книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

чем профиль смещений, изображенный сплошной линией. Особенна интересны волны, не меняющие своего профиля при распростране­ нии. Такие волны можно использовать для передачи информации: информация, заключенная в форме волны, передается в этом слу­ чае без потерь. Для таких волн понятие скорости применимо, а за­ висимость любой величины, характеризующей волну, от коорди­ наты X и времени t можно записать в виде

р = р (х + ct),

где с — скорость волны, а верхний и нижний знаки соответствуют бегу волны в положительном и отрицательном направлении оси х (мы условно будем называть эти направления «вправо» и «влево»). В самом деле, давая времени произвольное приращение Т, а коор­ динате соответственное приращение ±сТ, получим то же самое значение р. Часто более удобна другая запись:

Для таких волн «моментальная фотография» пространственного профиля в какой-либо момент і0

Р = Р (tо + х/с)

совпадает с точностью до масштаба и начала отсчета с временным профилем той же величины в любой фиксированной точке х 0:

Р = Р (t Т xjc).

Для волн, бегущих вправо, пространственный и временной про­ фили «перевернуты» друг относительно друга. Для волн, бегущих влево, такого переворачивания нет.

Очень важны гармонические бегущие волны вида

р = Po cos (cot + kx — е).

Здесь ро — амплитуда гармонической волны, е — ее началь­ ная фаза-, период Т волны связан с циклической частотой о> и

«обычной» частотой в герцах (число колебаний в секунду) f соот­ ношением

Т = 2я/со = 1//.

Длина волны Ксвязана с волновым числом k соотношением

X — 2n/k.

Пространственный и временной профили гармонической одно­ мерной бегущей волны — синусоиды. Скорость гармонической волны называют фазовой скоростью-, она выражается через цикли­ ческую частоту и волновое число формулой

Для всякой волны, бегущей без изменения формы, временная и пространственная производные величин, характеризующих волну,.

20

связаны простым соотношением

Вторые производные по времени и по координате в такой волне оказываются связанными уравнением

(5.3)

Это — волновое уравнение (в одном измерении). Оно вообще удов­ летворяется только данной волной. Но если в данной среде волна любой формы бежит без изменения профиля с той же скоростью с, то (5.3) — общее уравнение бегущих одномерных волн для данной среды. Если разные волны, сохраняющие свою форму, бегут с раз­ ными скоростями, то говорят, что имеет место дисперсия скорости волн. В этом случае не все волны могут сохранять свою форму при распространении, а (5.3) не удовлетворяется любой волной.

Как мы увидим, синусоидальные волны сохраняют свою форму' при распространении. При наличии дисперсии фазовые скорости различны для гармонических волн разной длины иЛи разной ча­ стоты. Если фазовая скорость одинакова для всех синусоидальных волн, то дисперсии нет.

Вреальных средах встречаются все варианты: в некоторых средах дисперсия отсутствует и без изменения формы распростра­ няются любые волны, в других форму сохраняют только некоторые виды волн и имеется дисперсия скорости, в третьих вообще нет волн, распространяющихся без изменения формы.

Вследующих параграфах дадим примеры всех этих вариантов, причем будем применять наглядный метод остановки движения: будем искать такую движущуюся относительно среды систему координат (х '), относительно которой профиль волны был бы непо­ движен. Если это удастся; — значит, волна бежит без изменения формы и ее скорость с равна скорости системы (x') относительно «абсолютной» системы координат (х), в которой среда покоится. Относительно такой системы (х') движение частиц в волне будет установившимся: среда будет «протекать» с постоянной скоростью вдоль профиля волны.

Ввиду простоты установившихся движений этот метод поз­ волит легко найти скорость бегущей волны.

В качестве примеров рассмотрим поперечные волны на струне и на стержне и продольные волны в неограниченной среде. Эти случаи хорошо известны из общего курса физики; здесь мы рас­ сматриваем их другим способом, чтобы показать, как можно найти скорость бегущей волны, не прибегая к общим уравнениям для этих волн. Кроме того, последний пример позволит нам пояснить требо­ вание малости колебаний, о котором упоминалось в конце § 1.

Заметим, что упругие волны — не единственно возможные механические волны. Например, в волнах на поверхности воды

2 t

(морское волнение) передача возмущения водной поверхности осу­ ществляется силой тяжести, в магнитоакустических волнах — лоренцевыми силами. Законы распространения всех механических волн сходны между собой. В этой книге мы рассмотрим только упругие волны.

§ 6. Поперечные волны на струне

Классический пример распространения волн — поперечная волна на математической идеальной струне. Так называется бес­ конечная абсолютно нерастяжимая идеально гибкая нить, натя­ нутая с некоторой постоянной силой *). «Средой» является в данном случае натянутая нить.

Пусть по струне бежит волна поперечных отклонений. Форму деформированной струны можно считать профилем смещений

г.струны. Если возмущение зани­ мает ограниченную область . на струне, то] неподвижную систему отсчета можно считать связанной

і

со струной вне области возмущения: перенос массы, осуществляе­ мый возмущением, бесконечно мал по сравнению с полной массой бесконечной струны. Поэтому, если нам удается найти такую ско­ рость с подвижной системы отсчета, что профиль струны в этой системе неподвижен, то частицы струны пробегают этот неподвиж­ ный профиль с той же скоростью с. Тогда ускорение элемента струны, пробегающего в данный момент времени некоторую точку неподвижного профиля, равно с2х, где %— кривизна профиля в этой точке, и направлено по главной нормали к профилю в этой точке.

Обозначим натяжение струны через Т и ее погонную плотность через р. Элемент струны длины ds имеет массу р ds. Значит сила, которая должна действовать на элемент ds для осуществления дан­ ного движения, равна с2хр ds и также направлена по главной нор­ мали к профиле. Но единственные силы, действующие на элемент ds, — это силы натяжения на его концах (рис. 6.1). Их равнодей­ ствующая равна Тх ds и направлена по главной нормали

*) «Физическая» струна—растяжимая гибкая нить, растянутая постоянной іилой.

22

к элементу. Условие осуществления данного движения имеет вид

Тк ds = с2хр cts,

откуда

Т = рс2.

Это соотношение не зависит от формы профиля волны; при любой форме профиль остается неизменным и бежит относительно струны со скоростью

c = Y т/р-

Заметим, что неизменность формы сохраняется и у неплоских, и у самопересекающихся профилей, например имеющих вид витка (рис. 6.2). Такая «баранка» будет бежать по струне с той же универ-'

сальной скоростью У Tip.

§ 7. Изгибные волны на стержне

Более сложный случай — изгибные волны на упругом стержне. Напомним, что понятие изгибных волн само по себе есть некоторая аппроксимация, предполагающая, что все попер-ечные сечения стержня остаются при изгибе плоскими, а средняя линия остается нерастянутой. Тогда, как известно, взаимодействие элементов стержня сводится к перерезывающим силам F, действующим пер­ пендикулярно к средней линии, и изгибающим моментам М, пер­ пендикулярным к плоскости изгиба. Эти величины связаны соот­ ношением

где s — длина дуги средней линии стержня. Такая аппроксима­ ция требует только малости высоты поперечного сечения стержня по сравнению с радиусом кривизны профиля, т. е. малости дефор­ маций материала стержня, но нисколько не ограничивает ни вели­ чину смещений точек стержня от положений равновесия, ни углы наклона профиля к невозмущенной оси стержня, т. е. не ограни­ чивает форму средней линии в целом.

Как и для струны, «остановим движение» и найдем условие не­ изменности профиля. Мы увидим сейчас, что «остановить» удается только профили, продолжающиеся периодически неограниченно по всему стержню. В таких волнах нет невозмущенных участков стержня. Поэтому нужно будет различать искомую скорость с по­ движной системы относительно центра тяжести стержня и скорость V протекания среды по «остановленному» профилю.

Найдем сначала скорость протекания ѵ. Как и для струны, результирующая сила, действующая на элемент стержня ds, равна ри2х ds и совпадает по направлению с нормалью к профилю волны в данной точке (ограничимся волнами, оставляющими среднюю

23

линию стержня в одной плоскости). Равнодействующая сил, дей­ ствующих на данный элемент стержня, образована разностью пере­ резывающих сил на концах элемента. Она равна

и также направлена по нормали к профилю. Но, как известно, из­ гибающий момент пропорционален кривизне стержня: М = Gx, где G — изгибная жесткость стержня — величина, зависящая от упругих свойств материала стержня и от размеров и формы его поперечного сечения. Следовательно, условие неизменности про­ филя волны выражается уравнением

d-к

(7.1)

ds2

В отличие от соответственного условия для струны, оно удовлет­ воряется не при всякой форме профиля: его можно рассматривать как уравнение для кривизны профиля тех волн, которые распро­ страняются без изменения формы; скорость протекания среды че­ рез остановленный профиль есть произвольный параметр задачи.

Выбирая удобным образом начало отсчета дуг, можем записать общее решение уравнения (7.1) в виде

г произвольная величина х 0— амплитуда кривизны профиля. Зависимость кривизны от длины дуги средней линии стержня ока­ зывается, таким образом, синусоидой с волновым числом, пропор­ циональным скорости протекания.

Угол наклона стержня к оси х выразится формулой

строены по формуле (7.4) профили волн с одной и той же скоростью протекания (а значит, и с одинаковыми длинами волн), но с раз­ личными амплитудами угла наклона. Числа означают амплитуду угла наклона в радианах.

Из (5.2) и (7.3) следует, что частота изменения кривизны для каждого элемента стержня равна со = vk — ѵ2 У p/G. Отсюда следует, что скорость протекания ѵ связана с волновым числом и с частотой формулами

Скорость с перемещения профиля относительно неподвижной системы координат зависит как от длины волны X = 2n/k, так и от

24

амплитуды ф0. В самом деле, при протекании участка стержня длиной в одну длину волны К смещение центра тяжести этого уча­ стка в направлении оси х равно согласно (7.4)

Здесь J 0 (ф0) — бесселева функция нулевого порядка от ампли­ туды угла поворота стержня ф0.

Рис. 7.1. Отрезки профиля поперечных смещений неизменных волн с одной и той же скоростью протекания ѵ, но с различными амплитудами угла наклона. "Для

каждого угла наклона изображен отрезок профиля в одну длину волны. Участок оси абсцисс между концами витка пропорционален скорости с данной волны отно­

сительно неподвижной системы координат.

Итак, изгибные волны обладают дисперсией: скорость изгибных волн растет с уменьшением длины волны. Такую дисперсию называют аномальной; нормальной дисперсией считается рост ско­ рости вместе с ростом длины волны. Эти термины заимствованы из оптики: обычно в прозрачных средах скорость световых волн растет с длиной волны.

На рис. 7.1 длина участка оси абсцисс, соответствующего одному витку, отнесенная к длинё волны, равна отношению с/ѵ. Скорость с для волн (г) и (ж) равна нулю; скорость для волн (д) и (е) относи­ тельно неподвижной системы координат направлена, в отличие от остальных профилей, влево. В системе координат, в которой про­ фили неподвижны, перетекание происходит из нижнего витка в верхний и обратно.

25

Форма профиля и законы движения точек стержня в декартовых координатах х, у имеют очень сложный и мало наглядный вид. Упрощение получается только для малой амплитуды углов на­ клона профиля: фо 1*). Тогда бесселева функция близка к еди­ нице, так что можно считать скорость протекания и скорость про­ филя относительно неподвижной системы координат равными. Кроме того, при Фо 1 можно положить s = х и к = d2y/dx2 (у.— поперечное смещение стержня), совершая ошибку, не боль­

шую чем фо по сравнению с единицей. Тогда уравнение (7.2) можно записать в виде

Дважды интегрируя по х, найдем форму неподвижного профиля

вдекартовых координатах в виде

У= — ^ c o s k x .

Внеподвижной системе координат волна имеет, следовательно, вид

У— — cos (Ал*— со0.

где со и k связаны уравнением со = k2~\fG/p.

§8. Продольные плоские волны в жидкости

Впредыдущих двух параграфах мы занимались довольно «экзотическими» типами волн. Теперь перейдем к чаще всего встре­ чающимся продольным волнам, имеющим в акустике наибольшее значение: рассмотрим одномерную волну сжатия в упругой среде. Примерами могут служить плоские волны в неограниченной среде, продольные волны в газе или жидкости, заключенных в цилиндри­ ческую трубу, продольные волны в упругом стержне.

Пусть одномерная волна сжатия бежит в жидкости в положи­ тельном направлении оси х. Характеристики этой волны одина­

ковы во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к оси х, а смещения всех частиц параллельны этой оси. Частицей среды в такой волне можно считать участок среды между близкими пло­ скостями, перпендикулярными к оси х. Взаимодействие частиц сводится к Силам давления, действующим по границам между частицами.

*) Физический смысл этого неравенства—малость длины изгибной волны по сравнению с ее радиусом кривизны. Это условие эквивалентно требованию ма­ лости амплитуды линейного отклонения стержня от прямой по сравнению с дли­ ной волны.

26

В рассматриваемом случае можно мысленно выделить в среде цилиндрическую трубку произвольного (например, единичного) сечения с осью, параллельной оси х, и рассматривать движение среды только внутри такой трубки, считая стенки трубки абсолютно жесткими: наличие такой трубки не нарушило бы движения среды внутри нее.

Как и в предыдущих двух примерах распространения волн, применим метод «остановки движения». В данном случае профиль волны— это график зависимости давления в среде от координаты х. Если существует система координат (х '), относительно которой профиль волны неподвижен, то движение среды относительно такой системы координат установившееся и среда в трубке протекает относительно этой системы в обратном направлении. В тех местах, ^ где возмущение отсутствует, например в сечении В, скорость про­ текания среды относительно системы (х ') равна с и направлена в отрицательную сторону. В местах, где возмущение отлично от нуля, например в сечении А, скорость протекания среды с' от­ лична от с. Если V— скорость частиц относительно неподвижной системы, то с' = с — ѵ.

Поскольку движение установившееся, к участку AB трубки можно применить в системе (x') законы сохранения вещества и импульса. Согласно закону сохранения вещества при установив-, шемся движении суммарная масса среды, вытекающей из трубки, должна быть равна нулю. Пусть среда втекает в Л и вытекает из В. Обозначим невозмущенную плотность среды через р, а возму­

Далее, согласно закону сохранения импульса, для установив­ шегося течения жидкости сумма приращения количества движения среды в рассматриваемом объеме за единицу времени и импульса сил давления, действующих на границы объема, равна нулю. Изменение количества движения создается средой, втекающей в А и вытекающей из В.

Так как вытекает жидкость, несущая отрицательное ко­ личество движения, то поток через В дает положительное при­ ращение количества движения рс2, а поток через А дает отрицательное приращение количества движения — р'с'2.

Исходное давление (например, атмосферное давление в воздухе) дает суммарный импульс, равный нулю. Акустическое давление в месте наличия возмущения (в сечении А) дает импульс—р. Таким

27

образом, закон сохранения импульса запишется в виде

рс2 — р'с'2 — р = 0.

Пользуясь полученными выше равенствами, найдем отсюда

Эта зависимость между акустическим давлением и акустическим сжатием должна выполняться для того, чтобы законы сохранения

.были справедливы, т. е. для того, чтобы в системе (х ') движение было установившимся. Если бы этому требованию удалось удов­ летворить при каком-либо значении с, то была бы возможна пло­ ская продольная волна, бегущая без изменения формы, и ее ско­ рость была бы равна этому значению с.

Однако фактически такая зависимость не выполняется ни для каких реальных веществ: во всех веществах давление растет быст­ рее, чем плотность, а не медленнее, как следовало бы из (8.2). Сле­ довательно, для реальных сред желаемую систему координат найти нельзя, т. е. в реальной среде продольная плоская волна не может распространяться без изменения своей формы.

§ 9. Волны малой амплитуды. Линеаризация

Повседневный опыт и лабораторные исследования показывают, однако, что в действительности продольные волны с высокой точ­ ностью сохраняют форму своего профиля. Дело в том, что для малых амплитуд волны, когда s достаточно мало по сравнению с единицей, уравнение (8.2) удовлетворяется приближенно с высо­ кой степенью точности. В самом деле, если пренебречь малой вели­ чиной s по сравнению с единицей, то правую часть (8.2) можно при­ ближенно заменить величиной pc2s; при этом, сохраняя члены порядка s, мы отбрасываем члены, квадратичные по s, и члены еще более высокого порядка малости. С другой стороны, при малых степенях сжатия приближенно выполняется закон Гука: давление пропорционально степени сжатия. Это значит, что, снова с точ­ ностью до членов первого порядка по s, можно считать

где постоянная К — модуль упругости среды — величина, обрат­ ная так называемой сжимаемости среды ß = 1//С- Теперь для удов­ летворения (8.2), т. е. для «остановки профиля», достаточно поло­ жить рс2 = К = 1/ß, откуда, с той же степенью точности,

где, не изменяя порядка погрешности, можно в качестве плотности брать как возмущенное, так и невозмущенное значение.

28

Строго говоря,-это — предельный результат, справедливый при стремлении s к нулю. Часто говорят, что результат относится к «бесконечно малым амплитудам». Найденная величина с есть, таким образом, скорость продольных волн бесконечно малой амплитуды. Форма волны при этом безразлична: дисперсия отсут­ ствует и волна любой формы бежит с одной и той же скоростью, т. е. возможны волны вида р (t + л:1с) при любом виде функции р. Обращаясь к физическому смыслу величин р и бр = ps как при­ ращений невозмущенных давления Р и плотности р и комбинируя формулы (9.1) и (9.2), найдем

Из формулы (9.2) следует, что, зная плотность среды и скорость звука в ней, можно найти ее модуль упругости (или сжимаемость среды). Обычно на практике определение сжимаемости произво­ дится акустическим методом путем непосредственного измерения скорости звука и плотности среды. Как увидим, в формулу (9.2) входит адиабатическая сжимаемость среды (см. § 15).

Скорость волны малой амплитуды найдена выше в результате применения двух аппроксимаций, которые обычно называют лине­ аризациями, так как они состоят в отбрасывании квадратичных по s и сохранении линейных по s членов. Одна из аппроксимаций свя­ зана с кинематикой движения: это — линеаризация соотношения между сжатием и скоростью частиц, полученного из закона сохра­ нения массы. Она заключается в замене нелинейного соотношения <(8.1) на линейное:

Вторая аппроксимация относится к динамике. Эта линеаризация заключается в замене истинной зависимости между сжатием и дав­ лением линейной зависимостью (законом Гука). В газах главная часть ошибки, вызываемой линеаризациями, обусловлена кинема­ тической линеаризацией, в жидкостях и твердых телах — динами­ ческой линеаризацией.

Ошибка, обусловленная линеаризациями, мала в том смысле, что в уравнениях отброшены члены, малые по сравнению с сохра­ няемыми членами. Это не значит, однако, что ошибка будет оста­ ваться малой и в решении уравнения, во все время движения волны. Напротив, можно показать, что ошибка, обусловленная линеари­ зациями, накапливается по мере распространения волны: чем дальше пробежала волна, тем сильнее деформируется ее профиль. Здесь можно провести аналогию с другими случаями, когда также

.пренебрежение малыми величинами по сравнению с большими при­ водит в конце концов к ошибке, не малой по сравнению с интере­ сующей нас величиной. Например, силы внутренней вязкости в звуковой йолне ничтожны по сравнению с силами упругости. Однако если не учитывать эти малые силы вязкости, то придем

29