Консппект лекций

31

т е л ь н о с т и , к а з а л о с ь , д о л ж е н б ы л б ы н а и б о л е е р е з к о о с у д и т ь э т и о п р е д е л е н и я Н ь ю т о н а . Н о в о т ч т о с к а з а л с а м Э й н ш т е й н : « О н [ Н ь ю т о н ] в в о д и т п о н я т и я а б с о л ю т н о г о п р о с т р а н с т в а и а б с о л ю т н о г о в р е м е н и . В н а ш е в р е м я е м у с т а в и л и э т о в у п р е к . Н о и м е н н о в э т о м п у н к т е Н ь ю т о н о с о б е н н о п о с л е д о в а т е л е н » . Д л я с в о е г о в р е м е н и э т о б ы л з н а ч и т е л ь н ы й ш а г в п е р е д , п о з в о л и в ш и й Н ь ю т о н у ч е т к о

Г а л и л е ю . Д е й с т в и т е л ь н о , к а к у ж е о т м е ч а л о с ь , Г а л и л е й с ф о р м у л и р о в а л э т о т з а к о н д л я ч а с т н о г о с л у ч а я д в и ж е н и я т я ж е л о г о т е л а п о г о р и з о н т а л ь н о й п л о с к о с т и и п е р е х о д к о б щ е м у з а к о н у , к о т о р ы й с д е л а л Н ь ю т о н , н е б ы л с л о ж н ы м . Н о Н ь ю т о н п р и д а л е м у в и д о б щ е г о з а к о н а , и п о э т о м у е г о п о п р а в у н а з ы в а ю т п е р в ы м

за к о н о м Н ь ю т о н а .

Пр и в е д е м в с е т р и з а к о н а Н ь ю т о н а в а в т о р с к о й ф о р м у л и р о в к е .

За к о н I. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состо янии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

За к о н II. Изменение количества движения пропорционально

приложенной движущей силе и происходит по той прямой, по кото рой эта сила действует.

З а к о н III. Действию всегда есть равное и противоположное про - тиводействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в пр отивоположные стороны.

В ф о р м у л и р о в к е в т о р о г о з а к о н а в и д е н в е к т о р н ы й х а р а к т е р с в я з и м е ж д у и з м е н е н и е м к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я и п р и л о ж е н н о й д в и ж у щ е й с и л о й . К р о м е т о г о , и з д а л ь н е й ш е г о в и д н о , ч т о и з м е н е н и е к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я п р о и с хо д и т з а м а л ы й п р о м е ж ут о к в р е м е н и , т а к ч т о в с о в р е м е н н ы х о б о з н а ч е н и я х в т о р о й з а к о н н у ж н о з а п и с а т ь в ф о р м е . Первая запись с небольшими изменениями используется при вы воде уравнения движения материальной точки переменной массы. Вторая форма используется в современной физике при изучении дви жения элементарных частиц, а третья — во всей классической механике, в которой считают, что m = const.

Возможно, что второй закон Ньютон сформулировал при анализе законов падения тел, установленных Галилеем (в «Поучении» Ньютон ссылается на результаты Галилея при иллюстрации применения своего второго закона).

По словам Эйнштейна, второй закон Ньютона представляет «фундамент всей механики и, пожалуй, всей теоретической физики».

Третий закон лежит в основе всей динамики системы материаль ных точек. Из этого же закона следует, что силы возникают только при взаимодействии тел.

Ньютон очень тонко различал абсолютное и относительное движения. Еще до формулировки законов он пишет: «Причины происхождения, которыми различаются истинные и кажущиеся движения, суть те силы, которые надо приложить к телам, чтобы произвести эти движения. Истинное абсолютное движение не может ни произойти, ни измениться иначе, как от действия сил, приложенных непосредственно к самому движущемуся телу, тогда как относительное движение тела может быть и произведено, и изменено без приложения сил к этому телу; достаточно, чтобы силы были приложены к тем телам, по отношению к которым это движение определяется».

32

После изложения законов Ньютон в Следствии IV излагает почти в современном виде закон сохранения движения центра масс, а в Следствии V он лаконично формулирует принцип относительности Галилея. В этом же разделе Ньютон пишет об ударе и показывает, что скорость тела после удара меньше его скорости до удара. Это он установил опытным путем (в настоящее время этот вывод Ньютона излагается как гипотеза об ударе, носяща я его имя). Отметим, что Ньютон определил коэффициенты восстановления для некоторых соударяющихся тел и его результаты без изменения содержатся в современных таблицах. По поводу работ Гюйгенса и Рена по теории удара Ньютон замечает, что их выводы об ударе верны для «абсолютно твердых или вполне упругих тел».

На этом кончается вводная часть «Начал», после чего Ньютон переходит к основной своей задаче, решение которой и составляет содержание Книг I и III. Первая книга начинается с изложения «метода первых и последних отношений» — геометрического метода, эквивалентного дифференциальному и интегральному исчислению. Этот метод лежит в основе многих последующих его доказательств. В дальнейшем Ньютон, опираясь на свой второй закон, находит величину центростремительной силы при движении тела по окружности и устанавливает законы падения тел. После этого он доказывает основную для определения центростремительных сил Теорему V. Вначале, еще до Теоремы V, Ньютон показал, что если тело дви жется по эллипсу под действием силы тяготения, направленной к его центру, то эта сила будет прямо пропорциональна расстоянию от тела до центра тяготения (теперь это доказывается элементарно). Затем Ньютон, опираясь на Теорему V, доказал, что если при движении тела по эллипсу, параболе и гиперболе центростремительная сила направлена к фокусу, то модуль силы обратно пропорционален квадрату расстояния от тела до фокуса орбиты (доказательство ведется для каждой орбиты отдельно). После этого он показывает, что при действии центростремительной силы имеет место интеграл площадей и что «при тех же предположениях времена обращения по эллипсам относятся между собою, как большие полуоси в степени 3/2» (третий закон Кеплера, установленный Ньютоном не из наблюдений, а теоретическим путем). Наконец, он решает обратную задачу и доказывает, что если центростремительная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра тяготения, то траекторией будет одно из конических сечений, при этом он показывает, при каких условиях тело будет двигаться по эллипсу, параболе или гиперболе.

По поводу этого доказательства следует остановиться. На современном языке доказательство Ньютона состоит в следующем. Он составляет дифференциальное уравнение движения тела под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, а затем ищет решение в определенной форме, показывая, когда искомое решение приводит к эллипсу, параболе или гиперболе. И.Вернули и Я. Герман, по -видимому, первыми заметили, что Ньютон решал эту задачу не с помощью прямого доказательства. В 1903 г. датский математик и историк науки Г.Г. Цейтен (1839—1920) отметил, что Ньютон, по существу, проверил известный ему ответ. Следует заметить, что метод, примененный Ньютоном, используется и в наши дни. Считать, что Ньютон не мог решить обратную задачу (как известно , она имеет единственное решение) прямым путем, означает незнание его возможностей. Ньютон решил (по преданию ему потребовалось всего два часа) одну из первых задач вариационно го исчисления. Задача, предложенная Иоганном Бернулли, требовала определить кривую, по которой

33

должна двигаться материальная точка, чтобы под действием силы тяжести достигнуть нижнего положения за наименьший промежуток времени (решение Ньютона приводится в некоторых курсах вариационного исчисления) .

Этот вопрос затронут потому, что в последнее время появились работы, в которых утверждается, что Ньютон не решил обратную задачу и честь решения ее должна принадлежать не ему. На необоснованность этих утверждений указал В.И.Арнольд, пользовавшийся, правда, несколько другой аргументацией.

Не останавливаясь больше на необоснованных обвинениях, считаем нужным отметить более важное обстоятельство. До «Начал» Ньютона никто даже не подозревал о возможности существования параболических и гиперболических орбит. В современных курсах механики существование таких орбит доказывается с помощью формулы Бине. По-видимому, Ньютон видел в своей Теореме V далеко идущие следствия, которые заметил после Ньютона Дюамель.

В Книге I в Отделе XII, озаглавленном «О притягательных силах сферических тел», содержатся очень важные теоремы о притяжении тел конечной формы (многие из них вошли в современные книги, посвященные теории потенциала). Наиболее важный вывод из этих теорем состоит в следующем (в современной формулировке): два шара с радиальными распределениями плотностей притягиваются друг к другу так, как если бы массы обоих шаров были сосредоточены в их центрах. Этот вывод дает возможность рассматривать (с оговоркой о характере распределения масс) небесные тела (планеты, их спутники и т. п.) как материальные точки.

Следует отметить в Книге I еще и Теорему XXVI. В ней рассматривается задача притяжения трех тел — задача, не решенная в общем виде и в наши дни. В дальнейшем (в Книге III) Ньютон использует эту теорему для построения основы теории движения Луны, развитием которой занимались самые выдающиеся ученые разных стран. К этой теореме имеется Следствие 20, в котором рассматривается вращающийся однородный шар, опоясанный по диаметру затвердевшим кольцом, притягиваемый другим телом. Ньютон резонно замечает, что шар с кольцом равносилен шару, «который в экваториальных областях несколько вздут и шире, нежели у полюсов». В Книге III, ссылаясь на это следствие, он, предварительно доказав, что Земля сжата по полюсам, формулирует Теорему XVII: «Точки равноденствий отступают, и земная ось при каждом годовом обращении Земли совершает колебания, дважды наклоняясь к эклиптике и затем дважды отходя в первоначальное положение». Сразу же за формулировкой Ньютон ссылается на Следствие 20 и затем пишет, что «указанное колебательное движение должно быть весьма мало и едва-едва заметно». Ньютон ни в этой теореме, ни в Следствии 20 не приводит никаких чисел — он дает чисто физический анализ. Но эта теорема очень интересна, так как она характеризует физическую интуицию Ньютона. Отступление точек равноденствий (предварение равноденствий, установленное из наблюдений еще Гиппархом) Ньютон объясняет притяжением Солнца и тем обстоятельством, что вращающаяся Земля сжата по полюсам. Колебательные движения земной оси — это нутационные колебания, вызванные притяжением Солнца. Ньютон первый указал на существование таких колебаний и точно определил их период («дважды в год»), заметив совершенно справедливо, что они «едва-едва заметны» (как потом выяснилось, их амплитуда равна 0,55"). В дальнейшем Ньютон вернулся к вопросу о предварении равнодействий (Предложение XXXIX, Задача XX). Учитывая притяжение Солнца и Луны, а также сжатие Земли, он определил годовое смещение узлов равнодействия, причем он получил практически верный ответ. Теперь эти доказательства и расчеты не требуют специальных знаний — они укладываются в рамки общего курса теоретической механики.

34

Очень кратко остановимся на содержании Книги II. В этой книге Ньютон впервые в истории механики изучает движение тел в сопротивляющейся среде, рассматривая случаи, когда силы сопротивления пропорциональны первой и второй степени скорости. Нужно сказать, что геометрические формулировки рассматриваемых задач и полученные ответы (среди них есть анализ движения свободных тел и различных маятников) не оказали большого влияния на развитие механики. Это объясняется главным образом тем, что Ньютон опередил свое время по крайней мере на 150—200 лет, лишь в XIX столетии этими задачами начали заниматься серьезно. Но к этому времени геометрический метод Ньютона был полностью вытеснен дифференциальным и интегральным исчислением, с помощью которого все задачи решались значительно проще, чем это сделано у Ньютона.

Из содержания Книги II следует отметить прежде всего анализ движения тел во вращающейся жидкости, иначе говоря, о влиянии вихрей на движение тел. В последнем Поучении этой Книги Ньютон пишет: «Отсюда следует, что планеты не могут быть переносимы материальными вихрями», и далее: «Таким образом, гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию». Ньютон не упоминает имя Декарта, но его выводы полностью направлены против этого французского философа и математика, объяснявшего движение небесных тел и их форму теорией вихрей.

Из содержания Книги II полезно отметить еще знаменитое Поучение, написанное сразу после Леммы II, вслед за Предложением VII и Теоремой V. В Лемме II Ньютон практически использует дифференциальное исчисление в буквенных обозначениях и считает нужным «застолбить» свой приоритет. Вот что он написал в первых двух изданиях своих «Начал»: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г.Г.Лейбницем, я ему сообщал, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково приложимых как для членов рациональных, так и для иррациональных. Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такую метод. Она оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами и начертанием формул». В третьем прижизненном издании своих «Начал» Ньютон опустил имя Лейбница, но более подробно перечислил задачи, которые можно решать его методом.

В Книге III. Ньютон показывает справедливость догадки Кеплера о влиянии Луны на морские приливы, доказывает, что сила тяжести на поверхности Земли зависит от места ее измерения (приводятся не только теоретические соображения, но и результаты непосредственных измерений, выполненных различными учеными). Ньютон указал, что средняя плотность Земли заключена между 5 и 6 в единицах плотности воды (по современным данным эта плотность равна 5,52); затем он проверяет закон всемирного тяго тения на спутниках Юпитера. Укажем еще, что Ньютон приводит методы определения орбит небесных тел по их наблюдениям. Эти методы использовал, прежде всего, сам Ньютон, а затем Галлей. Это, конечно, не все, что имеется в «Началах».

К вопросу о сжатии Земли следует вернуться. Согласно теории вихрей Декарта, Земля должна быть вытянута вдоль полюсов, а не сжата, как утверждал Ньютон. Так как во Франции авторитет Декарта был очень велик, то вопрос о том, кто прав — Ньютон или Декарт,— принял для Франции характер проблемы национального престижа. Для решения вопроса Французская академия наук снарядила две экспедиции — одну в Перу, а вторую в Лапландию (северная часть Швеции и Финляндии). Вторая экспедиция, возглавляемая Мопертюи, непосредственными измерениями ду ги

35

земного меридиана установила в 1736 г., что Земля сжата по полюсам, доказав тем самым правоту Ньютона (длина дуги измерялась в угловых единицах и сравнивалась с соответствующей величиной под Парижем).

Остановимся еще на двух вопросах, которые показывают отно шение Ньютона к силе тяготения и его отношение к методам исследования. Вот что он пишет в самом конце книги по первому вопросу: «До сих пор я изъяснил небесные явления и приливы наших морей на основании силы тяготения, но я не указывал причины самого тяготения... Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю. Все же, что не выводится из явлений, должно называться гипотезою; гипотезам же метафизическим, физическим, механическим, скрытым свойствам, не место в экспериментальной философии». Далее: «Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложен - ным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех дви жений небесных тел и моря».

Эти слова говорят о том, что Ньютон не знал, отчего возникают силы тяготения. В книге он не считал нужным писать об этом более подробно, считая, что тяготение должно вызываться каким-то агентом — посредником, существование которого он определить не может. В письме к Ричарду Бентли (1662—1742) 25 февраля 1693 г. он пишет: «Предполагать, что тяготение является существенным, неразрывным и. врожденным свойством материи, так что тело может действовать на другое на любом расстоянии в пустом пространстве, без посредства чего-либо передавая действие и силу,— это, по-моему, такой абсурд, который немыслим ни для кого, умеющего достаточно разбираться в философских проблемах. Тяготение должно вызывать ся агентом, постоянно действующим по определенным законам». В другом письме тому же адресату Ньютон пишет: «Иногда вы говорите о тяготении как о чем-то существенном и внутренне присущем материи. Молю вас не приписывать это понятие мне, ибо я отнюдь не претендую на знание причин тяготения — и поэтому не буду тратить время на их рассмотрение».

Отметим, что дальнейшее развитие науки не обнаружило агента, передающего тяготение, и привело Эйнштейна к пересмотру фундаментальных понятий пространства и времени. Об этом будет кратко рассказано в дальнейшем.

Для пояснения метода или подхода Ньютона к исследованию явлений обратимся к началу Книги III. Эта книга начинается с «Пра вил умозаключений в физике». Ньютон дает всего четыре правила, из которых приведем только два.

«Правило I. Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений».

«Правило IV. В опытной физике предположения, выведенные из совершающихся явлений с помощью наведения, несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почитаемы за верные или в точности, или приближенно, пока не обнаружатся такие явления, которыми они еще более уточнятся или же окажутся подверженными исключениям». В предисловии к первому изданию «Начал» Ньютон пишет: «Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления».

Добавим к этому слова Ньютона из его книги «Оптика», опубликованной до «Начал»: «Вывести из явлений два или три общих принципа движения и затем изложить, как из этих ясных принципов вытекают свойства и действ ия всех

36

вещественных предметов, вот что было бы очень большим шагом вперед в философии, хотя бы причины этих принципов и не были еще открыты».

Если учесть, что под словом «принципы» Ньютон понимает законы, то нужно признать, что его «Начала» построены исключительно логично в строгом соответствии с его пониманием методов исследо вания. Все последующие ученые шли по этим правилам, установлен ным Ньютоном. Правда, не всегда можно ограничиться двумя-тремя принципами, и иногда гипотезы опережают явления, но они безжалостно отвергаются, если противоречат опытам.

Ньютон был блестящим экспериментатором и выдающимся математиком. Он является основоположником физической оптики, и, пожалуй, никто не добился в ней столь впечатляющих результатов.

В заключение приведем краткие высказывания выдающихся ученых о «Началах» Ньютона.

Лагранж, говоря о «Началах», сказал, что это «Величайшее произведение человеческого ума». «В руках Ньютона механика прев ратилась в новую науку; его Principia mathematica, появившиеся впервые в 1687 г., и представили эпоху этого превращения». «Математики, трактовавшие теорию ускоряющих сил после Ньютона, почти все ограничивались тем, что обобщали данные им теоремы и переводили их в дифференциальную форму».

Эйнштейн: «Ньютон оказал своими трудами глубочайшее и сильнейшее влияние на мировоззрение в целом». «Он первый указал на причинность явлений». «Элементы теории Ньютона перешли в общую теорию относительности». «До сих пор не удалось заменить единую концепцию мира Ньютона другой столь же всеобъемлющей единой концепцией. То, что мы добыли до сих пор, было бы невозможно получить без ясной системы Ньютона».

С.И.Вавилов: «В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона». Эту же мысль С.И.Вавилов много раньше выразил следующим образом: «До и после Ньютона никто еще не достиг большего в естествознании.

Л.10

Работы Леонарда Эйлера по механике

Примерно около 50 лет после выхода в свет «Начал» Ньютона крупных теоретических достижений в механике не было. Решались отдельные интересные задачи, получившие в дальнейшем развитие в различных разделах механики. Первый крупный шаг вперед после Ньютона был сделан Эйлером. Почти одновременно с ним, с отставанием во времени иногда всего на несколько лет, а в некоторых случаях на 20—30 лет, Даламбером и Лагранжем были получены выдающиеся результаты, оказавшие большое влияние на дальнейшее развитии механики. Эйлер является одним из выдающихся ученых, оказавший большое влияние на развитие физико-математических наук в XVIII веке. В его творчестве поражает проникновенность исследовательской мысли, универсальность дарования и огромный объем оставленного научного наследия. Ограничимся в основном работами Эйлера по общей механике.

Леонард Эйлер (1707—1787) родился в швейцарском городе Базеле в семье пастора Пауля Эйлера. Отец Леонарда дал ему первые уроки не только богословия, но и математики (Пауль Эйлер слушал в Базельском университете лекции по математике Якоба Бернулли). В 13-летнем возрасте Леонард поступил на факультет свободных искусств Базельского университета. В этом университете он слушал лекции по математике Иоганна Бернулли, который безвозмездно руководил его

37

учением и частным образом. В 1722 г. Эйлеру была присвоена первая ученая степень бакалавра, а в 1724 г., после того как он произнес речь о сравнении картезианской и ньютонианской натурфилософии, ему было присвоено звание магистра искусств. В 1727 г. в 20-летнем возрасте Эйлер приехал в Петербург, куда он прибыл по приглашению Академии наук. Его рекомендовали сыновья Иоганна Бернулли Николай и Даниил, приехавшие в этот город в 1725 г. по приглашению только что созданной Академии наук. В России Эйлер жил до 1741 г., затем 25 лет работал в Берлинской академии наук. Эйлер получил пост директора математического класса и в отсутствие президента Мопертюи исполнял его обязанности. С 1759 по 1766 г. он вел дела Академии наук под наблюдением короля Фридриха II (у них были плохие отношения, и король не хотел назначать Эйлера президентом). За время пребывания в Берлине Эйлер не прерывал свои связи с Петербургской академией, печатал в ее изданиях много своих работ, у него стажировались три русских адъюнкта. Находясь в Берлине, он дал блестящий отзыв о диссертации Ломоносова: «Все сии сочинения не только хороши, но и превосходны... Желать надобно, чтобы все прочие академии были в состоянии показать такие изобре тения, какие показал господин Ломоносов» (встретиться Ломоносову с Эйлером не довелось—Ломоносов умер до возвращения Эйлера в Россию). В 1766 г. Эйлер вернулся в Петербург, в котором оставался до конца своих дней. Он был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище; в 1957 г. прах был перенесен в городской Некрополь (Александрово-Невская лавра). На его могиле воздвигнут гранитный памятник с надписью на латинском языке «Петербургская академия наук Леонарду Эйлеру». У Эйлера была большая семья, и его далекие потомки живут в нашей стране .

Эйлер оставил после себя свыше 850 научных работ, из них 58 % посвящены математике, 28 %—механике и физике, 11 %—астрономии, 2 %—баллистике, морской науке и строительному делу и 1 %—другим областям знания.

В 1736 г. в Петербурге была опубликована его книга в двух томах на латинском языке под названием «Механика или наука о движении, изложенная аналитическим методом Леонардом Эйлером » Задача, которую поставил перед собой Эйлер, становится ясной уже из заглавия книги, а в предисловии он объясняет, почему механику нужно изложить аналитическим. Эйлер пишет, что, читая «Начала» Ньютона, он все понимал, но стоило ему «чуть-чуть изменить условия задачи», как геометрическое доказательство Ньютона необходимо было менять, а как менять, он не знал. Тогда Эйлер решил дать аналитическое изложение: «Благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса». Это первое очень важное достижение Эйлера. Необходимо отметить, что еще до Эйлера в самом начале XVIII века Вариньон и Герман в 1716 г. при решении простейших задач привели аналитическую запись второго закона Ньютона. Формулы Эйлера и его обозначения еще не приняли канонический вид, но Эйлер показал, как, не прибегая к геометрическим рассуждениям, можно на более простом и универсальном аналитическом языке изложить динамику материальной точки. Эйлера можно считать и основоположником кинематики (этот термин у него, конечно, отсутствует). Первую главу Эйлер назвал «О движении вообще». В этой главе не рассматриваются силы, а изучаются такие понятия, как скорость точки и т. п. В Предложении 3 доказывается теорема: «При каком угодно неравномерном движении можно допустить, что самые маленькие элементы пути проходятся равномерным движением». Далее, через несколько страниц, Эйлер дает и формулу для вычисления скорости точки. Если отбросить векторное определение скорости (оно появилось примерно через 180 лет после Эйлера), то эта формула как по своему выводу, так и по форме ничем не отличается от современного определения скорости. Крупное достижение Эйлера

38

состоит в том, что он разлагает силу на касательную и нормальную составляющие и изучает движение в так называемых «естественных уравнениях» (термин Эйлера).

В этой же книге для частной задачи прямолинейного движения материальной точки Эйлер формулирует теорему живых сил (в современной терминологии — теорему об изменении кинетической энер гии). «Механика» Эйлера содержала основы динамики точки — под механикой Эйлер разумел науку о движении, в отличие от науки о равновесии сил, или статики. Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового математического аппарата — дифференциального и интегрального исчисления. Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее математический аппарат" и с блеском применил его к множеству трудных задач. Благодаря ему инструментом механики стали дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление.

Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил науку первым точным выражением принципа наименьшего действия. Идея этого принципа зародилась в оптике: П. Ферма (1601—1665) в 1662 г. вывел закон преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была воспринята И. Бернулли(1667—1748), а в 1744 г. ее развил применительно к механике П. Мопертюи (1698—1759). Принцип Мопертюи гласит: когда в природе происходит некоторое изменение количества действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов.

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же1744 г. в сочинении «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи». Он сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл от mv по ds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной

фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа.

Своему труду по динамике твердого тела — «Теории движения твердых тел» (1765) Эйлер предпослал большое введение из шести глав, в котором вновь изложена динамика точки. Это позволяет читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами раньше. В изложение внесены некоторые улучшения: в частности, здесь пишутся уравнения движения точки с помощью проектирования на оси неподвижных прямоугольных координат (а не на касательную, главную нормаль и нормаль, т. е. оси подвижного естественного трехгранника, связанного с точками траектории, как в «Механике»). Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В основу положен принцип Даламбера, высказанный французским математиком в «Трактате о динамике» 1743 г. Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращение вокруг неподвижной оси и вращение вокруг неподвижной точки. Здесь даны формулы для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.) и т. д. Далее изучены свойства момента инерции, после чего Эйлер переходит к

39

самой динамике твердого тела. Он выводит дифференциальные уравнения вращения тяжелого тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил и решает их для простейшего частного случая. Так возникла знаменитая и столь важная в теории гироскопа задача о вращении твердого тела около неподвижной точки; это исследование было продолжено вскоре Лагранжем, а затем С. В. Ковалевской и целым рядом других русских и зарубежных ученых.

По поручению Петербургской академии наук Эйлер занимался исследованиями по теории корабля. В 1749 г. вышла его монография «Морская наука» в двух томах. В первом томе излагается общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором — теория применяется к анализу вопросов, связанных с конструкцией и нагрузкой кораблей. Это сочинение занимает видное место как в развитии теории устойчивости и теории малых колебаний, так и в кораблестроении. В 40-е годы Эйлеру пришлось не раз сталкиваться с вопросами гидро- и аэромеханики. Такие вопросы вставали, в частности, в области баллистики. Впервые Эйлер занялся баллистикой в 1727—1728 гг. в связи с опытами Д. Бернулли, изучавшего движение сферического снаряда, выпущенного в вертикальном направлении. Затем Эйлер рассмотрел в своей «Механике» вопрос о движении тела в среде, сопротивление которого пропорционально той или иной степени скорости.

С задачами механики жидкостей Эйлер вновь встретился в 1749 г. при консультировании работ по проведению канала между Гавелем и Одером, а затем после изобретения И. А. Сегнером (1704—1777) гидравлической машины, известной теперь каждому школьнику под именем «сегнерово колесо».

В первоначальный вариант «машины Сегнера» Эйлер внес большие усовершенствования, и именно в таком виде эта машина явилась прообразом реактивных гидравлических турбин, строить которые начали три четверти века спустя. В работе «Более полная теория машин, приводимых в движение реакцией воды», изданной в Берлине в 1754 г., Эйлер положил начало теории и методам расчета гидравлических турбин.

В 50-е годы Эйлер подготовил несколько больших работ по гидромеханике. Первая из них — «Начала движения жидкостей» — была напечатана в трудах Петербургской академии наук за 1756—1757 гг. В ней излагались общие начала гидростатики и аэростатики, выводилось уравнение неразрывности для жидкости с постоянной плотностью.

Три других трактата Эйлера — «Общие начала состояния равновесия жидкостей», «Общие начала движения жидкостей» и «Продолжение исследований по теории движения жидкостей», вышедшие в записках Берлинской академии наук (1755 — 1757), составили основополагающий трактат по гидродинамике; во втором из них, и частности, выведены дифференциальные уравнения в частных производных движения несжимаемой жидкости, а в третьем рассмотрены некоторые вопросы движения жидкостей и газов в узких трубках произвольной формы. Со всем этим была связана разработка Эйлером приемов решения уравнений в частных производных. Одно из таких уравнений встречается теперь в задачах о движении газа с околозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями.

Эйлеру принадлежат также выдающиеся работы по небесной механике. Не останавливаясь подробно на анализе этих работ, необходимо отметить роль Эйлера в утверждении закона всемирного тяготения Ньютона.

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения тел Солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро (1713—1765) и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину,

40

вдвое превосходившую данные наблюдений. Многие ученые полагали, что закон тяготения Ньютона нуждается в поправке. Некоторое время спустя, однако, Клеро пришел к заключению, что причиной расхождения теории с наблюдениями является не ошибочность закона Ньютона, а недостаточная точность применявшегося метода вычислений, при которых ограничивались первым приближением. Второе приближение уже давало результаты, согласные с наблюденными. В 1749 г. Клеро сообщил об этом Эйлеру. Для проверки теории Клеро Эйлер исследовал тот же вопрос посредством своего собственного, иного метода вычислений. Так возникла его «Теория Луны, выявляющая все ее неравенства» (Берлин, 1753).

Книги Клеро и Эйлера восстановили поколебленную было уверенность в теории тяготения Ньютона. Применяя метод вычисления Эйлера, немецкий астроном И. Т. Майер (1723—1762) рассчитал таблицы видимого движения Луны, которые некоторое время спустя были использованы в морских справочниках для определения долготы корабля в открытом море по угловым расстояниям Луны от ярких небесных светил.

Труды Эйлера по механике и в наши дни не утратили своего значения как первоисточник дальнейших многочисленных исследований.

Л.11

Жан Лерон Даламбер

Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконно рожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого — Jean le Rond, откуда и его имя, — и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert.

Выдвинувшись благодаря своим исключительным способностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Петербургской академии наук. Не касаясь философско-просветительной деятельности Даламбера, сыгравшей существенную роль в социологической подготовке французской революции; следует упомянуть только, что по своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материализма и что в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713—1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел». В первых томах «Энциклопедии» он опубликовал важные статьи по математике и механике — «Предел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».

Не останавливаясь на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Так, например, изучение теории функций комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, «уравнение струны»).

Остановимся на работах Даламбера по механике. К середине XVIII в. его работы вместе с исследованиями Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала наукой, охватывающей все виды движения материальных точек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достижения математического анализа. Даламберу принадлежат работы, как по общим