книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

откуда

(52.2)

В этом случае можно пользоваться формулами (43.6), при­ нимая в качестве плотностей сред погонные плотности стержней

Рис. 52.1. Схема соединения труб, приводящая к уравнениям (52.2) для коэф­ фициентов отражения и прохождения.

и pq'. Интерпретация свободной границы и жесткой стенки полу­ чилась обратной той, что имела место для соединенных труб: второй тонкий стержень похож на границу с вакуумом, а тол­ стый — на абсолютно жесткую границу. Впрочем, если вместо непосредственного соединения труб связать их при помощи безмассового двойного поршня, как показано на рис. 52.1, то гра­ ничные условия станут такими же, как и для стержней, и мы придем к тому же соотношению (52.2).

Полученные формулы легко обобщить и на стержни из разных материалов.

170

Г Л А В А VI

НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН

При.наклонном падении плоской волны на плоское однород­ ное препятствие возникают такие же вопросы об отражении и прохождении, как и при нормальном падении. Но в этом случае задача не одномерная: данная фаза волны подходит к разным точкам препятствия не одновременно — след волны бежит вдоль препятствия. Медленность следа зависит не только от медленности звука в данной среде, но и от угла скольжения Ѳпадающей волны— угла, составляемого вектором медленности падающей волны S с поверхностью препятствия^ Поэтому вообще отражение и (если препятствие — другая среда) прохождение зависят не только от свойств препятствия, но и от этого угла.

Зная медленность волн в данной среде и угол скольжения падающей волны, можно найти вектор медленности отраженной волны, а зная, кроме того, величину медленности во второй среде, можно найти и вектор медленности волны, прошедшей во вторую среду.

В самом деле, для того чтобы на границе препятствия выпол­ нялись граничные условия, необходимо, чтобы медленности следов на препятствии падающей, отраженной и прошедшей волн были равны между собой. Физический смысл этого требования — в том, чтобы следы волн не обгоняли друг друга. При нарушении этого требования, даже если граничные условия удовлетворены в ка­ кой-то момент времени, они нарушатся вследствие «расфази­ ровки» следов в другие моменты. Ясно, что требование равенства медленностей следов универсально и должно выполняться для всяких типов плоских волн, падающих на любые плоские одно­ родные препятствия.

Это требование будем называть законом Снеллиуса. Его можно сформулировать еще и по-другому: так как медленность следа волны на плоскости равна проекции вектора медленности волны на эту плоскость, то проекции векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн на границу препятствия должны совпадать. Значит, если все три вектора медленности отложить

171

от какой-либо точки границы, то концы векторов будут лежать на одной нормали к границе (рис. 53.1).

Обозначим через N единичный вектор нормали к границе, направленный из среды, в которой распространяется падающая волна, в препятствие, и направим ось z по вектору N\ ось х вы­ берем в плоскости падения — плоскости, содержащей векторы N и 5. Очевидно, вектор медленности отраженной волны можно

У падающей и отраженной волн ^'-компоненты векторов мед­

Пользуясь формулой п = 575 = с/с', легко записать вектор медленности прошедшей волны через вектор медленности пада­ ющей и коэффициент преломления п\

Отсюда следует, что углы скольжения падающей и прошедшей волн взаимны: соотношение сохранится, если считать вторую среду первой и первую — второй, приняв 0 ' за угол скольжения падающей волны, а 0 — за угол скольжения прошедшей и поло­ жив коэффициент преломления равным 5/5' = Mn.

Из (53.6) следует, что при прохождении угол скольжения

172

При падении на плоскослоистую многослойную среду волна, проходя из слоя в слой, частично проходит и частично отражается, причем на каждой границе выполняется закон Снеллиуса: проек­ ции векторов медленности всех отраженных и проходящих волн на границы слоев равны между собой и равенство

выполняется для всех этих волн. Это же равенство будет соблю­ даться и в пределе, при сколь угодно тонких слоях, когда среду можно представить себе как слоисто-неоднородную с непрерывно изменяющимися характеристиками (см. § 57).

Ввекторной форме закон Снеллиуса (53.8) можно переписать

ввиде

[ЛЧЗЛ^]] = const,

где S — вектор медленности любой из отраженных или прошед­ ших волн.

Иногда вместо углов скольжения Ѳ, Ѳ и Ѳ' пользуются углом

падения у, углом отражения у и углом преломления у' — углами между соответственными векторами медленности и нормалью к границе (внешней нормалью N для углов у и у/ и внутренней

— N для угла у). Очевидно,

Ѳ+ Х = Ѳ+ у = Ѳ' + у' = я/2.

Формулы (53.2) и (53.6) можно записать в виде

Эти соотношения формулируются в школьном курсе физики как законы Снеллиуса для сбетовых лучей. Первый закон Снел­ лиуса: угол падения равен углу отражения; второй закон Снел­ лиуса: синусы углов преломления и падения относятся как ско­ рости света в соответственных средах. На волновом языке мы объединили оба закона в один; применение волновой картины показало универсальность закона Снеллиуса для любого типа волн.

Из всего сказанного следует, что для плоской волны, пада­ ющей на однородное плоское препятствие, падающую и отражен­ ную волны всегда можно записать в виде

p = p(t — Sr), р = p(t — Sr),

где $ определяется формулой (53.1). Форма волны вообще при

отражении меняется, т. е. функции р и р различны. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е.

p(t) = ^/p(t),

то отражение правильное и ^называют коэффициентом отражения.

173

Аналогично, если на границе со второй средой прошедшая волна плоская *), то она должна иметь вид p' (t — S'r), где S ' определяется формулой (53.3) или (53.4). Вообще форма волны при прохождении меняется. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е .'

Р’ (t) = 7fp (t),

то прохождение правильное и W называют коэффициентом про­ хождения.

В настоящей главе ставится задача отыскания волны р (и р’ для задачи о границе двух сред) для любого однородного линей­ ного плоского препятствия и при любом виде падающей волны р.

Для идеальных границ выражение для отраженной волны получается элементарно. Как легко проверить, на абсолютно мягкой границе волна

р = р (t — Sr) = р (t — S cos Ѳ-л: — S sin Ѳ-z)

отражается в виде волны

р = —p(t — Sr) = —р (t — ScosG-л: -f- S sin Ѳ-z).

Аналогично отражение на абсолютно жесткой стенке имеет вид

р = р ( і — Sr) = p ( t — iS COS Ѳ- л: -j- S sin 0-z).

§ 54. Отражение и прохождение звука на границе двух сред

Обозначим плотности и медленности звука в первой и второй среде соответственно через р, р' и S, S ’ и рассмотрим падение на границу волны вида

р = р (t — S cos Ѳ-X — S sin Ѳ-z).

Если отражение правильное (условие правильности выясним ниже), то, как уже было сказано, отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

p = typ(t — Scos Ѳ-л: -)- Ssin Ѳ-z),

p '= 7fp(t — S'cos0'-x: — S'sin0'-z). -

Например, для падающей гармонической волны р =. exp (ik cos Ѳ-л: + ik sin Ѳ-z)

*) В то время как отражение плоской волны — всегда также плоская волна, прошедшая волна может и не быть плоской волной, а представлять собой супер­ позицию неоднородных волн (см. § 56).

174

отраженная и прошедшая волны равны

s

р = cZ/exp(i'Äcos0 -A:— t&sin0 -z), p' = Ж exp {ik' cos0 ' •X -f ik' sin 0 ' -z).

В написанных выше формулах величины °17иЖ — неизвестные пока коэффициенты отражения и прохождения, которые должны

скоростей частиц по обе стороны’границы раздела сред. На каса­ тельные компоненты скорости никаких ограничений в идеальных средах не накладывается: в решении, которое мы найдем, эти компоненты окажутся различными. Получающийся разрыв каса­ тельной компоненты скорости частиц на границе совместим с при­ нятым предположением об идеальности среды, т. е. об отсутствии вязкости. Для реальных жидкостей разрыв сглаживают вязкие волны, описанные нами в § 19. Обычно они мало влияют на кар­ тину отражения и прохождения; поэтому мы пока пренебрежем ими, считая жидкость идеальной (см. впрочем ниже § 58).

Так как на границе аргументы функции р одинаковы для всех трех волн, то граничные условия можно записать для волны

Первое уравнение совпадает с соответственным уравнением для нормального падения (первое уравнение (43.1)). Это объяс­ няется тем, что давление — скаляр, и поэтому условие, на него налагаемое, не связано с направлением распространения волн. Второе уравнение иное, чем для нормального падения: в него входят нормальные компоненты векторов скорости частиц, кото­ рые зависят не только от величины, но и от направления этих векторов.

Решая уравнения (54.1) относительно коэффициентов отраже­ ния и прохождения, найдем

В отличие от случая нормального падения, коэффициенты оказа­ лись зависящими-не только от свойств самих сред, но и от угла

175

скольжения падающей волны. В частности, при одинаковых вол­ новых сопротивлениях обеих сред, но неравных плотностях и скоростях звука в отдельности, коэффициент отражения не равен нулю.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями, можем пере­ писать формулы (54.2) в таком виде:

Из этих формул можно исключить угол скольжения преломленной волны при помощи (53.7):

Наконец, деля числитель и знаменатель на sin Ѳ, получим фор­ мулы, куда входит только одна тригонометрическая функция:

правильные при любом угле скольжения падающей волны. При п •< 1 правильность сохраняется только при углах скольжения падающей волны, больших так называемого критического угла

При меньших значениях угла скольжения («закритических» углах) выражения для 47 и Ж теряют смысл (становятся мнимыми). Картина отражения и прохождения при закритических углах более сложна и упрощается только для гармонических волн (см. § 56).

§ 55. Анализ формул Френеля

Проанализируем теперь зависимость коэффициентов отражения и прохождения от характеристик сред и от угла скольжения падающей волны. Из формул (54.6) видно, что оба коэффициента меняются монотонно при изменении угла скольжения падающей волны. При нормальном падении (Ѳ = п/2) снова возвращаемся

176

T. e. коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении имеют' экстремальные значения. Из второй формулы

в нуль ни при каком угле скольжения падающей волны, но стре­ мится к нулю при стремлении Ѳ к нулю («скользящее падение»).

Найдем, при каких условиях обращается в нуль коэффициент отражения, т. е. при каких условиях вся звуковая энергия пере­ ходит во вторую среду целиком (при этом граничным условиям удастся удовлетворить не тремя волнами, как обычно, а только двумя: падающей и прошедшей). Раньше всего заметим, что за исключением случая нормального падения равенство волновых сопротивлений не является для полного прохождения ни необ­ ходимым, ни достаточным условием: необходима, как сейчас увидим, специальная комбинация значений т, л и Ѳ, чтобы осу­ ществить полное прохождение, и не при любых значениях т и п вообще есть угол полного прохождения. В самом деле, прирав­ нивая нулю первое из выражений (54.6), найдем, что угол сколь­ жения падающей волны должен для этого удовлетворять урав­ нению

т. е. при выполнении одной из пар соотношений

1 , т < л < 1 .

Согласно первому из уравнений (54.4) при угле скольжения, обращающем коэффициент отражения в нуль, должно выполняться условие т sin Ѳ = л sin Ѳ\ Комбинируя его с условием (53.6), найдем, что при полном прохождении волны

ctg Ѳ = т ctg Ѳ'.

Определяемые этими соотношениями углы являются взаим­ ными: если полное прохождение возможно из первой среды во вторую, то оно возможно и из второй среды в первую.

При угле полного прохождения амплитуда давления прошед­ шей волны равна, согласно первому уравнению (54.1), амплитуде

177

падающей. Это не значит, что при этом угле скольжения амплитуда прошедшей волны больше, чем при других углах: коэффициент прохождения, как и коэффициент отражения, всегда изменяется

Из (54.6) видно, что при /г> 1 коэффициент отражения монотонно убывает при уменьшении угла скольжения падающей волны от

отражение неправильное.

т <С я. общий ход коэффициента отражения имеет вид одной или

при критическом угле скольжения. При угле скольжения меньше критического формулы Френеля для волны произвольной формы теряют смысл как для коэффициента отражения, так и для коэф­

фициента прохождения: корень ]/п 2— cos2 Ѳ делается мнимым. Это значит, что предположение о правильности отражения, из которого мы исходили при выводе этих формул, не оправдывается для закритических углов (Ѳ < Ѳ кр), а потому и сами понятия коэффициентов отражения и прохождения оказываются здесь неприменимыми. При угле скольжения, в точности равном крити­ ческому, отражение еще остается правильным: угол скольжения прошедшей волны обращается в нуль и она бежит параллельно границе сред. При этом угле коэффициент отражения равен +1, как при отражении от абсолютно жесткой стенки (действительно,

178

нормальные скорости частиц на границе равны при этом нулю),

Для отражения звука на границе воздух—вода критический угол скольжения равен примерно 77°.

Невозможность правильного отражения при закритических углах скольжения ясна из кинематической картины, приводящей

Аналогично случаю нормального падения (§ 43) можно найти допплеровский сдвиг частот при отражении и прохождении на движущейся границе и для наклонного падения.

При угле скольжения падающей волны Ѳчастоты отраженной и прошедшей волн оказываются, как легко видеть, равными со­ ответственно

Как й в случае нормального падения, величины коэффициентов отражения и прохождения остаются при этом такими же, как и при неподвижной границе раздела.

179