книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

бегущая к препятствию, а другая — от него, совместно удовлет­ воряют данному граничному условию. Как, зная свойства пре­ пятствия и одну из этих волн («падающую»), найти вторую («отра­ женную»)?

В этой постановке задачи за «падающую» можно принять любую из этих волн; вторая будет «отраженной». Так как по времени волны не разделены, то нет и оснований считать одну волну причиной другой. Факт же бега фазы по направлению к препятствию пли от него имеет только внешнее сходство с фактом бега импульса к препятствию или от него: импульс переносит энергию, а гармо-

. ническая волна — нет. Физический смысл можно приписать только задаче об отражении ограниченного импульса, так как все реаль­ ные процессы имеют начало. Задача с гармонической падающей волной — идеализация в такой же мере, как и задачи с гармони­ ческими волнами, распространяющимися в неограниченной среде. В обоих случаях идеализация полезна, пока достаточно длинные цуги — «отрезки синусоид» — ведут себя подобно гармонической волне в течение достаточно долгого времени.

Рассмотрение ограниченного цуга позволяет все же выяснить, какая волна является падающей, и для гармонических волн: в качестве падающей следует взять ту волну, для которой группо­ вая скорость направлена к препятствию. Тогда в реальной поста­ новке задачи, где в качестве падающей волны взят цуг конечной длины, придем к той же картине, что и для ограниченного им­ пульса. При этом внутри падающего цуга фаза может бежать либо к препятствию (положительная фазовая скорость), либо от препятствия (отрицательная фазовая скорость). Поэтому для гар­ монических волн за падающую волну будем выбирать ту из волн, для которой групповая скорость направлена к препятствию. В ис­ ключительных случаях отрицательной фазовой скорости падающей волной следует считать ту, фаза которой бежит от препятствия, а отраженной — ту, фаза которой бежит к препятствию. В даль­ нейшем будем считать, что фазовая и групповая скорости совпа­ дают по направлению.

§ 43. Отражение и прохождение звука на границе двух сред

Пусть плоская волна р ( t — zlc) падает нормально на плоскую границу z = 0 между двумя однородными средами. В первой среде

возникает отраженная волна р (t -f- zlc), а во второй — прошед­ шая р' (t — z/c').

Мы увидим сейчас, непосредственно произведя расчет, что отражение и прохождение всегда правильные. Отраженную и про­ шедшую волны можно записать в виде

130

прошёдшую волны можно записать в виде

хождения Ж нужно подобрать так, чтобы были удовлетворены граничные условия. Граничных условий дват равенство давлений и равенство скоростей частиц по обе стороны границы. Со стороны первой среды берется суммарное поле падающей и отраженной волны, со стороны второй — поле прошедшей волны.

Условие равенства давлений по обе стороны границы, или, что то же, непрерывность давления при переходе через границу, реально выполняется всегда. Нарушение этого условия вызвало бы бесконечное ускорение границы, так как сколь угодно тонкий слой сколь угодно малой массы, включающий внутри себя гра­ ницу, находился бы тогда под действием конечной разности дав­ лений по обеим сторонам слоя. В результате разность давлений выравнялась бы мгновенно.

Условие равенства скоростей выражает неразрывность среды на границе: среды не должны отдаляться друг от друга или про­ никать взаимно друг в друга. Это требование может на практике оказаться нарушенным, например, при кавитации, когда внутри жидкости образуются разрывы (разрывы возникают легче на гра­ нице двух сред, чем внутри одной среды). Будем считать, что нарушения граничных условий не происходит. В противном слу­ чае нижеследующий расчет неприменим, а отражение и прохо­

Подставляя сюда соответственные выражения для давлений и скоростей частиц, найдем, сокращая на р (t):

Число граничных условий равно числу возникающих (помимо падающей) волн — отраженной и прошедшей, так что, подбирая соответственным образом оставшиеся пока неопределенными мно­ жители и W , всегда можно удовлетворить обоим граничным условиям, причем единственным образом. И это правило общее. В других акустических задачах число граничных условий может оказаться другим. Тогда возникнет и другое число волн, но оно снова равно числу граничных условий.

В исключительных случаях удается удовлетворить граничным условиям меньшим числом волн (например, коэффициент отраже­ ния может обратиться в нуль), но никогда не бывает, чтобы при данном числе граничных условий падающая волна вызывала бы возникновение большего числа различных волн: так как равным числом волн уже можно удовлетворять граничным условиям, то получилось бы, что при одной и той же падающей волне и одних и тех же препятствиях могут возникнуть различные волновые поля, а это противоречит принципу причинности.

Система (43.1) имеет единственное решение:

падения). Мы видим, что коэффициенты отражения и прохождения зависят только от волновых сопротивлений сред, и если эти со­ противления равны для обеих сред, то для нормального падения плоской волны среды акустически неразличимы: отражение от границы отсутствует и волна проходит во вторую среду целиком, как если бы все пространство было заполнено только первой средой. Для такого полного прохождения вовсе не требуется, чтобы плот­ ности обеих сред и скорости звука в них равнялись друг другу в отдельности, т. е. чтобы совпадали механические свойства сред: достаточно равенства произведений плотности на скорость звука.

В вопросах статики более жесткой средой естественно называть среду с меньшей сжимаемостью. Поведение таких сред ближе к поведению абсолютно жесткого тела, чем поведение сред с боль­ шей сжимаемостью. В акустике сжимаемость еще не определяет того, ведет ли себя данная среда по отношению к падающей на нее волне как податливая или как жесткая граница. В акустике сле­ дует сравнивать волновые сопротивления сред, т. е. отношения плотности к сжимаемости: та из двух сред жестче, для которой это отношение больше. Это обстоятельство снова подчеркивает своеобразие волновых задач сравнительно с задачами механики тел.

Меняя местами рс и р'с', найдем коэффициенты отражения и прохождения и для волны, падающей из второй среды на границу с первой: абсолютная величина коэффициента отражения будет та же, что и при падении из первой среды, ио знак его изменится на обратный. Коэффициент прохождения изменится в отношении волновых сопротивлений сред. По абсолютной величине коэффи­ циент отражения всегда меньше единицы (что следует и прямо из закона сохранения энергии); он положителен, если волна падает из среды с меньшим волновым сопротивлением, и отрицателен

вобратном случае. Коэффициент прохождения всегда положителен

ине превосходит 2 .

Таким образом, отраженная и прошедшая волны равны:

№

Давление и скорость на границе (безразлично, с какой стороны от границы) равны:

Р + = + <43-3>

Отношение давления к скорости частиц на границе оказывается равным волновому сопротивлению второй среды рV. Это можно было предвидеть, и не делая расчета, поскольку во второй среде имеется только бегущая волна.

Из формул Френеля видно, что коэффициенты отражения и прохо­ ждения зависят не от самих значе­ ний волнового сопротивления сред,

аот их отношения. Отношение £ =

=р'с'/рс волновых сопротивлений первой и второй среды называют

относительным волновым сопроти-

‘влением. Формулы Френеля выража­ ются через относительное волновое сопротивление следующим образом:

На рис. 43.1 дан график зависимости коэффициента отражения от £. . Согласно последним формулам можно обойтись участком графика для £ < 1 (где Ѵ < 0). Значения коэффициента про­ хождения получаются прибавлением единицы к коэффициенту отражения. При £ = 1 коэффициент отражения равен нулю и волна, нормально падающая на границу раздела двух сред, про­ ходит из первой среды во вторую целиком, не отражаясь. Картина в первой среде в этом случае такая, как если бы волна полностью поглощалась границей. В этом случае достаточно возникновения только одной волны (прошедшей), чтобы, совместно с падающей, удовлетворить обоим граничным условиям. При £ > 1 коэффи­ циент отражения положителен и при £ —* оо стремится к единице.

Значения поля на границе, отнесенные к полю в падающей волне,

Эти величины всегда положительны, и их -полусумма равна единице. При £ очень малом (вторая среда акустически очень мяг­ кая по сравнению с первой, как, .например, при отражении под­ водного звука от поверхности моря) давление стремится к нулю,

133

а скорость частиц стремится к удвоенной скорости в падающей волне. При С очень большом (например, отражение воздушного звука от поверхности моря) к нулю стремится скорость частиц на границе, а удваивается давление. Предельный переход £ к нулю и к бесконечности соответствует переходу к абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границе.

Для иллюстрации сказанного приведем реальные (округлен­ ные) соотношения для прохождения звука из воздуха в воду и обратно при нормальном падении плоской волны. Для воды р =

= 42 г/см2 -сек. При падении звука из воздуха в воду £ == 3500,

потока энергии, проходящей через границу раздела, к потоку энергии в падающей волне составляет в обоих случаях 0,00114.

Таким образом, энергия передается из воды в воздух и обратно очень плохо, несмотря на то, что в первом случае давление в про­ шедшей волне практически удваивается по сравнению с падающей волной, а во втором случае удваивается скорость. Плохая пере­ дача звука из воды в воздух создала поговорку: «нем как рыба». В воздухе звуки, создаваемые рыбами, действительно обычно не слышны, но в воде «голоса» рыб и некоторых других морских животных настолько сильны, что иногда мешают действию под­ водной акустической аппаратуры.

Отношения медленностей звука во второй и в первой среде (обратное отношение скоростей звука) называют коэффициентом преломления второй среды относительно первой; будем обозначать

Свободную поверхность и абсолютно жесткую стенку можно рассматривать как границу двух сред при определенных предель­ ных свойствах второй среды. Так, свободную поверхность можно рассматривать как предельный случай стремления к нулю плот­ ности или скорости звука, что равносильно предельному пере­ ходу т —>0 или п —>оо. Абсолютно жесткая поверхность явится предельным случаем для стремления к бесконечности плотности или скорости звука во второй среде, что равносильно предельному

134

переходу т —>• оо или п —>0. Отметим, что второе условие соответ­ ствует переходу к абсолютно жесткой поверхности только для нормального падения'волны; остальные три варианта предельных переходов дадут требуемые граничные условия и для наклонного падения (см. § 55).

Если скорости звука в обеих средах равны, то

При малом различии волновых сопротивлений сред часто можно пользоваться приближенными выражениями для коэффициентов отражения и прохождения. Пусть, например, £ = 1 + е, где I е I <§( 1. Тогда, как легко видеть из (43.4), с точностью до малых первого порядка относительно е

= \ и Ж = 1 + - f .

Приведем еще несколько видов записи формул Френеля. Через статические характеристики сред — плотность и сжимаемость — коэффициенты отражения и прохождения выражаются так:

При отражении от границы двух разных газов, находящихся при одинаковом давлении,

где а = у'/у — отношение отношений теплоемкостей для обоих газов, a m — отношение молекулярных весов газов.

При отражении от границы между двумя объёмами одного и того же газа, находящимися при одинаковом давлении, но при разных абсолютных температурах (Т и Т'),

135

Если разность температур мала, то

Теперь рассмотрим энергетические соотношения при отражении и прохождении волны. Так как отраженная волна имеет ту же форму, что и падающая, а знак на энергию не влияет, то для отно­

шения плотности потока мощности в отраженной волне W к плот­ ности потока в падающей W получаем

В силу закона сохранения энергии, отношение плотности потока

впрошедшей волне W к плотности потока в падающей должно равняться

Это легко проверить и непосредственно, подсчетом потоков мощ­ ности.

Плотность потока мощности падающей волны распределяется между отраженной и прошедшей волнами в отношении

При £ -С 1 почти вся энергия отражается, и прошедшая энер­

Напротив, если £ близко к единице, то почти вся энергия про­ ходит во вторую среду, и отношение отраженной энергии к падаю­ щей оказывается равным приближенно W '/W = (£— 1)2 /4.

Все эти соотношения между долями отраженной и прошедшей энергии сохраняются, как уже было сказано, и при обращении падения волны — при падении из второй среды на первую. ,

На рис. 43.2 даны графики зависимости величин W/W и W'/W от £. Сумма ординат кривых все время равна единице, что выражает закон сохранения энергии. Кривые расположены симметрично относительно прямой, проведенной параллельно оси абсцисс на ординате 0,5. Энергия делится пополам между отраженной и про­ шедшей волнами при относительном волновом сопротивлении

£ = 3 ± 2 У 2, т. е. при £, равном приближенно 5,83, и при £=

=1/5,83 = 0,172.

Взаключение этого параграфа выясним, как меняется частота гармонических волн при отражении и прохождении на границе двух сред, движущейся относительно самих сред, остающихся

136

в покое. 'Примером такой акустической ситуации является отра­ жение и прохождение волн на фронте ударной волны в газе, где акустические характеристики среды по обе стороны фронта раз­ личны. Другой пример — распространение звука в стержне, на­ половину погруженном в жидкость, при изменении уровня воды: на погруженном участке стержня акустические свойства стержня несколько изменяются в результате реакции окружающей среды, так что граница между участками с разными свойствами пере­ мещается относительно среды вместе с уровнем.

Рассматриваемая задача — вариант известного из общего курса физики вопроса о допплеровском сдвиге частоты — изменении частоты принимаемого звука при движении источника или прием­ ника относительно среды. Напом­ ним формулы для этого сдвига частоты для случая движения источника или приемника вдоль соединяющей их прямой. Обозна­ чим частоту колебаний источника звука через со, а скорость прием­ ника или источника — через Ü (положительной будем считать скорость, увеличивающую рас­

стояние между источником и приемником). Тогда, как легко полу­ чить из чисто кинематических соображений, при движении прием­

точника или приемника звука. Различие в сдвиге частоты при оди­ наковой относительной скорости источника и-приемника вызвано тем, что оба случая различны по отношению к абсолютной аку­ стической системе координат (см. § 1 ).

Для нахождения сдвигов частот при отражении и прохождении напишем граничные условия равенствадавлений и скоростей частиц

где 2 = Ut.

137

Для того чтобы граничные условия оставались выполненными в любой момент времени, требуется, чтобы экспоненты тожде­ ственно равнялись друг другу для z = Ut. Выполняя эту подста­ новку, найдем

ницы относительно первой и относительно второй среды. На ве­ личине коэффициентов отражения и прохождения движение гра­ ницы при неподвижности самих сред не сказывается.

Полученные формулы можно рассматривать как комбинации формул для движущихся источника и приемника: граница «при­ нимает» колебания, причем частота меняется, как при движении приемника, а затем «переизлучает» эти колебания, что дает изме­ нение частоты, как при движении источника. Это представление находится в соответствии с картиной вторичных волн. Гюйгенса, также известной из общего курса физики.

§ 44. Плавное изменение свойств среды. Лучевая картина

Мы рассмотрели отражение и прохождение звука при скачко­ образном изменении свойств среды — при резкой границе между средами с различными акустическими свойствами. При нормальном падении коэффициенты отражения и прохождения определяются в этом случае только отношением волновых сопротивлений сред по обе стороны от границы. Даже если переход от одного волно­ вого сопротивления к другому происходит не скачком, а непре­ рывно, но на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны, коэффициенты отражения и прохождения остаются практически такими же, как и при скачке.

Но картина' совершенно меняется, если переход происходит плавно, на расстоянии настолько большом, что относительное приращение волнового сопротивления на расстоянии одной длины волны очень мало по сравнению с единицей. Отражение от такой переходной области оказывается ■малым; оно тем меньше, чем меньше изменение волнового сопротивления на расстоянии одной длины волны, т. е. чем длиннее переходная область, и в пределе, при изменении волнового сопротивления на одной длине волны, стремящемся к нулю, отражение стремится к нулю, волна^ пере­ ходит от одного значения волнового сопротивления к другому без отражения, как при распространении в однородной среде.

Вэтом случае обычно говорят не о двух средах с переходным слоем,

аоб одной неоднородной среде.

Такой плавный переход можно рассматривать при заданной частоте звука как предельный случай бесконечно плавного изме­ нения свойств среды, а при заданной степени неоднородности

138

среды — как предельный случай звука бесконечно высокой ча­ стоты (бесконечно малой длины волны):

То обстоятельство, что результат изменения свойств среды зависит от плавности этого изменения и что при достаточно плавном изменении свойств волна «не замечает» этого изменения, отнюдь не тривиально. Противоположный пример — вкатывание шарика вверх по наклонной плоскости: какой бы пологой ни делать на­ клонную плоскость, шарик, начавший вкатываться с определенной скоростью, достигнет всегда лишь некоторой определенной высоты. При любой плавности-подъема шарик «запоминает» испытываемое им изменение высоты и оно сказывается на его скорости. Волна же, бегущая в плавно меняющейся среде, «забывает» встречаемое ею на пути распространения изменение волнового сопротивления среды.

Выясним механизм этого «забывания». Пусть гармоническая плоская волна бежит в среде, волновое сопротивление которой зависит от одной координаты — расстояния, отсчитываемого вдоль направления распространения волны. Среды, свойства которых зависят только от одной координаты, называют слоисто-неодно­ родными. Разобьем мысленно данную слоисто-неоднородную среду на множество тонких (по сравнению с длиной волны) плоскопарал­ лельных слоев, перпендикулярных к направлению распростра­ нения; будем считать среду однородной в пределах каждого та­ кого слоя и изменяющей свои свойства малым скачком при пере­ ходе от одного слоя к другому. При достаточной малости скачков поведение волны в такой среде будет таким же, как и в действи­ тельной среде.

Волна, бегущая в каком-либо слое, попадая на ближайшую границу, частично отразится и частично пройдет в следующий слой. Как мы видели в предыдущем параграфе, коэффициент отражения от границы, на которой происходит малое изменение относитель­ ного волнового сопротивления е, равен приближенно е/2 . Значит поток мощности, уносимый отраженной волной от этой границы — малая величина второго порядка (она составляет долю в е2/4 от потока мощности в падающей волне) и прохождение через гра­ ницу — почти полное. Точно так же и прохождение через вторую границу,— почти полное, и поток мощности в отраженной от нее волне— малая величина второго порядка; то же происходит и на третьей, четвертой и т. д. границах.

Но чтобы найти поток мощности в суммарной отраженной волне, недостаточно сложить потоки от отдельных отражений на последовательных границах: энергии волн одной и той же ча­ стоты, бегущих в одном и том же направлении, не аддитивны. Необходимо сначала сложить эти волны, а лишь затем вычислять поток мощности волны суммарной 'амплитуды. Выполним такое сложение. При этом будем пренебрегать последующими отраже­ ниями однократно отразившихся волн: их амплитуда будет иметь второй и более высокий порядки малости по малой величине е.

139