книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

каким-либо фиксированным направлением, не зависящим от угла скольжения падающей волны, то и в этом случае импеданс второй среды нормальный. Так будет, например, если поместить во вторую среду (имеющую произвольную скорость звука) «сотовую конструкцию»—гребенку параллельных абсолютно жестких пере­ городок, делящих среду на независимые слои (или трубочки), узкие по сравнению с длиной волны в среде. Тем самым будет принудительно задан «угол преломления»— как угол а между нормалью к границе раздела и направлением трубочек. Движение в каждой трубочке будет зависеть только от давления на ее конце. Примерно так ведут себя пористые жесткие штукатурки, встре­ чающиеся в архитектурной акустике: воздух в порах имеет при­ нудительное направление движения, не зависящее от угла паде­ ния волны в целом. Легко показать, что для сотовой конструкции с наклоном трубочек к нормали а и коэффициентом скважности е (отношение площади сечений трубочек к общей поверхности пре­ пятствия) входной импеданс равен Z = рс/(е cos а).

Итак, для нахождения отражения гармонической плоской волны от плоского препятствия достаточно знать его проводимость или входной импеданс. Если падает плоская волна произвольной формы, то можно поступить так же, как и при нахождении отра­ жения при падении на границу двух сред под закритическим углом (см. § 56). Вообще проводимость зависит от частоты: Y — Y (со), так что каждая компонента разложения Фурье отразится со своим коэффициентом отражения. Кроме того, для отрицательных частот значения входной проводимости надо брать сопряженными соот­ ветственным значениям для положительных частот. Так, если падающая волна может быть представлена в виде

CD

При наклонном падении волны, так же как и при нормальном, идеальные границы можно рассматривать как предельные слу­ чаи при стремлении проводимости или импеданса границы соот­ ветственно к нулю или к бесконечности. Абсолютно мягкая гра­ ница соответствует бесконечной проводимости и нулевому импе­ дансу, а абсолютно жесткая — нулевой проводимости и беско­ нечному импедансу. Можно рассматривать эти случаи и как гра­

190

ницы со средой, характеристики которой стремятся к некоторым предельным значениям. Так, абсолютно мягкая граница полу­ чится, если стремить к нулю плотность второй среды либо ско­ рость звука в ней (устремляя сжимаемость к бесконечности), что соответствует предельным переходам т —>0 либо п —>оо. Для получения абсолютно жесткой границы можно стремить плотность второй среды к бесконечности: т —>оо. Стремление же скорости звука во второй среде к бесконечности (п —>0 ) не приведет при наклонном падении (в отличие от нормального падения) к имита­ ции абсолютно жесткой стенки, потому что при п = 0 любой угол скольжения, кроме 90°, закритический и отражение,непра­ вильное (а во второй среде возникают неоднородные волны).

Обратим внимание на любопытный парадокс, связанный с па­ дением волны под углом скольжения 0 ° («скользящёе падение»). При абсолютно жесткой стенке коэффициент отражения от нее равен +1 при любом 0, даже при Ѳ—>0. Но, с другой стороны, при любом конечном значении проводимости границы коэффициент отражения равен — 1 при Ѳ = 0 и остается равным нулю даже при стремлении проводимости границы к нулю. В первом случае поле в первой среде равно удвоенному падающему полю; во втором случае оно равно нулю.

к нулю, то получим первый случай. Если перейти к пределу Ѳ = 0, а затем стремить проводимость к нулю, получим второй случай. Если бы мы стремили к нулю одновременно и угол сколь­ жения, и проводимость границы, то могли бы получить любое значение коэффициента отражения между— 1 и + 1 , в зависимости от того, к чему стремилась бы величина sin Q/Y.

Но интереснее всего то, что для реальных сред парадокс де­ лается беспредметным: акустически абсолютно жесткая стенка не осуществима, как мы сейчас покажем, даже при помощи дей­ ствительно абсолютно неподвижной границы среды. Мы увидим, что при Ѳ—>0 коэффициент отражения плоской волны от такой границы в реальной среде всегда стремится к — 1 , а не к + 1 .

Дело в том, что в реальных средах, в отличие от идеальной жидкости, теплопроводность и вязкость — конечные величины. Поэтому стенку нельзя считать адиабатической границей для среды: граничным условием явится равенство температур среды и стенки, что требует, в отличие от идеальной среды, выравнивания температур между средой и стенкой. Конечная же вязкость при­ водит к прилипанию частиц к границе; в результате на границе должна обращаться в нуль не только нормальная, но, в отличие от идеальной среды, и касательная компонента скорости частиц. Мы покажем, что такое' действие теплопроводности и вязкости

191

эквивалентно малой, но конечной проводимости границы в идеаль­

Выясним в отдельности действие либо только теплопровод­ ности, либо только вязкости. Начнем с действия теплопровод­

водность, либо теплоемкость стенки; при отражении звука в газе от твердой стенки или от поверхности жидкости это условие будет выполнено с высокой степенью точности).

Если бы стенка была адиабатична, то изменения температуры среды вблизи нее равнялись бы, согласно (14.4),

Т’ад = РадР(2 = 0 ).

В силу теплопроводности стенки изменение температуры на гра­ нице должно упасть до нуля. Действие стенки в этом отношении равносильно периодическому изменению температуры на границе с той же амплитудой, что и 7\,д, но противоположного знака. Такое изменение вызовет в среде температурную волну (см. § 19), быстро спадающую при удалении от стенки, и оба изменения температуры — адиабатическое изменение вследствие сжатия среды и температурная волна, вызванная теплопроводностью стенки, — в сумме удовлетворят граничному условию постоян­ ства температуры на стенке. Так как длина температурной волны очень мала по сравнению с длиной звуковой волны, то можно считать, что распределение температур «локально-равномерно» на участках, больших по сравнению с длиной температурной волны, но еще малых по сравнению с длиной звуковой волны. Тогда температурную волну можно записать, в согласии с (25.8), в виде

Распределение температур в реальной среде вблизи теплопро­ водящей стенки отличается на величину Т' от распределения при адиабатической границе. В то же время выравниванием темпе­ ратур на расстоянии порядка звуковой волны или изменением давления и адиабатического нагревания при удалении от стенки на расстояние многих глубин прогревания можно пренебрегать.

Но изменение температуры соответствует изменению сжатия среды при том же давлении. В соответствии с уравнением со­ стояния (14.3) добавочное сжатие равно

s' = — а Г = (ѵ— 1) РадР(г=о) ехР ( - £Ѵ +

Интегрируя по 2 в пределах от —оо до 0 (вследствие быстрого спадания температурной волны фактически интегрирование вы­ полняется в тонком пристеночном слое в несколько глубин про­

192

гревания), получим суммарное изменение объема пристеночного слоя в расчете на единицу площади границы:

Это изменение сжатия пристеночного слоя при теплообмене эквивалентно для падающей волны смещению границы по нормали на ту же величину и. Значит, теплообмен у границы эквивалентен движению адиабатической границы с нормальной скоростью vz = —mu. Подставляя рад = 1/рс2, получим из (58.4)

Отсюда заключаем, что в реальной среде теплообмен акустически эквивалентен замене неподвижной стенки в идеальной нетепло­ проводной среде границей с проводимостью

Поскольку, как мы видели в § 19, отношение Ы\г всегда мало по сравнению с единицей, при больших углах скольжения пада­ ющей волны коэффициент отражения близок к + 1 : стенка ведет себя почти в точности как акустически абсолютно жесткая. Но

области, полагая приближенно sin Ѳ?=» Ѳ, найдем, что минимум модуля коэффициента отражения достигается при характерном угле скольжения

0,415. Таким образом, получающийся коэффициент отражения по энергии равен всего 0,172. Следовательно, вблизи стенки поглощается 82,8% потока мощности волны, бегущего в направ­ лении к границе. Это, впрочем, не значит, что поглощение энергии., вызванное теплопередачей, больше при этом угле, чем при более крутых углах падения волны: эта энергия мало зависит от угла, пока угол больше найденного критического угла, но подводимая

к стенке энергия уменьшается при уменьшении Ѳ. При углах, мень­ ших Ѳх, давление у стенки падает, так как коэффициент отраже­ ния приближается к — 1 и адиабатическое нагревание у стенки и потери энергии быстро убывают.

Мы видим, что минимальное значение коэффициента отражения не зависит ни от частоты, ни от термодинамических свойств среды; но критический угол от этих характеристик зависит. Действи­ тельно, из (58.7) следует (см. § 19), что этот угол равен

э , = ѵ - а і = ± у ^ : .

Аналогичным способом можно найти и действие вязкости. При отсутствии прилипания касательная скорость среды на границе равнялась бы

V = (COS0/pc) р(г=0 ) .

Прилипание остановит среду у границы. Действие стенки в этом отношении равносильно сообщению среде на самой границе доба­ вочной касательной скорости той же амплитуды, но противополож­ ного знака. Это создаст в среде вблизи границы сдвиговую волну вида

ѵ' = — (cos Ѳ/pc) p(r=o) exp (—iUz + |vZ).

Это дает дополнительный по сравнению с отсутствием прилипания поток среды через поверхность, перпендикулярную к границе, равный

Выделим мысленно в среде у поверхности границы прямой цилиндр, опирающийся на единичную площадку. Через боковую стенку такого цилиндра вытекает поток, равный

Это изменение количества среды в пристеночном объеме при нали­ чии вязкости равносильно, как легко видеть, смещению по нормали границы в отсутствие вязкости, происходящему с этой же ско­ ростью V. = дО/дх. Значит, прилипание вязкой грайицы к стенке эквивалентно движению границы по нормали со скоростью ѵг в среде без вязкости, т. е. наличию у границы проводимости

194

Сравнивая (58.8) с (58.5), заключаем, что вязкость в среде и прилипание среды к границе также приводят к появлению эффек­ тивной проводимости, как и теплопроводность вблизи теплопрово­ дящей стенки, хотя, конечно, физические картины влияния вяз­ кости и влияния теплопроводности различны. В частности, при скользящих углах падения волны коэффициент отражения стре­ мится к — 1 ; при характерном угле, определяемом (приближенно) формулой

% = k ! V2 £ ѵ,

модуль коэффициента отражения минимален и равен, как и в слу­ чае теплопроводности, 0,415. При Ѳ—>0 коэффициент отражения стремится к — 1 .

§ 59. Поверхностная волна вблизи плоской границы, характеризуемой нормальной проводимостью

Мы видели, что все случаи отражения плоских волн любой формы от плоского однородного препятствия сводятся к задаче об отражении плоских гармонических волн. Эта последняя задача решается, как мы видели, если известна частотная зависимость проводимости или импеданса препятствия. Для гармонических волн удобно пользоваться комплексными представлениями как самих падающих и отраженных волн, так и углов скольжения. Мнимый угол скольжения соответствует неоднородной волне. Проводимость препятствия в общем случае — комплексная. Осо­ бый интерес представляет нахождение для препятствия с заданной входной проводимостью такой гармонической волны, которая одна может удовлетворить граничному условию на поверхности препятствия. Такой случай соответствует обращению коэффи­ циента отражения от препятствия в нуль или в бесконечность.

С подобными случаями мы уже встречались. Так, в § 30 рас­ сматривалось нормальное падение на' «поглотитель» — препятст­ вие с вещественным входным импедансом, равным волновому со­ противлению среды; коэффициент отражения при этом обращается

Ѳ= arctg У (п2 — 1)/(т2 — п2). В обоих случаях имеется поток энергии, идущий из среды в препятствие, которое можно поэтому рассматривать как поглотитель или, мысленно отбросив препят­ ствие, заменить его той же средой, заполняющей все второе полу­ пространство, в которое падающая волна войдет без отражения.

Выясним теперь условие отсутствия отражения-от препятствия с любой нормальной проводимостью У. Из (58.2) следует, что это

где через г| обозначена относительная проводимость препятствия. Вся теория волны, удовлетворяющей в одиночку данному гра­ ничному условию, заключена в этом уравнении. Проанализируем

В первом случае искомый угол най­ дется по формуле 0 = arcsin тр Это значит, что плоская волна вида

Угол 'скольжения искомой падающей волны тоже будет в этом случае комплексным:

196

Значит, величины sin2 а и ch2 ß являются решениями уравнения

х2 — ( 1 + г2 + £2) X + г2 = 0 .

Корни этого уравнения даются формулой

из которой видно, что оба решения вещественные положительные. Легко показать, что корень, отвечающий верхнему знаку, всегда больше единицы, а корень, отве­ чающий нижнему знаку, — меньше

единицы. Полагая ch2 ß равным пер­ вому корню, а sin2 а —второму корню, найдем после простых переделок сле­ дующие вещественные значения для ch ß и sin а:

определяет характер реактивной части проводимости границы: знак плюс означает массовую проводимость, знак минус — упругую.

В первом случае амплитуда нарастает при удалении от поверх­ ности, во втором— убывает (рис. 59.1). При чисто реактивной проводимости препятствия а = 0 и волна бежит вдоль поверхности («поверхностная волна», рис. 59.2). В этом случае уравнение волны имеет вид

р = exp { i k Y \ + £ 2 X— kt,z).

Волна оказывается замедленной по сравнению с плоской волной, как и во всех остальных случаях реактивного импеданса.'Очевидно, в неограниченном полупространстве поверхностная. волна,.бегущая.

. 197

вдоль границы, возможна только при упругой проводимости стенки. В слое возможно существование такой волны и вблизи стенки с массовым импедансом, при условии, что вторая стенка имеет упругий входной импеданс того же модуля.

В заключение заметим, что условие (59.1) обращения в нуль коэффициента отражения совпадает с условием обращения коэффи­ циента отражения в бесконечность, если за угол скольжения па­ дающей волны взят угол Ѳ'=—Ѳ. Это равносильно замене в выше­ приведенных формулах угла а на угол —а при сохранении угла ß неизменным. Разница в этих двух подходах к задаче — чисто фор­ мальная. Ведь имеется только одна волна, и безразлично, считать ли, что падающая волна конечна, а отраженная равна нулю или что падающая волна равна нулю, но отраженная конечна, — нужно только соответственно переименовывать волны и изменять углы.

ѵ§ 60. Применение теории длинных линий к задачам

онаклонном падении волн

Сравним некоторые выражения, относящиеся к отражению и прохождению плоских волн при нормальном и при наклонном паде­ нии на границу двух сред и на препятствие, характеризуемое импе­ дансом:

198

Различие между столбцами можно сформулировать так: в то время как в левом столбце имеется общая зависимость от t для всех трех волн, т. е. волновой процесс происходит синфазно по всей плоскости,-в правом столбце имеется общая зависимость от комби­ нации t — S cos Ѳ-х, т. е. вся картина бежит по оси х (с медлен­ ностью S cos Ѳ). Зависимость от координаты г различается только тем, что вместо медленностей S и S' звука в правом столбце фигу­ рируют проекции S sin Ѳ и 5 ' sin 0' медленностей на ось z. Та­ кая же замена медленностей на их проекции выполнена и в гранич­ ных условиях, и в формулах Френеля.

Значит, формально можно вместо задачи о наклонном падении решать задачу о нормальном падении волны на границу фиктивных

сред с медленностями S — 5 sin Ѳи 5 ' = S' sin Ѳ' (а для гармони­ ческих волн — с волновыми числами k = k sin Ѳ и k' — k' sin Ѳ')

ис теми же плотностями, что у настоящих сред; при этом получатся правильные значения коэффициентов отражения и прохождения. Если теперь приписать полученной картине движение вдоль оси х

смедленностью S cos 0, то получится полная картина отражения

ипрохождения при наклонном падении. Тем самым решение задачи о наклонном падении свелось к решению задачи о нормальном падении. Фиктивные медленности будут зависеть от угла скольже­ ния падающей волны. Волновые сопротивления фиктивных сред станут равны pc/sin 0 и p'c'/sin 0'. Коэффициент преломления нужно брать равным

Отношение rn плотностей останется неизменным. Хотя вводимые таким образом среды фиктивны, соответственные волновые сопро­ тивления вполне реальны: величины pc/sin 0 и p'c'/sin 0 ' действи­ тельно равны отношениям давления к нормальной скорости на границе для падающей и для прошедшей волн. Поэтому, вводя обозначения

Z = pc/sin Ѳ, Z' — p'c'/sin 0', t, — Z7Z,

получим формулы Френеля, в том же виде, что и для нормального падения:

Аналогично можно решать и другие задачи о наклонном паде­ нии. Например, отражение от препятствия в виде сосредоточенной массы найдем по формулам для нормального падения, заменяя медленность звука в среде на ее проекцию 5 sin 0 . Коэффициент отражения окажется, в соответствии с формулой (46.4), равным

Ѵ= —tcop — pc/sin Ѳ

—/сор + pc/sin Ѳ

199