Diskretka

Diskretka.doc20.02.2014

131

Например,есликпредикатам

«х=

y» и «ху<»

— обозначимихсоответственно

Р(х,у)

и Q(x,у)

— примопеконъюрациюни,тполучьновыйкцпредикатим

Р(х,у)

Q(x,у) .

Языклогикипредикатов.

Символами X, Y, Z, Xi , Yi , ... в логикепредикатовпринятообозначать

предметные

переменные,

т.е.от

дельные предметы — имена.

Онимогутбытьпростымисложны

-

ми.Еслитакиепредметыим()несонаержатополнительнойинформациисебе,тоони

называются собственными (простыми),например

«земля»,студент«»идр.Еслитакоеимя

сложным,

соденасрсамимжитядупрегодметотдельсв,томйстванявляетсяыео

напримеравтор«романаАнна«Каренина»,перпендикуляр«

ныепрямые»,взаимно«

-

однозначноесоответствие»др.

Символами а,

b, с, ai bi ... принятообозначать

константы или

предметные

постоянные,

т.е.конкретныезначенименпредметовизуказаннойяпредметнойобласти.

препозиционными

Высказывательныеформы,вхо

дящиевпредикаты,называюттакже

функциями, или предикаторами.

Любоенеп

устоемножествосодподмножестваержит:самосебяипус.Это

свойствоавтоматичевыделяетизоблаопределениясдваткислучая.

Тождественно-истинным называетпредикат,истинныйюя

дунаобласти

определения:

Т(Р) =

D(P).

Тождественно-ложным называетсяпредикат,множествоистиннкоторогопусто: сти

Т(Р) = 0 .

различны втомитольковтом

Двапредводнитойкатажейбластиопределения

случае,еслиихмножеистиннпадаютнеов.Этоопределениестисовпадает

отрицаниемобычногооп

ределения равенствафункций.

Логическоперациисвязк( )надпр дикатами

Связки,анало

гичныесвязкамбулевойалгебрыиисчисленияв сказываний,

n-местными

соответствуютлогическимоперациямнадпредик.Операциин тамид

предикатамивводятсяаналогичноодноместны

м.

Пусть,например,

Р(х,

...) и Q(x, ...) — предикаты,которые

определенынамножестве

D, причем Т(Р)

и T(Q) — ихмножестваистинности.

Отрицанием предиката Р(х,

...) называетсяпредикат

Р(х) , такжеопределенныйна

множестве D иистинныйпритехзначениях

переменной х, прикоторых

Р(х,

...) ложен,т..

Т(Р) =

D\T(P) (рис. 5.1).

Рассмотримпримеры.

Р(х):

Q(x): «хкратно7»конъюнкцией

Р(х)

1Для.предикатов

«х

— четноечисло»

л Q(x) служитпредикатх«

— четное и кратноечисло7»илих«

— число,кратное1

4».

Рис. 5Множество.1.истинности

Рис. 5Множество.2.истинности

предиката Р(х)

конъюнкциипредикатов

Пример.

Предикат Р(х):х «

— простоечисло

» определеннамножестве

D = Z целыхчисел,а

егообластьюистинносявляюти

сятолькопростые

числа,т.е.числа,имеющиедваделителя:

Diskretka.doc20.02.2014

132

х и 1.Тогдапредикат«

х — составноецелое()число

»,такжеопределен

ныйна

Z,будет

отрицаниемпредиката

Р(х)

, т.е.

стьюистинбудетмновжествотиех

P(x), аегообла

целыхсоставныхчисел(

имеющихтриболееделителей):

T (

P(x))= D \T(P).

Аналввоиостальныегичнодятсяоперации.

P(x) Q(x)

Конъюнкция предикатов Р(х, ...)

и

Q(x,

...) естьновыйпреди

кат

,

определенныйнамножестве

D иистинныйпритехзначенияхпере

менной х,прикоторых

истиоднныовременно

оба предиката Р(х,

...) и Q(x, ...),поэтому

T(P Q) = T(P)∩T(Q)

(рис. 5.2).

Пример.

P(x):

«x – четноечисло»

и Q(x): «x – кратное7»

Дляпредикатов

конъюнкцией

P(x) Q(x) служитпредикат

«x – четноеикратноечисло7 »

или «x –число,кратное14»

Пример.

2x ≤ 16

Решисиснеравенствемуь

означает:решипервоенеравенствоь,..

3x >

15

2x ≤ 16

x ≤ 8

определить Т(Р 1 ),

решитьвтороенеравенство

— определить Т(Р

2 ):

.

, < = >

Определить,прикаких

х верны и первое,

и второенеравенства.Вданномслучаесистема

3x > 15

x > 5

2x ≤ 16

означаетконъюнкциювысказываний

(x ≤ 8) (x > 5)

<=>

5х =< 8

,аответ

3x >

15

Т(Р

1 ) и T(Р 2) (рис. 5т.3),

являетпересяечением

.е.интервалом5х<<8.

2x ≤ 16

Рис. 5Графическое.3.решениесистнеравенствмы

3x < 15

Обратвнимание,чтоитоговыйтветвошлаконъюнкциявысказываний,

эквиваледаннымусловии, саметныхис

ходных.

Дизъюнкцией предикатов Р(х,

...)

и

Q(x,

...) называетсяпре

дикат

Р(х) vQ(x),

определенныйнамножестве

D иистинныйпритехзначенияхпеременной

х,прикоторых

истиненхотябыодинизпредикатов

Р(х)

или Q(x).

Рис. 5Множество.4.истинн

остидизъюнкциипредикатов

T(P Q)

Пример.

Р(х):

«х — число,кратное3»

и Q(x):х «

— число,оканчивающееся

Дляпредикатов

на3» ,определенныхна

N,дизъюнк цией Р(х)

vQ(x) служитпредикат: «

х — число или

кратное3,

или оканчцифройвающееся

3».

Так,прешеиуравнений(ииеравенств),леваячастькото

рыхестьпроизведение

несколькихмножителей,аправая

— нуль,ониразбиваютсянасовокупуравненийость

(неравенств).

Пример.

Diskretka.doc20.02.2014

133

х2 - 8х - 20 х= 0 <=> (

- 10)(х+ 2)х = 0 <=>

- 10Р= 0 ( 1) или х+

2 = 0 (Р 2 ). Таким

образом,нужнонайти

T(P1) = {10}, T(Р 1) = {-2} иихобъединение:

Т(Р)

= {-2, 10}.

Импликацией предиката Р(х, ...)

в Q(x, ...) называетсяпреди

кат Р(х)→

Q(x),

определенныйнамножестве

D иложныйтолькопритехзначенияхпеременной

х,при

которойпредикат

Р(х,

...) истинен,апредикат

Q(x, ...) ложен.Вполномсоответствии

формулойалгебрылогики

a → b = a b

имеем:

P → Q =

P

Q и

T(P → Q) = (D \ T(P)) T(Q) (рис. 5.5).

Рис. 5Множество.5.истинностиимпликации

предикатов T (P → Q)

Пример.

Р(х):х «

—

нечислоетное»

и Q(x): «хкратно5»

Импликациейредикатов

,

определенныхна

N {0}

Р(х)

→ Q(x): «Еслих

— нечислое,тхное

,служитпредикат

кратно5»

.

Здесь Т(Р) = {

y|(ymod2) = 1} =

{1, 3, 5, ...};

T(Q) = {y|(ymod5) = 0} = {0, 5, 10, ...}.

Тогда D/T(Р) у|= {

(ymod2) = 0} ={0, 2, 4,...};

T (P → Q) = (D \ T (P)) T (Q) = {y

(y mod 2) = 0или(y mod 2) = 0}= {0,2,4,5,6,...}

Импликверн,есличислократноцдвумилипяти.

З а м. е ч а н и е Посколькувдананоммилфавитесв→язкавляетсяоснов

ной, a и

- дополнит,тодадимвведенконъюнкциильдизъюнкцииымиечерез

def

→ и ← :

P Q =

→ Q ,

P

def

.

P Q = P →

Q

Эквиваленцией предикатов Р(х,

...) и Q(x, ...) называетсяпре

дикат Р(х)

в

Q(x),

определенныйнамножестве

D иистинныйпритехзначенияхпеременной

х,прикоторых

лиопредикатабоист,лонныпредикатаболожны.

Поэтому T(P Q) = (T(P)∩T(Q)) ((D \ T(Q))).

ВсилузаконовДеМор

гана (T(P)∩T(Q)) (D \ (T(P) T(Q))) = D \ T(p) T(Q).

Если

Т(Р) =

T(Q),

то Т(Р=

Q) = D.

Пример.

каты Р(х):х «

— натуральноечисло,кратное3»

и Q{x):х «

—

Эквивалентныпреди

натуральноечисло,суммацифркоторогоделитсяна3

».

Кванторы

Помимооперацийалгебрывысказываний,логикепр

едикатовестьдвеоперации,

которыесвязаныприрое.Пустьдданикатовойпредикат

М.

Р(х),

зависящийотодной

перемеиопреденпонойаленный

( х)Р(х)

а)Выражение

означаетвысказывание,истинноеолькотомслучае,когда

предикат Р( х)

истинендлявсехпредметовизполя

М. Выражение ( х)Р(х)

читаетсядля«

всякого х,Р(х)

»,здесьсимвол

— кванторобщности.

б)Выражение

( х)Р(х)

означаетвысказывание,истинноеолькотомслучае,когда

предикат Р(х)

истиненхотябыдляодногопредметаизполя

М.

Выражение

( х)Р(х)

читаетсясуществует«

х, что Р(х) », символ — кванторсуществования.

Diskretka.doc20.02.2014

134

Рассмотримпримерыоперквнеанцкпредикатамтированияй.Пусть

даны

предикатынадполемнатуральныхчисел:

1) х2 =хх

, тогда ( х) (х 2 =хх)

— истинноевысказывание;

2) х+ 2 = 7 ,тогда

( х)х+2( = 7)

— ложноевысказывание;

( х)х(+ 2 = 7)

— истинное

высказывание;

3) х+х2 =

, тогда ( х)х(+х)2 =

— ложноевысказывание.

Название

Прочтение

Обозначение

Кванторобщности

«все»,всякий«»,

«каждый»,любой«»

Квантор

«Хотябыодин»,

существования

«найдется»,

«существует»

Кванторобщности

— этоопе, ративсорответствиидящийлюбомузаданному

предикату уР(х=)

такуюдвузначнуюлогическуюпеременную

z,котораяпринимает

значение 1 тогдаитолькотогда,когда

у= 1

привсехзначениях

х.

Кванторсуществования

— этоопе

ратор,привсоответствиидящийлюбому

одномпредикатустному

уР(=х)

такуюдвузначнуюлогическуюпеременную

z,которая

призначениеимает

0 тогдаитолькотогда,когда

у= 0

привсехзначениях

х.

Рассмнекоторыебщиетримсвойствавведенныхоператоров.

z ввыражениях

Всоответствии

определениямикванторовлогическаяпеременная

z = ( х)Р(х)

z = ( х)Р(х)

уженеявляетсяфункциейпредмпеременнойтной

х.

z от х, предметную

Длятогочтотметифункциональнойбыотсутствиезависимости

переменную х втакихслучаяхназывают

связанной.

Несвязанныепеременныеназывают

свободными.

На,впредикатеимер

( х)

A(х, y) ( z) B(z,v)

переменные х и z — связанные,

у и v — свободные.

Еслик

ванторобщностииликванторсуществприменяетсянекодноместномувания

преди,аккакомуату

-нибудь k-местнпредикату,товрезультатемуэтогополучаетсяснова

предикат,нозасчетсвязыванияоднойпредмпеременнойполучаемыйтнойпредикатбудет

(k-1)-местным.

Кванторы.

Дляколичественхарактеристикобычноиспольых

зуютпонятиявсе«»,некоторые«»,

«существуют»идр.кото,

рыеназывают

кванторами (отлат.

quantum — сколько)Мычасто.

пользовалисьсимволами

и

,заменяслова«ю»исуществуетбойщими« »Покажем.

действиеэтихквантороввысказыва

тельныхформах.Частьформулы,накоторую

распрострдействиеквантора,называетсяняется

областьюдействия

этогокван

тора.

Вхождениепеременнойвформулуможетбыть

связанным, еслипеременнаярасположена

либонепосредстпослезнакаквантора,либообленнодействийкванторасти,после

которогостоитперем.Всепрочиевхождениянная

— свободные.Напри

мер,ввыражении

xP(x) переменная х связываетсво

йствопре

диикванторатаобщн.Грубог ,отвс иря

xP(x) и yP(y) суть

этойпер,ееконкретногоменнойвиименичегода, зависит,..

одноитоже.Так,можнопроизвольноназыватьиндекссуммрядахипрования

еременную

интегрированияопределенныхинтегралах.Вчастности,определениимножествакак

совокупности всех объектов,удовлетворяющиххарактери

стическомусвойств,

использоваласьзапись

G =х { \Р(х)}

. Очевидно,чтопредиксосвязаннойпертеменной

еетакжелегкоможзаменитьлюбодр.Приуэтомгуюмножествовсерав

н о будет

совокупностьютехжеэлементов,удовлетворяющихсвой

ству

Р. Переменная,не

Diskretka.doc20.02.2014

135

являющаясясвяз,н зываетсянной

свободной, еслипослеподстановкивместонееимени

некоторыхкон

кретныхобъектовпредикатосмысленноеращапр дтся

ложение.

Междукванторами

и илогичопесуществурациямискими

еттеснаясвязь.Пусть

предикат Р(х)

определеннаконечмно ом

жестве

D= {a1,

а2 , . . .

,аn }.

Тогда

высказывание

x D(P(x)) будетистолькоиннымвтомслучае,еслиистинны

одновсевысказыванияременно

Р(а

1 ),Р(а

2 ),.Р(а. .,

п ), т.е.еслиистиннаконъх

-

юнкция:

P(a1 ) P(a2 ) ... P(an ).

Аналогичновысказывание

xP(x) означает,чтооно

истистинно,когдахбыоднотяизвысказываний

Р(а 1 ),Р(а

2 ),Р…(а ,

п ).

Тогда

должнабытьис

тиннойдизъюнкциявысказываний

P(a1 ) P(a2 ) ... P(an ).

Поэтомудля

конечнойобластиопределевыполравноияяются

сильности:

Такимобразом,кванторыобщностисуществованияявляют

сядополнениями

аналсоответственногамилогическихопера

цийконъюнкциидизъюнкции.

Посколькуконъюнкциюможновыразитьчерезтрицаниедизъюнкцию,

о,вообще

говоря,символ

можнобылневклю

чатьвчиосновныхсимволов,таккаквантор

существования xA(x) посутиявляетсясокрзаписьюформулыщенной

(x),

xA

выражающтакназываеймую

двойственность.

Пример.

Записатьпомфологикищьюрмулпредикатовследующееутверждение:Для«

лечениялюбогоизвестногокомпьютерноговирусаимеютсяпрограммы.Существуютнов

(неизвестные)компьютервирусы,длечеякоторыхпрогныеиященераммызработ

аны»

Решение.

Введемобозначэлемформулен: тарныхия

A(x) – известенкомпьютерныйвирус

x;

B(x) – длечениявируса

x существуетпрограмма

;

Тогдаспомлогичесщьюсвязоккванторовполучимихформулы:

(x) - противвируса

x нетпро граммы;

B

x(A(x)) - любойвизвестенрус;

x(

(x)) - существуютновыенеизвестные( )вирусы;

A

x(A(x) → B(x)) - есливирусдавноизвестен,тоимеетсяпрограммадлеголечения;

x(

(x)

(x)) -

сущестпоя( вилуют

ись)новыевирусы,длечениякоторых

A

B

Q1 (x) Q2 (x)

тождественно

x(Q1

(x) → Q2 (x))

Q1 (x) Q2 (x)

тождественно

x(Q1

(x) ≡ Q2 (x))

Пример.

2 - 5х= 0 <= >х(х

Записьх

- 5)является=неформу0

лой,аистиннымвысказываниемо

равносильностидвухформул,представленвидеуравне.Втожвремясправедливаныхий

запись

x R (х 2 - 5х=≡х(х0)

- 5)выражающая= 0),истинноевыс,казывание

оторое

включаетоперациюэквиваленциикаче

ствесоставляющей.

Diskretka.doc20.02.2014

136

Поэтомулогическоеследм жнованпредчерезимплить

ликацию,

равносильностьчерезэквиваленцию.Так,для

ленциисправедливо: Две«

высказывательныеформы

Q1 и Q2

истиннылож

ны (Q1

<=> Q2 ) одновременнос

высказыванием

x(Q1 (x) ≡ Q2 (x))

», чтоибылоранвв.едено

Существуетразличиеупотреблениизнаков«

»,« →», « »и«

↔ ».

Знаки « →», « ↔»обозначаютлогическиеоперацииимпли

кацииравносильности

входятсоставнойчастьюформулы.

Знаки«

»и«

»обозначаютопределотношениям выскаждунные

зывательными

формами,невходянихкачесоствеав

нойчасти.

Квантификациямногоместныхвысказывательныхформ

Пусть Q(x1 ,х

2 , .

. ., хn)

— n-местнаявысказывформа.Еезаменутельная

высказывательнуюформу

xi Q(x1 ,х

2 , . . .,

хn) либона

xi Q(x1 ,х

2 ,

. . ., хn) называют

квантификацией высказывательнойформы

Q(x1 ,х

2 , . . .,

хn)

попеременной xi.

Впроцессетакойкванэтаификации

i-япеременнсвязывая

етсяоднимизкванторов,

n-местнаявысказыв

ательнаяфопрмавращается

(п -1)-местную.

Этоаналогичтому,чтоеслифунокцию

f(x1 ,х 2 ,

…, хn) проинтегрироватьот

а до b

попере

менной xi,

тополученныйрезультатбудетфункциейот

b

п-1 переменнойинебудет

зависетьот

хi: I(х 1 ,…,

хi-1, xi + 1 , …, хn) = ∫ f (x1 ,..., xi−1 , xi , xi+1 ,..., xn )dxi Так,интегралот

функцииодной

(п

= 1) переменнконстантойявляетсяи ниобщеотчегонезависит.

a

Пустьданадвухместнаявысказывформательная

х - у<

0,определенная

R× (0, ∞).

x

y

Произведемквантификац

июпопеременной

у («навесим»кванторобщности)Получим.

одномествысказывательнуюформу

y(x − y < 0) сосвободнойпере

менной х.Есдлия

фиксированного хх=

0

будетвыполнено

y(x0 − y < 0),тоэтавысказывформательная

превращаетсявистин

ноевыск,называниеп, р мер

х=

-2,апри

х= 3

— вложное.

Есливодноместнойвысказывательнойформесвязкв нтоть

x y(x − y < 0)

ромивторуюпеременную

х,томожнополучитьвысказывание:либо

—

истинноевысказывание;

x y(x − y < 0) — ложноевысказывание.

Q(x,у)

Принавешивании« »кванторовдвухместнуювысказывательнуюформу

можнополучитьоднуизвоськом:бинаций

1) x yQ(x, y) — «длюбогоя

х илюбого

у

Q(x,у)

»;

2) y xQ(x, y) — «длюбогоя

у и любого х Q(x,у)

»;

3) x yQ(x, y)) — «существует

х исуществует

у, такие,что

Q(x,у)

»;

4)

y xQ(x, y) — «существует у исуществует

х,такие,что

Q(x,у)

)»;

5) x yQ(x, y) — «существует

х,такой,чтодлюбогоя

у Q(x,у)

»;

6) x yQ(x, y) — «длявсякого

х существует у, такой,что

Q(x,у)

»;

7)

y xQ(x, y) — «существует

у, такой,чтодлюбогоя

х Q(x,у)

»;

8) y xQ(x, y) — «длявсякого

у существует х,такой,что

Q(x,у) ».

Очев,чтопервивтдновырое

сказывания,такжетретьеч тождественнывертое

междусобой,ихзначенияистинностисовпадают.Междуостальнымиполученными

высказыванельзяустановитьтождествысказываниестииями:еслиистинното5,

истиннымбудетвысказывпричем8,обраниетн

оеневерно.Аналогично,еслиистинно

высказывато7,истинвысканиео

зываниено6,ненаоборот.Тоесть,есликванторы

одноименны(1

—

4),тоихпоряднеиграетополученнликвысказыевания

Diskretka.doc20.02.2014

138

будетмножество,являющеесяпересечедвухисмодных,тожием..вс ств

-3 и 0.

действительныечисламежду

Понятиемножистиннпредикатаствапозволяетвыяснитьсти,чемразнятсямежду

собойуравненият

ождества.Когдамырешуравнение,мытемсамымищодинизм

элементовмножестваистиннэтогураиливегостинэлементыния.Еслижемы

х. Таким

доказывтождес, темсамымуемтв,чтоерждоноспрдляавсехемведливо

образом,тождпрестводставл

яетсобойурав,множествениеистинностикоторогом

являетсяуниверсальноемножество

U,т.е.являетсяогическиистиннымилитождественно

истинным.

Предикаты P и Q,определенныена

X,называются равносильными,если P(х 1,х 2, х..., п)

≡ Q(х 1,х 2, х...,

п) длюбогоянабора

(х 1,х 2, х...,

п ) предикатныхпеременныхна

X

Пусть P - предик,определенныйнат

X. Отрицанием предиката P называетсяпредикат,

обозначаемыйопределенный

← PнеP)(

на X следующимобразом:

← P(х 1,х 2, ..., хп) х= P( 1,х 2, х..., п)

Пример.

← P(х 1,х

2) х=

P( 1,х 2)

=Натуральное" число

х1 делитсябез(ост)натка

натурачисльное

х2".

← P(4, 2) = 0,

← P(5, 3) = 1,

Пусть P и Q предикаты,определенныена

X.

предикатов P и Q называется

Дизъюнкциейконъюнимпликацией( , ,экв )валенцией

предик,определенныйнат

X обозначаемый P Q,

P

Q, P

→

Q, P : Q,иопределяемый

следующимобразом:

P Q(х

1,х 2, х...,

п)

≡ P(х

1,х 2, х...,

п) Q(х

1,х 2, х...,

п)

P Q(х

1,х 2, х...,

п)

≡ P(х

1,х 2, х...,

п) Q(х

1,х 2, х...,

п)

P → Q(х

1,х 2, х...,

п)

≡ P(х

1,х 2, х...,

п) → Q(х 1,х 2, х...,

п)

P : Q(х

1,х 2, х...,

п)

≡ P(х

1,х 2, х...,

п) : Q(х

1,х 2, х...,

п)

Буалгебраевапредикатов

Таккакпредикатамможноприменятьл гическиеоперации,тодлянихсправедливы

основныезаконыбулевойалгебры.

Теорема.

(Свойствалогическихоперацийдляпредикатов).

Множество n-местныхпредикатов,определенныхна

X,

образуютбулевуалгебру

предикат,..длянихспраовсноедливыравнбулевойыеосильностиалгебры.

6.

P (Q R) = (P Q) (P R)

-

дистрибутивностьзъюнкцииот

носительно

конъюнкции;

7.

P (Q R) = (P Q) (P R)

-

дистрибутивностьконъюнкцииотносительно

дизъюнкции;

8.

=

;

=

-

законыдеМоргана;

P Q

P

Q

P Q

P

Q

9.

P = P P ; P = P P

- идемпотентность;

10.

P =1

1 ;

P = 0

0 ; P =1 1 ;

- закоединницыуля

P = P

P P = P P P = P

P - идемпотентность;

11.

P (P Q) = P;

-

закпоглощения

12.

P (P Q)= P;

-

закпоглощения

13.

P = 1

-

законисключеннтретьегого

P

Diskretka.doc20.02.2014

139

14.

P = 1

-

законпротиворечия

P

Формулылогикипредикатов

определеннымипредикатами

— длякоторыхистинностьложность

Нарядус

известныдля

каждогонаборазначенийсвободныхпредметныхпеременных,будем

рассматпеременныеиватьедикаты,длякоторнеопределенызначениях.Будем

обозначатьпеременныепредикатыбольшимибуквамиизконцалатинскогоалфавита

приписаннымиредметнымипеременным