книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Слагаемые в (39.13) соответствуют слагаемым в скобках в (39.9). Первое слагаемое в обеих формулах дает постоянную мощность, производящую накапливающуюся с течением времени работу; это так называемая активная мощность процесса. Второй член, дающий в среднем по времени нуль, называют реактивной мощ­ ностью. Соответственно компоненты ѵ' и ѵ" называют активной и реактивной компонентами величины ѵ относительно величины р, принятой за основную. Можно было бы принять за основную ве­ личину V и тогда представить р в виде суммы активной и реактив­ ной составляющих относительно ѵ. Модуль активной компоненты каждой величины относительно второй из них равен амплитуде, умноженной на косинус угла сдвига фаз между величинами. Этот косинус равен отношению активной мощности к амплитуде реак­ тивной мощности.

При комплексной записи часто удобно вводить импеданс — отношение Z величин р и ѵ:

Z — ріѵ.

Импеданс гармонического процесса — в общем случае комплекс­ ная величина, не зависящая от времени. Средняя мощность про­ цесса простым образом выражается через вещественную часть импеданса и амплитуду скорости. В самом деле, в общем слу­ чае (39.8)

и вещественная часть импеданса равна Re Z = p 0/v Qcos cp, откуда, пользуясь (39.10), непосредственно получаем

Согласно (22.5) вектор скорости частйц в гармонической зву­ ковой волне можно представить в виде .суммы

Первое слагаемое имеет мнимость, отличную от давления, а вто­ рое— ту же мнимость, что и давление. Отсюда видно, что про­ странственное изменение амплитуды колебаний в волне не дает вклада в средний поток мощности, и он определяется только гра­ диентом фазы и направлен вдоль этого градиента. Средний вектор плотности потока мощности равен

1 2 0

Например, в бегущей плоской гармонической волне ye .= k и, следовательно,

(что, конечно, можно было получить и непосредственно из соот­

вектор потока средней мощности направлен вдоль вещественной

При изменении угла скольжения от 90° до нуля при неизменной амплитуде давления излучаемая в направлении оси z мощность падает от своего максимального значения до нуля, изменяясь по закону sin Ѳ (рис. 39.1, а). Таким образом, при заданной ампли­ туде давления на плоскости наиболее эффективно излучение, перпендикулярное к плоскости, — поршневое излучение.

При | > k нормальная скорость оказывается разной мнимости с давлением. Поэтому средняя излучаемая энергия в этом случае равна нулю: бесконечная плоскость, вдоль которой бежит синусои­ дальная волна давлений, ничего не излучает, если скорость бега волны меньше скорости звука в среде (длина волны возмущения на плоскости меньше длины волны звука той же частоты в среде).

121

Г Л А В А V

ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ п л о с к и х ВОЛН ПРИ НОРМАЛЬНОМ ПАДЕНИИ

§40. Отражение и прохождение звука

Впредыдущих главах мы изучили поведение плоских волн, бегущих в неограниченной однородной среде. В дальнейшем нам придется изучать распространение волн в частично или пол­ ностью ограниченных средах. В качестве первого шага к этим задачам в ближайших двух главах выясним, что происходит, когда на пути волны находится плоское однородное препятствие.

Препятствием может служить жесткая стенка, граница с другой средой, граница с вакуумом и т. п. Границу препятствия будем считать резкой. Заметим, что это не обязательно означает реальный скачок свойств в молекулярном масштабе, как на границе двух разных сред; переход от свойств среды к свойствам препятствия, происходящий непрерывно в слое, тонком по сравнению с длиной волны, действует на волну, падающую на препятствие, так же, как и резкий скачок свойств. Поведение волны, падающей на пере­ ходный слой большой толщины, рассмотрим в § 44.

Препятствие вызывает в среде появление отраженной волны, бегущей навстречу падающей; в силу симметрии волна, отражен­ ная от плоского однородного препятствия, также плоская. Если препятствие — это другая однородная среда, то в ней возникает еще и третья волна — прошедшая волна, также плоская.

Свойства препятствия налагают определенные требования на давление и скорость частиц у границы препятствия. Это — гранич­ ные условия (см. § 1 2 ), которым должно удовлетворять суммарное поле падающей и отраженной волн. Например, на границе с ва­ куумом суммарное давление падающей и отраженной волн должно равняться нулю; на границе с абсолютно жесткой стенкой должна равняться нулю нормальная компонента суммарной скорости частиц и т. п. Если препятствие — другая среда, то граничные условия связывают значения суммарного поля на границе в пер­ вой среде с полем прошедшей волны во второй среде.

Наконец, как отраженная, так и прошедшая волны должны уносить звуковую энергию от препятствия. Как увидим в § 42, это требование не всегда удовлетворяется тривиальным образом. При выполнении всех указанных требований отраженная и про­ шедшая волны оказываются определенными однозначно.

123

Наша задача заключается в отыскании отраженной и прошед­ шей волн по известным свойствам препятствия для любой падаю­ щей волны. В этой главе рассмотрим только простейший случай нормального падения плоской волны на препятствие. Это — одно­ мерная задача: все величины в волне зависят только от одной коор­ динаты (например, z). Падающую волну можно в этом случае

записать в виде р (t — z/c), а отраженную — в виде р (t -f- zlc).. Если препятствием является другая среда, скорость звука в кото­ рой равна с', то возникающую прошедшую волну можно записать в виде р' (t — zlc’).

Поскольку задача одномерная, то все результаты, которые получим ниже, можно будет перенести на другие одномерные случаи (отражение и прохождение волн на струне, в трубе, за­ полненной жидкостью, и т. п.), характеризуя препятствия, рас­ полагаемые на пути волны, соответственным способом в каждом случае. Об этом будет подробнее сказано в § 51.

§ 41. Отражение от идеальных границ. Метод мнимых изображений

Простейшие виды препятствий — это «свободная граница» (абсолютно мягкая поверхность) и «закрепленная» граница (абсо­ лютно жесткая поверхность). Такие границы будем называть

идеальными.

Пусть свободная граница совпадает с плоскостью z == 0. Гра­ ничное условие требует, чтобы в этой точке обращалась в нуль

сумма давлений в падающей и отраженной волне: р (t) + р (t) — 0 . Следовательно,

р('+-г) = -р(' + ѵ)- HU)

Волна давлений отражается от свободной границы, не меняя зави­ симости от времени, но изменив знак на обратный. При этом про­ странственное распределение давления вдоль оси z изменяется на зеркально обращенное, так как отраженная волна бежит на­ встречу падающей. Скорости частиц в обеих волнах равны соот­ ветственно

(41.2)

так что волна скоростей отражается от свободной границы также без изменения формы, но, в отличие от волны давления, и без изме­ нения знака. Отсюда следует, что суммарная скорость частиц на свободной границе вдвое больше скорости в падающей волне.

Найденная нами отраженная волна вместе с падающей обра­ щают давление в нуль в точке z = 0 , в то время как граничное

124

условие требует-обращения давления в нуль на самой свободной поверхности, которая под действием падающей волны колеблется вблизи точки г = 0, а не совпадает с ней все время. Значит, при нахождении отраженной волны мы делаем некоторую ошибку, относя граничное условие к поверхности препятствия в отсутствие волны. Такую же ошибку будем делать и во всех других случаях более или менее податливых препятствий. Однако это ошибка того же порядка, что и допускаемая при линеаризации уравнения движения или уравнения непрерывности: она заключается в пренебрежении изменением той или иной величины, характери­ зующей волну, на расстоянии, равном перемещению частиц в волне. Пока волны можно вообще рассматривать в линейном при­

поле стоячей волны с амплитудой давления 2 и с узлом на гра­ нице. В вещественной записи

V4- V= — 2 cos kz cos сat.

1 pc

Амплитуда давления и амплитуда скорости частиц распре­ делены в суммарном поле по закону косинуса. Пространственное распределение амплитуд давления сдвинуто относительно распре­ деления амплитуд скоростей на четверть волны к границе.

Практически свободной можно считать границу твердой или жидкой среды не только с вакуумом, но и с газом, если только давление газа не слишком велико (требуется, чтобы плотность газа была мала по сравнению с плотностью конденсированной среды). Такова, например, для подводного звука свободная поверхность воды (например, в море). При нормальном падении звука из воды на свободную поверхность результирующее давление на границе с атмосферой меньше 0,0006 от давления в падающей волне, что практически всегда пренебрежимо мало. В газе осуществить сво­ бодную' границу для плоской волны нельзя.

Для абсолютно жесткой границы в нуль должна обращаться суммарная нормальная скорость частиц границы: —— р (f) —

=0. Значит,

т.е. волна давлений отражается, не меняя ни формы, ни знака. Давление на границе оказывается удвоенным по сравнению с дав­

125

лением в падающей волне. Волна скорости частиц при этом, отражается без изменения формы, но с обратным знаком.

Для гармонической волны р = еікг, падающей на жесткую границу, отраженная волна есть р — е~ікг, іг суммарное поле представляется в виде

р + р = 2 cos kz cos Cö /,

V-f V — 2 sin fersin со/ = 2 cos ( f e ---- cos ^co/ — .

Поле снова есть стоячая волна с удвоенной амплитудой. На гра­ нице оказывается пучность давлений. Распределение давлений сдвинуто относительно распределений скоростей на четверть волны от границы назад.

Реальное осуществление абсолютно жесткой границы для жид­ костей и для твердых сред весьма затруднительно. Абсолютно жестких тел в природе нет — речь может идти только о большей или меньшей жесткости ограничивающей среды по сравнению со средой, в которой распространяется звук. Для газов при нор­ мальном давлении, ввиду большого различия плотностей, по край­ ней мере при не слишком «скользящем» падении волны, границу с жидкостью или твердым телом с достаточной степенью точности можно считать абсолютно жесткой; практически это значит, что на такой границе нормальная компонента результирующей ско­ рости частиц много меньше этой компоненты в, падающей волне. В самом деле, например, для нормального падения звука из воз­ духа на водную поверхность результирующая скорость частиц у границы (а значит, и скорость границы) меньше, чем 0,0006 скорости частиц в падающей волне.

Отражение от идеальных границ часто бывает удобно интер­ претировать при помощи метода мнимых изображений. Пусть тре­ буется найти звуковое поле, создаваемое заданными источниками звука в среде, занимающей полупространство, ограниченное абсолютно жесткой плоской стенкой. Мысленно уберем стенку, заполним второе полупространство той же средой и разместим во втором полупространстве в симметричных относительно стенки точках такие же источники звука, как и в данном, как бы зер­ кально отразив их в плоскости стенки. Старые и новые источники вместе создадут в получившейся неограниченной среде поле, сим­ метричное относительно плоскости стенки. Поэтому на плоскости симметрии нормальные скорости частиц будут равны нулю. Но это и есть условие абсолютной жесткости стенки — следова­ тельно, поле в данном полупространстве осталось таким" же, как и при наличии стенки.

Зеркально отраженные источники называют мнимыми источ­ никами, а прием замены поля в ограниченном пространстве полем в неограниченном пространстве, создаваемом помимо заданных источников еще и мнимыми источниками, называют методом мни­ мых изображений. Отраженная волна — это поле, создаваемое

126

в исходном полупространстве мнимыми источниками, расположен­ ными во втором полупространстве.

Аналогично задачу о поле в полупространстве, ограниченном абсолютно мягкой стенкой, можно заменить задачей о поле в без­ граничном пространстве, но в этом случае мнимые изображения должны работать в противофазе с данными источниками, созда­ вая в точках плоскости стенки давления, равные по величине и про­ тивоположные по знаку давлениям, создаваемым действительными источниками. Например, подводный источник звука создает в море такое же поле, какое создавали бы в безграничном водном про­ странстве данный источник и его отражение в водной поверхно­ сти, работающее в противофазе.

Эхо, слышимое при отражении звука от стены, можно рас­ сматривать как звук, пришедний от мнимого источника, распо­ ложенного в симметричной точке позади стены, при условии, что стена была бы убрана. Запаздывание эхо относительно исходного звука — это как раз время, требующееся для пробега звука от мнимого источника (двойное расстояние до стенки).

Найденные нами волны, отраженные абсолютно мягкой и абсо­ лютно жесткой стенками можно рассматривать как мнимые зер­ кальные изображения падающей волны в абсолютно мягкой и в абсолютно жесткой стенке.

Пусть в неограниченной среде имеется расположение источ­ ников, симметричное относительно некоторой плоскости. Тогда эту плоскость можно считать абсолютно жесткой границей. Пожа­ луй, это единственный случай реального осуществления идеально жесткой плоской границы. Следует, конечно, иметь в виду, что граница является абсолютно жесткой только для данного поля, и при нарушении строгой симметричности источников плоскость симметрии перестает быть идеальной границей. Аналогично, плоскость симметрии, разделяющая симметричные источники, работающие в противофазе, можно считать для данного поля сво­ бодной поверхностью. В таком поле «свободная» поверхность осуществляется и для газа.

§ 42. Правильное отражение. Отражение гармонических волн

При неидеальной границе отраженная волна'может иметь дру­

гой профиль, чем падающая, т. е.. функции р и р могут разли­ чаться. Если различие состоит только в постоянном множителе, так что для препятствия, расположенного в точке z = О,

то отражение называют правильным, а величину ЧУ— коэффициен­ том отражения. Точно так же, если препятствие образовано дру­ гой средой и профиль прошедшей волны отличается от профиля

127

падающей только постоянным множителем, так что

то прохождение также называют правильным, а величину W — коэффициентом прохождения. При неправильном отражении поня­ тия коэффициентов отражения и прохождения неприменимы.

Если препятствие расположено не в начале координат, а в точке z = z0, то правильно отраженная волна есть

p = <Wp(t + ^ p L ) ,

а правильно прошедшая

Величина 2z jc есть добавочное время пробега отраженной волны по сравнению с отражением от границы, расположенной в точке z = 0. Для прошедшей волны соответственная величина

равна

Свободная граница и жесткая стенка дают, как мы видели, правильное отражение для волн любой формы. Коэффициент отражения для свободной границы равен— 1 , а для жесткой стенки + ]. "

Если отражение правильное, то можно ввести понятие коэффи­ циента отражения и коэффициента прохождения и для скорости частиц, совершенно аналогично тому, как выше он был введен для давления. Коэффициент отражения для скорости частиц равен по модулю и противоположен по знаку коэффициенту отражения для давления.

Замечательным свойством монохроматических плоских волн в их комплексном представлении является то, что их отражение от линейных плоских препятствий всегда правильное. Препятствие называют линейным, если для него отражение суммы любых двух волн равно сумме отражений для этих двух волн в отдельности и отражение любой волны, умноженной на любую постоянную, равно отражению данной волны, умноженному на ту. же по­ стоянную.

Выведем это свойство гармонических волн. Пусть падающая волна р = р ( t — zlc) при отражении превращается в некоторую волну р (/ + г/с). Тогда, в силу линейности препятствия, падаю­ щая волна вида dpldt должна превратиться при отражении в волну dpldt, а падающая волна вида —шр превратится в отраженную вида — шр. Но для гармонической волны dpldt = —шр. Значит,

dpldt = —ісор, откуда находим, что временная зависимость отра­ женной волны действительно имеет тот же вид, что и в падаю­

щей волне, т. е. отраженная волна должна иметь вид р = = <2 / ехр (—ш / — ikz), где коэффициент Ѵ определяется свойствами данного препятствия и, вообще, частотой ш волны.

Форма гармонической волны сохраняется при .отражении только при комплексном представлении волн. Действительно, если коэффициент отражения есть комплексное число, Ѵ = \аѴ \е~и , то, переходя к вещественной записи, найдем, что падающей волне р = cos (со/— kz) соответствует отраженная волна вида

р = \ °17\ cos (со/ + kz + е) =

= \ с17\ [cos е cos (со/ + kz) — sin е sin (со/ + kz) ].

Таким образом, строго говоря, в этом случае не сохраняет свою форму и гармоническая волна; однако нарушение формы сводится только к сдвигу по фазе по отношению к падающей волне. При комплексном же представлении сдвиг фазы нарушением формы не считают: его относят к коэффициенту отражения и отражение считают правильным.

Рассматривать гармонические волны (в комплексном пред­ ставлении) в задаче об отражении очень удобно, так как отражение всегда получается правильное. Но сама постановка задачи об,-^. отражении гармонических волн отличается от случая падения волны произвольной формы, например ограниченного импульса. В самом деле, пока ограниченный импульс не достиг препятствия, он бежит так, как если бы препятствия не было. Когда импульс достигнет препятствия, вблизи границы возникнет некоторое слож­ ное звуковое поле, зависящее от граничных условий; это — про­ цесс отражения. Через некоторое время падающая волна исчезнет и перед препятствием останется только одна бегущая от препят­ ствия отраженная волна. Таким образом, до отражения имеется только падающая волна, а после отражения — только отражен­ ная. Падающую волну можно считать причиной, а отраженную — wedcmeueM в таком же смысле, как камень, падающий в воду, можно считать причиной всплеска.

Для гармонической волны положение другое: нет моментов, когда существовала бы только падающая или только отраженная волна, — гармонический процесс не имеет ни начала, ни конца и «принцип причинности» не работает. Задача об отражении форму­ лируется для этого случая так: две гармонические волны, одна —