книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

гд е'?/— коэффициент отражения, зависящий от входного импе­ данса сферы радиуса а. Сходящаяся бегущая волна соответст­ вует коэффициенту отражения 47 = 0, стоячая волна с особен­ ностью — коэффициенту отражения 47 = еШа и стоячая волна без особенности -— коэффициенту отражения 47 = —е2іка . Най­ дем соотношение, связывающее коэффициент отражения, радиус сферы и ее входной импеданс. Суммарное поле падающей и отра­ женной волн на поверхности сферы дается формулами

Проанализируем эти формулы для наиболее интересных слу­ чаев.

Для получения чисто сходящейся волны (47 = 0) импеданс должен быть равен, согласно (85.5)

и следовало ожидать, поскольку при большом радиусе сфериче­ ская волна похожа на плоскую, для которой полное поглощение

Таким образом, для того чтобы малая сфера целиком поглотила падающую на нее сходящуюся волну, ее входной импеданс должен быть мал по модулю и должен быть комплексным, с мнимой частью упругого типа; при этом активная часть импеданса должна быть мала по сравнению с его реактивной частью. Любопытно, что, в противоположность случаю плоской волны, при чисто веще­ ственном импедансе полное поглощение невозможно. Легко рас­ считать, что при чисто вещественном импедансе минимальное зна­ чение коэффициента отражения сходящейся сферической волны получается при

l = Y(kaYH\+(kaY)

280

и равно по модулю

\°1/\ = y i -j-(ka)2 — ka.

Эта величина никогда в нуль не обращается, а при малом ka близка к единице: малая сфера с любым чисто активным импедан­ сом отражает почти все.

Стоячую волну без особенностей можно получить, как ясно из физических соображений, помещая в качестве центрального тела сферу из той же среды, что и остальное пространство. По­ скольку коэффициент отражения при этом равен ■—ехр (2 ika), то,, согласно (85.5), импеданс такой сферы есть

(I — целое) импеданс обращается в нуль, т. е. сфера ведет себя как вакуумная полость. При малых значениях ka импеданс при­ ближенно равен 3ilka и, следовательно, имеет упругий характер. Сравнивая эту величину с (85.7), мы видим, что при малых зна­ чениях ka импеданс, устраняющий особенность, оказывается по модулю весьма большим по сравнению с импедансом, обеспечи­ вающим полное поглощение падающей волны.

Наконец, волна стоячего типа с особенностью, соответствующая

педанса, соответствующего полному поглощению, только отсут­ ствием активной части.

Рассмотрим теперь обратную задачу: дан импеданс малой сфе­ рической поверхности. Требуется найти результирующее поле при падении на сферу сходящейся сферической волны. Из (85.6) видно,

к полю без особенностей вида р = (sin kr)lr. Значит, поле будетпрактически одинаково при помещении в центр сходящейся волны малой сферы с очень большим импедансом (например, абсолютно жесткой сферы) и с очень малым импедансом (например, вакуум­ ной полости). Только при относительном импедансе с реактивной частыо'упругого типа, близкой к ika, коэффициент отражения будетблизок к + 1 и результирующее поле будет близко к полю с осо­ бенностью вида (cos kr)/r или ехр (—іkr)ir.

Здесь есть аналогия с поведением резонатора, на который дей­ ствует возмущающая сила данной частоты. Поле без особенностей

28Г

аналогично поведению резонатора при очень большой жесткости пружины или при очень малой ее жесткости: в обоих случаях движение осциллятора остается малым, что соответствует малым значениям скорости в поле без особенностей вблизи центра. «Ре­ зонанс» в данном случае соответствует £ = ika, при этом скорость вблизи центра делается большой. Это — не только внешняя ана­ логия, и картине резонанса можно придать реальный смысл, по­ мещая в центр волны упругую сферу.

§8 6 . Сферически-симметричные колебания

сферического объема жидкости

Рассмотрим сферический сосуд, заполненный жидкостью или газом. Среда в сосуде может совершать различные свободные гар­ монические сферически-симметричные колебания. Найдем все та­ кие колебания. Стенку сосуда будем считать непроницаемой для звуковых волн (чисто мнимый импеданс стенки). Тогда колебание будет представлять собой стоячую волну. Поскольку давление во всем сосуде должно оставаться конечным, волна должна иметь

в волне к скорости частиц должно равняться входному импедансу Z стенки сосуда. Из (85.3) и (85.4) найдем, что граничное условие имеет вид

где а — радиус сосуда, или, в более компактном виде,

и рассматривать последнее уравнение как (трансцендентное) урав­ нение частот с неизвестной ka. Решения образуют бесконечный

.дискретный набор значений ka, соответствующий такому же беско­ нечному дискретному набору собственных частот сферически-сим- метричных колебаний среды в сосуде. График функции (86.1) дан на рис. 86.1. Если известна частотная зависимость импеданса ■стенки сосуда, то по этому графику можно определять собствен­ ные значения величины ka.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи.

Пусть £ = 0, т. е. граница колеблющегося сферического объема жидкости свободна (вибрации капли). Тогда, как видно из (86.1), собственные значения ka образуют гармонический ряд п, 2я, Зп, . . . На собственной частоте на диаметре капли укладывается,

282

таким образом, целое число длин волн. Резонансные частоты равны, следовательно, псіа, 2ndа, Зпсіа, . . . Для самого низкочастотного колебания как давление, так и скорость сохраняют свой знак во всем объеме сферы. Радиальное распределение амплитуд этих величин показано на рис. 8 6 . 2. .Сами эти величины по фазе сдви­ нуты друг относительно друга на четверть периода.

но 4,49 функция принимает все значения от —оо до -(-оо. Следовательно, при лю­ бом импедансе границы в этом диапазоне значений ka имеется значение, соответ­ ствующее собственной частоте. Низкие частоты (0 <• k a <5 я) отвечают массовому

Интересно, что амплитуда скорости частиц на поверхности сферы не максимальна: в самом деле, если, например, в выражении

k r z o s k r — sin k r

ipm = ---------------------

положить kr — я ‘— e, где e <£ 1 , т. e. рассмотреть скорость вблизи границы для первого колебания, то приближенно

Отсюда видно, что амплитуда колебаний растет от конца радиуса к центру. Так как в центре она равна нулю, а знак ско­ рости сохраняется на всем радиусе, то ясно, что в некоторой точке амплитуда достигает максимума. Уравнение для радиуса, соот­ ветствующего максимуму скорости, найдем, приравнивая нулю производную скорости частиц по г, что дает kr/tg kr = 1 —

— (kr)2/2 . Это соответствует радиусу г = 0,6626а (kr = 2,08). Ско­ рость на поверхности сферы составляет 0,725 от максимального значения скорости.

283

Для абсолютно жесткой стенки уравнение (86.1) примет вид

Рис. 86.2. Сплошными линиями показано распределение вдоль .радиуса амплитуд давлений и скорости частиц для первого нормального колебания свободного сферического объема жидкости (ka = л). Пунктир достраивает эти распределения

до кривых, соответствующих сферическому объему жидкости в абсолютно жест­ кой оболочке.

погрешность для более высоких номеров еще меньше. Наинизшая частота собственного колебания для жесткой границы выше, чем частота для свободной границы при том же радиусе. На рис. 86.2 показано соответственное распределение давлений и скоростей частиц по радиусу.

§ 87. Монополь. Объемная скорость

Теперь займемся расходящейся сферически-симметричной вол­ ной. Создание такой волны представим себе следующим образом. Пусть в среду помещена сфера с проницаемыми стенками, внутри которой попеременно создается то избыток, то недостаток неко­ торого количества вещества данной среды; это количество будет то выходить через стенки во внешнюю среду, то возвращаться обратно через стенки внутрь сферы. Такое устройство есть идеаль­ ный излучатель, создающий снаружи сферы сферически-симметрич- ную расходящуюся волну (проницаемую сферу можно и не осу­ ществлять материально: важно только появление и исчезновение некоторого объема среды). Радиус сферы может быть любым, но особенно важен случай сферы малого радиуса по сравнению с ра­ диусом неволновой зоны. Такой излучатель называют монополем.

В пределах неволновой зоны скорость частиц на поверхности сферы в расходящейся волне примерно обратно пропорциональна квадрату радиуса. Поверхность же сферы прямо пропорциональна квадрату радиуса, так что для создания данного поля снаружи сферы общее количество втекающей или вытекающей через стенки

284

■среды (поток среды через поверхность сферы) следует брать прак­ тически не зависящим от радиуса. Значит, это количество и будет определять данную сферически-симметричную волну; можно ожидать, что радиус сферы (пока он мал) при данном количестве •создаваемой и исчезающей среды роли не играет; поэтому при малом радиусе сферы говорят о точечном монополе.

Подтвердим эти соображения расчетом. Пусть монополь в виде малой сферы радиуса а создает волну р = f (t — rlc)lr. Согласно (84.1) скорость частиц на поверхности сферы равна

— СО

что дает следующий поток скорости частиц через всю поверхность сферы:

4па2ѵг=а

Введем величину

t

Очевидно, поток равен сумме двух первых членов разложения этой величины в ряд по степеням приращения аіс аргумента вблизи значения аргумента t — а/с:

откуда видно, что поток через поверхность сферы, создающий данную волну, отличается от V (t), только начиная со второго порядка относительно малой величины alcT, где Т — характерное время изменения V. Величину V (t) называют объемной скоростью монополя. Мы видим, действительно, что этот поток мало зависит от радиуса а сферы. Объемная скорость монополя очень велика по сравнению со скоростью изменения под действием звуковой волны объема сферы того же радиуса а, вырезанного в среде вне источ­ ника вещества. Поэтому внутри малого объема среды, включаю­ щего этот источник, среду практически можно считать несжи­ маемой, а приближенные формулы обрывать на втором члене.

Выразим теперь поле сферической волны через объемную ско­ рость монополя, создающего эту волну. Из (87.1) имеем

285

Значит, давление в волне равно

Р = ^ т г ѵ (‘~ і ) ~ ^ ж ѵ и ~ ^ г - т ѵ Ѵ- («7-2>

Отсюда видно, что излучение обусловлено только изменением объемной скорости.

Скорость частиц получится в виде

' ” = T è ^ ( ' - - r ) + T h r - w v{ t — r ) ~ - è r v <f>- <87-3>

Заметим, что данная сферически-симметричная волна может быть создана также протеканием среды через поверхность сферы не малого радиуса, но тогда поток среды через поверхность не будет равен объемной скорости сферической волны и будет зависеть от радиуса.

Для гармонического монополя с объемной скоростью

К (/) =

имеем

„ i h r

Р = — іршѴо 4я Т

(87.4)

В этом случае критерий малости радиуса монополя а имеет вид ka <£ 1. Отличие потока через поверхность сферы радиуса а от величины Ѵ0 равно Ѵа (ka)2 Ѵ0, т. е. относительная погрешность равна V2 (ka)2 : 1 .

Фазу объемной скорости гармонического монополя можно счи­ тать произвольной (если еще не выбрана фаза какой-либо другой величины, характеризующей волну, например фаза давления в той или иной точке): изменение фазы равносильно изменению начала отсчета времени. Например, изменение знака Ѵ0 равносильно сдвигу начала отсчета на половину периода.

Появление и исчезновение среды внутри проницаемой или мысленно выделенной в среде сферы можно имитировать другим, более реальным процессом: пульсацией непроницаемой сферы ма­ лого радиуса. Такой излучатель также называют монополем. Строго говоря, в таком излучателе за объемную скорость нельзя принять величину 4яа2ѵ, где ѵ — скорость поверхности излуча­ теля, так как при колебаниях будет меняться и сам радиус сферы, а это даст нелинейную квадратичную поправку к потоку скорости. Действительно, скорости поверхности ѵ = ѵ0 cos co^ соответствует

286

изменение радиуса

Аа = (ѵ0/а) sin со так что поток скорости окажется равным '

4я ( а + sin at j 2 v0cos at.

Добавка к потоку составляет квадратичную по отношению к скорости величину 4яа (v%/aj sin 2at *). Это — колебание двой­

носильно требованию малости изменения радиуса сферы по сравне­ нию с самим радиусом.

Из сказанного выше следует важное заключение о связи между конструктивными элементами монополя и создаваемым им полем. При заданной величине вытесняемого объема, который, опреде­ ляется в конечном счете размерами излучателя (например, радиу­ сом малой сферы), объемная скорость пропорциональна частоте звука. Значит, создаваемое звуковое давление пропорционально квадрату частоты, а излученная энергия — четвертой степени ча­ стоты. Следовательно, эффективность излучения малого источника звука быстро падает с понижением частоты. В частности, поэтому «бас-громкоговорители» должны иметь такие большие размеры по сравнению с «пищалками» — громкоговорителями для высоких частот звука.

~Возьмем в качестве излучателя звука не пульсирующую сферу, а пульсирующее тело любой формы и, крометого, сообщим поверх­ ности тела различные скорости в разных точках, требуя только, чтобы объем тела менялся с течением времени. Тогда при размерах тела, не малых по сравнению с длиной волны, излучаемое поле будет иметь сложную структуру, зависящую и от формы, и от раз­ меров тела по отношению к длине волны, и от распределения Скоро­ стей по его поверхности. Если же тело мало по сравнению с длиной волны, то, как можно показать, вдали от. тела главная Пасть поля всегда явится сферически-симметричной расходящейся волной — такой же волной, которую создал бы монополь в виде пульсирующей'сферы малого радиуса с объемной скоростью, равной суммар­ ному потоку скорости через поверхность тела.

*) Членом, содержащим UQ, пренебрегаем.

287

§ 88. Сопротивление среды в сферической волне. Присоединенная масса

Введем для сферическн-симметричной волны понятие сопро­ тивления среды, аналогичное этому понятию для плоской волны: отношение давления к скорости частиц. Мы видели, что для пло­ ских волн любой формы сопротивление среды не зависит от вре­ мени и равно рс. Для сферических волн отношение давления к ско­ рости вообще зависит от времени. Поэтому понятие сопротивления среды можно ввести только для гармонических волн, для которых

зависимость от времени оди­ накова для давления и для скорости и поэтому выпадает.

Согласно (85.1) и (85.2) для расходящейся гармонической сферическ и-симметр ичной волны сопротивление среды равно

от расстояния до центра волны и от частоты. Мнимая часть сопро­ тивления отрицательна, т. е. имеет характер массового сопроти­ вления. На рис. 88.1 даны зависимости— Іш Z/pc и Re Z/pc от kr. При малых значениях kr мнимая часть зависит от kr ли­ нейно, затем рост мнимой части замедляется, достигает макси­ мума (равного Ѵ2 рс) при kr — 1 , а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю по мере возрастания kr. Вещественная часть со­ противления по модулю относится к мнимой как kr : 1 ; при ма­ лых kr она имеет порядок (kr)2 и мала по сравнению с мнимой частью, а при kr —>оо стремится к рс. При kr = 1 вещественная и мнимая части сопротивления равны по модулю. Асимптотическое поведение сопротивления делается понятным, если учесть, что увеличение kr равносильно удалению на бесконечность, где сфери­ ческая волна делается похожей на плоскую.

Сопротивление, испытываемое со стороны среды поверхностью

Вещественная часть сопротивления мала по сравнению с мни­ мой, а эта последняя имеет массовый характер и в данном прибли­ жении совпадает с реакцией — гсорл, которую оказывала бы не­ сжимаемая жидкость той же плотности. Действие реактивной

288

части сопротивления в отсутствие среды можно имитировать, рас­ пределяя равномерно на поверхности сферы массу с поверхностной плотностью рг. Суммарная масса для всей сферы составит тогда 4я/-3 р, что равно массе среды в тройном объеме сферы. Эту массу называют присоединенной массой сферы.

Присоединенная масса не зависит от частоты. Фактическая реактивная часть сопротивления в сжимаемой среде меньше со­ противления присоединенной массы в отношении 1 : [ 1 + {kr)2]. Модуль полного сопротивления среды в сжимаемой среде меньше сопротивления присоединенной массы в [1 + V 2 {kr)2] раз (поп­ равки относятся к случаю kr <§( 1 ).

Для монополя, осуществленного в виде малой пульсирующей сферы, расчет сил, необходимых для создания заданной объемной скорости, можно вести, исходя из величины присоединенной массы, как если бы среда была несжимаемой. Различие фаз сопротивле­ ния для сжимаемой и несжимаемой среды тоже мало; однако, как мы уже говорили, это малое различие играет принципиальную роль в вопросе об излучении звука.

§ 89е Колебания упругой сферы в среде* Колебания газового пузырька в воде

Возьмем в качестве монополя упругую безмассовую сферу радиуса а с удельным коэффициентом упругости х. Это значит, что в поле давления р приращение Аа радиуса сферы равно Да = = —р/х. Такая сфера, помещенная в несжимаемую среду, явится для сферически-симметричных колебаний осциллятором с одной степенью свободы. Обобщенная масса такого осциллятора — это присоединенная масса среды, равная 4яа3 р; обобщенный коэффи­ циент упругости равен 4ла2а. Следовательно, собственная частота осциллятора равна

<“ = Ѵ Ш І = Ѵ і - < » • »

Такой же расчет, можно выполнить и для сферы, помещенной в сжимаемую среду, если,длина волны собственной частоты в среде велика по сравнению с размерами сферы, т. е. выполнено условие k 0a <£ 1, где k 0 = со0 /с. Для этого должно выполняться неравенство X рс2/а. Если сфера — сплошное тело, это значит, что сжимае­ мость тела должна быть много больше сжимаемости среды (такому условию всегда удовлетворяет, например, газовый пузырек в воде). Колебания упругой сферы в сжимаемой среде можно по-прежнему рассматривать как колебания осциллятора с одной степенью сво­ боды, но его колебания будут теперь затухающими: энергия коле­ баний будет «высвечиваться» — затрачиваться на излучение звука колеблющейся сферой.

Расчет осциллятора в этом случае проще всего выполнить сле­ дующим образом. Если сфера мала по сравнению с длиной волны,