книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

сл to

Рис . 100. Первоначальное (слева) и два обнаруженных впоследствии решения транспортной за­ дачи Дьюдени.

Рис . 101. Решения задачи с часами, предложенные Дыодени (слева) и Лойдом (справа).

из них довольно легко, зато с 3 остальными придется изрядно повозиться. Заметим, что по обычаю часовщи­ ков число 4 пишется в виде 1111, а не IV. Все цифры считаются «намертво» прикрепленными к ободку цифер­ блата. Иначе говоря, линию разреза разрешается про­ водить между любыми двумя цифрами, но запрещается описывать петли вокруг них, отделяя цифры от ободка. Если бы линия разреза могла описывать петли вокруг цифр, то задача утратила бы всякий интерес: число ре­ шений сразу возросло бы до нескольких сотен.

Подготавливая к изданию обширную «Энциклопедию головоломок» Сэма Лойда, я обнаружил множество оши­ бок, главным образом опечаток. («Энциклопедия» была составлена после смерти Лойда его сыном, наскоро со­ бравшим материалы, сохранившиеся в архиве отца.) Среди нескольких пропущенных мной ошибок самой по­ зорной я считаю ошибку в решении задачи о полете орла. Суть задачи в следующем. С восходом солнца орел снимается с вершины купола Капитолия в Ва­ шингтоне и летит на восток до тех пор, пока солнце не оказывается у него прямо над головой, после чего по­ ворачивает назад и летит на запад до тех пор, пока не увидит заход солнца. Поскольку в утреннюю часть по­ лета солнце и орел движутся в противоположных на­ правлениях, а в вечернюю — в одном и том же направ­ лении, ясно, что после полудня орел пролетает большее расстояние и к заходу солнца оказывается к западу от того места, откуда он вылетел утром. После захода солнца орел отдыхает до восхода, после чего все повто­

153

ряется сначала: с восходом солнца он взлетает, летит на восток до тех пор, пока солнце не окажется у него над головой, после чего поворачивает назад и до захода ле­ тит на запад. Так продолжается до тех пор, пока орел, описав круг, не вернется в Вашингтон. Предположим, что покрытое орлом расстояние равно 19 500 милям и что орел завершает свой «трудовой день» в точке, на­ ходящейся ровно в 500 милях к западу от того места, откуда он взлетает с очередным восходом солнца. Спра­ шивается, сколько суток пройдет с отлета орла до его возвращения на купол Капитолия с точки зрения наблю­ дателя, безотлучно находящегося в Вашингтоне. Ответ (38 суток), приведенный в изданной мной книге Лойда*, неверен. Не сможете ли вы подсчитать истинную про­ должительность полета орла?

Одна из самых замечательных ошибок, допущенных когда-либо в решении занимательных задач, также имеет некоторое отношение к географии. Путешественник находится в некоторой точке земного шара. Взглянув на юг, он обнаруживает в 100 м от себя медведя. Пу­ тешественник замирает на месте, а медведь проходит 100 м, двигаясь строго на восток. После этого путеше­ ственник берет ружье, прицеливается и убивает мед­ ведя выстрелом, направленным точно на юг. Спраши­ вается, в какой точке земного шара находится путе­ шественник. Первоначальный ответ, разумеется, был: «На Северном полюсе!» Однако, как уже объяснялось в одной из наших книг**, задача имеет и другие реше­ ния. Путешественник может стоять, например, так близко от Северного полюса, что медведь, пройдя свои 100 м, оказывается в исходной точке. В действительно­ сти же имеется бесконечно много решений этого типа, поскольку путешественник может находиться на еще меньшем удалении от полюса и медведь, проходя 100 м, будет проходить вокруг полюса два, три и т. д.- раза. Возникает вопрос, в какой мере задачу о путе­ шественнике и медведе можно считать раскрытой до

154

ности ее решения) далеко не исчерпаны. В статье, опу­ бликованной в 1960 г. в серьезном математическом жур­ нале, Б. Л. Шварц обнаружил еще два совершенно различных семейства решений! Перечитайте вниматель­ но условие задачи и попробуйте догадаться, о каких двух семействах решений идет речь.

Помимо подлинных «разоблачений» своих ошибок, я нередко получаю от дотошных читателей замечания, которые за неимением лучшего слова, называю «при­ дирками». «Придирка» — это такое неожиданное реше­ ние, которое основано на игре слов или какой-нибудь неточности в формулировке задачи. Иногда решения- «придирки»' бывают довольно забавными. Как-то раз я написал, что если сеть линий содержит более двух

и не обводя ни один участок сети дважды. Один из моих читателей сообщил мне, что задача решается со­ всем легко, если воспользоваться автоматическим ка­ рандашом. Достаточно лишь в случае необходимости нажать на кнопку, чтобы убрать грифель, как уже на­ черченный участок сети можно будет пройти, «не от­ рывая карандаш от бумаги» и «не обводя его дважды», а затем, если необходимо, снова выпустить грифель. Разумеется, при таком методе можно вычерчивать («соблюдая условия») любые сети.

В другой раз я придумал для одной детской книжки следующую задачу-шутку. В табличке

требуется обвести кружками 6 чисел так, чтобы их сумма была равна 21. Мое решение состояло в том, что­ бы, перевернув страницу «вверх ногами», превратить девятки в шестерки, а затем обвести 3 «шестерки» и 3 единицы. Одному из читателей удалось найти гораздо более остроумное решение. Не переворачивая страницы с табличкой, он обвел кружками каждую из трех троек, затем единичку, стоящую слева, и одним круж­

155

ОТВЕТЫ

Один из способов, позволяющих снять 6 фишек так, чтобы ни­ какие 4 фишки из оставшихся не были расположены в вершинах квадрата, показан на рис. 102.

12 решений задачи о разбиении циферблата (помимо решения Лойда) изображены на рис. 103. Каждый циферблат разделен на 4 части так, что сумма чисел на каждой из частей равна 20. Труд­ нее всего найти 3 последних решения.

С точки зрения наблюдателя, находящегося безотлучно в Ва­ шингтоне, орел завершает свой полет в момент захода солнца спустя 3972 суток после отлета. Сам орел успеет «насчитать» (по восходам и заходам солнца) лишь 387г суток, но, поскольку он совершает облет параллели в направлении, противоположном на­ правлению вращения Земли, его календарь отстает от календаря вашингтонского наблюдателя на одни сутки.

Предположим, что путешественник и медведь находятся вблизи Южного полюса. Медведь располагается в 100 м к югу от путе­ шественника на таком расстоянии от полюса, что, закончив свою стометровую прогулку на восток, оказывается как раз напротив путешественника, но по другую сторону от Южного полюса, чем он. Решений такого типа существует бесконечно много, поскольку расстояние от медведя до полюса может становиться все меньше и

Рис . 102. Решение второй половины задачи о 20 фишках.

156

3

Рис. 103. Решение задачи о разбиении циферблата на 4 части.

меньше и сам медведь, прежде чем оказаться на мушке, может успевать пройти вокруг полюса 1V2—^2‘/2 и т. д. полных круга.

Другое семейство пропущенных решений задачи основано на той части ее формулировки, где говорится, что, «взглянув на юг, путешественник и медведь в исходной позиции могут находиться в 100 м друг от друга по разные стороны от Южного полюса, причем путешественник — дальше от полюса, чем медведь. После того как медведь пройдет на восток 100 м, он опишет вокруг по­ люса полуокружность и окажется в точке, расположенной к югу от путешественника по ту же сторону от Южного полюса, что и пос­ ледний. Чем дальше будет находиться путешественник от полюса, тем больше «оборотов» — 1, П/г. 2, 2‘/г и т. д .— придется совер­ шить медведю. Так возникает второе бесконечное семейство реше­ ний. «Предельное» решение достигается, когда путешественник ока­ зывается на расстоянии 100 м от полюса: стометровая прогулка медведя вырождается в пируэты, совершаемые четвероногим на

157

самом полюсе. Оба пропущенных ранее бесконечных семейств ре­ шений были найдены Шварцом и опубликованы в статье «Какого цвета была шкура убитого медведя?» *.

ГЛАВА 13

О ТРИСЕКЦИИ УГЛА И ТЕХ, КТО УПОРНО (НО ТЩЕТНО) ПЫТАЕТСЯ

РЕШИТЬ ЭТУ ДРЕВНЮЮ ЗАДАЧУ

Среди первых задач на построение с помощью цир­ куля и линейки, с которыми встречается каждый, кто приступает к изучению планиметрии, две задачи ре­ шаются особенно просто: задача о построении биссек­ трисы данного угла и задача о делении отрезка на лю­ бое наперед заданное число равных частей. Обе задачи столь просты, что учащимся трудно поверить в невоз­ можность трисекции угла с помощью циркуля и ли­ нейки. Услышав о неразрешимости этой классической задачи, ученики, обладающие наиболее выраженными математическими способностями, усматривают в словах преподавателя вызов и немедленно принимаются за рабо­ ту, пытаясь опровергнуть столь вопиющее утверждение.

В ту далекую пору, когда геометрия еще только зарождалась, нечто подобное происходило и среди ма­ тематиков. В V .в. до и. э. геометры проводили немало времени, стремясь с помощью прямых и окружностей получить точки пересечения, которые бы делили любой угол на три равные части. Им было известно, что не­ которые углы допускают трисекцию. Например, удиви­ тельно легко разделить на три равные части прямой угол: для этого достаточно провести дугу АВ (рис. 104)

и дуги того же радиуса с центром в В). Прямая ОС дает решение задачи о трисекции прямого угла. (Чи­ тателю предоставляется удобный случай вспомнить то,

158

Рис . 104. Трисекция прямо­ го угла.

стоятельно доказать, что произведена действитель­ но трисекция прямого угла. Все необходимые утверж­ дения доказываются чрез­ вычайно просто.)

Построение угла в 60° позволяет осуществлять трисекцию угла в 180°, а построение биссектрисы

циркулем и линейкой (по­ следняя служит лишь для того, чтобы проводить пря­

мые через две точки), можно производить трисекцию бесконечно многих углов специального вида. Греческие же геометры пытались разработать общий метод, при­ менимый к любому углу. Вместе с задачами об удвое­ нии куба и квадратуре круга трисекция угла стала в античной геометрии одной из трех великих задач на по­ строение.

Первое строгое доказательство невозможности три­ секции угла было опубликовано в одном французском математическом журнале П. Л. Вантцелем лишь в 1837 г. Доказательство Вантцеля слишком специально, чтобы его можно было привести здесь полностью, по­

(рис. 105). С центром в точке О проведем окружность единичного радиуса. Прямая, отделяющая от угла в 60° одну треть, пересекает окружность в точке А. Можно ли, пользуясь лишь циркулем и линейкой, найти точку

* Наиболее полное и доступное изложение невозможности три­ секции см. в книге: Р. К у р а н т и Г. Р о б б и н с , Что такое ма­ тематика, изд. 2-е, М., изд-во «Просвещение», 1967.

159

Л? Если нет, то по крайней мере один угол не допу­ скает трисекции, и, следовательно, не существует и об­ щего метода, позволяющего делить на три равные части любой угол.

Поскольку прямые на декартовой плоскости задают­ ся линейными, а окружности — квадратными уравнения­ ми, нетрудно показать, что существует пять и только пять операций, которые можно производить над отрез­ ком прямой с помощью циркуля и линейки. Отрезки можно складывать, вычитать, умножать, делить и извле­ кать из них квадратные корни. Если задан отрезок дли­ ной п, то с помощью циркуля и линейки можно найти

Vп. Применяя ту же операцию к Y п, можно найти

4

Уп. Применяя операцию извлечения корня конечное число раз, можно построить корень 2-, 4-, 8-, 16-й, ...

степени. Построить с помощью циркуля и линейки от­ резок, равный кубическому корню из данного, нельзя, поскольку число 3 не встречается среди целых степе­ ней двойки. Все сказанное и более тонкие соображения, заимствованные из аналитической геометрии и теории «числовых полей», позволяют заключить, что с помощью циркуля и линейки на плоскости можно «построить»

Р ис . 105. Точку А нельзя «построить» с помощью циркуля и линейки. г

160

лишь те точки, координаты х и у которых являются вещественными корнями уравнения вполне определен­ ного типа. Уравнение должно быть алгебраическим, не­ приводимым (то есть его левую часть нельзя предста­ вить в виде произведения многочленов меньших степе­ ней), с рациональными коэффициентами, а показатель степени его старшего члена должен быть одной из сте­ пеней числа 2.

Зная это, обратимся к рассмотрению координаты х точки А на рис. 105 — точки, лежащей на «трисектрисе» угла в 60°. Координата эта выражает длину катета

стыми тригонометрическими формулами, можно пока­ зать, что cos 20° служит иррациональным корнем ку­ бического уравнения 8х3— 6 = 1 . Поскольку число 3 (показатель степени старшего члена) не находится среди целых степеней 2, точку А нельзя построить с по­ мощью циркуля и линейки. Следовательно, при клас­ сических ограничениях на использование линейки и цир­ куля трисекция угла в 60° невозможна. Аналогичные рассуждения показывают, что не существует общих ме­ тодов, позволяющих с помощью циркуля и линейки раз­ делить произвольно заданный угол на 5, 6, 7, 9, 10 или любое другое число равных частей, не встречающееся среди членов ряда 2, 4, 8, 16..........Бесконечному мно­ жеству углов, допускающих трисекцию, принадлежат углы вида 360°/п, где п — целое число, не делящееся без остатка на 3. Бесконечному множеству углов, не допускающих трисекцию, принадлежат углы вида 360°/п, где п — целое число, кратное 3. Так, угол в 9° можно разделить на 3 равные части с помощью циркуля и ли­

мощью циркуля и линейки.

Разумеется, приближенную трисекцию угла можно осуществлять многими способами. Один из наиболее простых методов предложил выдающийся польский ма­ тематик Гуго Штейнгауз. На рис. 106 метод Штейнгауза применен к трисекции угла в 60°. Сначала про­ водится биссектриса исходного угла, а затем хорда, стягивающая половинный угол, делится на 3 равные части. Точка, отстоящая на '/з хорды от биссектрисы,