книги из ГПНТБ / Исакович, М. А. Общая акустика учеб. пособие

Волну в пространстве, пристроенную к двухмерной волне наплоскости, называют спектром. Угол скольжения 0 спектра отно­

Заметим, что скорость у = со/£ волны на плоскости больше ско­

чины самого вектора.. Это ограничение можно формулировать еще и так: чтобы к данной гармонической волне на плоскости можно было пристроить плоскую волну в пространстве, скорость (и длина волны) на плоскости должна быть больше скорости (и длины волны) в среде.

Можно попытаться продолжить заданное распределение давле­ ний на плоскости в виде волны в полупространстве и для более -сложных случаев. В самом деле, при известных ограничениях заданное распределение давления, меняющееся с течением вре­ мени по гармоническому закону, можно разложить на плоскости в ряд или в интеграл Фурье по координате. Волна, пристроенная к такому распределению, представится суперпозицией спект­ ров, соответствующих каждой из бегущих волн разложения Фурье.

Такой прием позволил бы решить задачу об излучении звука плоскостью, на которой задано произвольное распределение

.давлений, если бы не ограничение, указанное выше: волновые

.90

числа гармонических волн на плоскости должны быть меньше волнового числа в среде, соответствующего заданной частоте. Поэтому не всякое распределение поля на плоскости можно про­ должить при помощи спектров в полупространство, а только такое, которое не содержит компонент с волновым числом, пре­ восходящим волновое число волны данной частоты в среде. Это значит, что не удастся продолжить в среду компоненты, бегущие по плоскости медленнее, чем волна в среде. «Мелкая» структура распределения, которая при данной частоте как раз и соответ­ ствует малым длинам волн, малой скорости и большим волновым числам, «не продолжается» в среду в виде плоских волн.

Однако удобство спектральных разложений так велико, чш имеет смысл обобщить понятие плоской волны так, чтобы оно охватило и такие волны, следы которых были бы синусоидами, скорость которых могла бы быть сколь угодно мала и, значит, волновое число следа — сколь угодно велико. При этом придется поступиться другими свойствами компонент: они фактически будут не плоскими волнами, и старое название имеет смысл со­ хранить только потому, что эти волны можно записать аналити­ чески в той же форме, что и «настоящие» плоские волны. Такие «обобщенные» плоские волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от «обычных» плоских волн, которые назы­ вают однородными.

§ 32. Неоднородные плоские волны

Итак, будем искать гармонические волны, след которых на какой-нибудь плоскости есть синусоидальная волна, бегущая медленнее плоской волны в среде. Для простоты рассмотрим сна­ чала плоскую задачу, считая, что движение частиц происходит в плоскости xz и не зависит от координаты у. Тогда уравнение (2 2 .2 ) можно записать в- виде

Будем искать решение в виде р = e ^xf (2 ), считая, что Е > k~ Подставляя в (32.1), получим уравнение для f (z):

^ r - ( ¥ - k 2)f = 0 , где | 2 - 6 2 > 0 .

Решая это уравнение, находим

f = е~аг,

где положено а. = У Е2 — k2. Очевидно, всегда а < Е. Таким образом, искомая неоднородная волна имеет вид

причем I 2 — а 2 = k2.

9Г

В отличие от однородных плоских волн, эту волну нельзя представить как одномерную: ее фронты совпадают с плоскостями X = const, но амплитуда колебаний вдоль фронтов не постоянна, а меняется экспоненциально (рис. 32.1). След волны на оси г есть синфазное колебание, экспоненциально убывающее или нарастающее вдоль оси в зависимости от знака а. Вся волна пере­ мещается как твердое тело в направлении оси х, перпендикулярно

Рис. 32.1. Двухмерный профиль неоднородной волны (ср. рис. 17.1). а — направление быстрейшего изменения фазы (направление бега волны), б — на­

правление быстрейшего изменения амплитуды.

к фазовым фронтам. Вспомним, что для однородной волны направ-

.ление перемещения волны как твердого тела было неопределен­ ным, и мы условно выбрали его как направление, перпендикуляр­ ное к фронтам волны. Для неоднородных волн такой неопреде­ ленности нет и принятая нами условность оказывается обоснован­ ной, так как однородную Плоскую волну можно считать предель­ ным случаем неоднородной волны при а —>0. Скорость волны есть

■у- = = , 2Ш ==-. Она может быть как угодно мала, если

только коэффициент экспоненты а достаточно велик по абсолют­ ной величине, т. е. если, амплитуда колебания достаточно быстро меняется вдоль оси г. След волны на оси, проведенной по любому другому направлению, будет синусоидальным по фазе и экспо­ ненциально меняющимся по амплитуде. Ось х — направление -быстрейшего изменения фазы (при. постоянной амплитуде). Ось г —■ направление быстрейшего изменения амплитуды (при постоянной фазе). Эти два направления взаимно перпендикулярны.

треугольники. В однородной волне гипотенузой служит k, а в не­

92

Формально неоднородную волну можно записать в той же форме, что и однородную, вводя мнимые медленности следов волны. Так, полагая kx = I, kz = іа, можем записать (32.2) в том же виде, что и обычную однородную волну. Формальное сходство можно еще больше подчеркнуть, вводя и для неодно-. родной волны угол скольжения. В однородной волне величины kx и kz равны, как мы видели, соответственно k cos Ѳ и k sin Ѳ, где Ѳ— угол скольжения относительно оси х (угол между вол­ новым вектором и осью х). Для неоднородной волны можно по­

—а z)\ а в полупространстве г < 0 — волна ехр(і£х + az). В слое, заключенном между двумя плоскостями, параллельными, .пло­ скости z = 0 , могут существовать обе неоднородные волны.

Неоднородная плоская волна не является чисто продоль­ ной волной: скорость ѵ частиц имеет компоненту, перпендикуляр­

Интегрируя по времени, найдем компоненты смещения частиц:.

Исключая множители, содержащие время, найдем уравнение траектории частиц:

93

Частицы в неоднородной волне движутся по эллипсам с полу­ осями £_cu£/pco2 и e -aza/pco2 с центрами в местах невозмущенного положения частиц. Большая ось лежит в направлении быстрей­ шего изменения фазы, т. е. в направлении распространения волны; малая ось — в направлении быстрейшего изменения амплитуды.

Неоднородная плоская волна, в отличие от однородной, может существовать и в несжимаемой среде. В самом деле, в несжимае­ мой среде k — 0, так что уравнение (32.1) принимает вид Ар = 0. В этом случае возможны волны вида р = ехр (і\х — £z). Прибли­ зительно такой вид имеют, например, гравитационные волны на поверхности воды. Хотя вода и сжимаема, но скорость гравита­ ционных волн настолько мала (десятки м/сек по сравнению с 1500 м/сек— скоростью звука в воде), что величиной k2 можно пренебрегать по сравнению с £2. Вообще, для плоских волн кри­ терий возможности рассматривать данную среду как несжимае­ мую имеет вид k2 < £2. Конечно, такие плоские волны неодно­ родные.

Неоднородную волну, бегущую по любому направлению, по­ лучим, формально заменяя в выражении для однородной плоской волны вещественный волновой вектор k комплексным волновым вектором I + іа:

Так как единственное требование, налагаемое на гармониче­ скую волну, — это удовлетворение уравнению (22.2), то, под­ ставляя (32.3) в (22.2), найдем условие, которому должны удов­ летворять векторы I и а:

(1 + ia f = k2.

Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части слева и справа, получим

I 2 — а 2 = k2, \а = 0.

При выполнении этих условий (32.3) есть неоднородная пло­ ская волна. Направление быстрейшего изменения фазы (направ­ ление распространения волны) совпадает с вектором в этом направлении амплитуда волны остается постоянной. Направле­ ние быстрейшего изменения амплитуды совпадает с вектором а; в этом направлении фаза волны остается постоянной. Уравнения фронтов имеют вид \r — const. Векторы § и а взаимно перпен­ дикулярны. Если совместить оси л и г е векторами | и сс, то вер­ немся к представлению неоднородной волны (32.2).

Теперь, располагая помимо обычных плоских волн еще и неоднородными волнами, фазовая скорость которых может быть сколь угодно мала; всегда сможем решить задачу: пристроить к любому гармоническому полю на плоскости суперпозицию ухо­ дящих от плоскости плоских гармонических волн в полупро­

94

странстве (в том числе и неоднородных), следом которой явилось бы данное поле на плоскости. Тем самым решается и задача о пред­ ставлении в виде суперпозиции плоских волн любого поля в полу­ пространстве, не содержащем источников звука (в том числе и источников на бесконечности).

§ 33. Пространственный спектр по плоским волнам для любого распределения давления на плоскости

стремлении частоты к нулю спектр приобретает асимптотически форму

р= Ро ехр (ііх — lz).

Такое же распределение давлений получилось бы при абсолют­ ной несжимаемости жидкости.

Обратим внимание на то, что при неоднородном спектре по­ верхность не излучает звука, возмущение сконцентрировано вблизи плоскости, вдоль которой бежит неоднородная волна. В несжимаемой среде излучения звука нет никогда, но в данном случае жидкость, хотя и сжимаема, ведет себя в этом отношении,

; как несжимаемая: частицы только перетекают под действием

95

разности давления между местами с большим и меньшим давле­ нием, и возмущение вдаль не передается.

Вообще, во всех случаях, когда характерные размеры неодно­ родности поля малы по сравнению с длиной волны, поведение жидкости близко к тому, как вела бы себя несжимаемая среда.

Найденным спектрам легко дать наглядную интерпретацию. Мысленно разрежем плоскую волну данной частоты с волновым

меним заданием на секущей плоскости того распределения давле­ ний, которое было в самой плоской волне. Тогда картина во вто­ ром полупространстве не изменится и в нем по-прежнему будет распространяться волна, являющаяся спектром по отношению к распределению давлений на плоскости. Этим же способом можно интерпретировать и неоднородные спектры: они получатся при «разрезании» среды, в которой бежит неоднородная волна, пло­ скостью, перпендикулярной к фронтам неоднородной волны.

Теперь легко найти спектральное представление в виде супер­ позиции плоских волн для поля, соответствующего любому периодическому распределению давления на плоскости, меня­ ющемуся по гармоническому закону. Пусть поле на плоскости зависит только от координаты х :

Рг=о = / (х) = f (х + L).

Каждому слагаемому ряда сопоставим спектр, приписывая ему соответственный номер п (п = О, ± 1 , ± 2 , . . .):

Рп = fn exp {Щ х + i Ѵ & — (n£ ) 2 z).

Следовательно, поле в пространстве, имеющее на плоскости гар­ монически зависящее от времени распределение f (х) е~ш , имеет вид

из которых, однако, распространяющимися будут не все, а только те, для которых n | ^ k. Угол скольжения Ѳ„ распространяю­

96

щегося спектра номера п относительно плоскости z = О тем меньше, чем выше номер спектра:

cos Ѳ„ = пЦк, sin 0n = У 1— (пЦК)2.

Остальные спектры нераспространяющиеся: это неоднородные волны, бегущие вдоль оси х и затухающие экспоненциально вдоль оси z; чем выше номер затухающего спектра, тем больше затухание. Затухающие спектры образуют так называемое «ближнее поле»; оно заметно только вблизи плоскости *). Вдали заметны только распространяющиеся спектры, для которых длины волн компо­ нент разложения Фурье на плоскости больше длины волны данной частоты в среде. Таким образом, мелкие детали распределениядавления на плоскости, которым соответствуют компоненты раз-' ложения малой длины волны, окажутся потерянными: звуковая волна может перенести на расстояние только те детали, которые крупнее длины волны звука данной частоты. Если вся структура распределения мельче длины волны звука, т. е. | > k, то распро­ страняться вдаль от плоскости будет только нулевой спектр f 0elk2, отвечающий постоянной составляющей в распределении давления по плоскости. Никаких сведений о «тонкой структуре» поля на плоскости он не понесет, и вдали от плоскости можно будет уста­ новить только факт наличия гармонического поля.

Аналогично решается задача о «пристраивании» поля в полу­ пространстве к непериодическому по координате полю на пло­ скости, если это распределение можно разложить в интеграл Фурье. Пусть

0 0 со

Тогда поле в пространстве можно представить в виде непрерыв­ ного спектра волн:

*) Таким* затухающим спектром можно считать синусоидальную морскую волну на поверхности воды. Колебания воды быстро спадают по мёре погружения: морская волна не излучает звук в глубину моря. Быстрым спаданием колебаний с ростом глубины пользуются морские организмы и подводные Лодки: погружение на сравнительно небольшую глубину позволяет достичь спокойных вод даже во время сильного шторма.

В первых двух интегралах суммируются неоднородные волны, дающие ближнее поле. Третий интеграл составлен из распро­ страняющихся волн, уходящих от плоскости. На большом рас­ стоянии существен только этот последний член; но вблизи от плоскости вклад неоднородных волн может доминировать.

тп

то, как легко видеть, поле в полупространстве, имеющее следом на данной плоскости данное распределение, равно двойной сумме:

Р (х, у, z) — £ £ f m n exp [im\x + im\y -|- i V !r — (ml)2 — (ті)2 г].

mn

Вчисле спектров распространяющиейся — только те, для кото­ рых (ml)2 + (пт) ) 2 ^ к2. Направляющие косинусы их волновых

/

§34. Пространственный спектр по плоским волнам для любого распределения нормальных

скоростей на плоскости

Аналогично можно продолжить в полупространство и поле нормальных скоростей частиц, заданное на плоскости. Так, поршневое излучение получится, если плоскости 2 = 0 сообщить колебательное движение в направлении оси z. Если нормальная скорость каждой точки плоскости равна ѵ (t), то в полупростран­ ство побежит волна р = pcv ( t — zlc). Такое излучение может быть создано колебаниями реальной пластины (отвлекаемся пока от конечных размеров пластины). Колебания пластины могут при этом иметь не только нормальную, но и касательную состав­ ляющую, однако излучение создаст только нормальная составля­ ющая. Если среда — идеальная жидкость, то наличие касатель­ ных скоростей вообще никак не скажется на движении прилега­ ющей среды: на поверхности будет существовать разрыв касатель­ ной скорости между частицами границы и частицами среды. В реальной вязкой жидкости разрыва не будет — жидкость будет прилипать к пластине и касательные смещения последней создадут в жидкости короткие быстро затухающие вязкие волны (см. § 19). Они практически никак не скажутся на создаваемой звуковой волне.

§ 8

При синусоидальном распределении нормальных скоростей

V= ѵ0е1%х при z = 0

получается спектр с таким же углом скольжения, как и при рас­ пределении давления с той же длиной волны:

ления, создаваемой данным распределением нормальных скоро­ стей на плоскости, равна р 0 = рса0/У 1 — %2lk2. Таким образом, искомый спектр есть

Р = V I ü t w ехр (‘ і х + , у ¥ = ? г ) -

Вводя угол скольжения, найдем

Р = exp (ilx + i V k 2— l 2z).

Переход спектра из распространяющегося в неоднородный будет происходить, как и при задании синусоидального распре­ деления давления, при £ = k (при у = с). Но случаи задания распределения давления и нормальной скорости резко разли­ чаются по степени возбуждения соответственного спектра, т. е. по амплитуде создаваемой волны. Рассмотрим этот вопрос по­ дробнее.

Выберем такие амплитуды давления и нормальной скорости, чтобы при поршневом излучении создаваемые волны были оди­ наковы. Для этого достаточно взять давление единичной ампли­ туды и нормальную скорость амплитуды 1/рс. Каждое из таких распределений в отдельности создаст при Ѳ = 90° одну и ту же волну eikz. Будем теперь уменьшать угол скольжения спектра, например, сохраняя частоту, увеличивать £, причем будем со­ хранять и амплитуды синусоидальных распределений давления и нормальной скорости на плоскости, полагая

р = е 1^х, ѵ = - ^ - е ‘^х при = . рс . 2 0

Тогда амплитуда волны, создаваемой распределением давления, будет оставаться постоянной, а амплитуда волны, создаваемой распределением нормальных скоростей, будет расти как