитуд, то эти уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, решения которых будут тем не менее мало отличаться от решений точных уравнений. Особенно важно, что упрощение позволит прийти к линейным уравнениям.

В § 9 мы по существу пользовались уже подобным упро- . щением, которое позволило найти в качестве приближенного реше­ ния плоские волны, бегущие без изменения формы, и определить скорость таких волн. Теперь сделаем подобные же упрощения в полной системе точных уравнений гидродинамики; именно, от­ бросим в них те члены, которые для звуковых волн оказываются ма­ лыми по сравнению с остальными членами. Для того чтобы можно было выполнить такое разделение различных членов, оценим рань­ ше всего входящие в уравнения гидродинамики производные по времени и по пространству от величин, характеризующих волну (давление, скорость частиц и т. д.). Так как речь идет не о вычисле­ ниях, а об оценках производных, расчет можно делать грубо, по порядку величины. Попутно получим такую же грубую оценку применимости понятия «малые амплитуды», которой уже пользо­ вались в § 9, а также грубую оценку отбрасываемых «малых ве­ личин» в уравнениях.

Итак, пусть Т — характерный промежуток времени для данной волны, т. е. промежуток времени, в течение которого данная величина в волне (например, давление) меняется на величину своего порядка. Тогда частную производную этой величины по времени можно оценить как отношение ее наибольшего значения к проме­ жутку времени Т. (Частную производную какой-либо величины по времени д/dt будем в дальнейшем обозначать иногда ин­ дексом t или точкой над символом дифференцируемой величины.) Для гармонической плоской волны наибольшее значение про­ изводной по времени какой-либо величины равно амплитуде самой величины, умноженной на угловую частоту со. Значит, для гармонической волны за характерный промежуток времени следует принять 1/со = Т 0/2я, где Т 0— период волны.

Аналогично пусть L — характерная длина, т. е. расстояние, на котором (в среднем) данная величина меняется на величину

36 ’•

своего порядка. Частная производная по координате по порядку равна тогда отношению наибольшего значения дифференцируемой величины к длине L. Для' гармонической плоской волны за харак­ терную длину следует принять величину \/k = Х/2л, где К— длина волны.

Пользуясь этими оценками, можем теперь сравнить между со­ бой различные члены в точных уравнениях гидродинамики и, сохраняя только наибольшие члены, упростить эти уравнения.

Начнем с уравнения Эйлера (11.4). Для звуковых волн р — это избыточное давление по отношению к не входящему явно в урав­ нение невозмущенному давлению среды Р. Ускорение частиц представлено в (11.4) в, виде суммы локального и конвективного ускорений. Согласно сказанному выше локальное ускорение по порядку величины равно ѵ/Т, где ѵ — наибольшее значение ско­ рости частиц, а конвективное ускорение также по порядку вели­ чины равно v2/L. Значит, отношение конвективного ускорения к ло­ кальному равно по порядку величины vT/Ь. Но vT = и есть-путь, проходимый частицами со скоростью ѵ за характерный промежу­ ток времени Т, т. е. по порядку и — наибольшее смещение частиц

вволне. Отсюда следует, что отношение конвективного ускорения

к.локальному равно отношению и/L наибольшего смещения частиц

кхарактерному размеру волны. Таким образом, если смещения

Далее, в этом уравнении плотность также есть переменная ве­ личина, отличная от плотности р0 невозмущенной среды:

Р = Ро (1 + s).

Но при u/L С 1 акустическое сжатие по порядку величины также не более ulL. Поэтому в приближенном уравнении можно, не меняя степени точности, пренебрегать отличием фактической плотности от невозмущенного значения р0; уравнение (13.1) принимает тогда вид (нуль в индексе для простоты записи опущен)

Уравнение (13.2) линейно относительно величин р и ѵ. Упрощение в том и состоит, что приближенное уравнение оказывается линей­ ным по отношению к интересующим нас величинам. Для этого, как мы видели, достаточно отбросить в уравнении члены порядка ulL (и высшего порядка) по отношению к сохраняемым, порядок кото­ рых принят за единицу.

37

Уравнение (13.2) справедливо с указанной точностью как для однородных, так и для неоднородных сред. В последнем случае невозмущенное значение плотности есть функция координат точки и (13.2) есть уравнение с коэффициентами, зависящими от координат.

Очевидно, при ulL < 1 можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной — частной производной по времени; выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциаль­ ные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частно­ сти, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравне­ ние (13.2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по

Мы видим, что, в отличие от ускорения, скорость частицы в данный момент зависит не только от распределения давления в среде в этот же момент, но и от всей истории частицы. Если в начальный момент частица покоилась, то

(13.3)

kv l piL

«О

Для одномерного движения

1

Ро

Если среда однородна, то (13.3) можно записать в виде

и, следовательно, движение потенциально и потенциал скоростей есть

В свою очередь давление и скорость частиц выражаются через по­ тенциал формулами

38

Теперь линеаризуем уравнение неразрывности (11.5), считая, как и выше, что u/L < 1. В подробной записи имеем

V (ри) = V (ро (1 - f s ) ü } = V (p 0z;)-f V (p 0sü).

Так как s по порядку не больше w/L, то вторым членом справа можно пренебречь по сравнению с первым. Тогда придем к упро­ щенному уравнению

+РоѴ® + ^Vpo = 0.

Всреде с постоянной невозмущенной плотностью это дает

В дальнейшем часто будем характеризовать изменяющееся состоя­ ние среды не плотностью, а сжатием; например, (13.6) можно за­ писать в виде

Уравнение состояния, т. е. зависимость между давлением и сжатием, также можно линеаризовать для любых сред, кроме, как мы уже говорили, сред типа порошка. Линеаризуя уравнение (11.8), получим уравнение состояния в виде

Система уравнений (13.2), (13.7), (13.8) — полная система линеа­ ризованных уравнений акустики.

Сжимаемость ß можно представить в виде

( 1 3 '9 )

причем производная берется для невозмущенного состояния среды. Мы видели в § 9, что сжимаемость связана со скоростью плоской волны в среде соотношением

так что уравнение (13.8) можно переписать в виде

Линеаризованную связь между давлениеми сжатием можно рассматривать как обобщенный закон Гука дляобъемного сжатия среды с модулем упругости К = рс2 = 1/ß. В следующем пара­ графе мы найдем, как связана сжимаемость со статическими свой­ ствами среды.

39