книги из ГПНТБ / Гарднер, М. Математические новеллы

углы при вершинах «ежа». Представим себе, что каждая из 12 граней обычного додекаэдра (такого, как, напри­ мер, изображенный на литографии «Рептилии») про­ должена до пентаграммы — пятиконечной звезды (иначе говоря, ребра, ограничивающие каждую грань доде­ каэдра, продолжены до пересечения). Тогда 12 взаимно пересекающихся пентаграмм будут образовывать малый звездчатый додекаэдр. На протяжении веков матема­ тики отказывались признавать пентаграмму многоуголь­ ником на том основании, что ее стороны пересекаются (по той же причине звездчатым многогранникам было отказано в праве гражданства среди «добропорядоч­ ных»— выпуклых — многргранников). Забавно, что еще в середине прошлого века швейцарский математик Люд­ виг Шлефли, допускавший существование невыпуклых многогранников, отказывался признавать малый звезд­ чатый многогранник «истинным» многогранником, ссы­ лаясь на то, что 12 граней, 12 вершин и 30 ребер кепле-

рассматривать как геометрическое тело с 60 треуголь­ ными гранями, 32 вершинами и 90 ребрами, то он попа­ дет под «юрисдикцию» формулы Эйлера, но тогда его уже нельзя будет считать правильным многогранником, ибо его грани будут не равносторонними, а всего лишь равнобедренными треугольниками.) На литографии «По­ рядок и хаос» изящная симметрия многогранника, вер­ шины которого пронзают окружающий его мыльный пу­ зырь, противостоит коллекции предметов, которые Эшер охарактеризовал как «выброшенные за ненадобностью, смятые и никому не нужные».

Увлечение Эшера причудливыми формами тел, изу­ чаемых в топологии, нашло отражение в ряде его более поздних работ. На гравюре «Узлы» (рис. 94) мы видим два зеркально симметричных узла, известных под на­ званием «трилистник». Левый узел «сделан» из двух по­ лосок, пересекающихся под прямым углом. Перед тем как концы такой крестообразной полоски были соеди­ нены, всю двойную полоску перекрутили на полоборота. Как по-вашему, что представляет собой такой узел:

* F — число граней, V— вершин 'и Е — ребер многогранника,—

Прим, перев.

145

метра. Верхний диск стоит вертикально па горизонтальной поло­ вине среднего диска. Разобраться в «обмане» вам помогут линия сгиба среднего диска и одинаковая раскраска всех трех «псевдо­ сфер».

ГЛАВА 12

НЕЗАДАЧИ С ЗАДАЧАМИ

Иногда в хитроумной математической задаче обнару­ живается какой-нибудь существенный изъян (например, выясняется, что у нее нет решения или вопреки утверж­ дению составителя решение неединственно, что решить

(ибо задача с изъяном — это уже не задача), что он «попал впросак», «дал маху» и... многое другое.

Принято считать, что математика в отличие от экспе­ риментальных и описательных наук изрекает лишь не­ пререкаемые истины, но и математикам свойственно ошибаться. Поэтому даже в области математики пра­ вильность доказательства требует признания со стороны других лиц. История математики знает немало приме-

Р и с. 96. Решение задачи о разрезании митры, предложенное Лойдом.

Митра разрезана на 4 части.

147

Р и с . 97. Решение задачи Лойда, предложенное Дьюдени.

Митра разрезана на 5 частей.

ров того, как в «доказательствах» даже выдающихся математиков впоследствии обнаруживались уязвимые места, а подчас и ошибки. Особенно часто происше­ ствия подобного рода случаются в занимательной ма­

Сэм Лойд опубликовал великое множество шахматных задач и математических головоломок. Не удивительно, что в некоторых из них обнаруживались роковые изъяны.

Одну из самых грубых ошибок Лойд допустил в ре­ шении задачи на разрезание. «Митру», или квадрат с вы­ брошенной четвертушкой (рис. 96, слева), требуется раз­ резать на наименьшее число частей так, чтобы из них можно было составить квадрат. Решение Лойда наме­ чено пунктирной линией на рис. 96 слева, а сам квадрат в «собранном виде» показан на том же рисунке справа. Лойд считал, что задачу можно решить, разрезав митру всего лишь на четыре части. «Превратить митру в квад­ рат, разрезая ее на пять, шесть,.. двенадцать частей, можно многими способами, — писал он, — но решения при этом получаются сложными и требуют немалых по­ знаний в геометрии».

Ошибку в предложенном Лойдом решении обнару­ жил знаменитый английский составитель головоломок Генри Э. Дьюдени* — как математик он был сильнее

* Сборник избранных задач Генри Э. Дьюдени выходит на рус­ ском языке в издательстве «Мир»,

148

л

Лойда. Основная идея'лойдовского решения заключа­ лась в том, чтобы, заполнив маленькими треугольниками выемку, построить прямоугольник, который затем с по­ мощью «лестничного метода» можно было бы превра­ тит в квадрат. Но лестничный метод позволяет преобра­ зовывать прямоугольник в квадрат лишь при определен­ ных отношениях сторон прямоугольника, а отношение сторон прямоугольника в задаче Лойда, равное 3 : 4, не является допустимым. (Формула, позволяющая нахо­ дить отношения сторон прямоугольников, при которых применим «лестничный метод», была выведена Дж. МоттСмитом.) Решение Лойда при всем его остроумии по­ зволяет получить не квадрат, а всего лишь прямоуголь­ ник. Правильное решение задачи дал Дьюдени (рис. 97): для превращения митры в квадрат ее пришлось разре­ зать на 5 частей. Решения, в котором митра разрезается лишь на 4 части, по-видимому, не существует, хотя при­ знанный специалист по решению геометрических задач

Рис . 98. Задача Линдгрена о разрезании двух митр и превра­ щении их в два квадрата.

149

Р и с. §9. Дважды исправлявшаяся задача «профессора Хоффмана».

(рис. 98).

Иногда «скрытые возможности» удается обнаружить не только в первоначальном, но и в исправленном ва­ рианте задачи. Так, англичанин Анжело Льюис, который под псевдонимом «профессор Хоффман» выпустил не­ сколько книг о фокусах и головоломках, привел в одном из своих сборников следующую задачу. Фишки вы­ строены так, как показано на рис. 99. Требуется подсчи­ тать число различных квадратов, все четыре вершины которых заняты фишками. По мнению «профессора Хоффмана», имеется всего 17 различных квадратов. Дьюдени опроверг это утверждение, перечислив 19 раз­ личных квадратов. В действительности квадратов ока­ залось 21. Дьюдени привел правильный ответ, перепеча­ тав головоломку Льюиса в одной из своих книг. Для читателя не составит труда найти 21 квадрат, скрытый среди фишек на рис. 99, но вторая часть старой головоломки менее проста. Требуется снять б фишек так, чтобы никакие 4 фишки из числа оставшихся не были распо­ ложены в вершинах квадрата (любого размера).

Большая часть ошибок Дьюдени была замечена чи­ тателями его журнала и отделов головоломок и развле­ чений, которые он вел в различных газетах. Это позво­ лило Дьюдени внести исправления, прежде чем изда­ вать сборники своих задач. Однако и в книгах его имеется немало ошибочных решений. Рассмотрим, на­ пример, следующую задачу — разновидность известных задач об обходе ладьей шахматной доски. Некий район

* О Линдгрене рассказывается в гл. 11 книги М. Гарднера «Математические досуги»,

150

города имеет в плане вид квадрата, разбитого на мень­ шие квадраты — кварталы. Размеры района — 7 X 7 кварталов (рис. 100). Автомашина выезжает из точки А, расположенной на границе района («транспортный» ва­ риант задачи удобнее «шахматного», так как при движе­ нии машины вдоль улиц — линий квадратной решетки — особенно легко подсчитывать расстояния). Требуется указать маршрут наибольшей протяженности, следуя по которому машина совершит не более 15 поворотов и ни по одному участку пути не пройдет дважды. Чтобы про­ тяженность маршрута была максимальной, машина, оче­ видно, должна посетить как можно больше «перекрест­ ков» — узлов квадратной решетки.

В двух книгах Дьюдени было приведено решение, по­ казанное на рис. 100, слева. Длина маршрута составляет 70 кварталов, не посещенными остаются 19 перекрест­ ков. Позднее сам Дьюдени улучшил свое решение (оно показано на рис. 100, в центре): новый маршрут протя­ нулся уже на 76 кварталов и оставил в стороне лишь 3 перекрестка. Можно ли это решение считать оконча­ тельным? (Оказывается, нет: один из читателей недавно прислал мне решение, изображенное на рис. 100, спра­ ва. Длина маршрута составляет теперь 76 кварталов; следуя им, машина совершает 15 поворотов и оставляет в стороне лишь 1 перекресток! Можно ли улучшить и это решение: найти маршрут длиной более 76 кварталов с 15 поворотами или длиной в 76 кварталов, но прохо­ дящий через все перекрестки? По-видимому, нельзя, од­ нако, насколько известно, никто этого не доказал.

В другой задаче Дьюдени требовалось разрезать на четыре части циферблат с римскими цифрами таким об­ разом, чтобы сумма чисел, оказавшихся на каждой ча­ сти, была равна 20. Поскольку сумма всех чисел от 1 до 12 на «целом» циферблате составляет всего лишь 78, ее необходимо увеличить до 80 с помощью какого-нибудь специального ухищрения. Неуклюжий метод Дьюдени состоял в том, чтобы рассматривать число IX «не с той стороны» и читать его как XI. Решение Дьюдени пред­ ставлено на рис. 101, слева. Лойд предложил более изящ­ ное решение, изображенное на рис. 101, справа, но упу­ стил при этом целую серию из 12 столь же безукориз­ ненных решений, ни в одном из которых не требуется рассматривать римские числа «вверх ногами», Найти 9

151