Diskretka

Diskretka.doc20.02.2014

31

Подобнотому,какдарслобогащаетванасмнениями

других,такязыкматемзнслужитатическихковсредством

ещеболеесов,болршточиеясен.ным

Н.И.Лобаче

вский

ОПЕРАЦИИНАДМНОЖЕСТВАМИ

A B означает,что

A B и А неравно

В ( A ≠ B )Если.

A B ,томножество

А

называется собствеподмнныможеством

множества В, амножество

В — собственным

надмножеством множества А.

А.

Покажем,чтопустмнявляетсяподмножествомлюбогомножества

Доп,чтоутверждениестим

A ложно,т.е.существуетхотябыодинэлемент

х, который

принадлежитмножеству

,которы йнеявляэлементся

томмножества

А.Номножество

неимеэле.Значитментов,утверждение

A истинно.

Пример1.1.4

А=а, {

b,с}

B =

1Множество.

являетсясобственподмноымжестваом

{а, b,с, d,е}.

2Множе.

ствостудентовюридическогофакультета

— подмножество

ствавсех

студентовуниверситета.

3Множество. четныхнатурачиселявсобственнымьныхяетсяподмноже

ством

множествавсехнатурчисел. льных

4Множество. натурачиселявподмножествомьныхяется

множествавсцелых

чисел,амножецелыхчиствоел

— подмновсехжрационаестваомчисе. льных

Пусть U — некотмножество,тогдарое

В( U) — множествовсехподмно

жеств

множества V. Вэтомслучаеножество

U называют универсальным,

амножество

В( U) —

множеством-степенью или булеаном множества U. Например,если[

U = {1,3, 5},то

В(( U) =

{ , {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3,5},{1,3,5}}.

Рассмотримпространство

1 иопределимвнемчетыреоперациинадножествами:

объединение,перес

ечение,разность,дополнение

.

Мa и Мь являетсямножество

М,состоящее

Объединением Ma

Mb , двухмножеств

изэлементовмножества

МaUиизэлементовмножества

Мь:

М = Ma

Mb = .{ mi

mi

Ma или Mb }

дяттеи

Объединением множеств А и В называетсямножес,состакотороговх

U

толькотеэлементы,которвходятсоставхотябыеодногоизэтихмножеств.Полученное

{

}.

множествобозначается

A B

,т.е.

A B

=

a

Aилиa

a

B

Пример1.1.5

A B = {1, 2, 3, 4, 6}.

1Пусть.

А= {1, 2, 3}

, В = {1, 3, 4, 6},тогда

ОПусть

Ч — множествовсч натуральныхтныхчисел,

H — множествовсех

неченатуральныхчисел,тогда

Ma I

Ч Н = N, где N

— множествовс

ехнатуральных

чисел.

Mb

Мa и Мь является,множество

М,состоящееиз

Пересечением

двухмножеств

элементов,которыепринадлежаткакмножес ву

Мa,такимножеству

Мb.

М = Ma

Mb = { mi

mi Ma & Mb }

Пересечением множеств

A ∩ B называемножество,ко сяизстоитроеэл ,ментов

I

входящихсоставкакмножества

А,таки

множества В. Полученноемножество

Diskretka.doc20.02.2014

32

обозначается

A

∩ B

,т.е.

A ∩ B

= {

a

Aиa

}. Если

A ∩ B =

,томножества

А и В

a

B

называются непересекающимися.

Пример1.1.6

Пусть А,

В,Ч,

Н означаютмножизпредыдущегоствапримера,

тогда:

Пусть А — множествопрямых,которыечерезхдятчку

а некоторой

плоскости,а

В — множествопрямых,которыечерезхдятчку

b этойжеплоскости.

Тогда A ∩ B = {l},где l — прямая,котораяпрохчерездитчки

а и b.

Операциипересеченияобъединения

{Ai }i I .Тогда

допускаследуобобю.Пустьщение

заданосемействомножеств

A = {x

i Ix A }

i IUi AI i =i {x

i Ix Ai }i

Еслипересечениепустмножество

I

М

=

Ma

I Mb

=

,тотакиемножества

называются непересекающимися.

Разностью Мa\Мb множеств Мa и Мb являетсямножество

М,состоящэлементовиз ,

принадлежащихмножеству

Мa ине принадлежащихмножеству

Мa:

Ма

М = Ma \ Mb = { mi

mi Ma & mi Mb }

Ма,ноеслионо

Вданномслучае

необязатедолжноявподмножествомятьсяьно

являетсяподмноже,торазноствомь

Мa\Мb означает дополнение к Мb в Мa.

А} . Очевидно,

Разностью множеств А и В называетсямножество

B\А= { a |а Виа

что В \ А = В\ ( A ∩ B).

Если

A B,то

В \ А называется дополнением множества А в

множестве В иобозначается А' B илипросто

А', когда В можнопределитьпоконтексту.

Симметрическаяразность

I

(M

a

M

b

) = (M

a

M

b

) \ (M

a

M

b

) =

{

x

(x M

a

& x M

b

) (x M

a

& x M

b

) .

}

Симметричнойразностью

множеств

А и В называетсямножество

U

Дополнение

A B = (A \ B) (B \ A).

= {x

x M};

Операция дополненияподразумевает,чтозаданнекоторыйуниверсум

M

U (1):

= U \ M .Впротивнслучаеоперацияд мнелнпр. енияделена

M

Двумоперациистные

объединение,пересечение,разность,

являются двуместными.

Введоперациинные

Рассмотрим

перацию дополнения,являющуюся

одноместной.

Дополнениемразность( )

= {m

m M} множества М являетсямножество

М

i

i

Diskretka.doc20.02.2014

33

Пример1.2.

Рассмотримоперациюдополнениямножества,являющегося

пересечениеммножеств

Мa и Мb. Еерезультатсовпадаетобъединениемдопол

ненэтийх

множеств

; вэтомможноубедитьсяпомощьюдиаграммЭйлера

М = Ma I Mb = Ma U Mb

(рис. 1.4).

Такимобразом,множествоможнозадатьвыражением,котороевходят

идентификаторыуказатели( )мн, перациижеств,бытьможет,скоб.Таспкоийсоб

аналитическим.

заданиямножестваназывается

V

Пример1.2.

Пусть А: = {1,2,3} ,

В: = {3,4,5} .Тогда

A B ={1,2,3,4,5},

A B = А{3}, \В= {1,2},

= {1,2,4,5}. Еслиопределёнуниверсум

U:

={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то

B

A B

U

U A ={0,4,5,6,7,8,9},

={0,1,2,6,7,8,9}.

Теоретико-множественныетождества

.

1А.

A =А

Законыдляобъединенияпересечение:

2А.

U A =А

3А.

I

В=В

А

4А.

U

В=В

U А

В)

C

5А.

I

(B

C) = (A

I

U C

6А.

U

(B U C) = (A U

В)

7. А I

(B I

C) = (A I

В) I

(A

C)

9А.

U U I

U

I

U

C)

8. А I

(B U C) = (A I

В) U

(A I

U

= U

10А.

=

11А.

I

U =А

12А.

U

=А

I

Diskretka.doc20.02.2014

34

1.

ненеА=;

Законыдлядополнений:

2.

А

неА=

U

3.

А U

неА=

4.

не(АI

U

В)неА=

I

неВ

5.

не(А

В)неА=

неВ

6.

неU

=

U

I

1А.

\В=А

В

Законыдляразностмножеств: й

2.

U\А=неА I

3А.

\U =

4А.

\ =А

5.

\А=

6А.

\А=

7А. (( \В) \С)А=

\(В

С)

8А. \(В \С)А= (

\В)

U(А С)

9А.

(В \С)=(А

В) \(С \А)

I

I

U

I

I

10А.

U

(В \С)=(А

U

В)

\(А

С)

Методвключенийух

являетсяуниверснаиболееч применяемымстольным

метдоказательствадомтеоретико

-множественныхтождеств.

Нижеприведеныпримерыдоказательствэтимиметодами.

Пример1.

(методвключенийух

)

Докажемодиниззаконовдлядополнений:

не(А

неА=

I

неВ.

Доказательство.

(методвухключений

U В)

)

В,но

Пусть х не(А

В) .Поопреддоперацленэтоилзиюн,чтоенияачает

х А

х

U.

Следовательно,

х

А иодновременно

х

В.Такимобразом,

х неА и х неВ.Из

U

U

опредпересечениярацленполучаеми,чтоия

хÎ(неА

неВ)

.Поэтому,учитывая

произвольностьэлемента

х не(А

В) ,имеем не(А

В)

неА

IнеВ.

Пустьтеперь

х

неА

неВ.Этозначит,что

Uх

неА и Iх

неВ.Такимобразом,

х

А и

U

х

х В.Поэтому

х

Следовательно,

х U\

(А В)=

не(А

В) .Поскольку

—

произвольныйэлемент

А В.

I

неВ,тоокончательнополучаем

из неА

U

неА U

неВ

не(А

В) .

U

неА

неВ=(А

В) .Ч.т.д.

Приходимквыводу,

I

U

I

U

I

Diskretka.doc20.02.2014

35

Опредобъ,пересечениелд ,разностьне,симметрическуюие разностьмножеств

А и В,

атакжедополэтимнениеожествам.

Покрытиеразбиениемножеств

Разбиением множества А называетсемействоя

Аi

i I непустыхиразличных

подмножеств А,

таких,что

Ai

= A и Ai

∩ Aj = длявсех

i, j I

(i ≠ j).Множества Ai

i I

называются классами разбиения.

А=

{1,

2,

3. 4}. {1, 2}, {3, 4} и {1}, {2, 4}, {3}.Все

Пример.Разбиениямножества

объединенияразбиенийдаютмножество

А, а всеихпересеченияпусты.

Еслимножество

А представляетсобойобъединениеподмножеств

А1,А 2, А...,

n ..., то

совокупностьподмножеств

{А 1,А 2, А...,

п, ...} называется покрытием множества А.

Пусть Ε = {E i}i I -

некотороесемействоподмножества

M и

E i M .

Семейство Ε называется покрытием

множества M,есликаждыйэлепринадлежитгомент

хотябыодномуиз

E i :

M Ei

x M i I x Ei

i=1

не

Семейство

называется дизъюнктным есэлиемэтогосентымействапопарно

пересекаются,..каждыйэлементмножества

Ε

U

M принеболеадлчемодномуизжит

множеств Ei :

i, j I i ≠ j Ei

E j =

Дизъюнктноепокрытие

Ε называется

разбиением множества M.

I

Еслижесовокуподмножествокрытияностьмножества

А такова,что

Ai

∩ Aj =

при i ≠ j, тос

овокупность {А 1,А 2, А...,

п,

...}

называется разбиением множества А,а

подмножества Аi — классами этогоразбиения,

(i = 1, 2, ... ,n, ...).

Пример

Пусть А — множествоехтудентов

МГСУ,

которыеегоза

кончили,а

Аi —

подмножтехстуденствоов

МГСУ, которыезакончили

i-йфакультетэтоговуза.

А

Посколькунеисклювозможн,чнекттоенаизмножествастудентовсть

закончилнескофакульданногьковуза,итакетчелопйвовпадаетнесколько

А1,

соответподмнсовокупностиующих,тожеясно,чтсотв

вокупностьподмножеств

А2, …,Ak, являетсяпокрытимножествам

А.

Еслижевзятьсовокупность

всех студентов МГСУ,которыеучатсявдан

ноевремя,

тосовокстудентовпность

А1,А

2, …,Ak` явля,очевид,разбиениемтся новсехжества

студентовданного

уза,которыеучатсявданноевремя.

Есливсерассматриваеножестваявляютсяподмножестваминекоторогоые

множества U, этомножествоназывают

универсальныммножество.

Diskretka.doc20.02.2014

36

Рассмотримдваконечныхмножества

А и В счисломэлементов

т и п. Междуэтими

числавозодномизтрехожносоотношений:

т=п;

т<п;

т>п.

Вотомпрос,какоеиз

них иместо,решаетсяпросто:подсчетомк личестваэле ентов

А и В. Однакоможно

поступине, ачиэтиэлементытаяь.Дляэтогомеждуэле ножествентами

А,В

необходимопопыуставзаимноновитьтьсяднозначноесоотве,прикотствиеором

А отвечаетодинтолькоодинэлементмножества

В и,

каждомуэлеме

нтумножества

наоборот,каждомуэлементумножества

В соответствуетодинтолькоодинэлемент

множества А.

А необходимопост« впару» вить

Инымисловами,каждомуэлементумножества

элементмножества

В. Таксоответствиеможноустангдатогдавитьлько,когда

т =

п. Когдажепослепостановки«

числоэлемевэтихнтовжествахдинаковое,..

пару»осталисьэлементымножества

В,

то тп<.

Еслижеполностьюисчерпаныэлементы

В

иосталисьлишниеэл

еменожестваты

А, то т>п.

Пример. ,одинакововерлич стслоьудентовгруппестульеваудитории,

можнонепересчитываятехдругих,поск студентажддитьнаогопреде. ленный

Еслиместхватитвсемостанетсяниодноголишнегостула,

тотемсамымбудет

устанвзаимноднозначноевленосоответсти,следо,равенствоэлемеатиель тов

множествахстудентовистульев.

Еслимеждуэлементамидвухразличныхмножеств

А и В можноустановитьвзаимно

однозначноесоответствиеполюбомузакону

,тоэтимножестваназываются

эквивалентными,

илиравномощными.Этозаписываетсятак:

А = В.

Харак,чтоустерноанвзаимноднозначноговлениесоответствиямеждуэлементами

множествпригоднодлясравнения

не толькоконечныхмножеств, ибесконечных.

ПриведемпримерыэквивалебесконечныхмножеМножество.тных

натуральныхчиселэквивалентномножесвсч чиселтных, каквуаждому

2n,икаждомучислу

натурачисльному

п соответствуетодноитолькоднчетноечисло

2n соответствуетегоп ловина

,являющаясянатурачис.Множествоьнымомвсцелых

чиселэквивалентномножествунатуральныхчисел.С отвмеждуцелымитств е

натурачисламиустанавливаьнымипоследующейсхем: тся

0,-1, 1.-2.2...

п> 0

1, 2,т.е.неотр3, 4,чи5,цательномуслу...,

ставитсясоответствиенечетное

число 2n + 1,аотрицательному

п < 0- четноечисло2

׀n׀ .

Счетным множествомназываетсявсяк,элементыжескоможнвоорого

поставвовзаимнооднозначноетьсоответствиевсемичисламинатуральногоряда.Иначе

говоря,счетноемножество

— этакоемножес,элементыкоможнвоорого

последпронумероватьчисламивательнонатуралряда.Приведенныевышеногопримеры

множествчетныхицелыхчиселявляютсясчетмножествамиыми,

счетным,еслионоэквив

Множествоназывается

алемнтноожествунатуральных

чисел.

Еслиэквивалентнымеждусобдваойнечныхмножества,то,каку азывалось

выше,онисостоятизодинаковогочислаэлементов.

Эквивалмеждусобойсконтмнназываютыеожестваечныемножествамия

равноймощности.

Частичноупорядмножествачнные

Алгебпонятиераичешеткитесносвязаноотношекоепорядка,заданнымнаием

конечнмножес,и быжетопрвеьследующимделенообразом.

Определение:

Множество S называется частичноупорядоченным

(ЧУМ),еслина

немзаданоре

флексив,транзитивнтисоеб мметричноеотношениенарноей

частичногопорядка

с.