Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Diskretka

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2015

Размер:

18.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Diskretka.doc20.02.2014

Есравнитьлисоответствующслагаемые(15)и(18),томожноув,чтоионидеть

S(n,r) (n,

выраодноитожчислоаюте.О псюдаещелучаемодноявноевыражениедля

r>0)

S (n, r ) =

∑

r ! n1

n1 !n2 !...nr !

+n2 +...+nr =n

Этаформупригоднане практическихля вычис

,n2 ,...nr >0

лений S(n,k),таккакона

предполагаетзнаниевс хшений

уравнения(14)или(17).

ЭффективныйспособвычиселСтирлингаления2

-городаиизучениеихсвойств

связаноустановлениемрядареккуресоотдлятныхошений

S(n,k).

Теорема. S(m,n) = S(m-1,n-1) + n S(m-1,n)

теоретико-множественным и

Комбчиможносланаторныеизучатьдвумяспособами:

алгебраическим.

ЧислаСтирлинга2

-города (ДжеймсСтирлинг(1699

-1770))

Комбчисланаторные

S(n,k) называются числаСтирлинга2

-города,

акомбинаторные

числа B(n) - числамиБелла

.Этичисласвязанысоотношением:

B (n) = ∑ S (n, k )

k =0

m-элемножестватного

числом

Числоразбиений

блоковназывается

Стирлинвторородагао

иобозначаются

S(m,n)

-го рода S(n,k).

НайдемявнуюформулудляопределениячиселСтирлинга2

Поопределению

S(m,0) = 0

при m > 0

S(m, m) = 1

S(0, 0) = 1

S(m,n) = 0

при n > m

ЧислаСтирлинга1

-города

m предметовпо

n ящикам,

Числосюръективныхфункций,тоестьчислоразмещений

числомСтиперлингаодавого

таких,чтовсеящикиза,назятывается

иобозначаются

s(m,n).

ЧисБеллао

(ЭрикТемплБел(1883

-1960))

Чивсразбиенийехло

m-элементногоножестваназываетсячисломБелла

обозначается B(m):

ЧисБелла

B(0) = 1

B(1) = 1

B(2) = 2

B(3) = 5

B(4) = 15

B(5) = 52

B(6) = 203

числоБелла

B(n),котороеозначаетчивслоевозможныхвариантов

Такжесуществуют

разбиениямножества

M нанепустыеодмножества.

B (n) = ∑ S (n, k ))

k =0

Утверждение1.

Дляопределения

S (n,k) сущрествуеткурформулаентная

S(n,k) =

S(n-1,k-1) + k S(n-1,k).

Diskretka.doc20.02.2014			62
Доказательство.
M: card (M) = n
M = {a1,a2,…,an}\
M {an}			{an} к M:
Существуетдваспособаприсоединения			{an} к M:
1)Пусть M былоразбитона		k-1 непустыходмножества,тогда		{an} можнобыл
присоединитьотдельным	k-подмножеством.
2)Множество	M {an} былоразбитона		k непустыходмножества,тогдаэлемент	{an}
можнобылприсоединитьклюбомуизужесуществующихподмножеств.Всего				k
вариантов.
Метпроизводящийфункций
Этотмеиспооддлперечияьзуеткомбсчустановлениянаторныхсел
комбинаторныхждеств.			{ai} комбчинаторныхсел
Исходнымпунктявляютсяследовательностьм			{ai} комбчинаторныхсел
последовательностьфункций	{φ i(x)} (i = 0, 1, …).
Рассмотримряд
∞
∑aiϕi (x),
i =0			{ai} конечна,т..	0≤ i ≤ n, будет
который,вслучае,когдапоследовательность			{ai} конечна,т..	0≤ i ≤ n, будет
многочленом.
Приопределеограниченияхдаряднныбудетсходящимсяйтогдаонв			F(x):
некоторойобластибудетзадаватьфункцию			F(x):

∞

F (x) = ∑aiϕi (x)

i =0

Этафункцияназываетсяпроизводящейфункцией.

Пример1.

a	n		(i=0,1, …, n), φi(x)-xi
a	=		(i=0,1, …, n), φi(x)-xi
i
	i
Вэтомслучаеиме м
									(1 + x)n
ВкачествепроизводящейфункцздесьбудетНьютонаном.
Спомощьюпроизводящейфункцииустановимтождество								n n 2
(1	n		n n	i	2n			n n 2
	n	=		i			=
	+ 1)	=	1				=
			∑					∑
			i =0 i		n	i =0 i

Дляэтоговозьмемтождество

∑n n xi

= i i =0

(1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n

Оноэквивалентнотождеству
2n 2n		n	n		n	n
	xi =			xk			xm
∑		∑			∑
i =0 i		k =0 k			m=0 m

Сравниваякоэффпр циенты						xn,получим
2n		=	n n n	=	n n 2
		=		=
			∑		∑
n	k =0 k n − k k =0 k

Пример1.

Diskretka.doc20.02.2014

Применениеметодапроизвфункции, офункциядящейгдаопределяетсястепенным

рядом.

fn называется числамиФибоначчи

Последовательностьчисел

,задаетсярекуррентными

соотношениями fn = fn-1+ fn-2

и f0 = f1 = 1

Возьмем φn(x) = xn

(n = 0,1, 2, …).Сэтойпоследовательностьюсвязанряд

∞

∑ fn xn

≤2 n

n =0

которыйвсилу

(поскольку

≤2 fn-1

)сходитсяп

ри │x│½<

иопределяет

производящуюфункцию

F(x)

∞

F (x) = ∑ fn xn

Таккак

n =0

∞

xF (x) = ∑ fn−1xn

n=1

∞

x2 F (x) = ∑ fn −2 xn

то

n =2

∞

xF (x)+ x2 F (x) = ∑( fn−1 + fn−2 )xn + x = F (x)−1

или

n=2

(1-x-x2)F(x) =1

Отсюданаходимявныйвидпроизводящейфункции

F(x):

F (x) =

1 − x − x2

Решуравнениея

x2 + x – 1 = 0 находимегок рни

−1 ±

1,2

Найдемразложение

F(x) наэлементарныедроби

1 − x − x

x − x

Имеем ax2 + bx1 – (a + b)x = -1

Этосправедливо,если

a = - b

и b = −

x1 − x2

Далее,воспользовав

шисьформдлясуммыбывающейлойгеометрической

прог( рессии

< 1,

< 1, )получим

1 1

1 − x − x2 = 5

x − x

− x

5 x

− x

1 −

2 1 −

∞ x

∞

x2n +1 − x1n +1

∞

n+1

n +1

∑

−

∑

∑[(− x2 )

− (− x1 )

(x x

n +1

n =0 x

5 n =0

)

5 n =0

1 2

откуда

Diskretka.doc20.02.2014

n+1

+ 5

1 −

−

чтодаетявноевыражениедлячиселФибоначчи.

Контрольныевопросы

1Ч.тао

коекомбинаторикадлячегоужна?

2Чтоназывается. :

— перестановкой п-элементногоножества;

— размещениемиз

п элементовпо

т элементов;

— сочетаниемиз

п элементовпо

т элементов?

3Вчемотличие. размп щрестановок?ний

4Вчемотличие. сочет

анийотразмещений?

5Сколькими. спосразжнобатримкестнакнигиполкетьжной?

6Запишите. формулудлявычисочетанийслаенияэлементов,исполь

зуемуюв

формулебиномаНьютона.

7Как.найтичислоперестановокповторениями?

8Сколько. существ

уетпятизначныхчисел,укоторыхкаждаяследующаяцифра:

—меньшепредыдущей,

— большепредыдущей.

9Сколько. прямыхможнопровестичерез

п точек,еслинитриизакиеннележатх

наоднойпрямой?

10Сколькоразных. словможносоставипересбуквтановкойь

словечачача« »?

11Вычи. :а(+с)2;bалите++с)3(b.+

C1p + Cp2 + ... + Cpp−1

12Покажите. ,чтосумма

делитсянар,гдер

— простчисл. ое

13Докажи. свойсбиномиальныхткоэффициентовва.

14Какая.разницамеждудекартовымквадранекоторогонепом

устогомно

жества

AимножествомвсехдвухэлеподмножествентныхA?

15Скольотношений. эквиваленможпоснтмаонор,кожествеииь

торое

состоитиздвух,тр,четырэлемх?Сколькоебинарныхнтовотно

шенийможнозадать

намножествеизп

элементов?

16Сколькосуществует. функцийизмножестваAмножествоВ,если

\А\ =т,а|B| =

Лекция№	6	Всамойматематикеглавныесреддоистинываигнуть		–
		Всамойматематикеглавныесреддоистинываигнуть		–
		индукцияаналогия.	Лаплас,Опытфилософеориии
			Лаплас,Опытфилософеориии	.
			вероятностей,М., 1908,стр.7	.
		АЛГЕБРАСИСТЕМАЧЕСКЯ
Алгебраическаясистема		A назысоваетсяокупность
Алгебраическойсистемой		A назысоваетсяокупность	‹M,O,R›,перваясоставляющая
которой M естьнепустоемнож,втораякомпствонента			O – множествоалгебраической
опе,тркомпонентаацийетья		R – множествотношений	намножестве M.

Diskretka.doc20.02.2014

Пояснение.

M алгебраическойсистемы

A называют

несущим,или

основным

1Множество.

множеством.

2Совокупность. алгебраическихоперацийотношенийалгебраическойсистемы

называют сигнатурой Σ. Вэтомслучаеалгебрсистемаз ическаяписывает

сяпарой

‹M,Σ

.› .

3Алгебраическая. система

‹M,O› называется универсальнойалгеброй

(илипросто

алгеброй),еслинаосновноммножестве

M множествотношений

R пусто.(е.

R = ).

4Алгебраическая. система

‹M,R› называется реляционнойсистемой

(или

моделью),еслинаосновноммножествезаданыMтолькоотношенияR..вэтом(случае

пустомн жперацийство

O,чтоозначает

O = ).

Пример1Алгебраич. системойявляаксиоскойтсятеорияматичнож‹ ествкая

, -, ›где( O = {

, -} – множизоперацийобъединенияство

ния .

иоперацийдополнения

аUR = {

состоящееиз нвключешения

} – множес,

Пример2.

АлгебраКантора

(алгебрамножеств)

‹B(M),

›,несущим

множествомявляетсябулеан

B(A) (т.е.множествовсехподмножествдан гожества

U),

амнопжествомраций

O = {

, -} -,булевыоперацииобъед нения

,пересечения

дополнения -.

Пример3Мет. пространствоическое

‹M,R›,где

R – метрика,являетсяреляционной

системой.Пояснение.

Пространство

–

множестбъектточек)(введеннымв

отношениточкамимеждуопенадрациямиэле ножестваентами.Метрическое

Х срасстоянмеждунимием

d≥0 ,удовлетворяющее

пространство – этомножествоточек

тремаксиомам:

d=0 тогдаитолькотогдакогда,

x=y.

1Аксиома. ид

ентичности.

2Аксио. сим. метрииа

d(х, y)=d(y,x).

3Аксиома. треугольника.

d(х,

y)=d(y,z)+d(z,y), где x, y, z X

Расстояние d(х,

y) называется метрикой,апара

‹X,d› - метпространствомическим

Замыкание иподалгебры

φ,

Подмножество

X M называетсязамкотнутымоперациисительно

если

x1,..., xn X ,ϕ(x1,..., xn ) X

Если X замкотнвутосехительно

ϕ Σ,то

X ;Σx

называется

подалгеброй

алгебры

M ;Σ ,где

= {ϕ X

}, ϕ X

= ϕ

, k = ni/

Пример1.

Алгебра

R;+,•

- поледействительныхчисел.

Тип – (2,2).

Всеконечныеподмн,кроме{0},незамкжестваотнутысложосивстельнония

конечныеподмножест

ва,кроме{0}и{0,1},незамкотнуосительтымноже. ниео

Кольцо целыхчисел

Z;+,•

образуетподалгебрураци,соответственноональных,

вещественныхчисел.

Пример2

.Алгебра

2M ; ,∩,

- алгебраподмножеств

надмножеством

Тип – (2,2,1).

Приэтом

X M 2X ; ,∩,

- подалгебра.

Пример3

Алгебрагладкихфункций

f : R → R};

,где

операция

дифференцирования.

Множествополиодпеременноймов x образуетпод алгебрукоторая обозначается R[x].

Тип – (1).

Diskretka.doc20.02.2014

Теорема. Непересечениеустоеподалгебробразуетподалгебру.

Доказательство.Пусть

Xi ;ΣX i - подалгебраалгебры

M ;Σ .Тогда

i j,ϕ X i

(x ..., x

) X

jϕ X i (x ,..., x

) ∩X

n j

Замыканиеммножества

X M

относительносигнатуры

Σ (обозначается [X]Σ)

называетсямножествовсехэлементоввключая( самиэлементы

Σ.

X),котмополучитьрыежно

из X,примоперацииизняя

Морфизмы

Извышеопредслеив,чтокаждаялуетеналгебраиченыхий

скаяструктура

выделяетклассотображмеждуобъсданнойнийктамиструктурой,согласованных

операциямиэтойструктуры.

морфизмами.Изоморфизммножествбыл

Такиеотображенияназываются

рассмотренвыше.

Гомоморфизмы

A = A;ϕ1,...,ϕm и

Алгебрысразлтиимеютпамичными

различноестроение.Пусть

B = B;ψ1,...,ψm - двеалгебрыодинаковоготипа.Есуществуетли

f: A → B,такаячто

i 1..m, f (ϕi (a1,...,an )) =ψi ( f (a1 ),..., f (an )),

тоговорят,что

f - гомоморфизм из A в B (гомомуважает« »операциирфизм)

Пусть A = A;ϕ , B =

B;ψ ,типи= (1)

f: A → B.Действиеэтихфункций

изобразимспомощьюследиаграммыу: щей

A → A

f↓↓

Пусть f – гомоморфизм.Есливзятьконкретное

B → B

a A

идвигатьсяп

одвум

различнымпутямнадиаграмме,тополучитсяодинтотжеэлемент

b B (таккак

f(φ( a)) =

ψ( f(a))),т.е.диаграмма

коммутативна.Коммутдиаграмман тизыпотомув,чтнаетсяй

услгомомовиеможнопереписатьтакфизма

f !ϕ =ψ ! f

где ! - суперпозицияфункций.

Рассмотримморфизстороныдругой.

φ: A → B

Пустьданылгебраическиесистемы

A =

A;Σ , B =

B;Σ .Отображение

называетгомоморфизмомсисятемы

A вс

истему B,есливыполняследуусловия:ютсящие

1) длюбогояфункциональногосимвола

f(n) Σ , соответствующихфункций

fА и fВ в

системах A и B илюбых

a1, a2, …, A выполняется

ϕ( fA (a1, a2 ,...,an )) = fB (ϕ(a1 ),ϕ(a2 ),...,ϕ(an ),)

2)длюбогояп

редикатногосимвола

P(n) Σ соответствующихпредикатов

PА и PВ

всистемах A и B илюбых a1, a2, …,an A выполняется

(a1, a2 ,...,an ) PA (ϕ(a1 ),ϕ(a2 ),...,ϕ(an ),) PB

Если φ: A → B – гомоморфизмто,будемегообозначать

φ: A → B

Пригомоморфиз месохраняюдействийоперацийношенияся.Этозволяет

переноизучениесвсоитьйствднойсистемынадругую.

N10

+{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, а + 10 -

Пример.Пусть

A = N;+ , B =

N10;+ψ10

,где

сложениепомодулю10Тогда.

f:=a mod 10 - гомоморфизм

A в B.

Гом,обладающморфизмдополнсвойимеют, йтельнымиствамипециальные

Diskretka.doc20.02.2014

названия.

мономорфизмом.

Гомом,которыйявляетсяинъекциейфизм,называется

Гомом,которыйявляетсясюръекцифизм,называетсяй

эпиморфизмом.

Гомоморфизм,которыйявлябие,называетсякцией

изоморфизмом.

Если A = B, тогомоморфизмназывается

эндоморфизмом,

аизоморфизмназывается

автоморфизмом.

Фундаментальныеалгебры

Намножестве

М можетбытьзаданомногоразличнопераций.Чтобыв хделить

однуизниспользуютхобычноскобки

<М, *>

иговорят,что

операция * определяетна

алгебраическуюструктуру

.Так,наприм, множец чилыхрпомимоствеелорошо

n и m можноввестимногодругих,

известныхоперацийсложенияумноженияцелыхчисел

например,операцию

○ сутькотовсройтоитледующем

m○n = n m - 3n ит.п.

<М, *>;

Взависимостиотоперацииполучаемразличныеалгебраическиеструктуры:

<М, +>;М, <

х>;М,○><

.Этобинарныеоперации,нооперациимогутбытьвобщемслучае

n–арными:при

n = 1 – унарные,при

n = 2 – бинарные,при n = 3 – тернарные ит.д.иих

комбинации.Т киелгструктурыбраическиесоставляютспециальнуютеорию

универсальалгебр.Изучениеобщемвидеалгебрыхдлянаснеп едставляет

практическогоинте,поэтомусмот

римнаиболеечастоиспол,гебрытьзуемые..

фундамалг. ентальныебры

Подведемитогсказанному.Алгебра

A =

A;Σ –

этос вокупность

A носителя

сигнатуры Σ.

Носитель A – этомноже,котосроежеттвоостоятьизнесколькихмножеств,

Σ такжеявляетсямножеством,

тогдаалгебрабудетназываться

многоосновной.Сигнатура

элементамикоторогоявляютсямножества

{F1,i1 , F2,i2 , …,Fn,in,},гдеп индексрвыйуказывает

ции F2,i2

местностьоперации,второйиндексуказываетпорядкномер,напримеропера, вый

– бинарные операции,номерданнойоперации

i2,где

i2 призначенияимает

1, 2, …, n2.

Алгебсунаоперациямиными

Самыепростыеалгебры

A =

A; F1,i

– этоалгебрысунарнымиоперациями

F1,i1,

где i1 призначенияимает

1, 2, …, n1.Этиоперацииопределяютсвойстваэлементовисамой

простойалгебройбудеталгебра,когд

i1 = 1,т.е.

A = A;{f1} .

Алгебрысбинарнымиоперациями

Бинарныеалгебрыимеютвид

A =

A; F2,i2

– этоалгебрысбинарнымиоперация

ми

F2,i2,где

i2 призначенияимает

1, 2, …, n2.Изэтихалгебрсамойпростой

будуталгебрыс

однойбинарнойоперацией,т..

A =

A; F2,1 ,где

A = M ×M,а F2,1 =*, т.е.

*: M×M → M.

Рассмотримболее

подробноэтиалгебры.

Алгебрысоднойбинарнойоперацией

Пустьнамножестве

М задаодбинарнопер.Рассмотримпорождаемыеция

еюалгебры,предварительнорассмотрнекоторыесвойствабинарныхмопераций.

Бинарноперация

* намножестве

М называется ассоциативной,если

a*(b*c) =

(a*b)*c длявсех

a, b, c

принадлежащихмножеству

М.

Бинарноперация

* намножестве

М называется коммутативной,если

a*b = b*a

длявсех

a, b

принадлежащихмножеству

М.Требованиякоммутативности

ассоциативностинез

ависимы,т.изассоциативностинеследуеткоммутативностьнаоборот.

Пример.

Diskretka.doc20.02.2014		68
1На.множецелыхчиствеел		n и m заданаалгебраическаяструктура			<М, *> такая,
что n*m = -m – n = .Этаалгебраическаяструктуракоммутаточевидноа,что					n*m = -n – m
= -m – n = m* n,нонеассоциативна:
m(np) = -m - (n*p) = -m - (-n - p) = -m + n + p;
(mn)p = -(m*n) – p = -(- m - n) – p = m + n – p
Такимобразом	m(np)≠ ( mn)p,т.е.этаалгебраическаяструктуране
ассоциативна.		Мn(R) всехквадр			n>1 накотором
2Рассм. множествотрим		Мn(R) всехквадр	атныхматрицпорядка		n>1 накотором
заданаоперацияумнЧв бычнсмыслежения.Такпостроеннаяалгебраическаяструктура		(докажите)
ассоциативна,нонекоммут. тивна		(докажите)
Назсвоанияперациййствбудутприсваисоответствующима ься
алгебраическимструктура	м <М, *>,	т.е.коммутативнаяилиассоциативнаяалгебраическая
сисилитодругоеемаодновременно.		e множества М, котможетбытьрыйтолькоодин,
Рассмотримещеодинэлемент		e множества М, котможетбытьрыйтолькоодин,			e
еслионсуществуетнаданнойалгебраичруктуре.Этотэл ментской				e М,	e	называется
нейтральединичнымили.Ообладаетсвойс: вами			-первых,	e М,	аво -вторых,для
любогоэлемента	m М выполняеравенстсяво		– 'eММ=	e' М=	,где	'e,	e' -
соответстлевыйипранейтральныйвенноэлеме			нт.
Полугруппа
Множество М сзаданнойнанембинарной			ассоциативной операцией f2 называется
полугруппой <М,	f2>.Пусть S	полугруппанаалгебраическойструктуре				f2	≡ * .

Подмножество S' S называется подполугруппой,			если а* b S' длявсех		а, b S',тогда
подмножество S' замкнутоотноперациисительно			*.Дляполугруппыд юбыхя		a, b, c
принадлежащих М выполдлябинарнойоперациияетсяуслов е
	a * (b * c) = (a * b) * c
Пример	1. Множествонепустыхслов	A+ валфавите		A образполугруппует
относитбинарнойоперациильно	конкатенации.				суперпозиции,
Пример2	.Любмнофункцийжество,замкот утоеосительно				суперпозиции,
образполугруппу. ет
Есливполсущегруппесиобразующихствуетема,состоящаяиз					одногоэлемента,
тотакаяполугруппаназывается	циклической.
Пример1	. <N, +> являетсяциклическойполугруппой,поскольку				{1} является

системойобразующ,.каждоенатурапредставитьечиможхсл но,как		1. Различныеслова		алфавите {1} эторазличныеэлементы
последовательностьзнаков
носителя,тоесэполугруппаь свободна.
ТеоремаМаркова(		-Поста)	. Существуетполугруппа,которойпроблема
распозноваравенствасловалгоритмическинеразрешимаия.
Моноид	единичным (нейтральным элементом)принятоназывать				моноидом или
Полугруппас
просто полугруппойсединицей		.Мощмо,какномнстьидаобозначаетсяжества\|			М\|или
Card М.			. e, a, a * e = e * a = a
Моноид – этополугруппасединицей
Теорема. Единицамоноидаединственна.			e1,e2 , a,a e1 = e1 a = a & a e21 = e2 a = a.Тогда
Доказательство.Пусть
e1 e2 = e1 & e1 e2 = e2 e1 = e2			М изоморфеннекотормоноидупре надмубразований
Теорема. Всякиймоноиднад
М.		М=М, <*>		М = {e,a,b,c, ….}. Построим . Тогда
Доказательство.Пусть			- моноиднад

e1 *e2 = e1 & e1 *e2 = e2 e1 = e2

Diskretka.doc20.02.2014

Группоид

<М , f2> называется группоидом.

Алгебравида

Если f2 — операциятипаумножения(

×),тогруппоидназывают

мультипликативным,

если f2 - операциятипасложения(+),то

аддитивным.

Пусть А=М, <

f2) — группоид;обоперациюзначим

f2 как

.Тогдаэлемент

e M

называется

правымнейтральнымэлементом

группоида

А, есдлявсякогои

m M

выполняеравенстсяво

т ет=

; элемент e M

группоида А =М, <o

> называется левым

нейтральнымэлементом,

есдлявсехи

m M выполняеравенстсяво

е тт=

. Вэтих

дальнейшем.

определенияхиспользовалвыражвсе«элементы»,всякийния«элементсь»В

o (перевернутая

длякраткости

вместословвсе«»иливсякий« »будемиспользсимволвать

буква А — перваябукваанглийскогослова

All — все)Ес. элементи

е, e M , группоида А=

<М,

> являетсяодновременн

олевымиправымнейтральэлеме,тоегоназываютымтом

двустороннимнейтральнымэлементом

Никакойгруппоиднеможимбетлеедногоь йтральэлемента. ого

илипросто

нейтральнымэлементом.

Действ,еслительно

т е=е

т=тит

е'=е

т=т

справедливодлявсех

m Mo, то

е' = е' oе = е.

Еслигруппоид		<М,		> мультипликативный,тонейтральэлемена ныйт							зывается
единицей иобозначается		еслиаддитивный,тонейтральэлеменазываетсяыйт									нулем и
обозначается 0.		1;	o
Группоид А=М, <		o> называется			идемпотентным,			еслиегогнатураудовлетворяет
законуидемпотентности		o> называется
				m M (m m = m).
Группоид <М,	o>,сигнатуракоторогоудовлетворяетзакоммутативностинуo
				( x, y M ) (x		o	y = y		o	x).
называется коммутативным или абелевым.						o			o
Группоид <М,		o>,вкоторвыполняетсязаконассоциативностим									( x, y, z M )

(x o( y oz) = (x oy)oz) называется ассоциативным или полугруппой.

	Группа
	Полугруппа <М,		которвыполнимыобратныейоперации:д юбыхя
каждоеизуравнений			ao>xв= b ,	y	o	a = b обладаединсрешет,называетсянымием		a,b	M
группой.	Пример.		o		o		группыподстановок,
	Рассмотримпонятиегруппынапримере						группыподстановок,	содержащейшесть
элементов.Группуподстановисследовалк						выдающийсяфранцузскийматематикГалуа
связирешениемуравненийрадикалах.
	Подстановкой n-йстепениназываетсявзаимнооднозначноеотображ ние
множестваиз		п элементовнасебя.				х1,х 2,х 3.Сущшестьперестановоквуетизтр
	Рассмотримэлемента:					х1,х 2,х 3.Сущшестьперестановоквуетизтр			ех
элементов (3! = 6): х1х2х3, х2х3х1, х1х2х3, х3х1х2, х2х1х3, х3х2х1. Запишдвереизмстановки
трехэлементовдругподдругом:						x1x2 x3
						x1x2 x3
						x x x
							2 3 1
	Этазаписьозначает,что			х1 переходитв			х2, х2 - в х3, х3 – в х1.

Diskretka.doc20.02.2014		70
Числовозможныхподстаравновок				числуперестановок.Введемследующие
обозначениядляшестивозможныхподстановок:
x1x2 x3		b =	x1x2 x3		x1x2 x3
a =	x x x	b =		x x x	c =	x x x
	x x x			x x x		x x x
	1 2 3			1 3 2		2 3 1

	d =	x1x2 x3		x1x2 x3
			x x x	e =	x x x

			2 3 1		3 1 2
Введемопера	циюумножения		× надподстановками.
Произведением подстановподстановканазывается, лучаемаярезультате

последоватвыполнениясначала,рзатемльнвтойизперемноженныхйго подстановок.Например,

f= x1x2 x3x3 x2 x1

x1x2 x3		x1x2 x3		x1x2 x3		e
c b =	=		=		x x x
	x x x		x x x
	2 3 1		1 3 2		3 1 2

Выражение б× в, б,в=а,

б	а
	а
a	а
b	b
c	с
d	d
е	е
f	f

Врассматриваемойалгебре выполняетсязаконкоммутативности.

b,с, d,е,	f определяеттабл. 1.1.			Таблица1.1
				Таблица1.1
		в
b	с	d	е	f
b	с	d	е	f
а	d	с	f	е
е	а	f	b	d
f	b	е	а	с
с	f	а	d	b
d	е	b	с	а
<М,	×>	выполняетсязаконассоциативности, не

Абелевагруппа		коммутативной,ночащеее
Группаскоммутоперациейназываетсятивной
называют абелевой вчестьнорвежскоматематикаАб.Терминлягруппа«о»ввел
французскиймате	матикГалуа,которыйиявляетсясоздателемтеориигрупп.

Алгебрасдвумяоперациями

Рассмоталгебраическиеструктуимдвумяоперациями.Этиструктурынашли широкоепримренениешениипрактическихзадач.

Кольца

Алгебра <М, × , +>,котпумножениюраяявляетсямультипликативным гру,псложениюпидом — абелевойгруппой,причемумножесвязасосложниением законами дистрибутивности

а ×(b +с)а= ×b + a × с,

(b +с) ×а= b ×а+с × а,

называется кольцом.

Тело

Кольцо,вкотвсетличныеронумэ ементысоставляютгруппупо

умножению,называется	телом.
Поля

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.2015116.59 Кб28delphi.docx
#
03.03.2015801.74 Кб14devcpp_1.pdf
#
03.09.201931.63 Кб5dia chat.docx
#
03.03.2015310.65 Кб51dinamika.pdf
#
03.03.20158.62 Mб421Diskretka.doc
#
03.03.201518.95 Mб35Diskretka.pdf
#
09.12.201869.12 Кб11dissertatsia.doc
#
01.05.2025172.54 Кб0dlya_4_i_3_kursa_-_metodicheskie_rekomendatsii.doc
#
01.04.202525.9 Кб0dlya_sds_414_anglysky.docx
#
03.03.201591.65 Кб12dogovor-uchreditelniy-1.doc
#
01.04.2025210.43 Кб1DZ_dinamika.doc