книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

духа pc = 42; значит, например, для частоты 1000 гц такую зву­ коизоляцию могла бы создать перегородка с поверхностной плотностью всего 1,2 г/см2. На практике перегородка гораздо большей массы создает гораздо меньшую звукоизоляцию. Значит, картину передачи звука через перегородку нельзя аппроксими­ ровать рассмотренной выше схемой одномерного распространения звука при нормальном падении на одиночное препятствие.

§47. Отражение от «сосредоточенной упругости»

ипрохождение через нее

Акустика принципиально отказывается рассматривать тела без массы. Однако в некоторых задачах оказывается, что масса какого-либо из рассматриваемых тел практически не играет роли; тогда в данной задаче можно рассматривать это тело как не имею­ щее массы. Такова ситуация при нормальном падении гармони­ ческой волны из какой-либо среды на пластину (жидкую пли твердую — безразлично), опертую задней стенкой на абсолютно жесткую стенку, при условии, что толщина пластины мала по ■сравнению с длиной волны данной частоты в материале пластины. В этом случае пластину можно считать находящейся в состоянии статического сжатия или растяжения и считать деформацию пластины, а значит, и возникающие силы давления одинаковыми по всей толщине пластины. Так приходим к понятию препятствия в виде сосредоточенной упругости.

Если к поверхности такого препятствия приложить давление р, то пластина сожмется на величину, пропорциональную давлению (закон Гука). Обозначая смещение передней стенки пластины через £, можем записать связь между давлением п смещением в виде уравнения

где X — коэффициент упругости пластины для испытываемой ею деформации сжатия в расчете на единицу площади препятствия. Если модуль упругости материала пластины есть Е, а толщина пластины /і, то к = Elh. Уравнение (47.1) есть граничное условие на поверхности сосредоточенной упругости. Для гармонического движения £ = ѵ/(—гео), где ѵ — скорость передней стенки пла­ стины, и уравнение можно записать в виде

Значит, импеданс Z и проводимость У сосредоточенной упру­ гости равны соответственно

Импеданс оказался чисто мнимым положительным, а проводи­ мость — чисто мнимой отрицательной; поэтому и о всяком пре­

J50

пятствии с чисто мнимым положительным импедансом или с чисто мнимой отрицательной проводимостью (как бы они ни зависели от частоты) говорят, что оно имеет характер упругости. Для пре­ пятствий упругого типа удобно пользоваться проводимостью, а не импедансом. Относительная проводимость сосредоточенной упру­ гости равна

массы, граничащей с вакуумом. При низкой частоте мала про­ водимость, коэффициент отражения близок к + 1 и препятствие ведет себя подобно абсолютно жесткой границе. На высоких ча­

«малая» и «большая» частота означают выполнение неравенств сорс/х < 1 и сорсЫ > 1 соответственно. Фаза е коэффициента отра­ жения равна

Фаза растет от 0 до зт по мере роста частоты от нуля до бесконеч­

стоте как абсолютно жесткая стенка, не значит, что на этих ча­ стотах уменьшаются смещения поверхности препятствия при той же самой амплитуде приложенного давления: эти смещения вообще от частоты не зависят. К нулю стремится с частотой ско­ рость поверхности препятствия; это и определяет поведение пре­ пятствия с акустической точки зрения, т. е. отражение от пре­ пятствия. В статике определяющим является смещение, а в аку­ стике — скорость.

Тонкую пластину иногда можно рассматривать как сосредото­ ченную упругость и в том случае, когда позади пластины не аб­ солютно жесткая стенка, а какое-либо другое препятствие (кри­ терий допустимости такого предположения дадим в § 49). Найдем проводимость препятствия в виде сосредоточенной упругости, нагруженной на второе препятствие с проводимостью Y ' .

В этом случае давление внутри пластины выразится формулой

15І

I ' = v'/(—ico), где V и v' — скорости передней и задней стенок пластины. Кроме того, ѵ' = Y'p. Формулу (47.7) можно привести к виду

X

Р = — ш (о — Y'p),

откуда

Таким образом, проводимость нагрузки на сосредоточенную упругость складывается с проводимостью сосредоточенной упру­ гости, опертой на стенку с нулевой проводимостью.

Если нагрузкой является полубесконечная среда, граничащая с задней стенкой пластины, то проводимость на передней стенке пластины равна

В этом случае коэффициент отражения равен (см. (45.2))

(так как волна проходит и во вторую среду позади пластины). -Аналогично расчету для сосредоточенной массы найдем коэф­

В этом случае модуль коэффициента прохождения также можно ■было бы найти при помощи закона сохранения энергии, исполь­ зуя (47.10).

Если среда позади пластины та же, что и спереди, то коэффй- ' циенты отражения и прохождения равны

Отраженная и прошедшая энергии равны друг другу при усло­ вии соЫ — 2 /рс.

152

§ 48* Отражение от резонатора* Согласование двух сред

Найдем проводимость сосредоточенной упругости к, нагружен­ ной на сосредоточенную массу р. Такое препятствие есть резона­ тор типа «масса на пружинке», возбуждаемый силой, приложен­ ной со стороны пружинки. В этом случае проводимости упругого слоя и нагрузки на него складываются, так что проводимость всей конструкции в целом будет равна

валентным жесткой стенке. При этом резонатор будет совершать интенсивные колебания: будет наблюдаться резонанс. Строго говоря, при такой частоте вообще нет установившегося решения — амплитуда колебаний нарастает безгранично. Но если предпо­ ложить, как всегда в таких случаях, что имеется малое трение, то решение.имеется: передняя стенка резонатора будет почти не­ подвижна, а масса будет совершать колебания тем большей ам­ плитуды, чем меньше трение. При достаточно малом затухании такой резонатор дает хорошее приближение к абсолютно жесткой стенке для резонансной частоты, так что гармоническая волна этой частоты, падающая на резонатор, будет отражаться с коэф­ фициентом отражения, весьма близким к + 1 .

Если, переставив элементы препятствия, нагрузить сосредото­ ченную массу на сосредоточенную упругость, опертую, в свою очередь, на жесткую стенку, то импеданс такого препятствия най­ дется как сумма импедансов его элементов:

в нуль и оно делается эквивалентным свободной поверхности, так что отражение от него гармонической волны резонансной частоты происходит с коэффициентом отражения— 1. Однако явление резонанса будет отсутствовать: несмотря на совпадение частот, амплитуда смещения передней стенки препятствия при падении на него волны резонансной частоты будет лишь вдвое превосходить амплитуду в падающей волне.

Мы видели, что при переходе звуковой волны из одной среды в другую прохождение неполное, если только волновые сопро­ тивления сред не равны друг другу. При большом различии вол­ новых сопротивлений сред коэффициент отражения по модулю близок к единице и большая часть'звуковой энергии отражается обратно в первую среду. В этом случае часто говорят, что среды «не согласованы» между собой (термин заимствован из теории элек­ трических цепей). Естественно возникает вопрос о согласований

5 »

сред, или (на этот раз заимствуем термин из оптики) о просвет­ лении границы раздела между средами, путем помещения между ними некоторого слоя. Такое просветление очень важно, напри­ мер, в вопросах излучения звука в среду, резко отличающуюся по волновому сопротивлению от материала излучателя, а также в звуковой оптике, где отражения на границах звуковых линз не только уменьшают фокусируемую энергию, но и создают «фон» несфокусированного звука, ослабляющий контрастность акусти­ ческого изображения (снова аналогично ситуации в оптических приборах, с той разницей, что коэффициенты отражения в акус­ тике, как правило, велики по сравнению с отражением света от границы стекла с воздухом).

В качестве просветляющего слоя в акустике можно применить резонатор типа «пружинка—масса», составленный из сосредото­ ченной упругости X и сосредоточенной массы р. Пусть такой ре­

зонатор вставлен между средами с волновыми сопротивлениями рс и р'с', причем рс »>р'с'. Тогда для гармонической волны, па­

дающей из первой среды, просветление можно получить, если резонатор вставлен пружинкой в сторону падающей волны. В са­

мость сосредоточенной упругости складывается с проводимостью нагрузки. Следовательно, входная проводимость, нагруженного осциллятора равна

— £со

Для того чтобы отражение отсутствовало и прохождение было полным, требуется выполнение равенства Y = 1/рс. Приравни­ вая вещественные части этого равенства, получим

Частота полного пропускания оказывается меньше резонансной частоты осциллятора. Элементы осциллятора данной частоты найдем, приравнивая мнимые части равенства Y = 1/рс:

К = а 0Ѵ pcp'c', Р = — V pcp'c. tUo

Легко проверить, что подобранный таким образом осциллятор даст полное просветление и для волны, падающей со стороны вто­ рой среды; при этом расположение элементов осциллятора должно оставаться прежним; элемент упругости должен прилегать к более жесткой среде, а элемент массы — к менее жесткой. Одинаковое прохождение с одной и с другой стороны — пример «принципа взаимности» в акустике.

154

§49. Препятствия в виде плоскопараллельных слоев

Водномерной задаче об отражении нормально падающей волны всякое препятствие можно рассматривать как плоскопараллельный слой или последовательность таких слоев. Для нахождения отра­ жения достаточно знать проводимость препятствия или-его импе­ данс: коэффициент отражения получится по формуле (45.2) или (45.4). Найдем импеданс однородного слоя, нагруженного задней стенкой на заданный импеданс Z'. Решения этой задачи будет достаточно для нахождения импеданса любой последовательности слоев; в самом деле, достаточно будет найти импеданс последнего слоя последовательности, принять его за нагрузку предпослед­ него слоя и т. д., вплоть до нахождения импеданса на передней стенке первого слоя.

Впрошлых параграфах мы уже решали аналогичные простей­ шие задачи, но только приближенно, для слоев малой толщины по сравнению с длиной волны, считая механические свойства таких слоев «сосредоточенными». Теперь дадим точное решение задачи. Попутно получатся и границы применимости понятий о «сосредо­ точенных» массе и упругости.

Итак, пусть требуется найти импеданс нагруженного слоя тол­ щины h, и пусть плотность и скорость звука в веществе слоя равны соответственно р0 и с0. Из соображений симметрии ясно, что для данной частоты со наиболее общий вид одномерного поля в слое есть (с точностью до произвольного множителя) суперпозиция двух плоских волн, бегущих друг другу навстречу:

р = е ікг2 _)_ q / e- i k 0z '

Волну, бегущую в отрицательном направлении, можно считать отражением (коэффициент отражения W) от препятствия с им­ педансом Z' волны, бегущей в положительном направлении. Счи­ тая, что начало координат расположено на задней стенке слоя, имеем

Z P Q C Q

Z ' Росо

На передней стенке слоя, в точке z = —h, давление равна

Скорость частиц в этой же точке выразится формулой

/5 5

Деля одно равенство на другое, найдем искомый импеданс слоя с нагрузкой, а после элементарных переделок и соответ­ ственную проводимость (Y' = HZ'):

Импеданс и проводимость оказываются зависящими не только от вещества слоя и от нагрузки, но еще и от величины k 0h — на­ бега фазы волны данной частоты на толщине слоя. Таким образом, импеданс определяется интерференционной картиной внутри слоя. При увеличении толщины слоя значения импеданса будут по­ вторяться с периодом изменения толщины слоя, равным половине длины волны. Если2 '—чисто мнимое, то2 также чисто мнимое и при изменении толщины слоя будет изменяться по модулю от 0 (при tg k 0h = Z4ip0c0) до оо (при tg k 0h = —ip0c0/Z’). Для слоя тол­ щиной в целое число полуволн (k 0h — ln) формула (49.1) дает Z = Z', т. е. слой толщиной в полволны или в целое число полу­ волн не меняет импеданса нагрузки, а значит, коэффициент отра­ жения от такого слоя будет таким же, как от нагрузки в отсут­ ствие слоя.

- Исследуем полученную формулу для импеданса и рассмотрим важнейшие частные случаи. Пусть задняя стенка слоя свободна: Z' — 0 (Y ' = оо). Импеданс и проводимость слоя будут равны (индекс символизирует величину импеданса или, соответственно,

Слой действует как «эффективная» сосредоточенная масса, распре­

где к = p 0Co/h— статический коэффициент упругости слоя.

156

Пользуясь этими формулами, нетрудно выразить импеданс и

В некоторых случаях выражения (49.4) можно упростить. Пусть, например, |Z '|< |Z c o |. Тогда, пренебрегая в знамена­ теле в первой формуле (49.4) величиной Z' по сравнению с Zra, найдем приближенно

В этом случае проводимость нагрузки просто прибавляется к про­ водимости слоя, опертого на жесткую стенку. Если,кроме того, толщина слоя мала по сравнению с длиной волны, то приближенно x ' 5=wX, и формула (49.6) примет вид (47.8). Значит, слой можно считать сосредоточенной упругостью при выполнении двух усло­

Таким образом, для того чтобы данный слой можно было счи­ тать сосредоточенным, недостаточно, чтобы он был тонок по сравне­ нию с длиной волны: важно еще, какова нагрузка на слой. При некоторых нагрузках тонкий слой можно считать сосредоточен­ ным, а при других нет. Тонкий слой можно считать сосредоточенной массой, если импеданс нагрузки достаточно мал, и сосредоточен­ ной упругостью, если импеданс нагрузки достаточно велик.

Вернемся к слою с нулевым импедансом нагрузки и сравним зависимость его импеданса от частоты с зависимостью импеданса со­ средоточенной массы, равной массе данного слоя. В качестве ар­ гумента удобно взять величину k 0h, пропорциональную частоте. На рис. 49.1 показаны графики величины iZ для слоя и для сосре­ доточенной массы. Для слоя получается тангенсоида, для сосре­

157

начиная с k 0h — 0,515. Импеданс слоя растет быстрее, чем импе­ данс сосредоточенной массы, равной массе слоя, т. е. быстрее чем частота, или, при фиксированной частоте, чем толщина слоя. При k 0h = я/2 импеданс обращается в бесконечность и меняет знак, приобретая характер упругости. Далее импеданс умень­ шается по модулю при увеличении частоты и обращается в нуль при k 0h = я. После этого весь цикл изменений импеданса по­ вторяется снова с периодом изменения k Qh, равным я.

График рис. 49.1 является, с точностью до вертикального масштаба, графиком проводимости (точнее говоря, графиком величины— iY) для слоя, опертого на жесткую стенку. Пря­ молинейный график даст проводимость сосредоточенной упругости

для коэффициента упругости, равного p0cl/h. Здесь также раз­ личие в проводимостях слоя и сосредоточенной упругости остается меньше 10%, пока величина k 0h. не превосходит 0,515. При уве­ личении k 0h проводимость слоя растет, обращаясь в бесконеч­ ность при k 0h = я/2. При дальнейшем увеличении k Qh проводи­ мость меняет знак, приобретая массовый характер, уменьшается

Возвращаясь к задаче об отражении от слоя, найдем коэффи­ циент отражения звука от нагруженного слоя в виде

где р и с — плотность и скорость звука в среде перед слоем, из которой на слой падает волна. Аналогичную формулу для °1У можно написать и через проводимости:

Важный частный случай — слой, помещенный в среду. В этом случае нагрузка на слой равна рс и коэффициент отражения равен

или, после подстановки выражений (49.2) и (49.3) и простых пре­ образований,

і tg М ( у — S)

(49.9)

2 — i tg k0h ^-£-+

где через £ = p0 c0/pc обозначено отношение волновых сопротив­ лений вещества слоя и вещества среды.

158

По импедансу слоя можно найти только отраженную волну. Но в задаче о слое как препятствии интересно рассмотреть не только коэффициент отражения, но и прошедшую волну и волны, распространяющиеся внутри слоя. Поэтому заново рассмотрим всю задачу о падении волны на слой, помещенный в среду. На­ чало координат выберем теперь на передней границе слоя. Пусть падающая волна есть еСкг, отраженная °l/e-ikz, прошедшая Welk(-z- h\ и пусть внутри слоя бегут волны s4-eik°z и $ e - ik°z. На границах слоя, т. е. в точках.z = 0 и z = h, должны выполняться граничные условия; равенство давлений и скоростей частиц по обе стороны границы. Для границы г = 0 найдем

(что, конечно, совпадает с (49.9)). Но мы можем найти амплитуды и других волн:

2 — i t g a ^ + ^

Возвращаясь к подробным обозначениям, можно переписать выражения для коэффициентов отражения и прохождения

159