книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Такое пренебрежение окажется оправданным, если в результате расчета только с первыми отражениями мы увидим, что суммарная отраженная волна действительно мала по сравнению с падающей.

Схематическая картина нескольких первых отражений пока­ зана на рис. 44.1. При подсчете суммарной амплитуды отраженной волны следует сложить все отраженные волны с учетом их фаз. Эти фазы растут при переходе от слоя к слою соответственно уве­ личивающейся длине - пробега волны: при увеличении пробега на половину длины волны (в данном месте среды) фаза отражения изменяется на 2 л (волна проходит дополнительно двойное — туда и обратно— расстояние в среде).

Поэтому фаза последовательных отражений будет многократно

S N

6)

обходить полный круг, а так как свойства среды меняются мед­ ленно, то вклады отдельных границ, размещающихся на участке среды толщиной в одну половину длины волны, почти в точно­ сти уничтожат друг друга. В этом взаимном уничтожении по­ следовательных отражений вследствие их расфазировки и заклю­ чается механизм «забывания» волной изменения'волнового сопро­ тивления на пути ее распространения. В результате отражение останется близким к нулю, как бы сильно ни изменилось волно­ вое сопротивление, если только это изменение было достаточно медленным.

Взаимное уничтожение вкладов в суммарное отражение по­ следовательных границ слоев можно наглядно показать на век­ торной диаграмме результирующего колебания, представляемого в виде геометрической суммы колебаний, вносимых последова­ тельными границами (рис. 44.2). Диаграмма образует ломаную спираль, описывающую один виток при каждом пробеге волной пути в половину длины волны. Амплитуда (комплексная)'резуль­ тирующего отражения от слоя данной толщины изображается вектором, соединяющим начало и конец спирали. Модуль коэффи­ циента отражения очень мал по сравнению с амплитудой отраже­

но

ния от резкого скачка волновых сопротивлении, равного полному изменению этой величины на всем переходном слое, когда эф­ фекты всех малых скачков складываются в одной и той же фазе.

Пренебрегая малым остаточным отражением при достаточно медленном изменении свойств среды, можно считать, что волна распространяется в неоднородной среде без отражения. Ампли­ туды же давления и скорости частиц в проходящей волне могут при этом измениться очень сильно: амплитуда проходящей волны «запоминает» суммарное изменение волнового сопротивления на пути ее пробега. Плотность потока мощности волны сохраняется, несмотря на изменение волнового сопротивления, значит, согласно (39.6), давление в волне меняется пропорционально корню квад­ ратному из волнового сопротивления, а скорость частиц — об­ ратно пропорционально корню квадратному из волнового со­ противления.

Например, плотность воздуха на высоте 30—40 км в сто раз меньше, чем у земли, а скорость звука мало отличается от при­ земной. Следовательно, амплитуда давления звука, приходящего от источника, находящегося на этой высоте (например, звук от ракетного двигателя), увеличится, дойдя до земли, в 1 0 раз. Впрочем, такое увеличение имело бы место только для плоской волны, бегущей в вертикальном направлении. В действительности звуковая волна при распространении будет еще расходиться в сто­ роны, так что наш расчет показывает только, что дает изменение волнового сопротивления при прочих равных условиях.

Разобьем мысленно слабо неоднородную среду на цилиндры с образующими, перпендикулярными к слоям. В каждой такой мысленно выделенной трубке волна бежит без отражений и не обмениваясь энергией с соседними трубками; стенки трубок можно считать абсолютно жесткими. Будем называть такие цилиндры лучевыми трубками, а их образующие — лучами. Распростране­ ние плоской волны перпендикулярно к слоям слоисто-неоднород­ ной среды можно представить себе как бег звуковой энергии вдоль таких лучей, без отражений в обратном направлении. Эти лучи совпадают с линиями тока скоростей частиц. Волновые фронты в каждой точке перпендикулярны к лучу.

Подчеркнем еще раз, что для достаточно низких частот всякое изменение свойств -среды будет резким и волна будет отражаться от сколь угодно плавного изменения волнового сопротивления; и только по мере повышения частоты отражение будет уменьшаться, стремясь к нулю при бесконечном повышении частоты. Поэтому можно считать лучевую картину асимптотикой волновой картины в неоднородной среде для бесконечно высокихчастот. Понятие, «слабо неоднородная среда» относительно и зависит от длины волны.

Если при распространении луч встретит границу, которая явится резкой и для той высокой частоты, для которой среду в целом можно считать слабо неоднородной, то он разделится на

141:

два: отраженный и прошедший, и амплитуды полей, соответствую­ щих лучам, можно найти по формулам Френеля. Лучи, соответ­ ствующие отраженной волне, геометрически совпадут с падаю­ щими лучами, но акустически это разные лучи: звук бежит в лу­ чевых трубках падающей и отраженной волн в противоположных направлениях. Для лучей имеет место принцип суперпозиции: полное поле в данной точке равно сумме полей, приносимых в дан­ ную точку всеми лучами, проходящими через эту точку.

Из построения лучей ясно, что лучевая картина не зависит от длины волны (при условии, что длина волны уже настолько мала, что лучевая картина вообще применима). Однако при суперпо­ зиции лучей, например в случае суперпозиции падающих и отра­ женных лучей, поле в каждой определенной точке зависит от длины волны, так как ею определяется соотношение фаз волн, распространявшихся по составляющим лучам и пришедшим в дан­ ную точку. Таким образом, для монохроматической волны в на­ шем случае лучевая картина еще не исчерпывает характеристик поля: поле разбивается на лучи, но в каждой лучевой трубке будет волновая картина интерференции.

§ 45. Проводимость и импеданс линейного препятствия. Поле перед препятствием

Вернемся к отражениям от препятствий с резкими границами. Часто приходится встречаться с линейными препятствиями, отражение волн от которых неправильное. В этом случае для нахождения отражения применяют метод Фурье, разлагая падаю­ щую волну в суперпозицию гармонических плоских волн разных частот, которые, как было показано в § 42, отражаются без изме­ нения формы, но, вообще, с разными коэффициентами отражения. Суперпозиция отраженных гармонических волн и дает резуль­ тирующую отраженную волну. Таким образом, можно ограни­ читься задачей об отражении только гармонических волн. Коэф­ фициент отражения гармонической волны зависит не только от препятствия, но и от среды, из которой падает и в которую отра­ жается волна. Поэтому желательно дать такую характеристику препятствия, которая не зависела бы от вида среды, в которую

юно помещено.

Эта скорость одновременно является скоростью поверхности пре­ пятствия, вызванной результирующим давлением (р + рЬ=о. син-

142

Во многих задачах удобнее пользоваться не проводимостью, а обратной величиной — так называемым входным импедансом пре­ пятствия Z — MY, равным отношению гармонически меняющегося давления на поверхности препятствия к вызываемой этим дав­ лением скорости поверхности. Коэффициент отражения гар­ монической волны выражается через импеданс поверхности формулой

Вводя относительный импеданс препятствия £ = 1/г) = Z/pc как отношение импеданса к волновому сопротивлению среды, выра­ зим коэффициент отражения формулой

В дальнейшем будем характеризовать свойства поверхности то проводимостью, то импедансом, в зависимости от того, что даст возможность получить более простые формулы.

Рассмотренные в § 41 препятствия в виде свободной границы и Экесткой стенки также можно охарактеризовать проводимо­ стями или импедансами. Импеданс свободной границы равен нулю, ее проводимость равна бесконечности; импеданс жесткой стенки равен бесконечности, ее проводимость равна нулю. Если относительная проводимость препятствия велика по сравнению с единицей (модуль импеданса мал по сравнению с волновым со­ противлением среды), то коэффициент отражения близок к — 1 , так что препятствие ведет себя подобно свободной границе. Если относительная проводимость препятствия мала сравнительно с единицей (модуль импеданса велик по сравнению с волновым сопротивлением среды), то коэффициент отражения близок к + 1 , так что препятствие ведет себя подобно абсолютно жесткой стенке. Одно и то же препятствие при данной частоте может вести себя то как свободная граница, то как жесткая стенка, в зависимости ■от волнового сопротивления среды, в которую помещено пре­ пятствие. С другой стороны, как увидим ниже, в одной и той же среде одно и то же препятствие может вести себя то как жесткая стенка, то как свободная граница, в зависимости от частоты.

Проводимость препятствия может быть не только вещественным (как в случае препятствия в виде другой среды), но и'комплексным числом (примеры таких препятствий рассмотрены в следующих параграфах). Если проводимость чисто мнимая, то модуль коэф­ фициента отражения равен единице, так как в этом случае чис­ литель и знаменатель выражения для коэффициента отражения отличаются только знаком действительной части. В общем случае проводимость имеет как мнимую, так и вещественную части. Положим Y = R + іХ, где R и X — вещественные. Тогда

'144

Случай R >• 0 (обычно имеющий место на практике) соответ­ ствует частичному переходу энергии падающей звуковой волны из среды в'препятствие. Это может быть как поглощение звуковой энергии препятствием (превращение ее в тепло, как, например, в звукопоглощающих материалах, которыми облицовывают стены залов для уменьшения «гулкости»), так и пропускание акустиче­ ской энергии в среду позади препятствия, не связанное с погло­ щением. Более редкий случай R -<0 приводит к росту энергии звука в-1 среде при отражении; это — случай активного препят­ ствия; таково, например, препятствие в виде фронта пламени, скорость горения которого зависит от давления.

Рассмотрим результирующее поле, образующееся перед пре­ пятствием при падении на него гармонической волны еікх, — интерференционную картину, образованную падающей и отра­ женной волнами. Для общности предположим, что коэффициент отражения — комплексный:

чередуются, располагаясь на расстоянии четверти длины волны звука друг от друга. Полуразность измеренных максимальных и минимальных значений амплитуды равна модулю коэффициента отражения. При изменении частоты вся эта интерференционная картина максимумов и минимумов перед препятствием сжимается или растягивается, так что все расстояния в этой картине про­ порциональны длине волны звука.

Поле перед препятствием не есть вообще ни чисто бегущая, ни чисто стоячая волна. Его можно было бы представить как супер1

145

позицию стоячей и бегущей волн, однако такое разложение не однозначно. В самом деле, имеем

Ввиду такой неоднозначности подобному разложению нельзя приписать какой-либо определенный физический смысл. Волну перед препятствием удобно характеризовать коэффициентом бегучести х, определяемым как отношение минимальной амплитуды перед препятствием к максимальной:

Коэффициент бегучести обращается в нуль для чисто стоячей волны и в единицу для чисто бегущей. Перемещая приемник дав­ ления перед препятствием, можно измерить как коэффициент бегучести, так и расстояния Ь г от препятствия до ближайшего максимума и L2— до ближайшего минимума давления. Зная х и Ь1 или х и L2, м о ж н о найти амплитуду и фазу коэффициента отражения, а зная коэффициент отражения, можно найти импе­ данс препятствия. В самом деле, согласно (45.8) фаза коэффи­ циента отражения найдется по формуле

1 ^ 1 = 4 ^ -

Таким образом, коэффициент отражения равен

Отсюда, пользуясь формулой (45.1), найдем проводимость препятствия:

Этот прием определения проводимости широко применяется на практике.

Для препятствия в виде границы со второй средой фаза отра­ жения равна либо 0 (при волновом сопротивлении второй среды большем, чем у первой), либо я (при обратном соотношении между волновыми сопротивлениями). Модуль коэффициента отражения в этом случае от частоты не зависит. Волновое сопротивление второй среды выражается' через коэффициент бегучести либо

146

§46. Отражение от «сосредоточенной массы»

ипрохождение через нее

Перейдем теперь к изучению различных конкретных видов препятствий.

Акустика принципиально отказывается рассматривать абсо­ лютно несжимаемые тела. Однако в некоторых задачах оказы­ вается, что сжимаемость того или иного из рассматриваемых тел практически роли не играет; тогда в данной задаче это тело можно рассматривать как несжимаемое. Такова ситуация при нормаль­ ном падении'гармонической волны из какой-либо среды на пла­ стину (жидкую или твердую — безразлично), граничащую вто­ рой стороной с вакуумом', при условии, что толщина пластины мала по сравнению с длиной волны данной частоты в материале пластины.

В этом случае пластину можно приближенно считать несжи­ маемой и движущейся под действием падающей волны как целое. Тогда толщина пластины несущественна, и всю ее массу можно считать сосредоточенной на ее границе со средой. Так приходим к понятию препятствия в виде сосредоточенной массы. Сосредоточенную массу можно охарактеризовать поверхностной плотностью р, равной плотности р0 вещества пластины, умножен­ ной на ее толщину /г, т. е. р = р0 /г.

Найдем импеданс и проводимость такого препятствия. Со­ гласно закону Ньютона уравнение движения такой пластины при воздействии на нее равномерно распределенного давления р

откуда найдем импеданс Z и проводимость Y сосредоточенной массы:

Импеданс оказался чисто мнимым отрицательным, а проводи­ мость — чисто мнимой положительной; поэтому и о всяком пре­ пятствии с чисто мнимым отрицательным импедансом или чисто мнимой положительной проводимостью (как бы они ни зависели от частоты) говорят, что оно имеет массовый характер.

Относительный' импеданс равен

I

147

Коэффициент отражения от препятствия в виде сосредоточен­ ной .массы выражается, согласно (45.4), так:

Модуль коэффициента отражения от сосредоточенной массы ока­ зывается равным единице для любой среды при любой величине поверхностной плотности и при любой частоте. При низкой ча­ стоте импеданс данной сосредоточенной массы мал, коэффициент отражения близок к — 1 и препятствие ведет себя подобно сво­ бодной границе. На высоких частотах импеданс велик, коэффи­ циент отражения близок к + 1 и препятствие ведет себя как жест­ кая стенка. Термины «малая» и «большая» частота означают вы­ полнение неравенств щі/рс = mkh < 1 и сор/рс = mkh > 1 соот­ ветственно. Фаза в коэффициента отражения дается формулой

Фаза растет от я до 2я с увеличением частоты от нуля до беско­ нечности.

Тонкую пластину иногда можно считать сосредоточенной массой и в том случае, когда позадипластины не вакуум, а какое-либо другое препятствие. (Критерий допустимости такого предположе­ ния дадим в § 49.) В этом случае говорят, что сосредоточенная масса нагружена на некоторое препятствие. Пусть импеданс этой нагрузки равен Z'. Найдем импеданс препятствия в целом. Так как пластину считаем несжимаемой, то скорость ее задней стенки можно принять равной скорости ѵ передней стенки. Вместо фор­ мулы (46.1) теперь получим

где р' — давление на задней стороне пластины. Но p’ = Z 'ѵ\ уравнение (46.6) примет вид

(—/сор + Z') V — р,

откуда найдем искомый импеданс:

Таким образом, импеданс нагрузки на сосредоточенную массу прибавляется к импедансу сосредоточенной массы в отсутствие

'нагрузки. Если нагрузка — полубезграничная среда, гранича­ щая с пластиной сзади, то входной импеданспрепятствия равен

Пользуясь (45.4), получим коэффициент отражения в виде

148

Коэффициент отражения по модулю оказывается меньше единицы:

(энергия падающей волны частично переходит во вторую среду). Найдем коэффициент прохождения Ж звука. Скорость пла­

стины равна

Такова же и амплитуда скорости частиц во второй среде. Но во второй среде имеется только бегущая волна. Значит, давление во второй среде имеет амплитуду

Очевидно, что при прохождении звука через сосредоточен­ ную массу выполняется закон сохранения энергии: сумма потоков мощности отраженной и прошедшей волн, уносящих энергию от препятствия, равна потоку мощности в падающей волне, несущей энергию к препятствию:

В архитектурной акустике весьма важен вопрос о «звукоизо­ ляции» перегородок, характеризующей уменьшение интенсив­ ности звука при прохождении через перегородку. Если считать перегородку сосредоточенной массой, то для нормального падения звука отношение потоков энергии в прошедшей и в падающей вол­ нах равно

Г Y75 I2 ______ 4 (рс)-____

1 1 _ (мр)2 + 4(рс)2

Для того чтобы получить изоляцию порядка 40 дб (хорошая межквартирная изоляция), должно быть сор, = 200 рс. Для воз­

749