книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

то можно пользоваться формулой (8 8 .2 ), отличающейся от фор­ мулы для несжимаемой среды только множителем 1 + Ига, учи­ тывающим активную часть реакции среды. Полную реакцию сжи­ маемой среды на сферу можно, следовательно, имитировать в фор­ муле для сопротивления, распределяя по поверхности сферы «комплексную поверхностную плотность» ар (1 + Ига). Тогда ча­ стоту колебаний — теперь она также комплексна — найдем по той же формуле (89.1):

Таким образом, амплитуда колебаний будет затухать по закону

р = ро ехр (—7 3£о а®оО,

аэнергия осциллятора — по закону

Е= Е 0 ехр (—k 0a(.ot).

затухания волновое число можно было рассчитывать, исходя из вещественной частоты, полученной при пренебрежении сжимае­ мостью, а частоту колебаний считать той же, что и в отсутствие сжимаемости. При комплексной частоте получим и комплексное волновое число:

Таким образом, излучаемая волна имеет вид

Обратим внимание на то, что в каждый момент времени при удалении от центра волны амплитуда колебаний вначале падает вследствие сферического расхождения, а затем растет вследствие перевешивания экспоненциального множителя. (Минимум ампли­ туды соответствует k 0r = 2lk 0a.) Физический смысл этой зависи­ мости от расстояния был пояснен в § 36.

Для всякого осциллятора, помещенного в среду, излучение эквивалентно некоторому затуханию. В нашем расчете мы учи­ тывали только это «радиационное» затухание. Если в осцилляторе имеются и собственные потери, то их следует добавить к радиа­ ционным потерям.

Вкачестве примера рассмотрим колебания газового пузырька

вжидкости. Газовый пузырек можно считать практически без­ массовой упругой сферой. Найдем коэффициент упругости пу­

зырька. Пусть радиус пузырька а получил малое приращение

290

В результате давление внутри пузырька получит приращение р = = s/ß = —3 Да/aß, где ß — сжимаемость газа. Отсюда следует, что коэффициент упругости равен % = —р/Да = 3/aß. Подставляя в (89.1), найдем частоту радиально-симметричных колебаний:

(89.3)

Остается только вопрос, соответствует ли сжимаемость газа

впузырьке адиабатическому или изотермическому процессу? Дело

втом, что при.малом радиусе пузырька весь газ в нем находится практически в статическом режиме и целиком испытывает адиа­ батические нагревания и охлаждения при изменениях объема.

Выравнивается же не плавное изменение температуры на расстоя­ ниях в четверть длины волны, как в волне в неограниченной среде, а резкий скачок на границе окружающей жидкости, температура которой в волне почти не меняется (вода при 4 °С вообще не меняет температуру при сжатиях и разрежениях), с малым объемом газа в пузырьке. Поэтому в . данном случае теплообмен гораздо больше, чем в волне, бегущей в неограниченном газе, и можно ожидать, что при некоторых условиях газ в пузырьке окажется в режиме, близком к изотермическому. Очевидно, все будет за­ висеть от соотношения между длиной температурной волны в газе и радиусом пузырька. Если длина температурной волны мала по сравнению с радиусом, то процесс приблизительно адиабати­ ческий; если длина волны порядка радиуса или больше его, то процесс близок к изотермическому. Соответственно в первом слу­ чае в формуле (89.3) следует брать адиабатическую, а во втором случае — изотермическую сжимаемость.

Условие адиабатичности имеет вид a > бх, где 8Х = 0,24/]// — глубина прогревания (см. § 19). При выполнении этого условия можно считать ß = 1/у Р, где Р — давление газа в пузырьке (гидростатическое давление, сложенное с капиллярным давле­ нием 277а, где Т — капиллярная постоянная; второе слагаемое играет роль только для очень малых пузырьков). Теперь (89.3) примет вид

(89.4)

Для пузырька, воздуха вблизи свободной поверхности воды это даст соa = 2050 или fa — 327 гц-см. Критерий адиабатичности примет вид a > 0,242/327 = 1,8-10' 4 см: радиус пузырька должен быть много больше двух микрон. Это соответствует частотам много

меньшим мегагерца. Так как наиболее важны на практике частоты порядка нескольких килогерц, то газ в пузырьках с соответствен1 ными резонансными частотами всегда находится в квазиадиабатическом режиме.

Отметим еще простую формулу:

ka = V 3ßBOAU/ßra3a.

Для воздушного пузырька вблизи свободной поверхности воды это дает примерно ka = 0,014 = 1/71. Отсюда видно, что исходное предположение о малости размеров шарика по сравнению с длиной волны не только в воде, но и в газе выполняется, так что предпо­ ложение о квазистатическом характере сжатий и разрежений газа в пузырьке при собственных колебаниях было обоснованным, а при расчете собственной частоты колебаний можно было пренебрегать сжимаемостью воды (относительное изменение частоты вследствие сжимаемости воды равно по порядку {ka)2 = 1/5000).

На глубине Я м под поверхностью воды гидростатическое дав­ ление превышает атмосферное в 1 + Я /10 раз. Поэтому соб­ ственная частота пузырька данного радиуса на глубине Я в

У 1 + HI 10 раз больше, чем собственная частота у поверхности. Например, на глубине 30 м собственная частота пузырька дан­ ного радиуса вдвое больше, чем у поверхности.

Сжимаемость среды вносит затухание в колебания пузырька в результате «высвечивания» пузырьком акустических волн. Если бы других потерь энергии колебаний не было, то добротность пузырька в воде у поверхности была бы равна Q = 1 Ika — 71: свободные колебания пузырька затухали бы в е раз после Q/л = =23 колебаний. При увеличении глубины добротность пузырька

данного радиуса уменьшается в отношении 1 : ]/1 + Я/10; на­ пример, при одном и том же радиусе добротность пузырька на глубине 30 м вдвое меньше, чем у поверхности. У всплывающего пузьфька, содержащего неизменное количество газа, при изме­ нении глубины изменяется и радиус, и давление. В результате собственная частота пузырька при всплытии с глубины Н до по­ верхности уменьшается в отношении 1 : (1 + Я/10)‘/*, а доброт­ ность растет в отношении (1 + Я/10)1/* : 1.

Приведенный расчет затухания колебаний пузырька учитывает только «высвечивание» колебательной энергии пузырька, превра­ щающейся в звуковую энергию в воде. В действительности имеет место и переход механической энергии в тепло: хотя колебания газа происходят квазиадиабатически, сглаживание температур­ ных скачков у границы газ — вода приводит к потерям энергии. Вязкость жидкости и влияние поверхностно-активных веществ на поверхности пузырька также вносят свой вклад в потери меха­ нической энергии. В результате добротность пузырька оказывается меньше величины Ilka, достигаемой при отсутствии перехода ме­ ханической энергии в тепло. При наличии потерь добротность

292

зависит от размеров пузырька (и соответственно от резонансной частоты), так как сами механизмы потерь связаны с размерами пузырька. Существенно сказывается и состав газа в пузырьке (вследствие различной теплопроводности разных газов).

Пульсации пузырька — не единственные возможные сфери- чески-симметричные колебания газа в пузырьке: в нем возможны также колебания типа рассмотренных в § 8 6 для абсолютно жест­ кой стенки, для которых ka=Xgka. Это— колебания высокой ча­ стоты (первое же колебание в 2 0 0 раз выше по частоте пульсационного колебания), для которых граница с жидкостью является при­ ближенно жесткой. Набор таких колебаний аналогичен набору гармонических колебаний в трубе с жесткими стенками. Низко­ частотная же пульсация аналогична добавочному колебанию, по­ являющемуся в трубе при замене абсолютной жесткой стенки мас­ сивным поршнем. Для пузырька роль такого массивного поршня играет присоединенная масса жидкости.

§ 90. Мощность излучения монополя. Плотность энергии в сферически-симметричной волне

Мощность, излучаемая монополем, равна суммарному потоку вектора плотности потока мощности через любую поверхность, окружающую монополь. Для расчета удобно выбрать в качестве такой поверхности сферу, описанную из центра волны. Найдем раньше всего мгновенную плотность потока мощности, т. е. ве­ личину W = рѵ. Пользуясь формулой (84.1), находим для рас­ стояния г от центра

(90.1)

Первое слагаемое, обусловленное волновым членом скорости, назовем активным потоком мощности (ср. § 39, где это понятие было введено для гармонических процессов). Второй член, обуслов­ ленный неволновым членом скорости, назовем реактивным по­ током. .

Реактивная мощность не дает никакого вклада в энергию, пере­ даваемую среде окончательно. В самом деле, второй член в (90.1) можно представить в виде производной по времени от величины

Поэтому если излучение длилось в течение конечного промежутка времени, то суммарная энергия, обусловленная этим членом и сообщенная среде, равна нулю, поскольку интеграл равен нулю. Для гармонического процесса переданная в 'среду реактивная энергия обращается в нуль за один период. Таким образом, реак­ тивная часть энергии не остается в среде, а переходит из излуча­

293

теля в среду и обратно. В несжимаемой среде имеется только ре­ активный поток.

Активная мощность существенно положительна: она накапли­ вается в среде по мере излучения. Интеграл по времени от этой мощности и дает энергию, перешедшую в среду. Плотность актив­ ного потока мощности убывает с расстоянием как 1 /г2. Следова­ тельно, суммарный поток активной мощности черезвсю сферу от ее радиуса не зависит. Плотность реактивного потока мощности убывает быстрее: как 1 /г3, так что полный мгновенный поток ре­ активной мощности убывает по мере удаления от излучателя. Однако в неволновой зоне мгновенный поток реактивной мощности превосходит по абсолютной величине поток активной мощности.

Соответственно двум компонентам мощности, часто называют два слагаемых скорости в формуле (84.1) активной и реактивной компонентами скорости по отношению к давлению. Наоборот, можно, приняв за исходную величину объемную скорость, найти активную и реактивную компоненты давления на поверхности мо­ нополя по отношению к объемной скорости (для малых г):

Суммарный мгновенный поток мощности есть

Первое слагаемое в (90.2) дает реактивную часть давления, работа которой за длительное время в среднем равна нулю, а вто­ рое слагаемое— активную часть давления, работа которой на­ капливается с течением времени.

В гармонической расходящейся волне р — p 0eikrlr плотность потока мощности равна

Первое слагаемое в скобках дает активную, а второе— реактив­ ную часть мощности. Среднее значение плотности потока равно

W - -у- ^р°1 . Таким образом, суммарная средняя мощность, из­

Сравним мощность излучения монополя с мощностью излу­ чения плоской волны поршнем той же площади 4яа2 и колеблю­

294

щимся с той же скоростью ѵ, что и поверхность пульсирующего шарика. Для того чтобы поршень излучал плоскую волну, его нужно поместить в цилиндрическую трубу того же сечения. Мощность излучения плоского поршня равна </ПоРшня = = (1/2) 4па2рсѵ2, т. е. в 1 l(kä)2 раз больше мощности излучения монополя. Таким образом, эффективность излучения звука в виде сферической волны пульсирующим телом, малым по сравнению

сдлиной волны, мала по сравнению с излучением плоской волны

стой же площади излучающей поверхности.

Всходящейся бегущей волне плотность потока мощности за­ писывается так же, как и в расходящейся волне, но с обратным знаком: вектор потока направлен к центру волны, а не наружу, как в расходящейся волне. Для суперпозиции сходящейся и рас­ ходящейся волн

усреднении он пропадает. Средние потоки мощности сходящейся и расходящейся волн вычитаются друг из друга, так же как вычи­ таются потоки мощности в плоских волнах, бегущих навстречу друг другу.

В гармбнических стоячих волнах (85.3) средние потоки мощ­ ности равны нулю. Интересно отметить, что в волнах (cos kr)Ir

иeikrlr распределения давлений и скоростей вблизи центра волны почти идентичны: для обеих волн давления и скорости стремятся по модулю к бесконечности по мере приближения к центру волны, причем отношения соответственных величин стремятся к еди­ нице. Тем не менее в первой волне излучение отсутствует, а во второй волне оно есть. Дело в том, что в первой волне давление

иобъемная скорость сдвинуты по фазе друг относительно друга точно на 90°, так что работа сил давления чисто реактивная и средняя работа равна нулю. Во втором же случае малая добавка

кдавлению — второй член в (90.2), — не зависящая от расстоя­ ния от центра, если это расстояние уже мало, совпадает по фазе

собъемной, скоростью частиц и производит активную работу.

Зная мощность излучения, можно найти затухание пульсирую­ щего осциллятора другим способом, чем в § 89. В самом деле, при амплитуде скорости ѵ поверхности пульсирующего шарика энергия, запасенная осциллятором, равна Е = (1/2) 4яа3 ри2 (ам­ плитуда кинетической энергии присоединенной массы). Секунд­ ная же потеря энергии — dE/dt есть как раз мощность излучения и дается формулой (90.4). Отсюда находим dEldt — —ftaoxE,

295

что дает закон затухания по энергии Е = Е 0 ехр (—kaal) в со­ гласии с § 89. Из (90.3) видно, что отношение амплитуды реактив­

чателя это отношение весьма велико. Мощность же двигателя, приводящего излучатель в действие, должна равняться амплитуде реактивной мощности — иначе излучатель не сможет работать. Таким образом, для малых излучателей двигатель работает в ос­ новном вхолостую и на акустическое излучение идет только малая часть развиваемой им мощности.

Используем полученные результаты для расчета затухания собственных колебаний в узкой трубе с одним открытым концом. Из сказанного в конце § 65 видно, что открытый конец можно рассматривать как монопольный источник: из него в окружаю­ щую среду периодически поступает и возвращается обратно не­ который объем среды. Так как размеры отверстия малы по сравне­ нию с длиной волны, то наличие отверстия мало меняет скорость частиц внутри трубы. Поэтому найти количество вытекающей и втекающей среды можно, считая, что наличие излучения не влияет на скорость среды в трубе.

Обозначим амплитуду скорости частиц в пучности скорости через V, а площадь поперечного сечения трубы — через S. Объемная скорость монополя, которым можно заменить трубу, равна V = Sv. Согласно (90.4) излучаемая мощность равна J = (l/8 it) pck2V2 = (1/8я) pck2S 2v2. С другой стороны, мощность сил давления в открытом конце равна (1/2) pSv. Приравнивая эти два выражения для мощности, найдем искомую вещественную компоненту проводимости открытого конца:

того конца оказывается большой по сравнению с 1 /рс.

При расчете мы предполагаем, что давление в открытом конце синфазно со скоростью. В действительности давление имеет еще и мнимую компоненту, т. е. компоненту, ортогональную к ско­ рости (сдвинутую относительно скорости на 1/4 периода). Сред­ няя мощность этой второй компоненты равна нулю. Ее действие заключается в некотором сдвиге собственных частот трубы: от­ крытый конец равносилен некоторой массовой проводимости, поэтому его действие несколько повышает собственные частоты трубы. Но это изменение для достаточно узких труб очень мало. Если требуется только знать коэффициент затухания трубы с от­ крытым концом, то этим изменением частоты можно пренебречь.

Коэффициент затухания трубы с одним абсолютно жестким концом и одним концом с большой активной проводимостью R

равен, согласно § 65, а = со npcR j . Но для открытого'

296

конца рcR = 4/(&а)2; значит, коэффициент затухания в этом слу­ чае равен

С увеличением номера обертона коэффициент затухания быстро растет, а добротность падает. Наименьший коэффициент зату­ хания (для основного тона) равен (я2/16) с (a2 /L3). Добротность трубы с одним закрытым и одним открытым концом равна

Найдем теперь плотность энергии в сферической волне. Под­

Первый член равен плотности потенциальной энергии в волне. В плоской волне имеется только такой член. Остальные слагае­ мые —• добавочные по сравнению со случаем плоской волны — обусловлены наличием неволновой части скорости. Последнее слагаемое — квадрат неволнового члена — всегда положительно: оно равно кинетической энергии в несжимаемой жидкости при такой же временной зависимости давления. Это видно, если положить в (90.5) с = оо (и в коэффициентах, и в выражении для давления). Среднее слагаемое — произведение волнового и не­ волнового членов — может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для гармонической волны его среднее значение за период равно нулю. Для непериодического движения его среднее значение за длительный промежуток времени стре­ мится к нулю по мере увеличения времени усреднения. Таким образом, в средних величинах нужно учитывать только первый и третий члены. Следовательно, кинетическая энергия в сфери­ ческой волне в среднем больше, чем потенциальная (в плоской бегущей волне эти величины равны друг другу).

По мере удаления от центра волны различие уменьшается и плотность кинетической энергии стремится к плотности потен­ циальной энергии, убывая вместе с ней по закону обратных ква­ дратов расстояния от центра волны. Вблизи же центра волны, в неволновой зоне, главную долю кинетической энергии состав­ ляет положительный добавочный член; он убывает с расстоянием как 1 /г4.

297

В сферически-симметричной гармонической волне р = p 0eikr/r имеем, согласно вышесказанному,

Отношение средних значений кинетической и внутренней энер­ гии равно

1

(*0 9 '

Суммарная энергия, запасенная в гармонической сферической волне в сжимаемой среде, бесконечна: плотность энергии убывает ■как 1 /г2, а объем сферических слоев одинаковой толщины растет при г —►оо как г2; значит, каждый такой слой добавляет к сум­ марной энергии в среде одинаковые слагаемые. В несжимаемой же среде суммарная энергия конечна. В самом деле, в несжимаемой среде потенциальная энергия равна нулю, а плотность кинетиче­ ской энергии может быть записана в следующем виде:

£ к „ н = рѵІаЧ2г\

где а — радиус пульсирующей сферы, создающей данную волну, а п0— амплитуда скорости ее поверхности. Интегрируя плотность кинетической энергии по всей среде снаружи сферы радиуса а, найдем

со

Суммарная (реактивная) энергия в несжимаемой жидкости ока­ зывается равной энергии присоединенной массы 4яа3 р, движу­ щейся со скоростью ѵ0 поверхности монополя.

В сжимаемой среде бесконечный вклад в энергию среды дает активная часть энергии. Мгновенная мощность, которую должен развивать первичный двигатель малого излучателя, определяется реактивной мощностью и равна | dE/dt \ = со | Е |. А излучен­ ная энергия создана малой добавкой к мощности и дает большую суммарную энергию потому, что накапливается в среде, в то время как реактивная часть циркулирует', то поступая в среду из излучателя, то возвращаясь в излучатель из среды.

298

§91і Лучевая картина для монополя. Монополь

вслоисто-неоднородной среде

Как мы уже отметили в § 84, вдали от монополя звуковое поле можно локально изображать плоской волной. «Локально» означает здесь: «на участке, большом по сравнению с длиной волны», а «вдали» — «на расстоянии, большом по сравнению с раз­ мерами этого участка». Ценность такого изображения в том, что поведение сферической волны на подобном участке похоже на поведение плоской волны. Например, если на границу раздела двух однородных сред падает сферическая волна от монополя, расположенного Достаточно далеко от границы, то отраженное и прошедшее поле вблизи границы можно вычислять прямо по формулам Френеля для плоских волн, подставляя для каждого участка границы соответственный угол скольжения (угол между радиусом-вектором данного участка и границей) и амплитуду, соответствующую расстоянию участка от центра волны.

Ввиду такого сходства можно ввести для сферической волны понятия луча и лучевой трубки аналогично тому, как это было сделано в §§ 44, 57 для плоских волн. В однородной среде лучи представляются радиусами-векторами, проведенными из центра волны. Скорости частиц, как и для лучей в плоской волне, на­ правлены вдоль стенок лучевых трубок, и звуковая энергия бежит вдоль трубок, не переходя из одной в другую. Лучи располагаются перпендикулярно фронтам, так что лучевые трубки равномерно расширяются при удалении от центра волны и плотность потока активной мощности меняется обратно пропорционально площади сечения трубки, что соответствует закону обратных квадратов.

Если на пути луча, вышедшего из точечного источника, встре­ чается резкая граница, то направление отраженного и прошед­ шего лучей определяется по закону Снеллиуса, а распределение энергии между ними-— по формулам Френеля. Лучевая картина отражения от резкой границы окажется локально аналогичной картине для плоской волны, но с углами скольжения, медленно меняющимися вдоль границы.

Особенно интересен случай перехода лучей в среду с большей скоростью звука. В этом случае проходят (частично отражаясь) только, лучи, лежащие внутри кругового конуса, соответствую­ щего критическому углу скольжения; остальные лучи отражаются полностью. Попадая во вторую среду, лучевые трубки расши­ ряются, засвечивая всю вторую среду, причем расширение тем больше, чем ближе к критическому угол скольжения для падаю­ щего луча. Поэтому плотность энергии в лучевых трубках во второй среде быстро падает с уменьшением угла скольжения и, как можно показать, стремится к нулю при приближении угла скольжения прошедшего луча к нулю. Таким образом, вдали от источника сферической волны поле во второй среде вблизи гра­ ницы раздела будет мало по сравнению с полем в первой среде

299