книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

плоскости также будут не равны: большее значение будет иметь волна, создаваемая нормальными скоростями.

Такое положение вещей делается наглядным при помощи уже примененной в § 33 интерпретации спектра как результата сече­ ния плоской волны плоскостью. При повороте секущей плоскости амплитуда распределения давления на плоскости не меняется, а амплитуда распределения нормальных скоростей убывает про­ порционально синусу угла скольжения волны относительно этой плоскости. Поэтому для получения прежней амплитуды нормаль­ ной скорости приходится увеличивать амплитуду плоской волны в отношении 1/sin Ѳ.

Приведем еще формулы, дающие разложение поля, создавае­ мого в полупространстве периодическим распределением нор­ мальных скоростей на плоскости. Если на плоскости г = 0 задано, например, двоякопериодическое распределение нормальных ско­

+ inr\y + i V k 2— (m lf — (nri)2 z].

По сравнению с относительными значениями отдельных членов разложения Фурье на плоскости, в амплитудах спектров оказы­ ваются подчеркнутыми более высокие номера: увеличение ампли­ туды тем больше, чем меньше угол скольжения данного спектра.

При создании волны в полупространстве заданным распреде­ лением нормальных скоростей на ограничивающей плоскости, так же как и при создании поля распределением давлений, весь набор спектров распадается на ближнее поле, состоящее из неодно­ родных волн, и на поле, излучаемое плоскостью в виде однород­ ных распространяющихся волн. С таким разбиением поля на две части, ведущие себя по-разному, приходится иметь дело, в част­ ности, в вопросах излучения звука вибрациями протяженных кон­ струкций, например обшивок кораблей (излучение подводного звука), фюзеляжа самолетов, кожухов механизмов и т. п. Во всех этих случаях излучение в окружающую среду создается нормаль­ ными смещениями этих больших поверхностей, а вследствие боль­ шой величины этих поверхностей по сравнению с длинами волн нормальных смещений оценку излучаемого звука можно провести, 'считая поверхность плоской.

В большинстве случаев нормальные смещения создаются изгибными волнами, бегущими по поверхности. Но изгибные волны обладают, как мы видели, большой дисперсией, и низкочастотные ■изгибные волны имеют малую фазовую скорость. Если скорость

100

этих волн меньше скорости звука той же частоты в окружающей среде, то они создадут только ближнее поле, и вдали, оно не будет заметно. Только волны, бегущие быстрее, чем волны в среде, дадут заметное излучение, которое может быть принято на боль­ шом расстоянии от колеблющейся поверхности. Если, например, речь идет о шумопеленгации, т. е. об обнаружении корабля с боль­ шого расстояния по его звуку, который в значительной части создается вибрациями обшивки, то неоднородные спектры не будут играть роли и нужно учитывать только сравнительно высо­ кочастотную часть вибраций, соответствующую изгибным волнам, бегущим быстрее звука в воде. Но, например, в вопросах действия корабля на подводную акустическую мину, приводимую в дей­ ствие низкочастотным звуковым полем корабля, проходящего поблизости от мины, существенно именно ближнее поле.

Интересна особенность волн на слегка изогнутых поверхно­ стях. На плоской пластине нормальные смещения создаются прак­ тически только изгибными волнами. Но на изогнутой пластине нормальные смещения создают и волны продольного типа, хотя эти смещения, как правило, малы по сравнению со смещениями

визгибных волнах, вызываемых теми же силами, приложенными

кпластине. Однако волны продольного типа бегут с большой скоростью, большей, чем скорость звука в воздухе или в воде.

Поэтому соответственные спектры всегда распространяющиеся, и, несмотря на то, что вибрации поверхности, вызываемые вол-- нами продольного типа, малы по сравнению с вибрациями в изгиб­ ных волнах, продольные волны могут давать решающий вклад

всуммарное поле излучения. Ближнее же поле всегда создается

восновном изгибными волнами.

§ 35. Волны, модулированные по фронту

Иногда плоская волна изменяется так, что фронты волны оказы­ ваются модулированными: либо поверхности равных фаз оказы­ ваются не плоскими, а волнистыми, либо амплитуда волны вдоль фазового фронта оказывается переменной. Так бывает, например, после прохождения плоской волны через дифракционную пла­ стинку, образованную полосами с разной степенью прозрачности для звуковой волны (амплитудная модуляция), либо после отра­ жения волны от волнистой поверхности (фазовая модуляция). Важный пример модуляции фронта световой волны— прохожде­ ние ее через ультразвуковой пучок: ввиду изменения коэффициента преломления при сжатиях и растяжениях среды световая волна оказывается модулированной по фронту как по амплитуде, так и по фазе. Модуляция света на ультразвуке позволяет изучать визуально структуру звуковых пучков.

Итак, может оказаться, что на некоторой плоскости, которая в отсутствие возмущений совпадала бы с плоскостью фронта дан­ ной гармонической волны, поле окажется неравномерным. Огра­

101

ничимся случаем периодической неравномерности. В силу прин­ ципа суперпозиции можно представить картину на этой плоскости как сумму равномерного распределения (постоянная составляю­ щая разложения возмущения в ряд Фурье) и периодически рас­ пределенных возмущений разных длин волн (высшие компоненты разложения).

Можно, применяя изложенный выше метод, определить дальнейшую судьбу волны. Постоянная составляющая даст нулевой спектр. Остальные составляющие будут вести себя по-разному. Составляющие, длина периодичности которых на плоскости больше длины волны в среде, образуют спектры, кото­ рые побегут по направлениям, отличным от направления распро­ странения исходной волны («боковые спектры»). Мелкая же струк­ тура, образованная компонентами возмущения с длинами волн, меньшими длины волны в среде, даст начало только неоднород­ ным волнам, которые затухнут вблизи от рассматриваемой пло­ скости и вдали от нее вообще сказываться не будут.

Если все периодические составляющие возмущения имеют длину волны, меньшую длины волны звука, то они выровняются уже на малом расстоянии, и вперед побежит волна, очищенная от всех этих возмущений. Так, например, волна, отраженная от стенки, изогнутой по синусоиде с длиной волны, меньшей длины волны звука, отражается от стенки как от абсолютно гладкого зеркала. Искажение волны заметно только в «ближнем поле» — вблизи от стенки, где неоднородные спектры еще не успели за­ тухнуть.

§ 36; Волны комплексных частот

Помимо неоднородных плоских волн, приведем для полноты и другие обобщения гармонических волн, которыми также удобно пользоваться в комплексной записи. Так, легко проверить прямой подстановкой в (2 2 .2 ), что при a>/k = с

есть свободная волна. Из физических соображений ясно, что т] должно быть положительным, иначе волна нарастает с течением времени неограниченно. Однако при положительном т] волну нельзя рассматривать для любых отрицательных моментов вре­ мени, так как она безгранично растет при t —>—оо. Таким обра­ зом, эту волну можно рассматривать только в полубесконечном временном интервале, начинающемся с некоторого определенного момента времени. В этом— аналогия волны (36.1) с волной, неоднородной по пространству, которую можно рассматривать только в полубесконечном пространстве.

Волну (36.1) можно считать гармонической, с комплексной ча­ стотой со = со ( 1 — іт)) и комплексным волновым числом k =

102

= k (1 — іт]) «той же комплексности» *). В вещественном пред­ ставлении волна имеет вид

осциллятора еще была велика.

Интересно, что такая же картина имеет место вдали от источ­ ника звука не только для плоской волны, но и в пространственном случае излучения сферической волны (например, для звука удара’ колокола). В этом случае, хотя амплитуда и убывает при удалении от источника вследствие расхождения волн (убывание по степен­ ному закону обратно пропорционально расстоянию от источника), но это убывание перекрывается указанным выше экспоненциаль­ ным нарастанием (ср. § 89).

Наконец, рассмотрим наиболее общий случай: неоднородные по пространству волны комплексной частоты. Такую волну можно

волновой вектор. Подставляя (36.2) в (22.2), получим условие, связывающее со, т), % и а:

ношениям, то (36.2) действительно представляет собой свободную волну в данной среде.

Согласно формуле (22.5) скорость частиц в такой волне равна

; + і а

Vр (со — ІТ]) Р-

*) «Одинаковая комплексность» двух чисел означает, что их отношение веще­

ственное.

103

Следовательно, движение частиц в волне происходит в плоскости, параллельной векторам § и а. В каждой такой плоскости можно указать четыре характерных направления: а) направление бы­ стрейшего изменения фазы, параллельное вектору §; б) направле­ ние фронта, вдоль которого фаза не меняется, перпендикулярное к вектору I; в) направление быстрейшего изменения амплитуды, совпадающее с направлением вектора се; г) направление, вдоль которого амплитуда не меняется, перпендикулярное к вектору се (рис. 36.1).

постоянства амплитуды.

Вотличие от неоднородной волны с вещественной частотой,

вволне вида (36.2) направления быстрейшего изменения ампли­ туды и фазы не составляют прямого угла, а ось, вдоль которой

Найдем вектор скорости перемещения волны (36.2) как твер­ дого тела. Обозначим этот вектор -у. Очевидно, должно выполняться

Вектор у должен представлять собой линейную комбинацию векторов |, а, т. е. у = а | + Ьа, где а и b — пока неизвестные постоянные. Умножая обе части этого выражения на | и на а, получим, учитывая (36.4),

104

ЭНЕРГИЯ З В У К О В Ы Х в о л н

§ 37. Звуковая энергия

Создавая звуковую волну в покоящейся среде, мы сообщаем частицам среды кинетическую энергию и изменяем их внутреннюю энергию. Найдем плотность дополнительной энергии в волне по отношению к невозмущенному состоянию.

Плотность кинетической энергии частиц в волне равна

где р — плотность частицы, а ѵ — ее скорость. Плотность кине­ тической энергии— квадратичная величина относительно возму­ щения среды. Плотность частиц можно считать равной невозму­ щенной плотности среды. Погрешность будет третьего порядка малости по отношению к малому возмущению, что приведет к отно­ сительной ошибке того же порядка, что и при линеаризации урав­ нений гидродинамики; следовательно, такое приближение допу­ стимо.

Вопрос о плотности внутренней энергии более сложен: только часть изменения этой энергии связана с звуковой волной. Рас­ смотрим, например, поршень, входящий в трубу, заполненную газом и закрытую со второго конца. При вдвигании поршня он совершит над газом положительную работу и, значит, увеличит внутреннюю энергию газа; при выдвигании поршня работа будет отрицательной, и энергия газа уменьшится. Работу А, совершае­ мую поршнем и равную изменению внутренней энергии, можно

вобоих случаях выразить формулой

А= —Р ÖQ,

где Р — давление газа в трубе, а 6 ß — приращение объема газа при перемещении поршня (отрицательное при вдвигании поршня и положительное при выдвигании). Таким образом, плотность внутренней энергии, сообщенной газу, равна

где Q — объем трубы, a s — среднее сжатие газа. Мы пренебре­ гали изменением давления в трубе при смещении поршня, считая

106

сжатие малым; найденная добавочная внутренняя энергия ли­ нейно зависит от возмущения.

Легко видеть, однако, что этот линейный добавок не имеет ни­ какого отношения к звуковой волне. В самом деле, будем мы вдви­ гать поршень быстро или медленно, рассчитанное выше прираще­ ние внутренней энергии будет одинаково, хотя в первом случае вдоль трубы побежит звуковая волна, а во втором случае весь объем просто испытает равномерное сжатие. Нас же интересует часть энергии, связанная со звуковой волной, в которой среда сжата всегда неравномерно. Поэтому поставим задачу по другому:

среды в целом не меняется. Для этого рассмотрим трубу с поршнем внутри нее, заполненную газом и закрытую с обоих концов, так что суммарный объем газа сохраняется неизменным. Сместив поршень, сожмем газ в одной части трубы и разредим его в другой. Изменения внутренней энергии в обеих частях трубы окажутся, согласно (37.2), равными по абсолютной величине и противополож­ ными по знаку. Такой расчет даст для суммарной добавочной энер­ гии нуль.

Этот явно ошибочный результат получился потому, что мы, как и выше, не учли изменений давления в обеих частях трубы при перемещении поршня. В действительности эти изменения создадут разность давлений по обе стороны поршня и работа будет произ­ водиться против результирующей сил этих давлений. Энергия, сообщенная газу, и будет равна этой работе. Добавочная энфгия — квадратичная величина по отношению к возмущению, поскольку и смещение поршня, и изменение давления -— величины линейные. Полученный выше нулевой результат относится только к линей­ ным членам, которые, как теперь видно, соответствуют только перераспределению между обеими частями трубы уже имевшейся ранее в газе энергии: в одной части трубы энергия увеличится настолько же, насколько в другой уменьшится.

Найдем интересующую нас квадратичную добавку к энергии. Пусть вначале поршень располагался посередине трубы. Тогда приращения давления можно считать в обеих частях трубы оди­ наковыми по величине и отличающимися только знаком (более точный расчет учитывал бы уже и члены третьего порядка, кото­ рыми мы будем пренебрегать, как и выше, при определении кине­ тической энергии).

Давление в одной половине трубы изменится от Р до Р + р, а во второй — от Р до Р — р. При малом перемещении, поршня можно принять с достаточной степенью точности, что работа про­ изводится на всем перемещении против среднего давления для

каждой половины трубы; против давления Р + р в одной поло­

вине и іпротив давления Р ---- р в другой половине. Таким

107

образом, суммарная работа выразится формулой

А = - ( Р 4 - 1 р ) б й + ( Р - 1 р ) б Й = -рбЙ .

Линейные члены, соответствующие перераспределению энер­ гии, сокращаются. Квадратичные члены положительны для обеих половинок трубы, они и дают добавку энергии, вызванную нерав­ номерностью сжатия среды. Сокращающиеся линейные члены мы впредь рассматривать не будем и будем условно приписывать каж­ дой половинке трубы в качестве приращения внутренней энергии только эту квадратичную добавку. Суммарное приращение энер­ гии окажется найденным правильно, а перераспределение энергии никакой дополнительной работы не требует и из рассмотрения вообще выпадает.

Таким образом, плотность (условную в указанном смысле) внутренней энергии в каждой половинке трубы можно записать в виде

где ß — сжимаемость среды. Обратим внимание на то, что в не­ сжимаемой среде (ß = . 0 ) внутренняя акустическая энергия равна нулю.

Если суммарный объем интересующей нас массы газа меняется, то, разумеется, необходимо учитывать и линейный член: в этом случае он не будет равен нулю. Интересно рассмотреть пример, связанный с оценкой энергии, выделяющейся при взрыве. Про­ дукты взрыва вытесняют атмосферный воздух и, расширяясь до атмосферного давления, производят работу, равную этому атмо­ сферному давлению, умноженному на объем продуктов взрыва. Это как раз и есть линейная часть энергии, выражаемая через объем продуктов взрыва.

Известен рассказ, что Энрико Ферми оценил энергию первого взрыва атомной бомбы в Аламогордо, наблюдая, насколько снесло звуковой волной, пришедшей от взрыва, бумажки, которые он выпускал из рук, давая им свободно падать в ожидании прихода волны. Такую оценку можно произвести следующим образом. Смещение I бумажки соответствует перемещению полусфериче­ ского слоя атмосферы, находящегося от взрыва на расстоянии, которое обозначим г. Значит, суммарный объем, вытесненный взрывом, составлял 2ягг/. Это приращение объема нужно умножить на атмосферное давление Р — в результате получится линейная

108

часть работы (осложнения, связанные с переменностью атмосфер­ ного давления по высоте, можно при грубой оценке игнориро­

Атмосферное давление равно ІО6 бар. Значит, работа против атмосферного давления, совершенная взрывом, была равна А =

s

§ 38. Плотность энергии в звуковой волне

Указанным в предыдущем параграфе способом можно ввести (условную) плотность внутренней энергии и в звуковой волне. Для частицы, имеющей объем dQ и испытавшей сжатие s, изме­ ненное давление равно Р + р, относительное изменение объема равно s/(l + s) (это уточненное значение требуется только для расчета работы исходного давления Р), среднее давление за время сжатия равно Р + Ѵ2 р. Работа, произведенная над частицей данной массы, равна

Интегрируя по всему объему, занятому возмущением,, найдем

где область интегрирования £ 2 охватывает интересующий нас уча­ сток среды. Но первый интеграл справа дает просто суммарное приращение объема рассматриваемой массы газа. Если этот объем не изменился, то интеграл равен нулю. Тогда суммарная работа, совершенная над средой, окажется равной

(во втором интеграле пренебречь s в знаменателе можно). Условную плотность внутренней энергии и здесь будем считать равной

Суммарная условная плотность энергии в волне есть сумма плот­ ностей кинетической и приращения внутренней энергии:

109