Diskretka

Diskretka.doc20.02.2014

21

Такимобразом,подво

дяитогвышесказанному,можемдатьслед ющее

определение.

Конечнаяпоследовате,допускающаяповтореэльностьемеда ногоиятов

кортежом(n

-кой,вектором,набором,

множестваили(дан ),ожествыхназывается

упорядмножеством).ченным

‹a,b,c›

Условнокортежзапи

сываютугловыхскобках

Примеры:

A естькортеж.

1Слово. алфавите

2Команда. впрограммедляЭВМестьпоследовательностьсимволовизалфавита

языкапрограммирования.

3Алфавит. русскогоязыкаестьалфавит.

4Программа. дляЭВМестькортежком

анд.

5Координаты. точкив

n-мернпростобмракортеж.нствезуют

Отмследующее:тим

1Вусловной. записикортэлего, ментыжаобразующие,называютсякомпонентами

(координатами).

длиной.Такпринятокортеждлиной

2Число. компонкортназываетсяегожант

два

‹a1,a2› называтьпаройили(упорядпар),кордлиныченнойтежри

‹x1,x2,x3› - тройкой.В

общемслучае

‹a1,a2›≠‹a 2,a1›.

n-мерныйвектор,иликакточку

n-

3Кортеж. длины

n можноинтерпретироватькак

мерномпространстве,каждуюкомпонкортентыжа

можнорассматриватьэтомслучае

какпровекнасоответствующуюциютораось.

Символичязыксодержательныхмножествскорий

Впроцессеизучениякурсабудемразличатьобъектныйязыктеормножествии

метаязык,средскоторогоизучаетсявамиобъектный

зык.

Под языкмножествтеории

будемпониматьреляциоосновнымюсистему,

множествомкоторойявляютсясимволыалфавита

A,аотношенияпозволяютполуча ь

F.

синтаксическиправильныеязыковыевыражения,средикоторыхвыделяютформулы

2

n

В этом плане L = ‹A,B›,

B

A U A

U ... A ,

F

B. А мн-ва

М сагрегатнойи

Логическаяэкспонятияликацияподмножества

атрибутивнойточзрследующаякния:

(AÍM) х~((("

xÎA) ® (xÎM))) (1)

(AÍM) ~ ("x((xÜA) ® (xÜM))) (2)

здесьметасимволы~следуетсчита® соо какветстьэ" ви"ивалентностьенно

"если…то".

Примеры.

М=

Ґ

1Множество. всч целыхтныхчисел.

{ n

n = 2m длянекоторого

m }

•

Ґ

Ґ

b

2Множество. натуральныхчисел.

= {n

n> 0}.

Если Ма Мb,но

Ма

≠

и

Ма

≠

М ,то

Ма являетсясобственным

подмножествомв

Мb.Такимобразом,еслиножество

М' - подмножествоа

М,а

множество М неявляетсяподмножестваом

М' ,томножество

М'

называется

собственподмноМым.жестваом

Дляобозначенияэтогофактабудемиспользоватьдвойнойзнаквклю

чения

подмножеств ,т.е.писать

M ʹ M .

ТЕОРЕМА Множ,имеющеебескствоп дмножествонечное,бесконечно:

(B

A&

B

=

)

(

A

)

.

∞

Diskretka.doc20.02.2014

22

Множество

В

бесконечно,значит,

C

C B &

C

=

B

& C ≠ B,

причем

C A & C ≠ A .Далее,

|В| С=|

| ,тоестьуществуетвзаимно

-однозначноесоответствие

В ~ С

измножества В вегос бственноеподмножество

С. Обозначимэтос ответствие

х→х'

.

Пострсоответствиеимизножества

А вегос бственноеподмножество:

x

a

if

x B then х'

else х end if .

В мыпользуемсязаданнымсоответствием,

Другимисловами,наэлементахз

остальнымэлементамсопоста

влямсамих.Этовзаимно

-однозначноесоответствиеиз

множества А вегос бственноеподм,из ожествоачит

|А|∞= .

СЛЕДСТВИЕ Всеподмножестваконечногоконечны

Добавлениеудаэ ментов

Если А — множество,а

х — элемент,причем

x A ,тоэлемент

х можно добавить в

А:

def

y A y = x}.

A + x →{y

Аналогично,если

А — множество,а

x - элемент,причем

x A ,тоэлемент

х можно

удалить из А:

def

y A y ≠ x}.

A − x →{y

Легковидеть,чтоприудалени

иидобавленииконечногочислаэлементовконечные

мностаютсяжестваконечными,бесконечные

— бесконечными.

Операциидобавленияудаэ явлментовчаютсяслучаямитнымиопераций

объедирази,пно,ениястроготомустиговоря,излиш.Встандартни

ыхучебникахпо

теориимножествтакиеопенерассматриваютсяациинеупоми.Здесьвведены

дляупрощеобозначений.Такойподходияакцентипрог« »ротношениеуетаммистское

математ:мысводимнопвыеке, рациислиэтопрактическиудобно,даже

еслиэто

теоретизл. ическишне

Булеан и универсумом

Длякаждмножестваго

М существуетмножес,элементамикоторогоявляютсяво

подмножества

М итолькоони.Такоемножествобудемназывать

семейством

множества М или булеаном этогомниобожества

значать В(М)

,

амножество

М —

универсальным,универсумом

или пространством иобозначать

1.

Пример.

В(1)

1 = {у,х,а}

.

Образоватьбулеан

отуниверсума

Решение.

Первыммножествявляепустосямжество

,несодержащеени

одногоэлемента.Затемобразуемножества,содержащиепоодноэлементу

–

ихбудет

равночислусочетаний

C

11

,затеммножества,содержащихподваэлемента,которыхбудет

C

2

,и,наконец,множество,содержащее

сеэлементымножества

1.Врассматриваемом

1

случае

В(1)= {

,{у},х},а},{ух{},{ах},{ау},{ух,а}}{ .

Мощность |В(М)

\ булеана от универсумома М равна 2|M|,т.е.

\В(М)

\ = 2\М\.

ДиаграммыВеннаКруги( Эйлера)

ДжонВе(18н

34-1923)ЛеонардЭйлер(1707

-

1783)

Множествотакжечастозадаютграфическипомощью

диаграммЭйлера.

{{а,

b,с}, { b,

d,е}} в

Например,заданиемножества

пространстве 1

= {а, b,с,

d,е}

приведенонарис. где1.1,

Diskretka.doc20.02.2014

23

замклиния,называемаяутая

кругомЭйле

ра,

соответствуетодномуизрассма риваемых

мниожествграничивегоэлементы,приэтомам,вверхнеметкаправуглукоторойм

стоит 1, ограничиваетэлеменпрос.Другиеспособыранзаданиямножествтвабудут

расспомнеобходимостиереотрены.

диаграммы Венна,называемые( такжеиногда

кругами

Эйлера),

Нарис. 1.

1приведены

иллюстрирующмножествамиоперациинад .Самсходныемножества

изображаютсяфигурамивданном( случаеов),ламизультатграфичвыделяется( ски

данномслучаедлявыделенияисполь

зованаштриховка).

Ограмножестваиченные

.Грамножествицы

Пустьнанекотмножествером

X заданачисловаяфункция

f(х) .

Верхграньюей

(границей)функции

f(х)

называтакочислоется

С,чтодлюбогоя

элемента x X

С≥f(х) .

f(х)

d, чтодлюбогоя

Нижнейгранью

(границей)функции

называтакочислоется

элемента x X

d≤f(х) .

Границы С, d оцезниваютачениефункции

f(х) сверхуиснизу.

Илипусть

X – частичноупорядочмнож. ествонное

Е – подмножество

ства X,

тоесть

E X .

y X является верхнейнижней( )границей

множества Е,

Элемент

есдлиюбогоя

x E

справедливонеравенство

x ≤ y (x ≥ y).Совокупностьвсерхнихграниц

Е будем

обозначать Еs,авсехнижнихграниц

– через Еi.Вслучае,когда

Еs (Е i) непусто,говоря,

что Е ограниченосверхуснизу( )

.

Пусть X - частичноупорядочмнож, ествонное

Е — подмножествоа

X.

Элемент

y X есть верхняянижняя{ }г

раница множества Е, есдлиюбогоя

x X

справедливонеравенство

х≤у

(соответственно,

х≥у

).

Точверхняянижняя(ая)граница

Е обозначаетсячерез

Еs, всехнижнихграниц

Совокупностьвсерхнихграниц

-

через Еi.Вслучае,когда

Еs (Еi)непус,говорят,чт

Es

Е ограниченосверхуснизу{).

Если

элемент

z принадлежитпересечению

E

(соответственно,

E

Ei ),

тоонявляется

наибольшимнаименьшим{ }

элементоммножества

s i

si

I

Е. Выражениетипа

I (Е )

эквивалентно Е .

Непересеченияустота

E

s

E

si

{ E

i

E

is

} означает,чтосредиверхнихнижних( )границ

Е

имеетсянаименьшаянаибольш( );ееназываютя

множестваI

ЕI .

I

точверхней{ойижней)границей,

или

верхнейнижней{ )гранью

Esi { Ei

I

Eis }немогутсодержатьбодноголее

Утверждение.Пересечения Es

элемента

Доказательство.

Пусть x, y Es

Esi .Тогда х≤у

,

поскольку y Es x E si .Аналогичнымобразом

противоположногонеравенства

y ≤ x

Атогда

х=у

.

убеждаемсявсправедливости

I

Верхняянижняя( )грань,еслионасуществуединственна,обязат.Точнаяель

Е обозначаетсясимволом

sup Е, точнаянижняя

верхняяграница(

supremum)множества

граница(

infimum) — символом inf Е.

Есэлементыи

Е занумерспомнекотщьюванымниндексовжестварогоΞ=ξ},{

топрименяютсяобозначения

sup Е = xξ

inf Е = xξ

ξΞ

ξΞ

Если Е состоитизконечногочислаэлементов

n

х1, х2,, ..., хn,топи

шут

sup Е= x1 x2 ... xn

или

sup Е= xk

k =1

Diskretka.doc20.02.2014

24

n

inf Е = x1 x2 ... xn

или

inf Е = xk .

Осносвойстваерхнихныенижнихграниц

i=1

впроизвольчастичном

X.

упорядочмноженномстве

1Если.

E E

то

Es

Es , Ei Ei .

1

2

1

2

1

2

2Если.

E1 E2 исуществуют sup Е1,и

sup Е2 (inf Е1 и inf Е2 ),то

sup Е1 ≤ sup Е2

inf Е1 ≥ inf Е2

y = x

y равносильны.

3. Соотношения х≤у

,

x = x

y ,

4Пусть.

E =Е} {

—непустойклассподмножеств

X,каждоеизкоторыхимеет

верхнююнижнюю{ )грань.Предалее,положчтос вокупэтграимхсвоюнейсть

очеримедьет

supremum (соответственно

infimum)Тогда. этпоследнийт

редставляетсобой

верхнююнижн( )граньобъединенияю

F =

E .

Этосвойствоназываетсясвойством

E E

ассоциативности граней.Егом выразитьжно

формулами

U

sup F = sup E и

inf F = inf E

E E

E E

выхчастяхгранисуществуют.

предполагая,чтофигурирующиевпра

Свойства1

-3очевидны.

Остановимся надоказательсссоциативностиве

,ограничивш,случаемверхнихсь

граней.Обозначим

yE = sup E (E E),

y = yE

Дляпроизвольногоэлемента

E E

x F можноуказатьмножество

E E ,которомуон

принадлежит.Поэтому

x ≤ yE

≤ y ,

y F s Тепепроизвольно,взяв

z F s , замечаем,чтов

силу 1 будет z F s длякаждого

E E , тоесть

z ≥ yE Видим,чтоэлемент

я естьверхняя

границадлямножествавсех

yE ,ипоэтому

z ≥ yE = y.Доказали,чтоэлемент

y есть

E E

наимизвегрархнихньшаям ицожества

F, тоесть точнаяверхняяграница

.

Diskretka.doc20.02.2014

25

Отметимвзаключениеочевиднуюизотонностьопераций

и .

9. Если х1 ≤у 1, х2 ≤у

2, .... хn ≤у

n,то

n

n

n

n

xk ≤ yk

xk ≤ yk

k =1

k =1

k =1

k =1

Принципдвойственности

Пусть К - неклчастичнооторойупорядмнож,содержащийч вместенныхств

X такженекотороеему

скаждымвходящимнегочастичноупорядмножченнымством

дуальноизом.Наоснованиирфноеупомянусвойс7, 8тыхв

7. Если φ - дуальныйизом,товсегдарфизм

ϕ (Es )

= ϕ (E ) i , ϕ

(Ei ) = ϕ

(E ) s .

8. Если φ - дуальныйизомтовсегдарфизм

ϕ (sup E) = inf ϕ (E),

ϕ (inf E) = supϕ (E).

можноутверждать,что

всякоеутв,относящрждениексвойствамеся

порядкаи

справедливоеюбогоя

X K ,перейдпослзаменысодержащихсятвегоформулировке

неравенствпротивоположными,верхнихграницнижними,нижних

X K .

— верхними

утверждение,такжеспрадлявсехедливое

Сформулированныйпринципназывается

общпридвойственностинципом

для

частичноупорядмнож. ченныхств

Точверхняянижняя(ая)грам ицаожества

Есэлементи

z принадлежитпересечениюмножества

E имножествувсехеговерхних

границ Es (соответственно

ижнихграниц

Ei),тоесть

E Es (соответственно

E Ei ),это

элемент z является наибольшимнаименьшим( )элементом

I

множества E.

Es и Ei также

являютсямножестидлянихможноввпонятверхнейамиестии играницжней

I

.Нижняя

грамножестваицаверхнихграниц

(Es)i обозначдляпростотызапибезетскобокяи

Esi.

Непересеченияустота

Es

Esi

( Ei

Eis )означает,чтосредиверхнихнижних( )границ

E

имеетсянаименьшаянаибольшая( )Ее.наз

множестваI

EI .

ывают точверхней(ойижней)границей

,или

верхнейнижней( )гранью

Утверждение.

Верхняянижняя( )грань,еслионасуществует,обязательноединственна.

Доказательство.

y Es , x E si .Аналогичнымобразом

Пусть x, y Es

Esi .Тогда

x ≤ y,поскольку

убеждаемсявсправедливостипротивоположногонеравенства

y ≤ x,аэтоозначает,что

x = y.

Ч.т.д.

I

Точнаяверхняяграница

(supremum) множества E обозначаетсясимволом

sup E,точная

нижняяграница

(infimum) - inf E.

Осносвойстваерхнихныенижнихграниц

Пусть X - частичноупорядочмнож. ествонное

1Если.

E1 E2 ,то

E s E s ,

Ei Ei

1

2

1

2

2Если.

E1 E2 исуществуют

sup E1 и sup E2 (inf E1 и inf E2),то

sup E1 ≤ sup E2

3Соотношения.

x ≤ y,

x = x

y ,

y = x

inf E1 ≥ inf E2.

y равносильны.

4Соотношения.

x ≤ y,

x = x

y ,

y = x

y равносильны.

Diskretka.doc20.02.2014

26

Множествоатрибутивной

точкизрения

Агрегатнточказрени,вотличаятри,явебутивнойляетсяогически

несостоятельнойвтомпла,чтоонаприводтипакпарадоксамРасселаКантора(.

ниже).

Врамкахатрибутточкзреминвнияожестойждествляютсясо аойством,

m

определяющимсоответствующуюсовокупностьэлементов.Вэтомслучаезаписывают

М (сокращенно М( m)) –

элемент m обладаетсвойс вом

М.Здесь m элементмножества

М,

понимаемогокаксвойств

- операторотношени

япредикации

, М (эквивалентная

запись М( ) )являетсяодноместнымпредикатом(

логическимсказуемым

,т.е.то,что

говоритьсяобэлементе

m).

Любомусв

-вумн

-ва М соответствуетпотенциальнобеск вокупностьнечная

элементов,которым

присущеэтосв

-во М.Вэтомпланепонятиеконечное" мн

-во"есть

структурносложныеэмпиабстричесобъекта(ктнбсиеагрегатырактн). е

Пример: