книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Выясним, при каких условиях отражение мало при наклонном падении волны на границу двух сред. Легко видеть, что близости волновых сопротивлений сред, как это было при нормальном падении, в этом случае недостаточно и требуется малое различие

недостаточно. В самом деле, пренебрегая величиной ß2 по сравне­ нию с ß, можем представить, согласно (54.5), коэффициент отра­ жения в виде

QT = 1 + « — V 1 + 2 ß /s in 2e

1 - L a + j/'r + 2 ß /s in " - 0 •

Для того чтобы коэффициент отражения был мал по сравнению с единицей, необходимо, таким образом, чтобы одновременно выполнялись условия а < 1; ß/sin2 Ѳ < 1. Тогда приближенно

Таким образом, ограничение на изменение коэффициента прелом­ ления более жесткое, чем для отношения плотностей, и, кроме того, усиливается по мере уменьшения угла скольжения волны.

§ 56. Отражение гармонических волн и импульса при закритических углах скольжения. Полное отражение

При п < 1 отражение при закритических углах не может быть правильным, так как компонента вектора медленности вдоль границы не может превосходить" самого вектора. Но для гармо­ нических волн этого ограничения нет: мы видели в § 32, что можно взять одну из компонент волнового вектора сколь угодно большой при условии, что вторая компонента чисто мнимая и сумма квадратов компонент по-прежнему равна квадрату вол­ нового числа. Таким образом, для гармонических волн условию Снеллиуса можно удовлетворить при любом угле скольжения падающей волны. При закритических углах нормальная компо­ нента волнового вектора прошедшей волны — мнимое число: прошедшая волна — неоднородная, бегущая вдоль границы и экспоненциально убывающая при удалении от нее.

Полученные выше формулы Френеля можно применять для гармонических волн и при закритических углах скольжения; при этом коэффициенты отражения и прохождения окажутся комплексными.

При закритическом угле скольжения Ѳ падающей волны про­ шедшая волна имеет вид

I f exp (ikcosQ-x — k У cos2 Ѳ— гі1 • z).

180

где корень вещественный. При закритическом угле отражение полное: модуль коэффициента отражения равен единице. Прошед­ шая волна не уносит энергию от границы, хотя, конечно, плот­

ента прохождения равна е/2. Коэффициент прохождения изме­

ской волны. Эта добавочная фаза равносильна уменьшению длины пробега отраженной волны в среде на величину elk, различную для волн разных частот. Можно сказать, что отражение при закритическом угле скольжения падающей волны сопровож­ дается «сосредоточенной» (на границе) дисперсией. Поэтому при падении негармонической плоской волны под закритическим углом скольжения форма волны в результате отражения изме­ нится. Но отражение и в этом случае полное и энергия не перете­

Если вторая среда несжимаемая, то любой угол скольжения, кроме 90°, закритический, и коэффициенты отражения и про­ хождения равны

Прошедшая волна при этом всегда неоднородная:

р' = Ж exp (ik cos Q-x— k cos Ѳ-z).

181

При отражении от несжимаемой среды при угле скольжения, отличном от прямого, любая волна, кроме гармонической, изме­ няет свою форму. При нормальном падении такая среда, как уже говорилось, эквивалентна абсолютно жесткой стенке и любая волна отражается от нее без изменения формы с коэффициентом отражения, равным единице.

Для того чтобы найти, как меняется форма несинусоидальной волны при отражении от границы под закритическим углом сколь­ жения, разложим падающую волну по Фурье и, отразив каждую гармоническую компоненту в отдельности по формуле Френеля, сложим полученные отраженные волны. Разложение по Фурье вещественной волны включает как положительные, так и отри­ цательные частоты. Но для отрицательных частот коэффициент отражения’ следует брать комплексно сопряженным по отноше­ нию к коэффициенту отражения для положительных частот. Поэтому коэффициенты отражения для разных гармонических

женный — для компонент с отрицательными частотами. Если бы коэффициент отражения был одинаков и для положительных и для отрицательных частот, форма волны при отражении не изме­ нилась бы; это и имеет место при докритических углах.

Каждая элементарная волна da g (со) e~ ‘^ 0 5 отразится от гра­ ницы со своим коэффициентом отражения. Для элементов с поло­ жительными частотами отраженная волна получится путем умно­ жения на общий для них всех коэффициент отражения

—5 cos Ѳ-X + 5 sin Ѳ• z. Для элементов с отрицательными частотами

182

различие только в том, что в качестве коэффициента отражения

тот же амплитудный спектр, но коэффициент отражения равен W 2 для части спектра с со > 0 и равен—іѴ \ для части спектра с со <; < 0. Второе слагаемое, а вместе с тем и все отражение, имеет поэтому другую форму, чем падающая волна. В частности, отра­ женная волна появляется в данной точке границы раньше, чем туда доходит падающий импульс, чего не могло быть при докритических углах скольжения. Разумеется, это — не нарушение принципа причинности, так как скорость звука во второй среде больше скорости звука в первой и возмущение, пробегая во вто­ рой среде, опережает возмущение, проходящее в первой, и, выходя снова в первую среду, появляется до прихода падающей волны.

Проведенное выше разбиение отраженной волны на два слагае­ мых — правильное и неправильное отражение — совершенно условно. Можно было бы считать, что в данном поле имеется лю­ бое по амплитуде правильное слагаемое, точно так же, как любое число можно разложить на два слагаемых, выбирая одно из них произвольно. Но выбранное разбиение удобно, так как дает простые выражения для слагаемых через вещественную и мнимую части коэффициента отражения и через спектр падающей волны.

§57. Рефракция лучей в неоднородной среде

В§ 44 мы видели, что при достаточно высокой частоте волны (или достаточно медленном изменении свойств среды) бегущая плоская волна может распространяться в слоисто-неоднородной среде в направлении, перпендикулярном к слоям, без отражений.

Ж

Это обстоятельство позволило нам в этом случае представить волновое поле в виде системы лучей. Можно ли ввести лучевую картину и для наклонного падения волны на слои, т. е. будет ли отсутствовать отражение и в этом случае? Естественно предполо­ жить, что отражение будет отсутствовать только тогда, когда свойства среды меняются достаточно медленно. Это предположе­ ние оказывается справедливым, но мы увидим, что требования медленности изменения свойств среды в этом случае более же­

нормальном падении. В самом деле, согласно (55.3) коэффициент отражения (Ѵ2) (а — ß/sin2 Ѳ) от границы может оказаться при малых углах скольжения Ѳ много большим, чем коэффициент отражения (сс — ß) / 2 для отражения от той же границы при нор­ мальном падении. Разность же фаз волн, отраженных от границ, отстоящих друг от друга на г, равна, как видно из рис. 57.1,

k (ОА — Оа) = 2kz sin Ѳ

вместо 2kz при нормальном падении. Таким образом, требование малости суммарного отражения сводится к требованию малости величины (V2) (а — ß/sin2 Ѳ) для скачка свойств среды, соответ­ ствующего смещению перпендикулярно к слоям на расстояние порядка 1 Ik sin Ѳ. Если плотность среды не меняется от точки к точке или играет малую роль в суммарном отражении, то требо­ вание плавности изменений скорости звука при наклонном паде­ нии оказывается в 1/sin3 Ѳ раз более жестким, чем для нормаль­ ного падения.

В дальнейшем будем считать, что условия отсутствия отраже­ ния выполнены и можно применять лучевую картину и на случай наклонного падения. Заметим, что при не очень значительных изменениях скорости звука (например, в пределах 1 0 %) доста-

184

*

точно переходного слоя толщиной порядка одной длины волны, чтобы отражение не превышало по амплитуде 1 0 % от падающей волны вплоть до угла скольжения 12°, а при толщине слоя в 5 длин волн отражение не превышает 1% вплоть до угла скольжения 5°. Изменение плотности влияет на отражение в меньшей степени, чем изменение скорости: требование к медленности изменения

неоднородной среде. Начнем строить лучевую картину, считая, что все лучи выходят из этого фронта перпендикулярно к фронту. Если скорость звука в среде посто­

переходе от слоя к слою должен выполняться закон Снеллиуса, луч будет искривляться (рис. 57.2); вдоль луча будет выполняться равенство

Очевидно, кривизна луча, выходящего из данной точки фронта, определится законом изменения медленности вблизи данной точки. Поэтому вообще кривизны лучей будут различны, а новые фронты волны, как правило, уже не будут плоскими. Возникает вопрос: в какой степени ңожно продолжать пользоваться лучевой картиной, если волна плоская только на одном каком-то фронте? Очевидно, точное изображение поля при помощи лучевой картины уже невозможно: соседние лучевые трубки уже не тождественны, симметрия нарушена и между ними может происходить акустиче­ ское взаимодействие через стенки. Но при очень высоких частотах искривление фронта окажется еще очень малым для участков, очень больших по сравнению с длиной волны. Волну можно тогда считать локально плоской, и тонкие лучевые трубки будут долго идти почти параллельно. Если нас интересуют локальные свойства звукового поля, а не вся картина поля в целом во всей среде, товолну можно считать всюду локально плоской с медленно меня­ ющимся направлением распространения. Пока взаимодействие j ежду лучевыми трубками мало, им можно пренебрегать, что .

1

ипозволяет сохранить лучевую картину и в этом случае. Оче­ видно, фронты волны будут повбрачиваться вместе с лучами, оставаясь перпендикулярными к лучам. Если задать во всей среде зависимость S от координаты z, то формулу (57.1) можно считать уравнением лучей в данной слоисто-неоднородной среде.

Из сказанного следует, что лучевую картину можно построить

идля того случая, когда в среде задан и неплоский фронт волны, если только, радиусы кривизны фронта велики по сравнению с дли­ ной волны.'При этом не требуется постоянство амплитуды коле­ баний вдоль фронта, лишь бы ее относительное изменение было мало на расстоянии, большом по сравнению с длиной волны. Лучи выходят из такого фронта по нормалям и подчиняются

уравнению (57.1). Лучевая картина по-прежнему будет давать распределе­ ние звукового поля в среде асимптоти­ чески, при стремлении частоты к беско­ нечности. Если нарисовать лучи доста­ точно часто, так, чтобы направления смежных лучей мало различались на всем их протяжении, то можно полу­ чить представление и об изменении

каждой трубки, места расширения трубок соответствуют умень­ шению плотности потока мощности и обратно.

Уравнение лучей удобно написать в виде зависимости кривизны луча от закона изменения медленности звука в среде и угла скольжения луча относительно границ слоев z = const. Диффе­ ренцируя (57.1), получим (рис. 57.3)

cos ѲdS — sin Ѳ• S dQ — 0.

Таким образом, кривизна луча, проходящего через данную точку, тем больше, чем меньше его угол скольжения. Наибольшую

186

кривизну имеет луч, выходящий из данной точки параллельно слоям. Луч всюду обращен вогнутостью в сторону уменьшения скорости звука: он как бы стремится уйти от мест с большой скоростью звука в место с малой скоростью.

Имея в виду асимптотический характер лучевой картины, можно обобщить ее и на случай произвольной, а не только слои­ стой неоднородности среды, если только сохранить требование медленности изменения свойств среды по всем направлениям. В самом деле, в этом случае любую среду можно считать локально­ слоистой со слоями, перпендикулярными к вектору grad 5 , который по условию, накладываемому на неоднородность среды, медленно меняет свое направление от точки к точке. Уравнение луча имеет тот же вид (57.2) и в этом случае, с той разницей, что углом скольжения луча в данной точке следует считать угол между лучом и плоскостью, перпендикулярной к направлению grad S в этой точке.

§ 58. Проводимость и импеданс при синусоидальном распределении давления по плоскости. Отражение от поверхности с заданной проводимостью. Учет неидеальности среды

Отражение под углом произвольной плоской волны от ли­ нейного однородного плоского препятствия, вообще неправиль­ ное, как и при нормальном падении. Поэтому рассмотрим вна­ чале наклонное падение гармонических волн, которые всегда отражаются правильно; отражение же негармонических волн

exp (ik cosO-x: + ik sin Ѳ-z).

Отраженную волну можно записать в виде

°V exp (ik*cos Ѳ.х — ik sin Ѳ-z).

Суммарные давление и нормальная компонента скорости ча­ стиц на границе равны соответственно

не зависит ни от времени, ни от координат точки на препятствии. Ясно также, что оно не зависит от вида среды, из которой падает

187

волна, и вообще от того, имеется ли среда. Действительно, вели­ чина Y показывает только, какую скорость получают точки пре­ пятствия при распределении вдоль его поверхности бегущей синусоидальной волны давлений. Нормальная скорость препят­ ствия также оказывается распределенной вдоль поверхности в виде бегущей синусоидальной волны с тем же волновым числом k cos Ѳ. Введенная величина Y может зависеть только от частоты и от волнового числа бегущей по поверхности волны давлений. Будем называть Y входной проводимостью препятствия, обобщая тем самым введенное в § 45 понятие проводимости при синфазном возбуждении поверхности (нормальное падение волны) на случай синусоидального возбуждения (падение волны под произвольным углом скольжения). Так как для данной среды при данной ча­ стоте волновое число k cos Ѳ следа на поверхности однозначно связано с углом скольжения падающей волны, то говорят, что проводимость зависит, помимо частоты, еще и от угла скольжения падающей волны: Y = Y (со, Ѳ). Из (58.1) найдем

а Г (sin Ѳ/рс) — Y

(58.2)

( sin Ѳ/рс) -{- Y

Коэффициент отражения зависит от угла скольжения падающей волны не только через явно входящий синус, но и неявно, через посредство Y.

Как и в случае нормального падения, будем характеризовать поверхность также и (входным) импедансом Z — величиной, обратной проводимости:

Z = 1/F.

Входной импеданс также зависит от частоты и угла скольжения

В дальнейшем будем на равных правах пользоваться как проводимостью, так и импедансом, в зависимости от удобства.

Как именно находить проводимость или импеданс данного препятствия — отдельный вопрос, который будем решать только для некоторых частных случаев. Но если Y илң Z для данного препятствия известны, можно найти отражение от этого препят­ ствия волны, падающей из любой среды, граничащей с препят­ ствием.

Приведем несколько примеров, где проводимость препятствия по-разному зависит от частоты и от угла скольжения падающей волны.

Входная проводимость границы раздела двух сред зависит от угла скольжения падающей волны, но не зависит от частоты:

188

В качестве примера препятствия с импедансом, зависящим от частоты, рассмотрим очень тонкий по сравнению с длиной волны жидкий слой, граничащий второй стороной с вакуумом. При наклонном падении давление будет приходить на различные участки слоя в разных фазах. В пределах участков, малых по сравнению с длиной волны (но больших по сравнению с толщиной слоя), можно считать, что на весь участок действует синфазно равномерно распределенная сила, как если бы на этот участок гармоническая волна падала нормально. Следовательно, и уско­ рение данного участка будет, как и при нормальном падении, равно отношению давления к поверхностной плотности слоя. Поэтому, как и для нормального падения, входной импеданс та­ кого слоя будет равен — шр, где р — поверхностная плотность слоя. Колебания частиц будут происходить в разных фазах вдоль слоя, соответственно фазе следа падающей волны на слое. Мы видим, что входной импеданс зависит в этом случае от частоты, но не от угла скольжения. Независимость от угла скольжения свя­ зана с тем, что каждый малый участок слоя движется независимо от других. Если слой не жидкий, а, например, тонкая упругая пластина, то это уже не будет верно: ускорение какого-либо элемента определится не только давлением прилегающего участка среды, но и воздействием соседних участков самой пластины, в данном случае действием перерезывающих сил, возникающих при изгибе. Поэтому входной импеданс твердой пластинки зависит и от частоты, и от угла скольжения падающей волны.

Если, как в примере с жидким слоем, соседние участки пре­ пятствия не взаимодействуют, то входной импеданс (или прово­ димость) не зависит от угла скольжения падающей плоской волны, и то обстоятельство, что фаза движения меняется вдоль границы, роли не играет. В этих случаях для каждой данной частоты будет только одно-единственное значение входного импе­

с нормальным импедансом отношение давления к нормальной скорости на его поверхности вообще не зависит от формы поля

иостается тем же, например, при падении сферической волны. Иногда входной импеданс слабо зависит от угла скольжения

иэтой зависимостью можно пренебречь. Таков, например, вход­ ной импеданс среды, скорость звука в которой очень мала по сравнению со скоростью звука в среде, откуда идет волна. В са­ мом деле, тогда угол скольжения прошедшей волны остается

весьма близким к 90° при любом угле скольжения падающей волны и, согласно (58.3), входной импеданс почти не зависит от Ѳ, ввиду большой величины п\ прошедшая волна уходит во вторую среду при любом угле падения почти под одним и тем же углом. Если коэффициент преломления любой, но каким-либо способом удалось ограничить движение частиц во второй среде

189