Консппект лекций

11

погружённое в эту жидкость, выталкивается вверх с силой, равной превышению веса вытесненной жидкости над весом погруженного тела; 2) тело более тяжелое, чем жидкость равного объема, теряет в последней часть своего веса, равную весу вытесненной жидкости.

Во второй книге Архимед рассматривает условия устойчивости плавающих тел (рассматриваются тела, полученные от вращения конических сечений). Он исследует случаи, когда эти тела могут оста ваться в наклонном положении, случаи, когда они должны сохранять свое вертикальное положение, а также случаи, когда они должны опрокинуться или же выпрямиться. Полезно привести слова Лагранжа о книге Архимеда «О плавающих телах»: «Эта книга является одним из прекраснейших памятников гения Архимеда, она содержит в себе теорию устойчивости плавающих тел, к которой современные ученые добавили лишь очень немногое».

Чтобы дать более полное представление об удивительном по своей гениальности человеке, следует сообщить очень кратко о других работах Архимеда. Он показал способ для вычисления и оценки числа песчинок в объеме земного шара. Нашёл специальное обозначение для получившегося очень большого числа; он нашел, что объемы сегмента, шара и цилиндра с одинаковыми основаниями и равными высотами относятся между собой, как 1:2:3 . Для числа Архимед нашел хорошее приближение, заключив его в двойное неравенство 223/71 < <22/7; ему принадлежат исследования коноидов и сфероидов, различных спиралей (одна из них носит до наших дней его имя) и т. п. Архимед был хорошим инженером. В древности ему приписывали до 40 открытий в области практической механики, из них некоторые известны только по названию. Отметим, что архимедов винт применялся для осушки залитых Нилом полей, когда Архимед был в Египте. Архимед построил «астрономическую сферу», на которой наглядно мож но было показывать движение небесных светил (этот прибор как т р о ф е й б ы л п е р е в е з е н в Р и м ) . При осаде Сиракуз римским флотом Архимед построил метательные снаряды, причинившие много вреда римлянам. Как свидетельствуют древние историки (по-видимому, это легенда), Архимед построил громадные «зажигательные стекла» с помощью которых «сжег римский флот». Несмотря на героическую защиту, римляне вторглись в Сиракузы и воины предались грабежу. Когда они добрались до дома Архимеда, то увидели 75-летнего старика, сидящего на полу и чертившего н а рассыпанном песке геометрические фигуры. По одной из сложившихся легенд Архимед встретил воина классической фразой: «Не трогай моих фигур». Архи - мед был тут же убит.

Л 4.

Кинематика планетных движений в древние времена

История первых астрономических открытий излагается здесь очень кратко, в частности почти не упоминаются различные, отвергнутые еще в древности теории движения планет. Не освещаются также те открытия, которые не имеют непосредственного отношения к построению кинематики планетных теорий, и открытия различных народов, не оставивших письменных свидетельств.

В древнем Египте и Вавилоне велись наблюдения за движением небесного свода. Было установлено, что семь светил (Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн) перемещаются относительно других звезд, которые сохраняют неизменное взаимное расположение. Наиболее полные наблюдения велись в

12

Вавилоне. Из найденных 72 глиняных плиток с клинописью, составленных примерно в 2800 г. до н. э., видно, что в древнем Вавилоне знали достаточно точно (в долях суток) периоды обращения «блуждающих светил». Год у вавилонян разделялся на 12 месяцев по 30 дней в каждом с дополнением их пятью добавочными днями. Вавилоняне ввели шестидесятиричную систему счета: час разделялся на 60 минут, а минута—на 60 секунд. Эта система счета времени перешла на угловые величины и через греков сохранилась до наших дней. Однако ни египтяне, ни вавилоняне до греков не могли составить общую картину движения небесных тел — объясняли они наблюдаемые явления волею богов и другими таинственными силами.

Древнегреческий ученый Пифагор (VI в. до н. э.) и его школа, по-видимому, первыми начали считать, что Земля имеет форму шара; шарообразную форму они приписывали всей Вселенной (Пифагор считал, что сфера является наиболее совершенным по форме телом). У пифагорейцев зародилась мысль, что все небесные тела должны равномерно двигаться по окружностям — линия эта совершенна, божественна и единственно пристойна для пути небесных светил. Равномерное круговое движение легло в основание всех последующих систем движения планет вплоть до Коперника включительно. Это утверждение был чисто умозрительной, и она не оказала влияния на развитие астрономии.

Древнегреческий философ Платон (V—IV вв. до н.э.) поставил задачу найти общую закономерность в движении небесных тел, провозгласив знаменитый призыв «спасти явления». Были философы, объяснявшие движение «блуждающих звезд» комбинацией вращения сфер, к которым прикреплены планеты. Но ученик Платона Гераклид Понтийский (IV в. до н. э.) утверждал, что видимое суточное вращение небосвода не более чем иллюзия . В действительности Земля за 24 часа совершает один оборот вокруг своей оси. (Имеются сведения, что первым высказал эту мысль один из пифагорейцев.)

Дальнейшее приближение к познанию движения небесных тел сделал Аристарх Самосский (около 310—230 гг. до н.э.). О его жизни сохранились отрывочные сведения, и до нас дошло единственное сочинение, в котором ничего не говорится о движении Земли. Однако по свидетельству Архимеда (он был моложе Аристарха на 25 лет): «Аристарх Самосский написал сочинение, содержащее ряд новых допущений... Он принимает, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, а Земля движется вокруг Солнца по окружности круга, в центре которого лежит Солнце». Аристарху Самосскому принадлежит и первая постановка вопросов: «На каком расстоянии?» и «Какие размеры?». Его решение, основанное на нескольких теоремах Евклида и неточных наблюдениях, существенно отличалось от истинных знаний, но сама постановка вопросов была важна для построения реалистической картины мира.

Древнегреческий ученый Гиппарх (II в. до н. э.), которого счита ют основателем научной астрономии, построил теорию движения Лу ны и Солнца. Он считал, что Земля неподвижна, а Луна и Солнце движутся в плоскости эклиптики . Гиппарх не мог отказаться от мысли, что движения небесных тел происходят равномерно по окружностям, но ему было известно, что времена года имеют разную продолжительность (это было установлено до него). Чтобы «спасти явления», Гиппарх сдвинул центры орбит Луны и Солнца (он назвал их эпициклами), в результате чего центр Земли перестал быть центром орбит. Подбирая радиусы эпициклов, а также расстояния между их центрами и центром Земли, Гиппарх построил точную для своего времени теорию видимого с Земли движения Луны и Солнца. Теория Гиппарха позволяла предсказывать лунные затмения с точностью до одного -двух часов (солнечные затмения удавалось предсказывать с меньшей точностью).

13

Теорию движения Луны и Солнца Гиппарх пытался распространить на движения других планет, но завершить эту теорию и построить законченную геоцентрическую систему мира ему не удалось. Сочинения Гиппарха до нас не дошли; все сведения о нем и изложение его работ сохранил для потомства Птолемей.

Наибольшего расцвета греческая космология достигла во II веке новой эры. Ее создателем был Клавдий Птолемей. Биографические сведения о Птолемее очень скудны. Родился он около 90 г. н. э., умер во второй половине II века в возрасте 78 лет. Большую часть своей жизни (свыше 40 лет) Птолемей провел в Александрии, городе, основанном в дельте Нила в 332 г. до н. э. Александром Македонским. По преданию во времена Птолемея в Александрии проживало около миллиона жителей и город играл выдающуюся роль в торговле, искусстве и науке. Александрия имела уникальное учреждение, подобно которому в те времена не существовало. Оно имело площадки для наблюдений звездного неба, ботанический сад, зоопарк, аудитории для занятий и богатейшую по тем временам библиотеку, в которой хранилось не менее 400 000 папирусных свитков, содержащих научные, философские и литературные произведения стран Средиземноморья и Ближнего Востока. По одним источникам библиотека погибла в 341 г. от толпы фанатиков-христиан, по другим (менее достоверным) гибель библиотеки приписывают арабам, которые в 642 г. под предводительством Омара штурмом овладели Александрией. Птолемей развил работы Гиппарха и создал законченную геоцентрическую систему мира, которую он изложил в трактате «Математический синтаксис астрономии в XIII книгах». Впервые этот трактат (синтаксис) Птолемея был переведен с греческого языка на арабский в IX—X веках. В арабском переводе книга Птолемея называлась «Аль-мегисте» (великое); отсюда и появилось название «Альмагест», под которым она вошла в европейскую астрономию, заняв в ней главенствующее положение на четырнадцать столетий. Католическая церковь считала, что теория Птолемея отвечает священному писанию и, следовательно, является истинной.

Птолемей, также как и Гиппарх и большинство предшествующих философов, считал, что Земля неподвижна и находится в центре Вселенной, которую он вслед за пифагорейцами представлял в форме сферы. В теорию движения Луны и Солнца Птолемей практически не внес по сравнению с Гиппархом ничего нового. Но движения остальных «блуждающих звезд» не укладывались в сравнительно

простую теорию эпициклов. Вместе с тем Птолемей считал, что равномерное движение по окружностям соответствует божественной сути природы. Вот что он пишет в начале IX книги своего трактата: «Если мы поставим перед собой задачу

14

доказать для пяти блуждающих звезд, что все их кажущиеся аномалии можно будет выразить через равномерные движения по окружностям, ибо только такие движения соответствуют божественной сути природы, тогда как беспорядочность и неравномерность ей чужды, то удачное решение такой задачи можно рассматривать как подвиг и практически как конечную цель математической науки, покоящейся на философском базисе».

О каких аномалиях пишет Птолемей? Еще задолго до Гиппарха было обнаружено, что пять блуждающих звезд (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) при своих движениях относительно других звезд, сохраняющих неизменное взаимное расположение, описывают вытянутые петли (рис.1). Птолемей объяснил эти петли следующим образом (названия окружностей соответствуют древним и средневековым авторам). Планета Р (рис.2) участвует одновременно в двух равномерных движениях по двум окружностям. Первая окружность (деферент) имеет центр в точке Q (эквант), причем эта точка не совпадает с центром Вселенной—Землей Т. По деференту равномерно движется точка N—центр эпицикла, а по эпициклу равномерно дви жется планета Р. Оба движения происходят непрерывно с разными скоростями, поэтому наблюдатель, находящийся на Земле Т, увидит, что планета описывает вытянутую петлю.

Здесь описано только основное в теории Птолемея. Сложность ее состояла в том, что для каждой планеты нужно было подбирать свое положение экванта Q, свои радиусы не только деферента, но и эпицикла, а также свои скорости движения точек N и Р. Этим не исчерпывалась сложность системы Птолемея, необходимо было вводить дополнительные условия, в частности для Меркурия Птолемей ввел равномерное движение экванта Q по окружности небольшого радиуса.

Здесь нет необходимости входить в более детальное изложение теории Птолемея. Следует отметить только, что Птолемей превосходно знал математику, он сам доказал ряд теорем сферической тригонометрии, наконец—самое важное—он построил в первом приближении теорию видимого с Земли движения, иначе говоря, кинематику относительного движения «блуждающих звезд», которая в его время вполне удовлетворительно отвечала наблюдениям. С помощью его теории можно было не только указать, где находится та или иная планета, но и рассчитать ее положение в будущем. Если бы Птолемей не считал, что Земля неподвижна, а говорил бы только о видимом с Земли движении «блуждающих звезд», то многие воздержались бы от неуважительного отношения к Птолемею. Заметим, что астрономы высоко ценят теорию Птолемея — он значительно приблизил нас к познанию мира, а от теории деферента не мог отказаться даже Коперник. Подробное изложение истории развития планетных теорий содержится в работе Н.И.Идельсона.

В заключение краткого изложения развития кинематических теорий движения планет в древние времена полезно сказать несколько слов о дальнейшей судьбе теории Птолемея. Система мира Птолемея, как уже отмечалось, господствовала без всякого изменения четырнадцать веков. Естественно, что составленные им таблицы устарели и перестали отвечать наблюдениям (уже много лет тому назад астрономические таблицы начали составлять не на столетия, а на один год — они нужны не только обсерваториям, но и морякам). В XIII веке Кастильский король Альфонс X собрал около 50 ученых, которые, пользуясь теорией Птолемея, составили новые астрономические таблицы (они вошли в историю под названием «Альфонсины»). Альфонсинские таблицы для определения положений планет на небесной сфере использовались астрономами в течение трех веков до 1551 г. Когда Альфонс X увидел методы вычисления и результаты, он изрек слова, граничившие с богохульством и ересью: «Если бы Бог, создавая мир, спросил у меня совета, то я бы рекомендовал ему устроить все попроще». Эти слова стоили ему короны—

15

сначала папа римский не утвердил его в правах на земли, которые должны были принадлежать Альфонсу по наследству, а затем было поднято восстание (во главе его стоял сын Альфонса) и король потерял трон. Нет сомнения, что восстание поддерживала католическая церковь, которая, по существу, канонизировала учение Птолемея и преследовала всех (даже королей), кто выступал против его теории.

Л.5

Гелиоцентрическая система мира Н. Коперника

Эпоха возрождения, начавшаяся в XIV столетии, великие географические открытия Васко да Гама, Колумба, Магеллана и других отважных мореплавателей XV—XVI веков не могли не повлиять на развитие естественных наук. Следовало ожидать, что появится ученый, который не будет подавлен влиянием древних авторитетов и, разорвав прочный альянс науки с богословием, скажет новое смелое слово в естествознании. Первым это сделал польский каноник Николай Коперник

(1473—1543).

Коперник родился в торговом городе Торунь (или Торн). В десятилетнем возрасте он осиротел, и заботу о нем и других членах семьи взял на себя дядя со стороны матери Ватцельрод — епископ одной из епархий. Восемнадцати лет Коперник поступает в Краковский университет (г. Краков был в те годы столицей Польши) и среди других наук основательно знакомится с астрономией. Затем он переезжает в Италию, где изучает церковное право, одновременно ведя астрономические наблюдения, и, завершив свое образование, утверждается в каноническом праве и возводится в докторскую степень. За время 15-летнего обучения Коперник получил всестороннее образование: он церковный законник, астроном, медик и в известной степени философ. В 33-летнем возрасте Коперник возвращается из Италии и приступает к исполнению своей должности каноника, живя в одной из башен собора.

Занимая не очень обременительную, но хорошо оплачиваемую должность, Коперник в продолжении 37 лет разрабатывает свою систему мира. Вначале он публикует небольшое произведение «Малый комментарий», затем многие годы работает над основной своей книгой. Наконец, в 1543 г. в Нюрнберге была издана его книга «Об обращении небесных сфер». Коперник умер, увидав напечатанными только первые листы своего труда.

В своей книге Коперник впервые в истории науки обосновывает кинематическое восприятие движений. Он пишет: «Всякое воспринимаемое изменение положения происходит вследствие движения либо наблюдаемого предмета, либо наблюдателя, либо вследствие того и другого, если, конечно, они различны между собой». Понятие относительного движения до Коперника практически не существовало, оно было совершенно чуждо физике древних. Исключения существовали, но ведущие философы и астрономы (Аристотель, Гиппарх, Птолемей и другие) считали истинным движением то, что наблюдаешь. Поэтому приведенные выше слова Коперника, очевидные для современного читателя, были откровением для людей его времени.

Коперник устанавливает три движения Земли. Первое, суточное вращение Земли он поясняет следующими словами: «Небу принад лежит только видимость суточного обращения, действите льность же его — самой Земле, так что здесь происходит то, о чем сказано в «Эне иде» Вергилия: «От гавани мы отплываем, а земли и села от нас убегают». Ибо, когда корабль движется спокойно, то все, что находится вне его, представляется морякам

16

таким, как если бы все это двигалось по подобию корабля; самих же себя и все, что при них, они, напротив, считают покоящимися».

Второе движение Земли—годовое ее движение вокруг Солнца— Коперник объясняет так: «То, что нам представляется как движение Солнца, происходит не от его движения, а от движения Земли, вместе с которой мы обращаемся вокруг Солнца, как любая другая планета ... Видимые прямые и попятные движения планет [видимые петли, о которых рассказывалось ранее] происходят не в силу их движения, а движения Земли. Таким образом, одно движение Земли достаточно для объяснения и столь видимых неравенств на небе».

Если, говоря о суточном и годовом движении Земли, Коперник мог сослаться на некоторых древних философов, в частности на Аристарха Самосского, то в третьем движении—прецессии земной оси — у него не было предшественников. Предварение равноденствий Гиппарх, а вслед за ним Птолемей и все последующие ученые объясняли вращением восьмой сферы, содержащей плоскость эклиптики. Коперник первый указал, что вращается не плоскость эклиптики, а ось Земли z вокруг оси эклиптики £. Это третье вращение Коперник назвал одним латинским словом praecessio, которое буквально означает предшествование, удачно переведенное на русский язык как предварение равноденствий (до Коперника для объяснения этого явления слово «прецессия» использовалось с другими словами).

Простота всей гелиоцентрической системы Коперника служила лучшим доказательством его правоты. Но Коперник доказал и новые теоремы сферической тригонометрии и, что очень важно, показал методы составления астрономических таблиц—методы более простые и дающие более точные результаты, чем методы Птолемея. Конечно, не имея достаточно точных данных, Коперник не мог определить истинных траекторий (орбит) планет и считал, так же как и древние ученые, что планеты движутся равномерно по круговым орбитам. Чтобы объяснить неравномерность движения планет он, следуя за Гиппархом и Птолемеем, ввел эпициклы, а эквант поместил около Солнца. Луна по Копернику уже не планета, как считали до него, а спутник Земли. Из ранних писем Коперника следует, что он начал сомневаться в системе мира Птолемея еще до «Малого комментария» (1520—1530). В 1522г. завершилась экспедиция Магеллана, которое дало первое реальное доказательство вращения Земли. Два независимых наблюдателя отмечали каждый день восход Солнца, и по их данным к моменту окончания экспедиции была среда, а на родине оказался четверг. Новость эта распространилась очень быстро. Ученые сразу вспомнили Гераклита Понтийского, утверждавшего еще в IV веке до нашей эры, что Земля вращается вокруг своей оси. Расхождение в один день произошло потому, что экспедиция Магеллана двигалась с востока на запад, и поэтому в среднем относительная и переносная скорости совпали по направлению . Возможно, что Коперник знал об этом, но в своей книге «Об обращении небесных сфер» он ничего не пишет об экспедиции Магеллана.

Гелиоцентрическая система мира Коперника оказалась настолько простой и убедительной, что, не считая церковных схоластов и догматиков, она сразу обратила на себя внимание ученых и была признана как выдающееся научное открытие. (Здесь не упоминаются имена тех, кто еще до Коперника сомневался в теории Птолемея.) Коперник проявил не только смелость научной мысли, выступив против твердо установившихся авторитетов, он проявил и гражданское мужество. Ведь он был католическим священнослужителем, он отлично знал, как жестоко преследует церковь за малейшее отступление от учения Птолемея, и он не побоялся написать следующие слова: «Если, найдутся болтуны, которые, будучи совершенно

17

невежественными в математических науках, решаться составить суждение о моем учении и осмелятся порицать мое произведение или нападать на него, ссылаясь на одно место Писания, смысл которого они извращают в своих собственных целях. Я не буду считаться с ними и буду даже презирать все их суждения как пустые» (из посвящения папе Павлу III ).

Объявить в возрасте 70 лет церковных законодателей, в руках которых был суд инквизиции, «невежественными» и «болтунами», заявить, что они «извращают» смысл Писания «в своих собственных целях», что он будет «презирать все их суждения как пустые», на это нужно было иметь особое мужество.

Следует сказать несколько слов о судьбе Коперника и его книги. Коперник принял меры предосторожности - он посвятил свой труд папе Павлу III, возможно, надеясь, что это поможет ему отвести гнев инквизиции. (Коперник был глубоко верующим человеком, и посвящение книги римскому папе могло иметь и просто знак уважения.) Кроме того, Коперник упомянул имена нескольких пифагорейцев и широко использовал работы Птолемея, книгу которого высоко ценил. Так или иначе, но первые поколения церковников после Коперника рассматривали его книгу как разновидность мистического пифагорейского учения и не придавали ей большого значения. Даже в знаменитом декрете Конгрегации индекса запрещенных книг (1616 г.), в котором было осуждено учение Коперника, оно было названо «пифагорейской доктриной», и его книга запрещалась «впредь до исправления». Полезно привести мотивировку этого постановления. «Положение, что Солнце является центром мира и совсем неподвижно в отношении перемещения, глупо и абсурдно в философском отношении. Оно является еретичным в формальном отношении, так как явно противоречит изречениям Священного Писания во многих его местах как по смыслу слов Писания, так и по общему истолкованию святых отцов и ученых богословов. Положение, что Земля не является центром мира и не неподвижна, но в себе самой целиком движется также суточным движением, глупо и абсурдно в философском отношении; рассматриваемое же с богословской точки зрения является по меньшей мере заблуждением в вопросах веры». На основании этого решения книга Коперника (вместе с книгами Кеплера) была внесена в индекс запрещенных книг, куда вскоре попала и книга Галилея «Диалог ... ». Следует отметить, что этот индекс запрещенных книг формально действовал более двухсот лет и только в 1835 г. во вновь опубликованном индексе не встречаются имена Коперника, Кеплера и Галилея. Вызывает удивление и само издание книги Коперника. К ней было дано небольшое «Введение для читателя», написанное анонимным редактором. В этом «Введении» есть слова: «Так как никакие рассуждения не позволяют астроному дойти до истинных причин движения небесных тел, то он измышляет и воображает какие угодно гипотезы... И нет никакой необходимости, чтобы эти гипотезы были истинными. Гипотезы его могут быть и несправедливыми и даже невероятными». Далее во «Введении» рекомендуется рассматривать содержание книги просто как изложение одной из таких гипотез, позволяющей производить вычисления. Это «Введение» не мог написать Коперник, так как оно полностью противоречит содержанию книги и посвящению папе Павлу III. Через 56 лет Кеплер раскрыл имя автора этого «Введения» — это был лютеранский богослов из Нюрнберга Андреас Осиандер. Кеплер, Галилей и другие были возмущены и сурово осудили автора этого введения, назвав его «лукавым», а Джордано Бруно назвал его «ослом». Возможно, что Осиандер руководствовался не идейными, а чисто житейскими соображениями, желая спасти книгу Коперника от немедленной расправы. Вполне вероятно, что именно это «Введение» усыпило бдительность инквизиции (какой богослов будет читать научную книгу — ему вполне достаточно ознакомиться с введением). Действительно, книга Коперника беспрепятственно распространялась 73 года и выдержала до запрещения два издания (третье издание вышло в

18

Голландии через год после запрещения книги). Книга Коперника оказала глубокое влияние на развитие всего естествознания. Он первый прорвал крепостные стены, построенные богословием из метафизики Аристотеля, системы Птолемея и схоластики. Богословие нелегко сдавало свои позиции, но после Коперника естествознание начало развиваться нарастающими темпами, и уже в XVII веке метафизика практически была изгнана из науки. Отдельные рецидивы были и в XVIII веке, но ученые не желали даже обсуждать метафизические рассуждения в научных исследованиях.

Л. 6

Законы движения планет И. Кеплера

Следующий весьма важный шаг в развитии гелиоцентрической системы мира сделал Иоганн Кеплер (1571—1630).

Кеплер родился в семье бедных родителей в маленьком городке Вейль, расположенном вблизи Штутгарта. Если жизнь Коперника проходила при полном материальном благополучии без каких-либо внешних потрясений (биографы называют его «баловнем судьбы»), то жизнь Кеплера протекала в постоянной борьбе с различными невзгодами. В 1589 г., когда Кеплеру было 17 лет, отец бросил жену с детьми, оставив семью на произвол судьбы. В 1615 г. мать Кеплера (ей было тогда 70 лет) обвинили в колдовстве, и ей грозил костер, на котором окончила свою жизнь тетка, воспитавшая ее. Шесть лет продолжалась борьба за спасение жизни матери. Кеплер взял на себя официальную роль защитника и с трудом выиграл процесс.

Кеплер придерживался протестантской веры и затратил много сил и энергии в борьбе за свою веру, никогда не изменяя ей. Слабое здо ровье и врожденный недостаток зрения (сильная близорукость) препятст вовали его астрономическим наблюдениям. Большая семья, вечный недостаток денег отравляли его жизнь и заставляли в поисках денежных средств заниматься составлением календарей и гороскопов. К этому добавились религиозное преследование и борьба за спасение жизни матери. Несмотря на все эти препятствия, каждое из которых могло сломить менее стойкого человека, Кеплер проявил исключительную силу воли и целеустремленность, выполнив совершенно невероятную по объему и сложности работу, имеющую первостепенное научное значение. Гёте, пожалуй, лучше вс ех выразил свое восхищение жизненным и научным подвигом Кеплера: «Когда истор ию жизни Кеплера сопоставляешь с тем, кем он стал и что сделал, радостно изумляешься и при этом убеждаешься, что истинный гений преодолевает любые препятствия».

Благодаря скудной помощи семьи и покровительству Кеплер последовательно оканчивает начальную и латинскую школы, низшую и затем высшую духовные семинарии, в 17 лет получает степень бакалавра, а в восемнадцатилетнем возрасте поступает в Тюбингенский университет, живя в бесплатном интернате для учащихся из бедных семей. В университете, готовившем студентов к духовным должностям, Кеплер помимо богословия изучал математику, астрономию, латинский, греческий и древнееврейский языки, риторику, этику, философию Аристотеля. Большое влияние на Кеплера оказал Местлин — профессор математики и астрономии университета; он же оказывал неизменное покровительство Кеплеру. Книга Коперника еще не была запрещена, и Местлин познакомил своих студентов, пользо вавшихся его

19

особым доверием, с новой астрономией, которую Кеплер сразу признал и для дальнейшего развития которой так много сделал.

В1591 г. Кеплер сдал магистерский экзамен, а в 1594 г. покинул Тюбинген

изанял должность преподавателя математики в средней школе в Граце, главном городе австрийской провинции Штирии, распрощавшись тем самым с духовной карьерой, о которой он мечтал. Чтобы не перечислять все должности, которые занимал Кеплер, упомянем только, что он был профессором университета, императорским математиком и астрономом. Частые переезды с семьей, связанные с религиозными преследованиями, и неаккуратная выплата жалования, заставляли Кеплера, как уже отмечалось, заниматься астрологией и составлением календарей.

Не рассматривая математические работы Кеплера (некоторые из них сыграли не последнюю роль в развитии математики), остановимся на его работах в области астрономии. В 1596 г. выходит в свет первая книга Кеплера «Космографическая тайна», в которой он развивает учение Коперника. Эта книга приобрела широкую известность и сделала имя Кеплера известным среди ученых. Несколько месяцев — с февраля по октябрь 1601 г. — Кеплер работал с датским астрономом Тихо Браге (1546—1601). Последний составил очень точные для своего времени таблицы положений звезд и планет. Ошибка в измерении угловых величин не превышала одной минуты дуги, а в некоторых случаях она была еще меньше и не превышала 10" (напомним, что телескопа тогда еще не было). В октябре 1601 г. Тихо Браге умер. Кеплер получил возможность пользоваться его таблицами (за деньги, которые платил сыну Тихо).

Необходимо отметить, что накопление наблюдений или постановка экспериментов является, конечно, очень важным этапом в научных исследованиях, но без целенаправленной обработки полученных данных, основанных на выдвигаемых гипотезах, открыть законы природы нельзя. Примером этому служат очень важные и ценные для науки наблюдения Тихо Браге. Располагая богатейшим материалом (таблицами наблюдений), он не знал, что с ним делать. Это хорошо понимал Кеплер, который в одном письме Местлину написал: «Он [Браге] обладал богатствами, но, подобно многим богачам, не умел найти им надлежащее употребление».

Приняв за основу гелиоцентрическую систему Коперника, Кеплер стал проверять по таблицам Тихо Браге положения планет. Сложность вычислений состояла и в том, что наблюдения Тихо велись с движущейся Земли, а Кеплер определял положения планет относительно гелиоцентрической «неподвижной» системы координат. Поэтому по наблюдениям движущихся планет с перемещающейся Земли нужно было определить законы их движения относительно Солнца. Вскоре он обнаружил, что предположение Коперника о круговых орбитах планет не соответствует точным таблицам Тихо; не спасло предположение, что Солнце смещено относительно центра орбит. Не располагая хорошими тригонометрическими и логарифмическими таблицами, путем весьма сложных и трудоемких вычислений (аналитическая геометрия еще не была создана), перебирая одну гипотезу за другой, Кеплер установил три закона движения планет, носящих и обессмертивших его имя. Вот эти законы:

1.Радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, описывает в равные промежутки времени равные площади.

2.Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общим для всех планет) находится Солнце.

3.Квадраты времен обращения планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Первые два закона были опубликованы в книге Кеплера «Новая астрономия» (1609 г.), а третий закон—в книге «Гармония мира» (1619 г.). В общей сложности на

20

математическую обработку результатов наблюдений Тихо Браге и поиск своих законов Кеплер затратил 18 лет при отсутствии какой-либо поддержки и помощи. Перечисленные законы получили сразу же мировое признание среди серьезных ученых — они объяснили неравномерность движения планет, позволили составить подробные более точные астрономические таблицы и окончательно утвердили гелиоцентрическую систему Коперника. Еще большее значение имели эти законы для механики и открытия закона всемирного тяготения.

Кроме перечисленных выше законов Кеплеру принадлежит уравнение (оно носит его имя), связывающее эксцентрическую аномалию Е планеты М со временем t ее перемещения (на рис.3 — истинная аномалия, О—центр эллиптической орбиты, F

— ее фокус, в котором находится Солнце):

Здесь t0 — момент времени соответствующий прохождению планеты через перегелий П; е—эксцентриситет эллиптической орбиты, а n — коэффициент, характеризующий орбиту.

Рис. 3

Это уравнение Кеплера вот уже почти 400 лет верно служит астрономам, а теперь и тем, кто занимается расчетами эллиптических траекторий космических аппаратов (уравнение (1) приводится во многих курсах теоретической механики).

Пользуясь уравнением (1) и установленными законами, Кеплер составил в 1627 г. новые астрономические таблицы для определения положения планет. Эти таблицы вошли в историю под названием «Рудольфинские таблицы» (в честь императора Рудольфа II, на службе которого состоял Кеплер). Они были точнее прусских таблиц, составленных, как уже отмечалось, на основе гелиоцентрической системы мира Коперника.

Вывод законов и уравнения (1) требовал от Кеплера блестящих знаний геометрии, тригонометрии и теории конических сечений, созданной Аполлонием, древнегреческим математиком 2 или 3 века до нашей эры, основная работа которого «Конические сечения» сохранилась частично в оригинале, частично в изложении других авторов. Кеплер не только владел этими знаниями, но и содействовал прогрессу самой математики. Ему принадлежат такие работы, как «Новая стереометрия винных бочек» (1615 г.), «Тысяча логарифмов» (1624 г.) и др. В первой из этих работ он находит объем винных бочек — задача, относящаяся к теории определенных интегралов, созданной значительно позднее.