книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

частиц как материальных точек; второе явление— переход возму­ щенного состояния среды с одних частиц на другие. Так, величина смещения и скорость частицы в волне зависят от силы звука, напри­ мер для слышимых звуков— от их громкости. Эти величины в зву­ ковой волне, как правило, очень малы, а после прохождения волны каждая частица практически остается в своем исходном положе­ нии. Волна же удаляется по среде от места возникновения; скорость ее велика (сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а только от свойств среды: чем больше упругость среды, тем больше упругие напряжения, возникающие в среде при данной деформации, и тем быстрее передается возмущение от частицы к частице — тем больше скорость звука; чем больше плотность, тем медленнее частицы приобретают скорость при действии данных упругих напряжений — тем скорость звука меньше.

Скорость звука всегда конечна и определяется именно упругими свойствами и плотностью среды. Отсюда следует, что во всех аку­ стических вопросах нужно учитывать как упругость среды, так и ее инерционные свойства; от других же свойств среды ее акусти­ ческое поведение не зависит.

Если к телу приложить силу, то в нем всегда должна создаться упругая волна. Однако в обычных задачах теоретической меха­ ники упругие волны не учитывают. Например, изучая движение свободного тела, возникающее под действием прикладываемой к

и т. д. Аналогично, рассматривая действие силы на закрепленное тело, считают, что тело, деформируясь, приходит в равновесие все сразу, во всех своих частях. Такой подход равносилен предпо­ ложению, что скорость звука в теле бесконечна. В первом примере это соответствует абсолютно жесткому телу (бесконечная упру­ гость), а во втором—безмассовому телу. Механические задачи при таком подходе сильно упрощаются. В частнрсти, оказывается воз­ можным в каждой задаче учитывать либо только массу тела (пер­ вый пример), либо только его упругие свойства (второй пример).

Акустика принципиально отказывается рассматривать реаль­ ные тела как абсолютно жесткие или безмассовые, потому что при этом теряется изучаемое явление: распространение волны, т. е. передача возмущения по телу с конечной скоростью. К специфично акустическим задачам мы относим те, в которых возникающие упругие волны существенно сказываются на явлении в целом.

Кзадачам же теоретической механики в чистом виде относим те,

вкоторых упругими волнами можно пренебрегать.

Упругие волны отсутствуют, если сила, действующая на тело, постоянна. Упругие волны малы, если сила меняется медленно, так что передача возмущения по телу успевает происходить за малую долю времени, характерного для изменения силы. При синусои­ дальном действии силы за характерный промежуток времени можно считать ее период, при импульсном действии — время нарастания

Ю

силы. Время же передачи возмущения определяется характерным размером тела и скоростью звука.

Обозначим скорость звука через с, характерный размер тела через L и характерный промежуток времени через Т. Процесс можно считать медленным,можно пренебрегать возникающей упру­ гой волной и относить задачу к «обычной» механике, если

L/с С Т.

Тогда состояние тела в каждый момент (его ускорение и деформа­ ция) зависит только от сил, действующих на него в этот же момент. Если же это неравенство не выполнено, то процесс следует считать быстрым. Движение тела определяется при этом в основном воз­ никшей упругой волной. В частности, ускорение и скорости раз­ ных точек свободного тела различны: тело двигается не как одно целое; если же тело закреплено, то его деформированное состоя­ ние определится не только величиной сил в данный момент, но и ранее созданными волнами.

Между такими крайними случаями лежат и все промежуточные соотношения между характерным временем действия силы и вре­ менем пробега волны по телу, когда роль упругих волн может ока­ заться более или менее важной.

В качестве примера укажем, что синусоидальную силу часто­ той 1000 Гц, действующую на стальной стержень длиной 10 см, следует считать медленным воздействием (скорость звука в стали превышает 5000 м/сек). Если эта сила действует вдоль стержня на один его конец, то различие в ускорениях между двумя концами меньше 1 %; обычно такой малой разницей можно пренебречь. Если второй конец стержня жестко оперт, то таким же малым окажется и различие в сжатиях у опертого конца и конца, на который дей­ ствует сила: стержень будет сжиматься и растягиваться «квазиста­ тически», почти равномерно по всей длине. Но ту же силу следует, считать быстрым воздействием, если она приложена к длинному рельсу: она создаст в нем типичный волновой процесс (стоячую волну); части рельса будут сжаты в то же время, когда другие — растянуты.

Для Земли в целом следует считать быстрым!?'даже воздействия с периодами во много минут; при землетрясениях в земной коре возникают упругие волны с периодами, доходящими почти до часа: это— время, требующееся для пробега упругой волны по всей планете.

В некоторых явлениях упругие волны могут оказаться суще­ ственными, даже если нас интересует только движение данного тела как целого. Например, в классической задаче о соударении идеально упругих шаров пренебрежение возникающими упругими волнами приводит к ошибке при подсчете скорости шаров после соударения. В, самом деле, уравнение сохранения энергии обычно пишут как равенство кинетических энергий системы шаров до и после соударения. Правильное решение должно учитывать, однако,

11

и энергию возникших при ударе упругих волн. Кинетическая энергия шаров, рассматриваемых как материальные точки, ока­ жется поэтому после соударения всегда меньше, чем перед соуда­ рением, — удар шаров из идеально упругого материала происхо­ дит подобно удару шаров с неполной упругостью.

Изучать упругие волны можно двумя принципиально разными способами. Можно рассматривать волну как движение материаль­ ных точек (частиц среды), упруго взаимодействующих между со­ бой. В этом способе объект изучения — отдельные частицы среды и их движение. К частицам можно применить уравнения механики системы материальных точек, учесть силы взаимодействия между ними, их инерцию и найти таким способом движение каждой ча­ стицы. Так удается рассмотреть, однако, только простейшие виды волн — бегущие одномерные волны (примеры см. в §§ 6—8). Для волн же любого вида этот способ весьма неудобен. В самом деле, силы упругости, действующие на какую-либо частицу, вызваны деформациями соседних частиц, а эти деформации связаны сдвиже­ нием еще более удаленных частиц и т. д.; в итоге, чтобы найти дви­ жение одной частицы, требуется выяснить и движение всех осталь­ ных частиц среды. Но тогда, оказывается, проще с самого начала отказаться от громоздкого рассмотрения поведения каждой ча­ стицы в отдельности и вместо этого изучать волну в целом как само­ стоятельный объект. В этом и заключается второй способ.

При втором способе изучения содержание акустики как науки можно назвать механикой упругих волн, в противоположность ме­ ханике частиц среды, с которой имеем дело при первом способе.

Выбор в качестве основного объекта изучения,не отдельных частиц среды, а всей волны в целом диктуется тем, что для волны удается найти простые законы поведения: законы распростране­ ния, законы отражения и преломления на границах разных сред, законы рассеяния от препятствий, особенности поведения в огра­ ниченных областях среды и т. д. Пблучить равноценные резуль­ таты, изучая движение системы отдельных взаимодействующих частиц, было бы практически невозможно. Конечно вывод уравне­ ния поведения волн основан на тех же уравнениях механики ча­ стиц. Более того, все результаты волновой теории в принципе можно было бы получить расчетом движений всех частиц среды, сколь ни неосуществимо на практике было бы такое вычисление: принципиальной невозможности, вроде той, которая встречается при попытке вывода законов термодинамики только из механики Ньютона, здесь нет.

Схема построения акустики как механики упругих волн имеет, таким образом, следующий вид. Общие законы поведения упругих волн мы получим как следствия ньютоновской механики для ча­ стиц среды. Но,получив эти законы, мы в каждой конкретной физи­ ческой ситуации будем искать поведение волны в целом, уже не интересуясь движением отдельных частиц среды, в которой бежит волна. В тех же случаях, когда это понадобится, можно снова

12

перейти к частицам: изучив волну в целом, легко найти движение каждой частицы.

Роль механики волн как самостоятельной дисциплины подчер­ кивается следующим обстоятельством. В смежных науках — оптике и радиофизике, также изучающих волны, — нет речи о ча­ стицах среды, да и о самой среде тоже (для основного явления — распространения электромагнитных волн в вакууме). Но, тогда как электрические и магнитные явления нельзя связать с механиче­ ским поведением тел, законы электромагнитных волн оказались весьма близкими к законам механики упругих волн. Волновая картина в этом смысле универсальна. В отличие от акустики, вол­ новые представления в других науках, имеющих дело с волновыми явлениями, первичны, но свои исходные понятия и математический аппарат эти науки в значительной степени заимствовали из аку­ стики как науки о волнах. Исторически акустика послужила про­ тотипом всех волновых наук.

Хотя звуковая волна — механическое явление, поведение волны — явление совершенно иное, чем движение материальных тел. Действительно, обычные в механике тел понятия координаты, траектории, ускорения, неприменимы к волне или применимы лишь частично, хотя эти понятия остаются полностью в силе для каждой частицы среды, в которой бежит волна. Так, волне, выхо­ дящей из некоторого источника звука, нельзя приписать какойлибо траектории, так как она расходится от источника во все сто­ роны.

Любая волна в данной среде движется с неизменной ско­ ростью, поэтому к волне понятие ускорения неприменимо. Требует более глубокого анализа даже основное в акустике понятие ско­ рости волны: оно оказывается отличным от понятия скорости тела (см. § 4).

Но даже в тех случаях, когда поведение волны, казалось бы, похоже на движение тела по инерции (например, бегущая плоская волна), все же это поведение принципиально отлично от движения тела. Так, если на пути волны есть препятствие, то она разделится на две волны, бегущие в противоположных направлениях: отра­ женную и прошедшую. При падении синусоидальной волны эти обе волны также будут синусоидальными, а если подобрать пре­ пятствие так, чтобы их амплитудй были равны, то они окажутся равными 0,707 от амплитуды падающей волны. Если бы, однако, обе такие волны были посланы вместе в одну сторону, то они обра­ зовали бы одну волну с амплитудой 0,707 + 0,707 = 1,414.

Далее, если в какой-либо среде бегут две волны, то каждая бежит, «не замечая» другой, как если бы в среде существовала только она одна. Вместе с тем для волны явится препятствием каждая неоднородность среды. Попадая на ограниченное препят­ ствие, волна рассеивается во все стороны; при этом какая-то часть волны возвращается и в то место, откуда вышла исходная волна, — на этом основаны гидролокация и ультразвуковая дефектоскопия

13

(обнаружение при помощи ультразвука дефектов, например тре­ щин, внутри непрозрачных материалов).

Ввиду всех этих и многих других особенностей поведения волн, о"волнах, как правило, не говорят «движутся», оставляя этот тер­ мин для перемещений тел (в том числе, конечно, и'для перемеще­ ний частиц среды в волне). О волне говорят, что она «распростра­ няется», понимая под этим термином всю картину изменения воз­ мущенного состояния среды с течением времени.

Для описания распространения упругих’волн существует при­ вилегированная «абсолютная» система координат: система, связан­ ная с самой средой в целом. Для электромагнитных волн в вакуу­ ме, конечно, никакой привилегированной системы нет.

Отметим, наконец, что простые законы распространения упру­ гих волн справедливы только при условии достаточной малости отклонений частиц среды в волне от положения равновесия. Поня­ тие об изменении этих законов при нарушении условия малости колебаний дадим в гл. XIII.

§ 2. Волновое поле. Частица среды,

Будем характеризовать волну непрерывным распределением в среде давления, скорости частиц, плотности и температуры

(иногда и некоторыми другими величинами; например, в твердых телах вместо давления рассматривают тензор напряжений). В каж­ дой волне эти величины и их изменения связаны друг с другом. Совокупность всех этих величин называют волновым полем. Рас­ пространение волны — это изменение волнового поля с течением времени.

Чтобы ввести понятие волнового поля, приходится рассматри­ вать среду как сплошную. Поэтому механику волн мы будем строить на основе механики сплошных сред, отказавшись от уравнений ме­ ханики дискретной системы материальных точек. С математиче­ ской стороны это означает переход от обыкновенных дифферен­ циальных уравнений к уравнениям в частных производных. В дальнейшем характеристики волны будем считать дифференци­ руемыми (требуемое число раз) функциями координат и времени. _ Понятие о частице среды вводится так, как это принято в ме­ ханике сплошных сред: игнорируя молекулярное строение веще­ ства, назовем частицей любой мысленно выделенный участок среды, малый по сравнению с расстоянием, на котором состояние среды изменяется существенным образом (например, по сравнению с Дли­ ной волны звука), или по сравнению с другими характерными раз­ мерами в рассматриваемой задаче (например, при вибрациях пла­ стинки — по сравнению с толщиной пластинки). Понятие частицы полезно, пока выбранные участки содержат все же еще очень большое число молекул (для газов требование еще строже: участок должен быть велик по сравнению с длиной свободного пробега молекул).

14

В разных случаях движение частиц требуется знать с разной степенью подробности. Так, изучая перемещение частицы, можно принимать, что она движется как целое, и рассматривать ее как материальную точку с массой, равной массе выделенного участка среды. Этого достаточно, если нас интересуют только инерциаль­ ные .свойства частицы.

Но если нужно найти давление внутри такой частицы, то раз­ личие в движении разных ее частей уже нельзя не учитывать: возникающие упругие напряжения определяются именно этим раз­ личием, т. е. деформацией частицы, например в жидкости — изме­ нением объема, сжатием среды. При этом степень сжатия можно считать постоянной на всем протяжении частицы. Наконец, если требуется найти результирующую сил упругости, действующих на частицу со стороны смежных частиц, то необходимо еще более детальное знание движения частицы: следует знать различие в сжа­ тии (а следовательно, и в давлении) по обе стороны частицы.

Есть исключительные случаи, когда картиной сплошной среды нельзя пользоваться всюду и понятие частицы пригодно не ко всемі участкам среды. Например, в сильной ударной волне в газе (на­ пример, при взрыве) свойства среды резко меняются на расстоянии порядка длины свободного пробега молекул. Тогда участки, пере­ секаемые фронтом такой волны, нельзя считать частицами. Эти вопросы выходят, однако, за рамки настоящей книги.

Акустику жидкостей и газов будем рассматривать совместно на основе гидродинамики сжимаемой жидкости: возмущение и в жидкостях и в газах одинаково передается силами давления, возникающими при сжатии и расширении частиц. Термином «жидкость» будем поэтому для краткости обозначать как капель­ ные жидкости, так и сазы. В твердых телах возникают, помимо давления, еще и сдвиговые упругие напряжения при изменении формы частиц. Поэтому есть важные различия в акустическом по­ ведении твердых тел (которое мы будем рассматривать на основе теорий упругости) и жидкостей.

В основном эта книга посвящена акустике жидкостей. Аку­ стика твердых тел изучается в последних трех главах книги.

§ 3. Задачи акустики

Превышение р давления в волне над давлением"'Р в невозму­ щенной среде (например, в воздухе — превышение над атмосфер,- ным давлением) будем называть акустическим давлением или зву­ ковым давлением. Подчеркнем, что эта величина нас интересует сама по себе, а не как приращение невозмущенного давления. Основные величины, характеризующие акустическое состояние жидкости помимо давления, это скорость .частиц жидкости (ѵ), а также плотность (р) 'и температура (Т) жидкости.

При движении жидкости, в том числе и в любой звуковой волне, все эти величины изменяются от точки к точке и с течением вре-

N

15

мени. Изменения этих величин зависят друг от друга. Так, давле­ ние зависит от плотности и температуры, изменение скорости ча­ стиц с течением времени зависит от пространственного изменения давления и т. п.

Если все эти изменения зависят от времени и координат доста­ точно гладко, то связь между величинами, характеризующими волну, оказывается «чрезвычайно сильной: в этом случае задание пространственно-временной зависимости только одной из величин (например, давления) однозначно определяет пространственновременные зависимости всех остальных величин.

Математически зависимости между величинами, характери­ зующими упругую волну, можно выразить дифференциальными уравнениями в частных производных с независимыми перемен­ ными — временем и координатами. Согласно сказанному выше эти уравнения обеспечивают однозначное решение для всех входящих в них характеристик волны, если зависимость от времени и коор­ динат для одной из этих величин задана. Такие системы уравнений называют полными.

В гидродинамике идеальной жидкости полная система состоит из уравнения движения, уравнения непрерывности и уравнения со­ стояния среды*). В следующей главе мы подробно рассмотрим эту полную систему.

Полная система уравнений сама по себе отнюдь не определяет еще движение жидкости, в нашем случае — волну; однозначность движения получится, только если, как сказано выше, задать зави­ симость от времени и координат какой-либо из величин, характе­ ризующих волну, либо же подчинить волну дополнительным усло­ виям: наложить на искомое движение некоторые дополнительные требования, т. е. указать конкретную акустическую ситуацию, определяющую волну.

Основные типы задач, встречающиеся в различных акустиче­ ских ситуациях и приводящие к однозначному решению, следую­ щие.

1.Задачи о свободных волнах. Нахождение волн, которые могут распространяться в неограниченной среде в отсутствие внешних воздействий; нахождение типов волн, сохраняющих свою форму при распространении.

2.Задачи с начальными условиями. В них задается распределе­ ние давления и скоростей частиц во всей среде для некоторого

момента времени (начальный момент) и требуется найти волну в дальнейшие моменты времени. Можно доказать, что эта задача решается однозначно.

3. Краевые задачи. В этих задачах изучают волны в ограничен­ ном участке среды, свойства границ которого считают заданными.

*) Если потребуется учесть вязкость и теплопроводность жидкости, мы не будем писать соответственные общие уравнения: в акустике всегда можно учесть эти факторы как поправку к волнам в идеальной жидкости.

Например, это могут быть абсолютно жесткие, абсолютно мягкие и другие типы стенок. Оказывается, что в отсутствие внешних воз­ действий в таком объеме среды возможен только дискретный набор гармонических колебаний среды; задача сводится к нахождению

сторонними телами, помещенными в неограниченную среду и со­ вершающими колебания, или силами, приложенными к среде, и т. п. Звуковое поле в этом случае — волны, расходящиеся от колеблющихся тел и уходящие в бесконечность.

5.Задачи о рассеянии от препятствий. В этих задачах задано звуковое поле и требуется найти, как оно изменится, если поме­ стить в среду те или иные препятствия. Это — задачи об отраже­ нии и прохождении звука, а также дифракционные задачи.

6.Задачи с затуханием звука. Зная степень неидеальности среды (вязкость и теплопроводность), найти затухание волн по мере их распространения.

Большинство других задач акустики сводится к тем или иным комбинациям перечисленных типов. Например, можно поставить задачу с начальными условиями для ограниченного участка среды; тогда, помимо нахождения гармонических частот и формы колеба­ ния дискретного набора волн, можно будет еще найти и амплитуду каждого колебания. В архитектурной акустике имеют дело с источ­ никами звука, расположенными в ограниченном участке среды. В гидроакустике рассматривают распространение звука в среде (вода), ограниченной двумя плоскостями (дном моря и свободной поверхностью воды).

Основное внимание в этой книге будет уделено разбору типич­ ных задач, возникающих в различных акустических ситуациях, изложению общих и специальных методов их решения и получе­ нию ответов для наиболее важных и часто встречающихся случаев.

§ 4. Скорость звуковых волн

Прежде чем переходить к изучению конкретных типов волн, уточним понятие скорости в применении к такому объекту, как звуковая волна.

В справочниках приведены значения скорости звука в различ­ ных средах. В газах скорость звука близка к средней скорости молекул и составляет при нормальных условиях несколько сот метров в секунду (наибольшая скорость у водорода, 1200 м/сек). Скорость звука в жидкостях составляет, в круглых числах, от 1 до 2 км/сек. Скорость упругих волн в твердых телах доходит до 5—6 км/сек, а в алмазе имеет рекордное значение 18 км/сек, пре­ восходя третью космическую скорость!

Мы уже говорили, что поведение волны сильно отличается от поведения материальных точек. Уточним теперь, что именно

Гос. п у б л и ч н а я 7 н а у ч н о -т е х н и ч ѳ в к а я

библиотека C C C f1

ЯИЯРМППОВ .

подразумевают под термином «скорость» применительно к звуку»

Рис. 4.1. Поперечная волна бежит вдоль струны, не меняя формы профиля. Сплошная линия — профиль смещений, пунктир — профиль поперечных скоростей (для момента /).

этого пути. При этом подразумевается, что отождествление тела? в разные моменты времени всегда возможно: для макроскопических,

струне (см. § 6). На рис. 4.1 изображены «моментальные фотографии» натянутой струны, по которой бежит поперечная волна, в некоторые моменты / и //. Видно, что волна бежит по­

18

струне без изменений формы, подобно твердому телу. В этом слу­ чае длину пробега волны легко определить, скорость волны имеет простой физический смысл и эту скорость можно измерять.

На рис. 4.2 даны аналогичные моментальные фотографии по­ перечной изгибной волны на стержне. Мы видим, что форма волны изменилась неузнаваемо и отождествление соответственных точек полны в два разных момента времени невозможно. В этом случае нет никакой определенной длины пробега, а понятие скорости полны не имеет смысла. Дело не в том, что эту скорость трудно измерить, а в том, что понятие скорости неприменимо к объектам, которые меняют свою форму слишком быстро. Волна не сохраняет в этом случае свое тождество в том смысле, как сохраняет свое тождество материальное тело: даже если тело деформируется или распадается на части, эти части все же можно отождествить; но пометить отдельные точки волны так, чтобы потом, когда ее форма изменится, снова опознать их, — невозможно принципиально.

Наиболее интересные для нас продольные звуковые волны в не­ ограниченной среде сохраняют, как правило, свою форму *); поэтому для них понятие скорости звука применимо. Эту скорость и указывают в справочниках.

§ 5. Одномерная волна. Способ «остановки движения»

Скорость одномерных волн можно найти, не обращаясь к меха­ нике волн как таковой, прямо на основе динамики материальных тел. Мы рассмотрим вкратце в этом и в ближайших параграфах одномерные волны и некоторые конкретные примеры таких волн.

Одномерные волны — это волны, в которыхвсе характеристики зависят, помимо времени, только от одной координаты. Одномер­ ными могут быть как волны, бегущие в одномерной среде (волны на струне, в стержне, в жидкости,- заполняющей узкую трубу, ■ит. п.), так и волны в двухмерных (плоская волна на пластинке) и трехмерных средах (плоская волна в неограниченной среде). Если эту единственную координату обозначить через х, то каждая вели­ чина, характеризующая волну (давление, скорость частиц и т. д.), будет некоторой функцией времени и этой координаты (для опре­ деленности рассматриваем давление р):

Р = Р (х, t).

График зависимости от координат или от времени какой-либо величины, характеризующей волну, называют пространственным или временным профилем волны для этой величины. Профили раз­ ных величин в одной и той же волне вообще различны. Например, профиль скоростей частиц для волны на струне, показанный на рис.'4.1 для момента / пунктиром, имеет совершенно другую форму,

*) Строго говоря, форма сохраняется только приближенно, однако с доста­ точной точностью (см. § 9).

19