книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

следующим образом (т = р0 /р, п = с/с0):

(49.15)

Исследуем полученные формулы. При k0h = ln, когда натолщине слоя укладывается целое число полуволн, коэффициент отражения обращается в нуль и волна проходит через слой пол-

'ностью: Ж — 1. Это кажется парадоксальным,^ особенно при большом различии волновых сопротивлений среды и вещества

■слоя. Согласно изложенной теории плоская волна частоты 1000 гц, падающая в воздухе нормально на стальную плиту толщиной 2,75 м, должна пройти насквозь без отражения! В действитель­ ности, в полном согласии с интуицией, такое явление никогда не наблюдается. Причина этого делается понятной, если подробнее рассмотреть этот случай полного прохождения. При k 0h — ln имеем tg (nkh) = 0 и величины зФ и $ делаются равными ^ = = (1 -f £)/2, ж = (1 — £)/2. Давление и скорость частиц в слое равны соответственно

р = cos k0z + t£ sin k0z,

прохождении звука из стального полупространства в стальное полупространство через воздушный слой толщиной в полволны: £ = ІО-5), поле в слое близко к стоячей волне с узлами давления или скорости на границах слоя. Амплитуда этих колебаний (давления — в первом случае и скорости частиц — во втором) весьма велика по сравнению с соответственными величинами в па­ дающей волне: это резонансное колебание слоя.

Показательно сравнение плотности энергии в таком полувол­ новом слое с плотностью энергии в падающей волне. В падающей волне единичной амплитуды плотность энергии есть

E = ß/2

(ß = 1/рс2 — сжимаемость цреды). Внутри слоя плотность энергии равна сумме плотностей энергии волны амплитуды зФ, бегущей вперед, и волны амплитуды $ , бегущей в противоположном направлении. При резонансе, т. е. при k 0h — ln, плотность энер­ гии равна

160

(ßo = 1/poCo— сжимаемость материала слоя). Отношение плот­ ностей энергии внутри и вне слоя составляет

Для стального полуволнового слоя в воздухе это отношение превышает 3000. Для полуволнового воздушного слоя между двумя стальными полупространствами это отношение превысило бы миллион. Таким образом, полное прохождение через полуволно­ вую пластину соответствует весьма острому резонансу и малые отклонения по частоте сразу сильно уменьшат пропускание. В са­ мом деле, при kh = ln (1 + е), где е 1, находим из (49.13) с точностью до е2

Отсюда следует, что требуемое для получения данного (по модулю) коэффициента отражения \СѴ \ относительное изменение частоты е составит .

стины в воздухе, толщиной в полволны достаточно изменить частоту менее чем на 1 / 1 0 0 0 0 0 долю (в нашем примере на 1 / 1 0 0 гц) или изменить в том же отношении толщину пластины (в нашем примере на 28 микрон), чтобы прошла лишь половинная энергия колебания, а вторая половина отразилась і\°17\ = 0,7). Для того чтобы отразилось 99% падающей энергии, достаточно изме­ нить частоту на 1 / 1 0 0 0 0 долю (0 , 1 гц) или изменить толщину всего на четверть миллиметра. Наконец, при наличии затухания в материале слоя снова появляется отражение, и полное про­ хождение получить нельзя. Например, если бы угол потерь в стали составлял всего 1 / 1 0 0 0 0 0 (при этом волна, распространяющаяся в неограниченной среде, затухала бы в е раз, лишь пробежав расстояние в полмиллиона длин волн), в нашем примере отра­ зилась бы уже половина падающей энергии.

Эти числа приведены только для иллюстрации: действительные условия всегда еще больше отличаются от идеальных, и поэтому при большом различии волновых сопротивлений среды и слоя коэффициент отражения по модулю практически всегда равен единице.

При отношении волновых сопротивлений порядка нескольких единиц или десятков расчетные условия достаточно выдерживать

число полуволн можно использовать как монохроматор. Напри­ мер, для £ = 30 (что примерно соответствует стальной пластинке в воде) ширина линии пропускания для полуволновой пластинки •составит примерно 4% от частоты полного пропускания. Волны с частотами, отличающимися меньше чем на 2% от частоты пол­ ного пропускания, проходят с амплитудами, не меньшими 0 , 7 от амплитуды падающей волны. Для пластинки толщиной в це-' лую длину волны ширина пропускания составит только 2% и т. д. Монохроматизация усиливается при увеличении числа полуволн, укладывающихся на толщине слоя.

Заметим, что полуволновой слой обычно не используют как монохроматор по частотам, так как на ультразвуковых частотах, для которых только и возможно практически создать в среде плоские волны, излучатели дают сами по себе весьма узкополос­ ное излучение. Но, как увидим в § 60, слой может выделять волны по направлениям, так что при фиксированной частоте через данный слой будут проходить только плоские волны, близ­ кие к одному определенному направлению. Поэтому такой слой используют как монохроматор гармонических волн по направ­ лениям волновых векторов.

Вернемся снова кѵ задаче о «просветлении» границы между двумя различными средами. Эта задача была решена в § 48 при помощи сосредоточенных препятствий (массового и упругого препятствия). Теперь решим эту же задачу, используя слой ко­ нечной толщины. Подберем такой материал и такую толщину слоя, чтобы, помещая этот слой между двумя средами с задан­ ными волновыми сопротивлениями, получить полный переход звуковой энергии из первой среды во вторую, т. е. чтобы коэф­ фициент отражения обращался в нуль. Для этого импеданс иско­ мого просветляющего слоя, нагруженного на волновое сопротив­ ление второй среды, должен равняться волновому сопротивлению

За исключением тривиального случая рс=р'с', это соотношение, рассматриваемое как уравнение относительно р0 с0, имеет решение только при бесконечном значении тангенса. Следовательно, тол­

Итак, просветляющий слой должен иметь толщину, равную нечетному числу четвертей волны в материале слоя, а волновое сопротивление этого материала должно равняться среднему гео­

162

метрическому волновых сопротивлений просветляемых сред. Ясно, что слой, просветляющий границу для прохождения звука из первой среды во вторую, явится просветляющим и для прохож­

то коэффициент отражения выразится приближенной формулой

При большом различии волновых сопротивлений сред коэффи­ циент отражения быстро растет при удалении от частоты про­ светления.

Можно показать, что полностью устранить отражение можно даже при наличии поглощения звука в материале просветляющего слоя, — для этого потребуется только соответственно изменить толщину слоя и подобрать несколько измененную плотность или скорость звука в материале слоя. Но при этом прохождение звука будет неполным: часть звуковой энергии поглотится в самом слое.

В то время как для монохроматора узость полосы пропуска-, ния — вообще желательное свойство, для просветляющего слоя это — недостаток. Чем большее число полуволн добавлено к чет­ вертьволновому слою, тем уже пропускаемый им диапазон частот. Поэтому, обратно тому, что рекомендуется для монохроматора, просветляющие слои следует делать минимальной толщины — в одну четверть волны.

§ 50. Отражение негармонических волн

От препятствий, проводимость которых зависит от частоты, негармонические волны отражаются неправильно. В этом случае отраженную волну будем искать при помощи метода Фурье. Для этого падающую волну

(50.1)

разложим в интеграл Фурье:

со

(50.2)

— СО

где спектральная плотность определится по формуле

Волны, соответствующие элементам интеграла

doa

испытают правильное отражение и превратятся в отраженные волны вида

'Ѵ (СО) р и е _1’ш (^+г/с)

где V (со) — значение коэффициента отражения для гармониче­ ской волны частоты со. Согласно сказанному в § 22 V (—со) = = ‘2/*(сй). Искомая отраженная волна найдется путем интегри­ рования по частоте всех элементарных отраженных волн:

Заметим, что частотная зависимость коэффициента отражения от реальных препятствий не может быть произвольной. В самом деле, если передний фронт падающей волны еще не дошел до препятствия, то формула (50.4) должна давать нулевые значения для всех моментов времени, пока передний фронт волны, отра­ зившись от препятствия, не достигнет данной точки, т. е. пока фронт не пробежит расстояние до препятствия плюс расстояние от препятствия до данной точки. Например, невозможна частот­ ная зависимость коэффициента отражения вида'?/ (со) = б (со—со о), т. е. неосуществимо препятствие, отражающее волны только одной-единственной частоты и поглощающее или пропускающее все остальные гармонические волны. В самом деле, в этом случае окажется, что при рШо 0 отраженная волна будет отлична от нуля во всех точках и во все моменты времени, т. е. отраженная волна появится до того, как падающая волна упадет на препятст­ вие, что противоречит принципу причинности. Невозможен также коэффициент отражения вида °1/ (со) = sin тсо: в этом случае принцип причинности окажется нарушенные для падающей волны, имеющей вид короткого импульса.

Если известна частотная зависимость проводимости данного

164

или через импеданс Z = 1/Y

со

р (*+т)= IЩ ^ Р - е~іа и+гІС) da-

—со

В качестве иллюстрации рассмотрим препятствие в виде со­ средоточенной массы с поверхностной плотностью р, импеданс которого равен Z (со) = —шр. При отрицательных частотах Z, как и следует, обращается в комплексно-сопряженную величину:

Z (—со) = Z* (со) = гсор.

Волна, отраженная от такого препятствия, имеет вид

со

Здесь введено обозначение Q = рс/р.

Возьмем для примера в качестве падающей волны экспонен­

дЬ прихода отраженной волны) в верхней плоскости комплекс­ ного переменного со (Ітсо >• 0 ) подынтегральное выражение экспо­ ненциально стремится к нулю при уходе на бесконечность. Поэтому путь интегрирования в (50.6) — действительную ось — можно замкнуть в верхней полуплоскости полуокружностью бесконечно большого радиуса. Но в верхней полуплоскости подынтегральное выражение не имеет полюсов; следовательно, интеграл равен нулю, что и следовало ожидать согласно принципу причинности. При t + z/c >■ 0 замыкание контура интегрирования можно провести в нижней полуплоскости. Но на нижней полуплоскости подынтегральное выражение имеет полюсы; следовательно, инте­ грал равен сумме вычетов в этих полюсах.

При а =/= Q на нижней полуплоскости имеются два простых полюса в точках со = —іа и со = —iQ, и интеграл оказывается равным

165

При а = й находим либо непосредственно из (50.6), либо предельным переходом из_(50.7):

На рис. 50.1 дан профиль падающей волны и профили отра­ женных волн, рассчитанные по формулам (50.7) и (50.8) для случаев а/Й = 1/2; 1; 2. Форма волны при отражении меняется. Легко убедиться непосредственным подсчетом, что суммарная энергия отраженной волны равна суммарной энергии падаю­ щей волны при любом значении ц. Ясно, что такое соотношение

Рнс. 50.1. Изменение формы профиля при отражении экспоненциального импульса (пунктир) от сосредоточенной массы разной величины. 1 — отражение от «лег­ кой» стенки, 2 — промежуточный случай, 3 — отражение от «тяжелой» стенки.

всегда будет выполнено при любом чисто мнимом («реактивном») входном импедансе препятствия, когда модуль коэффициента отражения для любой частоты равен единице и спектр отра­ женной волны отличается от спектра падающей только фазами компонент, что не влияет на энергию волны.

§ 51. Теория длинных линий

Мы уже говорили, что одномерная задача о распространении волн в жидкой среде допускает, помимо плоской волны в неогра­ ниченной среде, целый ряд других интерпретаций, в которых тем же соотношениям, что имеют место для давления и скорости частиц в жидкости, удовлетворяют другие величины. Различные интерпретации может получить и плотность среды. Неизменной остается интерпретация скорости волны: все переменные величины

J66

скорость звука или, вообще говоря, скорость одномерного воз­ мущения (при отсутствии дисперсии).

Можно дать различные интерпретации не только задаче о волне, бегущей в неограниченной среде, но и всей развитой в этой главе теории отражения от препятствий, прохождения через препятствия и прохождения через границу двух сред. Можно также характе­ ризовать препятствия граничными условиями, налагаемыми на величины, соответствующие давлению и скорости частиц. Тогда при одинаковой форме граничных условий и величины коэффи­ циента отражения, коэффициента прохождения, импеданса и т. д. получатся такие же, как и в предыдущих параграфах, хотя физи­ чески все элементы среды будут иными.

Например,'для поперечных волн на струне угол наклона можно интерпретировать как сжатие, а поперечную скорость — как скорость частиц; при этом погонная плотность р будет соответ­ ствовать объемной плотности среды в задаче о плоских волнах, а натяжение струны — модулю объемной упругости среды. Свя­ зывая две полубесконечные струны, придем к задаче, эквивалент­ ной задаче о двух различных полубесконечных средах, грани­ чащих по плоскости. Так как натяжение одинаково в обеих «полуструнах», что отвечает равенству модулей упругости, то квадрат коэффициента преломления равен в данной интерпретации отноше­ нию погонных плотностей: л2 = т (плотности второй струны к плотности первой). Коэффициент отражения от границы между

«Свободную границу» для струны можно осуществить, привя­ зывая ее к струне нулевой плотности. \Жесткую границу можно осуществить, привязывая струну к нешадвижному телу.

С формальной точки зрения все интерпретации вполне рав­ ноправны, так как для каждой из них набор уравнений и граничные.условия для изучаемых величин одни и\ те же. Поэтому для каждой интерпретации в соответственных случаях будем всегда приходить к одним и тем же окончательным формулам, в которые останется только подставлять те или иные физические величины, соответственно выбранной интерпретации. Такое единое рассмо­ трение всех подобных одномерных волновых задач получило название теории длинных линий. Теория длинных линий позво­ ляет рассматривать отражение от препятствий, прохождение через границу двух сред, прохождение волны через «многослой­ ную» систему, когда на пути волны стоят участки различных сред и требуется найти отраженное и прошедшее поле, а также поле внутри каждой из сред. В числе слоев могут быть и сосредо­ точенные препятствия, например, сосредоточенные массы или упругости.

167

Все задачи, которые можно решать методами теории длинных линий, относятся к средам, в которых уравнение распространения для величин, соответствующих давлению и скорости частиц, есть волновое уравнение вида

Не всякая одномерная волна есть решение именно такого уравнения. Например, поперечные волны на стержне описы­ ваются, как мы видели, уравнением четвертого порядка и для него волна вида р (t + z/c) является решением, только если это гармоническая волна, а распространение волн происходит с дис­ персией. К таким средам теория длинных линий, конечно, не­ применима.

§ 52. Узкая труба и стержень как длинные линии

Применим теорию длинных линий к распространению звука в жидкости или газе, заполняющем узкую *) цилиндрическую трубу с жесткими стенками. Замечательно, что если такую трубу изогнуть, то распространение звука в ней останется таким же, как и в прямой трубе, с той только разницей, что координату придется отсчитывать не по прямой, а по изогнутой оси трубы. Изгибы оси могут быть сколь угодно крутыми, хотя бы даже изломами: волна бежит в такой трубе, не замечая изгибов, так же, как если бы труба была вытянута в прямую линию. Изогну­ тые узкие трубы широко применяют в медных духовых инстру­ ментах. Трубу изгибают только для уменьшения габаритов инстру­ мента, звуки же, издаваемые изогнутой трубой, имеют ту же высоту, как если бы труба была выпрямлена.

Скорость звука в узкой трубе не зависит ни от площади сечения, ни от его формы, и равна скорости звука в неограниченной среде.

При соединении труб разного поперечного сечения получим аналог двух различных граничащих между собою сред. Однакю

*) Узкой трубой считаем трубу, поперечник которой много меньше длины волны звука. Особенности распространения волн в широких трубах не позво^ ляют интерпретировать их как длинные линии. Более подробно акустику узких труб рассмотрим в гл. VII, а акустику широких труб — в гл. VIII.

168

граничное условие оказывается теперь другим. В самом деле, пусть, например, соединены полубесконечные трубы с сечениями q и q', заполненные одной и той же средой, и пусть из трубы с се­ чением q падает волна р ( t — ztc). Место соединения труб частично отразит волну и частично ее пропустит. Отраженная волна будет иметь вид Ч?р {t + z/c), а прошедшая — вид 7 fp { t — zlc), где коэффициенты отражения и прохождения найдутся из граничных условий. Очевидно, в непосредственной близости от места соеди­ нения труб движение частиц будет несколько отличаться от дви­ жения в одномерной волне, однако для достаточно узких труб этот участок много короче длины волны, и этим отличием можно пренебрегать. Граничные условия — это равенство давлений по обе стороны от границы и равенство потоков среды по обе стороны. Эти условия можно записать следующим образом:

валентна свободной границе. В частности, узкую трубу, откры­

с вакуумом. Узкая вторая труба соответствует жесткой границе. В обоих случаях во вторую трубу проходит малая доля энергии. При равенстве площадей поперечных сечений отражение отсут­ ствует независимо от формы поперечного сечения. Например, при Т-образном соединении трубы сечения q с трубой сечения q!2 волна, распространяющаяся в более широкой трубе, не отразится от места соединения, а перейдет во вторую трубу, распространяясь в обе стороны от места соединения.

Сравнивая найденные формулы с формулами Френеля для гра­ ницы двух сред, видим, что вместо погонных плотностей сред qp и q'p, которые можно было бы ожидать при данной интерпрета­ ции, за плотности следует принять величины p/q и p/q' соответ­ ственно. Дело в том, что граничное условие в рассмотренном слу­ чае другое, чем во френелевой задаче: равны друг другу по обе стороны границы не нормальные скорости частиц, а полные потоки через оба сечения.

На распространение в трубах похоже распространение в узких твердых стержнях. Однако аналогия сохраняется только для прямых стержней. Граничные условия для двух соединенных прямых стержней из одного и того же материала с сечениями q и q', лежащих на одной прямой, — это равенство скоростей частиц по обе стороны от границы и равенство сил взаимодей­

169