Diskretka

Diskretka.doc20.02.2014

11

Дляпроизводстварешенияразр лгорбатываются,учитывающиемы

аппаратурныевозможносемкость(памят)ивременнойфакториприусловии,что

сходимостьустойчивост

ьзадачиобеспечена.Емкостныеивременныепроблемысвязаны

размерностьюзадачивыборомэффективногоалгоритма.Решениетакихзадачвозможнона

оснтеорииалгоритмовве.ВычислепроизводятсянаЭВМндискретныхаструктурах,

гден обходкомбинаторма

наяграм.Такимотносжизньбр, мазомтребученияет

дискретнойматематики.

Дискрматематикаявляетсятнаяоднимизразделоватематики.Любая

множествами и функциями

математтеоримдиесдвумяческаялоетбъектами/5/

(соответствиями,отношени

ями) наэтихмножествах.Еслиаргументыфункции

f

пробегаютмножество

M ифункцияприз ,аченияимаетпринадлежащиеэтомуже

множеству f,тоэтафункция

f называется алгебраическойоперацией

намножестве M. Вот

этоиестьпервыепримерыввабстрактныдения

хсимволовдлярешенияреальных

практическихзадач.

Элементыбулевалгебрх

будутиспользоватьсяприизучентеории

вероят,функциональногоосанализа,темерыориий.

Булеваалгебра

—этоалгебраическая

система,котораявзависимобстможсятиельств

бытьинтерпретированалибокак

сисобыттема,либоксистемаквыскйдопуская( зыванийиныеистол)А. ксиомыования

булевойалгебрывыражаюттообщее,чтособытиядн« »высказыва« »Причи. нноия

-

следсвязьсобытийтвеннаялогичевыязьскаяз

ыванийописываетсяформулами,

имеющимивиднеравенств.Буалгебраевапредставляетсобойразновидность

частично

упорядмножестваченного

:неравенство х<у выражаетбольшую« дос»событияоверность

у

посравнениюсобытием

х илибольшее« правдоподобие»выска

зывания у сравнительно х.

Средиэлементбулевалгебрыдолжсодержатьсявйныаибольшийнаименьший,

соответствующиеабсолютно« достоверному» абсолютно« невозм»событияжному

(«тождесист»ит«нномуождественноложному»высказываниям)Каждый. э

лемент

должениметьдополнение,котм истолроежнокасобытие«ковывать,противоположное

данн»иликако«трицаниемуданноговысказывания».

Этипроблевесьразном,ониыс бпрслогикойазныикасаютсятеорией

множеств,теориейвероятностейанализом

.Такоеобилиеточексоприкосновения

смежнымиматематическимидисциплроднтеориюбулевыхалгебрнами

функциональныманализом,которомублизкапосвобщемуматематическому

стилю.

Элементыкомбинаторики

широкоспользуютсяприизучениите

ории

вероятностей.Вэтомразделеприводятсяосновныеопределеобозначения,от осящиеся

киспользулогтеоретикоческиммым

-множественнымпонятиям,атакжепредставленные

вприводимыхнижеалгоритмлогических.Начинсеаетсятеоретико

-множественных

понятий.

Теорияграфов

/2/можетбытьиспольрешениизадачисследованияна

операций,вычислительнойматематики,теорииуправления.

Изучивсвойдостисвязнваижимграфов, стипостроенияросысильных

компонекачествеибазможв нпро

актичезадрасчивксмотобразованияпросыйеть

груправленияпкоалицийровокорганизациях.

Теорияграфпозволяетоптимальнососрасписавлять,например, ботыния

трансоптимальногота,задачуразмещенияресурсов,доста,размнаскиещенияти

дорог

всевозможныхслужб,таких,какпожарныеко, андыилицейскучаст,станцоройиеи

помощи,размещскладовилипереключательныениепунктывсистемдосттовароввких

иливсетяхсвязи.п.

Заодачиеревьях,кратчайшихостовзадШтейнера

позволяютприменитьх

дляпрактичесэлектрическихзадач: прое тировгазовыхспределительныхнию

сетей.

Изоморфныечастично

всмыслер

операц,поэтомувалгебреихнейразличаютили

ваюткаккопиидруг

друга – аналогичнотому,какдля к

роман

«Войнаимир»Л.Н.Толстогоиликакимшрифтомон ,есликонечно

интересуетсодержаниеромана.

Поскалгебраопределяетсяльку

ествоми нанем,амножестви

операцийсуществуетмн, алгебрготакжемного.Здесьбудрассматривать

булевуалгебруиизоморфейалгебКа,нр,торауюафы,моно,п

группыикоснемсяколецитела.

множества

( )

Поэтому

,

азатснекоторымиалгебрамиалгебраичес. изт алгебр

являетсябулеваалгебра.

1.

,чтоизоморфн

е

утверждениеневерно.

3.

на

изучаете

6.

множествона аобъединениек

жес в

нечцечиселтныхлых.

4. Как междус идисическая

?

6.

Какие

?

8.

Как

строительный

ессметодамидискретной

математики?

9.

Как

строительнуюметодами

математики?

12. Какиеосновныесимволы,используемые

множестев

Diskretka.doc20.02.2014

14

16.

ЧтдиаграммаакоеЭйлера

-Венна?Проил

люстрируйтепомощьюдиа

-

граммыЭйлера

-Веннаобъединепересечениетрехм .ожеств

17.

Каксоотношениявымеждумножествамисоставнымивысказывани

ями?

19.

Чтоназываетсякортежемикакиекортежи

называютсяравными?

20.

Чтсчетноеакоемножество

?

22.

Черавнамуощностьконечногомножества

?

23.

Какиеоперацииможсовершатьнмножествамиад

.

24.

Дайтеопределениеобъединмножествния

.

Математики – этонекоторыйродфранцузов:еслиговоришьимчто

-

нибудь,онипереводятэтонасвойязык,итогдаэтост тотчасновится

жечем -тосовсемдругим.

И.В. Гёте Ferneres uber Mathematik und Mathematikers, s. Werke, Grosse

Weimarische Ausg. Abt. II, Bd. 11 (1893), s. 102

ОСНТЕОРИИМНОЖЕСТВВЫ

Понятиемнож ства

— одноизосновных,еслине ,п мавноенятеийма

тики.

Ононеимеетточногоопр,иеделеследугооткнеакиястиомати

ческимпонятиям.

Такимиаксиоматическимипонятиями,например,вэле

ментарнойгеометрииявляются

понятияточка,прямая,плоскость.

множество объясняетсяпомощьюпримеров,апотом

Какправило,термин

указываютсяправилаегоиспользовпримененяматемат.Последческможноияхее

сделатьнаразныхуровняхстрогости.Д

етальноеистрогизлтеоримножествжени

требовбыскрупуаналологикимаеизаного

тематическихсуждений,это

— специальная

самосттема,коотноситсятораяельнаякобласти

основматематики.

Длянашихцелей

достаточновыбруровеньназываемтьк

ой интуитивнойтеориимножеств.

Diskretka.doc20.02.2014

15

Интуитивноепонятиемножества.Основпри ыеципы

Какбылосказановыше,понятиемн тноситсяжествакаксиоматическимпонятиям

математики,точноеегоопреддатьневозможноление.Частопринимаетсяформулировка

интуитивногопонятиямножеГ.Кантора, ствановоположникаэтойеории:

"Произвсовокупредльнаяностьнашейледмеи ныхилтуовиции

интеллекта,котморыежнотличитьодиндругогокоторыепредстав

ляютсякакединое

целое,называется

множеством.

Предметы,которыевхо

дятвсоставмножества,называются

его элементами".

Множествоиэлементымножества

Внастоявремясущетеорииствующиемножествразличпарадигматикойются

(системойвзглядов)концептуальногобазисалогичессредств.Так,качествеприих

мера,

можемпридпровеститочкивозрениянапервичноеоложныепоняти"

Множество".

Агрегатнаяточказрения

рассматриваетмножествокакнаборвещейпо(Кантору),

с атрибутточкизрениявной

множествомсчитаетсясвойствоатрибут( )вещи.

Символическая записьэтихочзрследующаякния:

m M (m естьэлементмножества

М).

m М(

m обладаетсвойсМ).

вом

Здесь m,

М – исходныенеопр( рвичныеделяемые)понятия"

элемент"и

"множество"аотношениепринадлеж

ности(

инцидентности) ипредикации

относятсякпервичнымнеопределяемым( )отношения.

Фундапонятиемнож«ент»,какльноервичноествопо,неимеетятипрямого

определе,но,темнеме,оношееия

ирокопривматематеняе,наприм,точка,ся ер

прямаяит...Причемлюбоепонятиедискретнойматематикижнопределитьпомощ ю

понятиямножества.

СогласноГ.Кантодному( изрусновоположниковнаивной" "теориимножест),

множеством (конечнымилиб

есконечным),являетнеупорядочеовокупностьстрогоная

разлд(ичимыхскретных)объектовагрегат( )длякаждогоиз вможнотустановитьрых

принадлежностьегоданм . мужеству

Дискрматематикабазируетсянапонятиимножества.М вляетсярединым

гармоничнымцелым,нодляегоанализаисслцедованиялепредставлятьобразногкак

совокупностьбъектов.Выделобъпроектовнмысизеилиодитсяинтуитивноеннопо

определеннымпризнакам.

Пример. 1

M –

А.ПопризнакупринадлеМГСУможносформироости

ватьмножество

коллективМГСУ.

S

Б.ПопризнстудентфакуИСТАСльтетасоздатьмножество

- студенты

факультетаИСТАС.

В.Совокупностивершиндиагоналеймногоугольнике.

Г.МножзайцевлесМосковтвоуоблаит.д.ит.пс. тикой

Д.Решениеква

дратногоуравненияестьмножество,элементамикоторогоявляются

корнизаданноуравненустановленияалг( ритмомпринадлежностиэлементамножеству

решенийявляетегоп двсквятауравнениеновкадрат). ое

жество N: N =

5…….}

Е.Всенатурачисобразуютлбесконечноеьныемно

{1, 2,

3, 4,

° .

Ж.Всеточкивещеосиравномте ожествувсдйщнойствительныхчисел

З.Множество,несодержащееэлемент,естьпустмножество

= {}.

Такимобразом,объекты

,объединенныепоопределенномупризн,обракузют

Diskretka.doc20.02.2014

16

определеннымпризнахарактеристикам( ).

множество - этосовокувполопределенныхиостье

Илиможносказать,что

различимыхмеждусобойобъектлюбойприроды,мыслимыхвкакединоецелое.Это

системы посколькувдальнейшем

определеполезносопс пределениемставить

придетзаниматьсямногосистемы.

Пример. Общепринятые2. ст

андартобозначенаиболееыеважм :ияожествых

N - Множествоцелыхположительныхнатуральных( )чисел

- (1, 2, 3, 4, . . . ).

Z - Множествовсцелыхчисел

- ( ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, . . . ).

Q - Множестворационачисе. льных

E2 - Множество,состоящееизнуляиединицы(0,

1).

Pn - Множбулевыхфункцийство

n аргументов.

Напротяжизучевскурсабудемнигостаратьсяипридерживатьсяэтих

обозначений.

Замечание:

Элементамимножесмножествамогубыть.

Терминмноже" "естьэкспликацинтуиттвоявныхпониклавно"тий

сс",

"семейство",ансамбль"", e

ts.

Терминэлем"" ожествантэкспликацьинтуитявныхпонивнотий

"участие",член",пр" "дставитель.

Неследуетсвязыватьпонятиемножествообыдпр ннымдставлением

множестве,какбольшомколичестве.Такмножест

вох}е{стьингле,апустоен

множествонесодержитэлементов.

Элементымножестванеобязательнодолжнысуществоватьодновременно.Так,

следующиетриобъектапространства

-времени:

- студ,вчсдавшийерантз ,чет

- онже,сегоднязащитившийкурспровоек

т,

- онже,намеревзавтрасдэкзаменющийсять

образуютмножизтрэлементовствох.

Предостережение:

Можноговоритьмножествеснежинокдождснег( )пр д(о),нокждепаде

нельзяговоритьмножествеснежинокдождинтак( )сугрлуже(),окакбе(впос

леднем

случаенетдискретности).

Конибесконечныемножества

То,изчегосостоитмножество,..объекты,образующиемножество,называется

его элементами.Элементымножестваразличныотличаютсядругдруга.

Каквидноизприведенныхпримеровчис

лоэлементов,образующихмножество,

можетбытьконечноилибесконечмножество.Впервомслучаеназывается

конечным,так

каконосодержитконечнэлементчисл,авовторслучаеовм

бесконечным.

Diskretka.doc20.02.2014

17

Множество,несодержэлементов, азываетсящее

пустым.Прин ятоегобозначать

символом .Пустмножестпоопределениювходитчислоподмножествбого

множества.

т принадлежитмножеству

М,тоиспользуетсязапись

включение

Есэлементи

m M ,котороеуказывает,ч

то т являэлемножестваментомтся

М.Впротивномслучае

-

запись m M указываетнато,что

т неявляэлемножестваментомтся

М.

Примеры

Множествостепенейзаключенных2, междуи110

– {1, 2, 4, 8}

Множадрячеекеспамятитвоуемых

компьютера.

Множествопрограммисполнимыхко .пьютером

Множествотактовработыпроцессора.

Вкомпьютере

все множествареальныхобъектовконечны.

Заданиемножества

Чтобызадатьмножество,нужноуказать,какиеэл мпринадлежатентыу.Ес я

данногоэле

ментаусловиевып,тонпринадлежитлненоопределямножеству, мому

противномслучае

- непринадлежит.

Множесможебытьзадравозличныминоспособами:

Перечислениеэлементов.

Перечислениеэлементов

применимотолькодляконечного

множества.Длязадания

множествиспользуютсяфигурныескобкив{которые},

записываютобозначэлеммножестваениразделтовияихзап. яюттой

Характпр.едрикатстический

Множессвойствзадаеуказаниемтсяэлементов

Р(х) ,которыезаписываютсяфигурныхскобках{.епри},

помощихарактеристического

предиката:

М:

= {m|

Р(х)}

.Характеристическийпредикат

— этонекотусловие, рое

выраженноеформелогическогоутвержденияилипроцедуры,возвращающейлогическое

значение,позволяющеепровер,приналилюбойтьданныйлежитэле

меножеству.

Вообще предикат – этовысказывание,содержащееилиесколькоп ,т. менных

повествовательноепредложение,котмбытьроежет

только истиннымложным.

Порождающпроцедур. ая

Призаданиимножествапорождающейпроцедурой

множествоим

еетвид:

М:

= {х | х: = f}. Порождающаяпроцедура

- этопроцедура,котораяв

процессераб рождакоторыентыобъекты,являющиесяэлементамиопределяемого

множества.

Пример.

М цифрдесятичногоалфавитаможнзадатьвиде

М = {0, 1,...,9} -

А.Множество

перечислениеэлементов.

Б.

М=

{i|i -

целое,

0 ≤ i ≤ 9 },гдеспротнаваклоннчертыуказаносвойство

элемеэтогонотовжества

– характеристическийпредикат.

Множество М четныхчиселможнозаписатьввиде

М=

{/т - четноечисло}

.

характеристическийпредикат.

В. М := {i|i := 0; for i from 0 to 9 do i := i + 1; yield i end for}, - множество задано

порождающей процедурой.

конечные

Бесконечные

Перечислениемможнозадаватьтолько

множества.

множествазадхарактеристическимютсяпредик

атомилипорождающейпроцедурой.

Мощностьмножества

Мощность дляконечногомножравначисэготвалементову.Например,

мощностьуниверсума

В(A) множества A мощностью n равна 2n.

Множестэквивалентные, множествувсд йствительныхчисел,принадлежащи

. Названиеконтинуум« »происходитот

х

интервалуимеют[0,1]

мощностьконтинуума

латинскогослова

continuum (непрерывное).

Diskretka.doc20.02.2014

18

Мощностьобъединениямножеств

.Числоэлем(ощностьентов)конечного

подмножества А через |А|,длямощностидвухмножеств

А и В можемз

аписать

т.е.

U

B| А=| +| | B| - |А

I

B|,

|А

мощность объединениядвухмножествравносуммек личествихэлементовза

вычетомчислаобщихэлементов.Поиндукцииможновывестиф длярмулуопределения

А,В,С

мощностиобъединелюбогоколичествамн.Дляияожмножествтрех

онаимеет

вид

|А

U1,

U

n

B| + |C| - |А

I

B| - |А

I

B| - |А

I

C| - |C

I

B| А+ |

I

B

I

C|Для.

n

B

C| А|=+| |

множествА

U

А...,

мощностьравна

n-

|А1

А2

U

…

U

Аn| = |А1| + |А2| + … + |Аn| -

I

I

|А1

- |А1

А2| - … - |А1 Аn| - |А2

А3| - … - |А2

Аn| - … - |Аn-1

Аn| +

A2

A3I

A

I

An|.

… + |А

I

A

I

A

| + … + |А

I

A

I

A

| + … + |А

A

A

| + (-1)

+ |А1I

A3| +

1

2

I

1

I2

3

I

1

2

n

I

n-2

n-1

n

…

А имеет мощность k, еслионоравномощноотрезку

1.. k;:

Конечноемножество

I

I

I

def I

A

1..k

=

.

A

= k

← →

Еслимножество

А конечно, |

А| =

k,тоэлементы

А всегдаможно

перенумеровать,

то

естьпоставитьсоотвэленомементамтствиеизотрезка

1..k спомощьюнекоторой

А =

процедупроцедуры.Наличиетакойподразумевается,когдаупотребляетсязапись

{а 1,...а ,

k}.

def

Поопределению

← → = 0.

Мощностьмножества

М эточисегоэлементов,обозначаетсякак

M

. Здесь|

М| -

количествоэлементконечногомн жества

М,вдальнейшназываемое

мощностью

множества

Пример.

N

Множествонатуральныхчиселбесконечно,

= ∞|,посколькуоноравномощно

своемусобственподмчётныхночис.жмуелству

ТЕОРЕМА1

Любоенепустконечноемн равжествонекоторомуомощно

отрезкунатуральногоряда:

|А| = |1...

k|.

A A ≠

A < ∞ k N

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотримследующуюпрограмму.

i = 0 { счётчикэлементов}

wihle A ≠ do

select

x A {выбираэлем} ентм

i = i + 1 {увеличиваемсчётчик}

x

i

{ставимэлемесоответствиенту

мер}

А:Аa

- x {иудаэлеизяеммножестваент}

=

end while

А~ N .что

Еслиэтапроцедуранезаканчиваетработу,тоонадаётсоо ветствие

невозможноввидуконечности

А.Значит,процедуразаканчиваетработупри

А~1.. k.

i = k.Новэтом

случаепостроеновзаимно

-однозначноесоответствие

ТЕОРЕМА2

Любойотрезокнатуральногорядаонечен:

n N

1...n

< ∞.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Отпротивного.Пустьсущбествуютотрконатуральногоезкичныеряда.

Рассмотримнаименьшее

п такое,что

|1п..∞=

.Тогдатрезок

1..п ,равнекоторомуомощен

своемусобственподмножествуму

А, |1п..А=| |

,тоестьуществуетвзаимно

-однозначное

Diskretka.doc20.02.2014

19

соответствие f изотрезка

1п..

вподмножество А. I:Обозначим