Diskretka
.pdf
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
111 |
|||
Пример. |
НайСДНФдляем |
|
|
x yzy . |
|
ϕ = xx |
|||||
Решение.Имеем |
φ ~ x yz ~ |
|
|
|
|
~(x(y y) yz(x x)) ~
~(xy x y xyz xyz) ~
~(xy(z z) x y(z z) xyz xyz) ~
~(xyz xyz x yz x yz xyz xyz) ~
~(xyz xyz x yz x yz xyz).
АлгоритмприведенияКНФкСКНФаналогиченвышеизложенномуописаниюалгоритма приведения ДНФ кСДНФ.
МинимизабулефункцийвклассеыхДНФя |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вхождениепере |
менной – этоместо,котоперзанимаетеменноевформуле.К формулаждая |
|
|
|
||||
имеетконечнчислвхождпер.Задачаенийменныхзаключаетсявтом,чтобыдляданнойбулевой |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции f найтиДНФ,предсэтуфункциюавляющуюимеющуюнаименьшеечисловхождений |
|
|
|
|
||||
переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементарнымпроизведением |
|
называеконъюнкт, любаясяорыйперемвходитненная |
|
|
|
|||
бодноголеераза. |
|
x2 |
|
3x4 |
|
x1x2 x1 |
|
|
ПримерФо6.6.1мула. |
|
|
— элементарноепроизвед,формулание |
|
3 |
|||
|
x |
x |
||||||
элементарнымпроизнеяведением |
|
яется. |
|
|
|
|
||
Формула φ( x1, x2,…,xп) называется импликантой формулы ψ( x1, x2,…,xп), если φ — |
||||||||
элементарноепроизвед ние |
|
φ ψ ~ φ,т.е.длясоответствующихформулам |
φ и ψ функций fφ и fψ |
|||||
справедливонеравенство |
fφ ≤ fψ.Формула |
φ( x1, x2,…,xп) называется импликантой функции f,если φ |
||||||
— импликантасовершДНФ,представляющейннойфункцию |
|
|
|
f. |
|
|
|
|
Импликанта φ( x1, |
x2,…,xп) |
= xδ1 xδ2 |
...xδk |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
2 |
|
|
i |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
отбрасываниялюбойлитерыиз |
|
|
|
|
φ неполучаетсяформула,являюща |
|
||||||||||
Пример6Найти.6все.2импликанты. простыедляформулыиканты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
φ (х,у)х= |
|
→ у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всегоимеетсяэлементарных8 произведенийспеременными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
таблицыистинн: ости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
φ =→yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
y |
|
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
xy |
|
|
||||||||||
формулы |
ψ |
называется |
простой, |
еслипосле |
||||
|
|
|
|
|
ясяимпликантойформулы |
ψ. |
||
|
|
|
|
|
х |
и у. |
Нижеприхведены |
|
xy |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Изтаблицистинностизаключаем,чтоф рмулы |
|
|
|
x |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
xy ,ху, x ,у — всеимпликантыформул |
||||||||||||||||||
φ, аизэтихимпликантростымиявляютсяформулы |
|
|
|
|
|
|
и у. Hапример,формула |
|
|
|
|
|
|
|
,неявляется |
||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|||||||||||||
простойимпликанто |
й,поскоотбрасываялитеруьку |
|
|
, получаемимпликанту |
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
y |
x |
|||||||||||||||||||
Дизъюнкциявсехпростыхимпликантданнойформулыфу( ) азываетсякции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сокращенной |
||
ДНФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. |
Любаябулевафу,неявляющаясякцияконстантойпредстав0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имаввиде |
|
сокращеннойДНФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ,которая |
|
Впримерефункция,соответствующаяформуле |
|
|
|
x→y,представимаформулой |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||
являетсяеесокращеннойДНФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СокращеннаяДНФможетсодержать |
лишние имплика,удалекоторыхнеменяеттыие |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
таблицыистинности. |
ЕслиизсокращеннойДНФудалвселишниеимпликантыть,тополучается |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ДНФ,называемая |
тупиковой. ПредставлениефункциивидетупДНФобщемковойслучае |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
неоднозначно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выборизвсехтупикформснаименьшимрмывыхчисломвхождпердаетнийменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимальнуюДНФ |
(МДНФ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МетодКвайна
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим методКвайна |
длянахождМДНФ,прениядставданнуюбулевуфункциюяющей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Определимследующие |
три операции: |
ϕ x ϕ |
|
~ ϕ (x |
|
) ~φ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
- операцияполногосклеивания |
- |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
- операциянеполн |
огосклеивания |
- ϕ x ϕ |
|
~ ϕ (x |
|
) ϕ x ϕ |
|
~ ϕ ϕx ϕ |
|
; |
|||||||||||||||||
x |
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||
- операцияэлементарногопоглощения |
|
|
- |
ϕ x |
δ |
ϕ |
~φ, |
|
|
δ {0,1} |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема (теоремаКвайна). |
Если,исхизодявершеннойДНФфунк |
|
|
|
|
|
|
|
|
ции,произвестивсе |
|||||||||||||||||
возможныеоперациинепоскл,еиванияногозатэлемпоглощенияарного,тврезультате |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получитсясокращеннаяДНФ,..дизъюнкциявсехпростыхимпликант. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример6Оп.6.сокращенную3еделить. ДНФфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f. |
Пустьфункция |
f(x,y z) задана |
||||||||||
совершеннойДНФ |
ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xyz xyz x yz xyz xyz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решен.Провдваиэтапазведемвсевозможныеоперациинепоскл,ногоеиваниязатем элементарногопоглощения,имеем
φ ~ xy(z z) yz(x x) yz(x x) xz(y y) xy(z z) xyz xyz x yz xyz xyz ~
~xy yz yz xz xy xyz xyz x yz xyz xyz ~
~y(x x) y(z z) xy yz yz xz xy xyz xyz x yz xyz xyz ~
~y xy yz yz xz xy xyz xyz x yz xyz xyz ~
~y xz .
Такимобразом,сокращеннойДНФфункции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f являетсяформула |
y xz . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Напрактикепривыполненоперацнепоскилнаеиванияйкаждогоэтапеможном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
неписатьчлены,участвующиеэтих |
|
|
|
|
|
|
|
|
опер,аписатьцияхтолькорезультатывсевозможных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полныхсклеиванийконъюнкты,неучаствующиеникакомсклеивании. |
|
|
f(x,y z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Пример. |
Пустьфункция |
|
|
заданасовершеннойДНФ |
|
|
|
ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
y |
z |
x |
yz x yz xyz. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда,пр изводяперацскле,затемиэлементарногвания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опоглощения,имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
φ ~ |
|
|
|
|
( |
|
|
z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
y |
z |
yz(x x) xz(y y) ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
y |
yz xz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ДляполученияминимальнойДНФизсокращеннойДНФиспользуется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Квайна, |
|
котораястроитсяследующимобразом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Взаголовкахстолтабзаписываютсялицыцовконстед туентыниц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ысовершенной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ДНФ,авзаголовстроках |
|
|
|
|
|
— простыеимпликантыизполученнойсокращеннойДНФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Втаблицезвездочкотмтепересечениячаютсямистрокстолбц,длякоторыхв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
конъюнкт,стоящийвзаголо,входитроконсткеед,иявляющейсяницытуенту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
заголовксто. млбца |
|
|
f(x,y z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
Пустьфункция |
|
|
заданасовершеннойДНФ |
|
|
|
ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
x |
yz x yz xyz. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
МатрицаКвайнаимеетвид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Импликант Констединицытуенты |
xyz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
x |
yz |
yz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ПоматрицеКвайнанаходим,чтоминимальДНФзаданфункцииестьаяой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВтупиковуюДНФвыбираетсяминимальноечислопростыхимпликант,диз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъюнкция |
||||||||||||||||||||||
котсохрарыхвсеконяетедст,ит.е.туентыкаждыйницыстолбецматрицыКвайна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
содержитзвездочку,стоящнапересечениисострю, оответствующейкойоднойиз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
выбранныхимпликант. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ВкачествеминимальнойДНФвыбираетсятупиковая,имеющаянаименьше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ечисло |
||||||||||||||||||||
вхождпер.енийменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Diskretka.doc20.02.2014 |
113 |
Всилупринципадвойственностидлябулевыхалгебрвсеприведенныепонятия рассужденияочевиднымобразоможнопреобразоватьдлянахожденияминимальных конъюнктивнормальформМКНФ( ). ных
Контрольныевопросы
Лекция№ |
11 |
|
|
Таккакзданвсегомиравершивозведенонно |
|
|
премудрымТворцо,томиренепроисходитни,вчемго |
|
|
небыловиденсмыслкакого |
-нибудьмаксилимума |
|
минимума. |
|
|
|
|
Эйлер |
|
|
ПОЛНЫЕСИСТБУЛЕВЫХФУНКЦИЙМЫ |
|
Каноническоепредставленлогичфункцийск ех |
|
||
Каноническиформами |
логическихформул()функцийназываютсявыражения, |
||
имеющиестандартнуюформубулевойформулытакой,котораяоднозначнопредставляет |
|
||
логическуюфункцию. |
|
|
|
Валгебрелогикиканоническформамлогическфункцявляетсямисовершеннаяихй |
|
||
конъюнктивнаянормальнаяформаСКНФ()исовершендизъюнормальктиваяная |
|
||
формаСДНФ( ). |
|
|
|
1. |
СДНФсовершенн( ДНФ)называетсяДНФ,конетторойравных |
|
|
элемеконитаръювсенатуральныекыхонъюнкцций,содероднитежиащие |
|
||
перемедли( один)П.аныеакова |
ричемкаждаяпеременнаявходиттолькоодинраз,включая |
||
вхожпознакотрден. ицанияе |
|
|
|
ВэтойформуприсутствувторогоэлемеконтаъюряданВТкцииые( |
|
||
называемыеминтермами). |
|
|
|
Длялюбойлогическойфу,нявляющкциитожднулем,можйсяственоным |
|
||
постреализующиеоитьееоднозначноСДНФ. |
|
|
|
ДляпостроенияСДНФ,заданнблицсоойнтветствияобходикаждомуйпо |
|
||
двоичномунаб(улевуоруве,кторуортежу),накоторомфункцияприз ачениеимает1, |
|
||
записатьконъюнкциюn |
-гопорядкатак,чтонеинвертирует |
сятепеременныелогической |
|
функции,которыеимеютвкорзначениееже1. |
|
|
|
2. |
СКНФ – |
совершенконъюнормальформааяк,такаяивформа,вная |
|
котнетодинаковыхройсомножителейсодержатоднижели |
|
|
|
переменные,причкаждаяременнаятол |
|
ькораз1включаетзнаквхожпознакдения |
|
отрицания. |
|
|
|
Логическаяфункциаргумеn неравтожднтоваяр1ественноализуетсяоднозначно |
|
||
СКНФ. |
|
|
|
Замечания. |
|
|
|
1)ДляпострСКНФлоениягическойфункцииаргумеn ,задтаннойблицейтов |
|
||
соответствия,необходимопо |
каждомукортежупеременных,накотлогическаяройфункция |
||
призначенимаетзап0, д сатьзъюнкциюевсехпеременныхn ,инвертируяпеременные, |
|
||
имеющиезначения1. |
|
функциональнополной |
|
Сигнатураназывается |
,есливсякаялогическаяфункцияможет |
||
бытьреализов |
анаформулой,содержащейлишьсимволыфункцийизсигнатуры. |
полной,еслилюбаябулевафункцияможетбыть |
|
Системабулевыхфункцийназывается |
|
||
Эквивалентныепреобразованиялогическихвыражений..способ( получения |
|
||
равносильныхформул)направленихупр |
|
ощениеминимизацию |
|
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
|
|
114 |
|
|
|
|||
а)Упрформулозначаетщениепо равноучениеформулсменьшимильныхчисло |
|
|
|
|
||||||
символовобразующих.Вбулевойалгебрелогикидляупрощенияформулиспо ьзуется |
|
|
|
|
||||||
следующтождесакс( ,заки,тоомыеваждественыконста): ннтые |
|
|
дизъюнкция,конъюнкция |
|
|
|||||
Элементарныебулевыфункции( |
|
ит.д.в)булевыхфункциях |
|
|||||||
выползаданиеаналогичяютэлемефункциямтарнымое( |
|
|
|
|
|
x, x2, sin, log, |
ит.п.в) |
|||
классическойматемприизучентикенал. ииза |
булевыфункции( алгебрылог) ки |
|
|
|
|
|||||
Определение: |
|
|
|
|
||||||
Пусть U = {u1,u2 ,...,um ,...} - исходныйалфавитпеременныхаргумент( )Рассм. отримв |
|
|
||||||||
функции f (ui |
, ui ,..., ui |
) ( ui |
≠ ui |
при νµ ≠ ),аргументыкотооп наыхеделенымножестве |
|
|||||
|
1 |
2 |
m |
|
ν |
µ |
|
|
|
|
E2 = {0,1} |
итакие,что |
|
f (α1,α2 ,,...,αn ) E2 ,когда |
αi E2 |
(i = 1, 2, …, n) этифункции |
|||||
называются функциямиалгебрылогик |
|
|
или булевымифункциями |
(ДжорджБуль(1815 |
- |
|||||
1864)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другоеопределение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функции |
f: |
En |
→ E |
2 |
где |
E = {0,1} называются функциямиалгебрылогики |
или |
|||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
булевымифункц ями |
|
.Множест вобулевыхфункцийот |
n переменныхобозначаем |
Pn.Булеву |
||||||
функциюот |
n перемеможнозадатьных |
|
|
таблицейистинности |
. |
|
||||
Системыбулевыхфункций |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пустьданыбулевыфункции |
|
|
|
|
f(g1, g2, …, gm) и |
g1(x1, x2, …, xn), g2(x1, x2, …, xn), … , |
||||
gm(x1, x2, …, xn).Подста вимфункции |
gi вфункцию |
f .Получимновуюбулевуфункцию |
|
|||||||
f(и g1(x1, x2, …, xn,), g2(x1, x2, …, xn,), …, gm(x1, x2, …, xn,)), |
|
|||||||||
которуюназывают |
|
суперпозициейфункций |
f и gi (i = 1,2,…m),т.е.припомощи |
операции |
||||||
суперпозиции получилиновуюбулеву |
|
|
функцию. |
|
|
|
||||
Наборбулевыхфункций |
|
|
|
M = { f1, f2, … ,fk} |
называется полнойсистемойбулевых |
|
||||
функций или базисом,еслилюбаябулевафункциявыражаетсячерезнихприпомощи |
|
|
|
|||||||
операциисуперпозициивконечномчислераз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример.
Наборбулевыхфункций:
M = { , ,←}= { , ,←}= {f1 = x1 x2 = x1 x2 , f2 = x1 x2 , f3 = x}
являетполнойсисбулевыхтемойяфункций,таккаклюбаябулевафункцияможет |
|
|
|
|
|
бытьаналитическипредставленаформеСДНФилиСКНФ. |
|
|
|
|
|
Этуполнуюсистемуназывают |
|
стандартнымбазисом |
. |
||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 = x1 x2 |
|
||
|
|
x1 |
|
x2 = x1 x2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
x1 x2 = (x1 x2 ) (x1 x2 ) |
|||
Теорема (одвухсистемах |
) |
|
M = { f1, f2, … ,fm}.Тогдадляполноты |
||
Пустьимеетполнаясистемабулевыхфункций |
|
|
|
||
некоторойдругойсистемыбулевыхфункций |
|
|
|
N = { g1, g2, … ,gn} необходимодостаточно, |
|
чтобылюбаяфункция |
fi M выражаласьчерезфункциисистемы |
N припомощиоперации |
|||
суперпозиции. |
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
Необходимость очевидна.Почему(?)
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
|
|
115 |
|
|
Достаточность. |
Рассмотримпроизвольнуюбулевуфункци |
|
h. Товыражаетсягдана |
|||
черезфункции |
fi M припомощиопе |
рациисуперпозициивсилуполнотысистемы |
M. Но,в |
|||
своюочередь,любаяфункция |
|
|
fi M выражаетсячерезфункции |
g j N припомощи |
||
операциисуперпозиции.Следоват,можночерезфункциильно |
N полна. |
|
gj выразитьлюбуюбулеву |
|||
функцию,, |
значит,система |
|
|
|||
БазисЖегалкина. |
|
|
N |
|
|
|
Примерю Рассмотримсистему |
|
.Онаявляетсяполной,таккаклюбаяфункция |
|
|||
|
|
|
|
= { , ,1} |
|
|
изстандартногобазисавырчерезфункциижаетсяиз |
|
|
|
N: |
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 = x1 x2 |
|
x = x 1
x1 x2 = x1 x2 = x1 x2 1 = (x1 1) (x2 1) = x1 x2 x1 x2
Этаполсистеманазывается базисомЖегалкина. Любаябулевафункцияможетбытьпредставленаэтомбазисеформемногочлена
Жегалкипостепенеизвестных. аям
ZB x1 x2 = (x1 1) (x2 1)= x1 x2 x1 x2 1
Пример. Рассмотримсистемубулевыхфункций,состоящую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изоднойфункции |
||||||||
Шеффера N = { |
|
}.Онаявляетожеполной, каксялюбаяфункцияизстандартногобазиса |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
выражаетсячерезфункциииз |
|
|
|
N: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 = (x1 |
|
x2 )(x1 |
|
|
x2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 = (x1 |
|
x1 )(x2 |
|
x2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Классбулевыхфуназываеткций |
ся замкнутым,есливсякаясуперпозицияфункций |
|
||||||||||||||||||||||
этогоклассабудетфункциейизэтогокласса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Классыбулевыхфункций |
|
P2 являетсязамкнутымклассоПочему( ?)Общее. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Множествовсехбулевыхфункций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ихчивсбулевыхлоехфункций |
|
|
|
n переменныхравноегомощности |
|
P |
|
= 22n .Измножества |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
этихфункцийвыдекотляютклассподмножества( ры). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Булевафункция |
f сохраняетконстанту |
0,если |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f(0, 0, … , 0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,образуеткласс |
K0 P2 . |
|||||||||||
Множествовсехбулевыхфункций,сохраконяющихстанту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема. |
Чивсбулевыхехлофункций,сохраконяющихстанту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,равно |
22n −1. |
||||||||
Доказат.Булфункцияе,принадлежащаявальствоклассу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
,наборе |
<0, 0, …, 0> |
||||||||||
призначеимаетравниео |
|
|
|
0,нотакихнаборов |
|
|
|
2n – 1,следоватобщечи ельно |
слотаких |
|||||||||||||||
функций |
|
K0 |
|
2n −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Булевафункция |
f сохраняетконстанту |
1,если |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f(1, 1, … , 1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,образуеткласс |
K1 P2 . |
|||||||||||
Множествовсехбулевыхфункций,сохраконяющихстанту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема. |
Чивсбулевыхехлофункций, |
сохраняющихконстанту |
|
1,равно |
22n −1. |
|||||||||||||||||||
Доказат.Булфункцияе,принадлежащаявальствоклассу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
,наборе |
<1, 1, …, 1> |
||||||||||
призначеимаетравниео |
|
|
|
1,нотакихнаборов |
|
|
|
2n – 1,следоватобщечислотакихельно |
|
|||||||||||||||
функций |
|
K0 |
|
2n −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Булевафункция |
g(x1, x2 ,..., xn ) = |
|
|
|||||||||||||||||||||
f (x1, x2 ,..., xn ,) называется двойственной функцией |
||||||||||||||||||||||||
функции f иобозначается f*.
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
116 |
|
|
|
||
ZB. |
Поопределению |
(x y) = |
|
|
x y является |
||
(x y) = (x y),т.е.функция |
|||||||
двойственнойкфункции |
x y . |
|
|
|
|
|
|
Рассмотреть,чт |
опроисходтаблицейистинности. |
|
|
||||
Замечание.Заменакортежсоответствуетп реворачиваниюйтаблицы. |
|
|
|||||
Булевафункцияназывается |
|
самодвойственной, |
еслионасовпадаетдвойссебевенной |
||||
функцией f |
= f*. |
|
|
|
|
|
|
ZB. Клсамодвойственныхссбулевыхфункций: 1. |
|
|
|
f = x ; 2. f |
= xy xz yz . |
||
Множествовсех |
самодвойственных булевыхфункций,образуеткласс |
S P2 . |
|||||
Теорема. Чивсехло Доказательство.Любуюбулева
можпределитьнаполовиненаборов,.. функций S = 22n−1 .
самодвойственных булевыхфункцийравно |
22n−1 . |
S , |
самодвойственную функция,принадлежащаяклассу |
||
2n-1 ,следоват,общечислотакихельно |
|
|
4. |
Булевафункция |
f |
|
называется линейной функцией,еслионаможетбытьзаписанав |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующемвиде |
|
|
f (x1, x2 ,..., xn ) = c0 c1x1 c2 x2 ... cn xn ,где |
ci {0;1}{k = 0,1,2,...,n}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Множествовсех |
|
|
линейных булевыхфункций,образуеткласс |
|
|
|
L P2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. |
Чивсехло |
|
|
линейных булевыхфункцийравно |
|
|
2n+1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказат.Имевсельствотсяго |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 различныхнаборзначенийкоэффициентов |
ck. |
||||||||||||||||||||||||||||
следоват,общечислотакихфункцийельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
= 2n+1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
|
Наборзначенийпеременных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1,σ2 ,...,σn |
неменьше |
набора |
σ1ʹ,σ2ʹ,...,σnʹ ,если |
||||||||||||||||||||||||
σ j ≥ σ ʹj |
|
длявсех |
|
|
j = 1, |
2, …, |
n.Вэтомслучаепишут |
|
|
|
σ1,σ2 ,...,σn |
≥ σ1ʹ,σ2ʹ,...,σnʹ ,в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
противнслучнабназываютсяоерым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несравнимыми. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Булевафункция |
|
|
f |
называется монотонной функцией,есдлюбыхядвухнаборов, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
таких,что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1,σ2 ,...,σn ≥ |
|
|
σ1ʹ,σ2ʹ,...,σnʹ иместонеравенствоет |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f (σ1,σ2 ,...,σn )≥ f (σ1ʹ,σ2ʹ,...,σnʹ ). |
|
|
|
|
|
M P2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Множествовсех |
|
|
монотонных булевыхфункций,образуеткласс |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Чивсехло |
|
монотонных булевыхфункцийоцениваеасимп: тсяотически |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2Cn 2 |
≤ |
M |
≤ 2ACn |
2 |
|
|
,где |
А – некоторнст. аянта |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Теорема (Пост -Яблонского) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Длятого |
|
|
чтобымножество |
|
|
|
|
N булевфункцполнойылохси,стемойнеобходимо |
K0, K1, S, M, L функциюиз |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
достнайтидлякаждточнопятиззамкнутыхгоклассовПоста |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
N ,котораяемунепринадлежит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = { |
|
}.Это |
|
|||||||||||||||||||
ZB. РассммноизоднойжествотримфункцииШеффера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- полнаясистема. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
СогласнотеорПостаэтаемединственнаяфункциядолжнанепри одномуиадлежатьиз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
классовПоста. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} K0 |
|
|
|
|
1. |
|
x1 |
|
|
|
|
|
x2 = |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 =1 1 =1 вывод |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(x1 x2 ) = x1 x2 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
11 = 0 0 = 0 вывод |
{ |
|
|
} K1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= x1 x2 ≠ x1 |
|
x2 |
вывод |
{ |
|
} S |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x1 |
|
x2 = x1 x2 1 вывод |
{ |
|
} L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
0 |
|
0 =1,11 = 0 вывод |
{ |
|
} M |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ТеоремаПоста |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ТеоремаПоустанеобходимыенавливаетдостаточ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ныеуслпосистемылнотывя |
||||||||||||||||||||||||
булевыхфункций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
|
117 |
|
|
|
||
(Post E.L. The two-valued interactive systems of mathematical logic. – Annals of Math. |
||||||||
Studies, v. 5, Princeton Univ. Press. Princeton-London, 1941). |
|
|
|
|||||
Требования : P2 класс - замкнутый, то Базис - конечный. |
|
|
||||||
Теорема (Пост)Каждый. замкнутыйклассиз |
|
P2 имеетконечныйбазис. |
|
|
||||
Теорема (Пост)Мощность. множествазамкнутыхклассов |
|
|
P2 - счетная. |
|
|
|||
Ховтораяеорслизпервойедума,тменеет,доказательствеПостасначала |
|
|
|
|
|
|||
устанавливаетсявторойф,закт |
|
м - первый. |
|
|
|
|||
Теорема (Пост)Сист. булфункцийемавых |
|
F полнатогдаитолькотогда, онагда |
|
|
||||
содержит |
|
|
|
|
|
|
|
|
хотябыоднуфу,нсохраняющуюекциюнуль, |
|
|
|
|
|
|
||
хотябыоднуфу,нсохраняющуюекциюединицу, |
|
|
|
|
|
|
||
хотябыоднунесамодвойственнуюфункцию, |
|
|
|
|
|
|||
хотябыоднунемонотонну |
юфункцию, |
|
|
|
|
|||
хотябыоднунелинейнуюфункци: |
|
|
|
|
|
|
||
[F ] = P |
(←F T F T F T F T F T ) |
|
|
|||||
|
n |
0 |
1 |
|
≤ |
L |
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
||
Необходимость.Отпротивного.Пусть |
|
|
[F ] = Pn |
и |
||||
F T0 F T1 F T F T≤ F T . |
|
|
|
|
||||
Введемобозначение: |
i – одизиндексов |
0,≤,1, *, |
L . |
|
|
|||
Тогда Ti = [Ti ] [F ] Ti Pn Ti |
Pn =Ti ,но Pn ≠ Ti потаблице |
|
|
|||||
Таблпринцанекотобулевыхдлежнофункцрастисмотреннымзамкнутымй |
|
|
|
|
|
|||
классам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T0 |
T1 |
|
T* |
T≤ |
TL |
|
|
0 |
+ |
- |
|
- |
+ |
+ |
|
|
1 |
- |
+ |
|
- |
+ |
+ |
|
|
x |
- |
- |
|
+ |
- |
+ |
|
|
x1 |
+ |
+ |
|
- |
+ |
- |
|
Такимоб,рассзомклассыотренные |
|
|
T0 , T1 , T* , T≤ , TL попарноразличны,непуст |
|
|
|||
несовпадают |
Pn |
( Pn ≠ Ti ). |
|
|
|
|
|
|
Функциидвухпеременных |
|
z = f(x,y). |
|
|
|
|
|
|
Различныхфункцийдвухпеременныхсуществуетужеш стнадцать.Этифункции,их |
|
|
|
24 = |
16. |
|||
названияобозначпривтабл.еЧденыя4этих.1слофункций. равно |
|
|
|
|
||||
Перенумеруемираспихтожевестественномложимпорядке. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Таблица4.1 |
|
|
х |
0011 |
Названиефункции |
|
Обозначение |
Класс |
|
|
|
y |
0101 |
|
|
|
|
T0 T1 S M |
L |
|
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
118 |
|
|
|
|
|
||
f0(x,y) |
0000 |
Константа“0” |
|
0 |
+ |
|
|
+ |
+ |
f1(x,y) |
0001 |
Конъюнкция |
x y, xy |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
f2(x,y) |
0010 |
Операцияза yорета |
|
x |
+ |
|
|
|
|
f3(x,y) |
0011 |
Переменнаяx |
|
x |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
f4(x,y) |
0100 |
Операцияза орета |
x |
y |
+ |
|
|
|
|
f5(x,y) |
0101 |
Переменнаяy |
|
y |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
f6(x,y) |
0110 |
Супомодулюма2 |
|
x y |
+ |
|
|
|
+ |
f7(x,y) |
0111 |
Дизъюнкция |
x y |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
f8(x,y) |
1000 |
ОперацияПирса |
|
x↓y |
|
|
|
|
|
f9(x,y) |
1001 |
Равнозначность |
x y |
|
+ |
|
|
+ |
|
f10(x,y) |
1010 |
Инверсия y |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
f11(x,y) |
1011 |
Импликацияотyx |
|
y→x |
|
+ |
|
|
|
f12(x,y) |
1100 |
Инверсияx |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
f13(x,y) |
1101 |
Импликацияотxy |
|
x→y |
|
+ |
|
|
|
f14(x,y) |
1110 |
ОперацияШеффера |
|
x / y |
|
|
|
|
|
f15(x,y) |
1111 |
Константа“1” |
|
1 |
|
+ |
|
+ |
+ |
Таблприца |
надлекотобулевыхжнфункцийстирассмотреннымзамкнутым |
|
|
|
|
|
|
||
классам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 |
K1 |
S |
|
M |
|
|
L |
|
0 |
+ |
- |
- |
|
+ |
|
|
+ |
|
1 |
- |
+ |
- |
|
+ |
|
|
+ |
|
x |
- |
- |
+ |
|
- |
|
|
+ |
|
x1 |
+ |
+ |
- |
|
+ |
|
|
- |
Такимоб,рассзомклассыотренные |
|
K0, K1, S, M, L попарноразличны,непустне |
|
|
|
||||
совпадаютс |
P2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
АлгебраЖегалкина |
|
|
|
|
|
|
|
||
Diskretka.doc20.02.2014 |
119 |
Супомодулюмаконъюнкция2, константы0образуют1 функциональнополную систему,..образуюталгебру - алгебруЖегалкина.
A = <FB, , ,0,1>
Контрольныевопросы
1. Чтотакое ДНФиКНФ? |
Дайтеопрсовершенногоделеод. иеочлена |
2.Булевыфу:нормальсовершенныекцииформы, ормальныеформы.
3.Получсовершдизъюниеконъюнктивойктивннормальформ. й нойых
4.ПриведправпреобразованиялотеформулСДНФСКНФ.
5. Какбулевыфу |
нкциисвязаныалгебройвысказывания? |
6.Сформулируйтеосновныеправилапостроформул. ния
3. |
МинимизабулевыхфункспоцимощьюатрицыяКвайна. |
|
4. |
МинимизабулевыхфункспомощьюцикартКарнояй. |
|
5. |
Синтезспомощьюбулевыхфункцийэлектронныхсхемна(примере |
сумматора). |
6.дайтеопределмногочлгалкинаЖениесформулиртеорЖе.галкинамуйте
7.ПредстабулефункцийсвпомлениеыхолиномаЖегалкинащью.
8.СформулипервыйалгопостромнитмуйтеЖегагочленаниябу кинаевой
функции.
9. Вчемсостоитметнеопределе нныхкоэффициентовдляпострмн гочленаения Жегалкина?
10.КакоймногочленЖегазываетсялкинанелинейным?
11.Каклгоритмвпределелинейнелиней( )булевияостифу?нокциийсти
12.Функциональнополныебазисы.ТеоремаПост.
Лекция№12
Результатсчиткра,еетсяизмалогоивымли чиуслудаетсяовийполу читьобщиезаключения,
относящиесякширкругубъектовкому.
Б.Г н е д е н к о
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Diskretka.doc20.02.2014 |
|
120 |
|
|
|
|
|
|||
Математичлогикаизучаетбазпосвыенятияинтаккая |
|
|
|
|
|
сисаформы()семантики |
|
|||
(содержания) |
естественнязыка.Рассмтрикрупныхонаправготримсследованийния |
|
|
|
|
|
|
|||
математическойлогике |
— |
логикувысказываний |
, логикупредикатов |
и |
теорию |
|||||
доказательств.Этинаправлпотрприизученбуютсяниякибернетических |
|
|
|
|
|
|
||||
интеллектуальныхсистем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно,чт |
овисчислениивысказыванийтеоремамиявляют |
|
|
|
|
сяобщезначимые |
||||
формулы,поэтомуавтоматизациядоказатель |
|
|
стваосуществляетсявидепроверки |
|
|
|||||
общезначимостиформулпомощьютаблицистинности.Проверкаформулпр сти |
|
|
|
|
|
|
|
- |
||
изводитсялюбогоконечногоабо |
|
|
разначенийпеременных.Такимобразом,можно |
|
|
|||||
алгоритмизирпроцессдоказаттеорем,ннпроцватьльствавывеоизссаксиомдарем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определение1. |
Высказыванием |
называетсяповество |
вательноепредложениетекст() |
|
|
|||||
естественногоязыка,котором |
|
|
имеетсмыслговорить |
|
|
|
истинно оноили ложно. |
|
||
Например,студент« Петприсутствуетовналекции»,этастена«белая», |
|
|
|
|
|
|
«33 = 28» ит.д. |
|||
ПредложениеГород« |
х стоитнареке |
у» |
неявля |
етсявыска,поканезывааданыием |
|
х |
||||
и у, таккакздесьнельзяопределитьист |
|
инаэтоложь.и |
|
|
|
|||||
Изданныхвысказывможсостнова,сложныенийлятьвысказыванияпомощью |
|
|
|
|
|
|
|
|||
такназываемых |
логичопераских |
ций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Истиннзначенийсловысказыванийстьжных |
|
|
|
|
|
определяетсятолько |
истинностью |
|||
значенийсоставляющихвысказываний |
|
,анеихсмыс |
лом.Простейшиевысказывания, |
|
|
|||||
которыхневы |
деляютсячасти,являющиесявысказыва,будемобознаиями |
|
|
|
|
чатьпрописными |
||||
латинскимибуквами |
|
А,В, ... ,Р, и...называть |
атомарными. |
|
|
|||||
Определение2. |
Отрицанием высказывания Р называетсявысказывание,истинное |
|
гда |
|||||||
итолькотогда,когда |
|
Р ложно.Отрицание |
Р обозначается ]Р или Р ичитаетсяне« |
Р». |
||||||
Отрицаниевысказыванияопртаб.деляется |
|
|
1. |
|
|
|
||||
|
|
|
Таблицаистинностиотрицания |
|
|
|
||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|||
|
|
|
|
И |
Л |
|
|
|
||
Вестественномязыкеотрицаниесоотвесос ствуетавлению |
|
Л |
И |
извысказывания |
Р нового |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
высказыванияневер« ,чтоР»,или«Р»ео. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3. Конъюнкцией двухысказыванийР |
Q называетсявысказывание, |
Q |
||||||||
истинногдатолько, гдае |
|
|
гдаистинныобавысказыва.КонъюРи нкция |
|
||||||
обозначаетсяР& |
Q или Р Q ичитаетсяР« |
Q». |
|
|
|
|||||
Конъюнкцияопределяется |
Таблицаистинностиконъюнкции |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
P |
Q |
|
P Q |
|
|
||
|
|
|
И |
И |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
И |
Л |
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
Л |
И |
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
Л |
Л |
|
|
|
Л |
|
|
Вестественномязыкеконъюнкциясоответствуетвысказыванийдинениюсоюзом |
|
|
|
|
|
|
|
|||
«и». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение4. |
Дизъюнкцией двухысказыванийР |
Q называетсявысказывание |
|
|||||||
ложнтогдаитолькотогдае,когдаложныобаэтивысказывания. |
Q обозначается Р V Q ичитаетсяР«или |
Q». |
|
|||||||
ДизъюнкциявысказыванийР |
|
|||||||||
Дизъюнкцияопредетаб. 3л. яется |
|
|
|
|
|
|
Таблица3. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||