книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf280 Глава 5
до + а [ср. (4.6.12) в разд. 4.6]
а |
|
^ f n(x)f m(x)dx = Xn8nm. |
(5.6.25) |
—а
Двойная ортогональность на бесконечности и на конечном отрезке является наиболее замечательным свойством мод конфокального линзового волновода с квадратными апер турами.
Мощность, проходящая через апертуру линзы, про порциональна величине
а |
а |
|
Р = j dx |
j dij | i|)nm (x, !/)|2. |
(5.6.26) |
—a - a
Поле первой опорной плоскости (фиг. 5.6.1) преобразуется следующим образом:
фпт ^лтфптп- |
(5.6.27) |
Это соотношение следует из интегрального уравнения (5.6.7). Мощность Р 2, проходящая через опорную плос кость 2, связана с мощностью Р и проходящей через опор ную плоскость 1, соотношением
P2 = |*nm|2Pi. |
(5.6.28) |
С помощью уравнений (5.6.23) и (5.6.24) можно найти связь между Pi и Р г через параметр
Р 2 = XnXmPi- |
(5.6.29) |
Параметр Хп описывает потери в липзовом волноводе. Свойства Хп уже подробно исследованы в разд. 4.6, где было показано, что параметр Хп для заданных значений
[ср. (4.6.15)]
|
с= ге-ц- |
|
(5.6.30) |
|
близок к |
единице для п < |
2с/п и |
быстро |
уменьшается |
с ростом |
п при п > 2с/я. |
Поэтому |
потерн |
нормальных |
мод малы при малых номерах, по весьма быстро растут для мод, номера которых больше 2с1л. На фиг. 5.6.3 доказана зависимость Хп от п для с = 10, полученная
Линзовые волноводы |
281 |
из таблиц [41]. Зависимость величины XQ для моды низшего порядка от параметра с показана на фиг. 5.6.4.
Ф и г. 5.6.3. Графическое представление зависимости собственных значении Хп от порядка моды для с = 10. На осп п показана точка
2с/л.
Ф п г. 5.6.А. Собственное зпачснне моды низшего порядка как функции с.
Потери энергии мод обусловлены дифракцией. Поле рас пространяется, переходя от одпой линзы к другой. Неко торая часть его перехватывается апертурой следующей
282 Глава 5
линзы, и таким образом поддерживается поток электро магнитной энергии вдоль линзового волновода. Если апер туры линз достаточно велики, то потери мощности из-за дифракции очень малы. Из фиг. 5.6.4 видно, что дифрак ционные потери для моды низшего порядка становятся малыми при с > 4.
Связь между интегральным уравнением (5.6.9) и урав нением (4.6.13) может быть установлена следующим обра зом. Из уравнения (5.6.9) находим / (.т) и подставляем в подынтегральное выражение того же самого уравнения. Таким образом, получаем
аа
у:-п!п (х') = ~ [ /„(;х") j e w w *+*r>dxdx\ (5.6.31)
—о —а
В результате интегрирования по х имеем
(5.0.32)
- а
Функции /„ (х) обладают следующим свойством:
in (-* ) = (—1)7п (я). |
(5.6.33) |
Это означает, что они являются четными или нечетными
взависимости от того, четное или нечетное п. В справед ливости этого свойства можно убедиться, если вспомнить, что при а —*■ оо данная волновая функция при конечных значениях а должна непрерывно стремиться к значению, определяемому выражением (5.6.15). Свойство четности или нечетности сохраняется в процессе предельного пере хода, т. е. функции (5.6.15) обладают свойством (5.6.33), что можно увидеть из (5.6.13) или (5.6.14). Используя уравнение (5.6.33), можно выражение (5.6.32) переписать
вследующем виде:
a gjjj __ ___ д;7^
( - 1 ) " * $ ы * ') = J |
n\ xl 'L x l |
fn{x")dx". |
(5.6.34) |
— а
Так как кп и Хп связапы соотношением (5.6.24), то функ ции / п действительно удовлетворяют уравнению (4.6.13),
Линзовые волноводы |
283 |
что подтверждает тем самым их идентичность функциям фп из разд. 4.6.
Таким образом, мы достаточно полно описали моды конфокального линзового волновода с квадратными апер турами. Моды конфокального линзового волновода с круг лыми апертурами выражаются через гиперсфероидальные
Ф п г. 5.6.5. Сравнение потерь для первых трех мод линзового волновода с круглыми апертурами с потерями для моды низшего порядка волновода с квадратной апертурой [48].
функции [120]. Потери для такого волновода рассчитаны Фоксом и Ли [48]. Их расчеты выполнялись применитель но к лазерным резонаторам. Однако в разд. 5.3 мы виде ли, что существует тесная связь между лазерными резо наторами и линзовыми волноводами. В обоих случаях дифракционные потери идентичны. В разд. 6.6 мы снова вернемся к аналогии между л и н з о в ы м и волноводами и лазеоными резонаторами. На фиг. 5.6.5 показаны поте-
284 |
Глава 5 |
ри для первых трех мод конфокального линзового волно вода с круглыми апертурами. Пунктирной линией пред ставлены потери мощности для моды низшего порядка линзового волновода с квадратной апертурой. При сравнении необходимо иметь в виду, что величина а, вхо дящая в параметр с, является радиусом апертуры для случая линзового волновода с круглыми апертурами, а в случае квадратных апертур а есть полуширина сторо ны квадрата [см. формулу (5.6.30)]. Поэтому для тех же значений с площадь линзы с квадратной апертурой не сколько больше. Дифракционные потери для линз с квад ратными апертурами будут соответственно меньше.
5. 7. Т Р А Е К Т О Р И Я В О Л Н Ы В К О Н Ф О К А Л Ь Н О М
ЛИ Н З О В О М В О Л Н О В О Д Е
Впредыдущем разделе мы нашли нормальные моды линзового волновода. Однако еще не было показано, что результаты лучевого рассмотренпя могут быть получены из волновой теории. Установив, что траектории геометрооптпческпх лучей соответствуют траекториям распростра нения световых волн в линзовом волноводе, можно с боль шим основанием использовать методы лучевой оптнки. Несомненно, что при изучении линзовых волноводов методы лучевой оптики являются существенно более простыми, чем методы волновой оптики, поэтому желатель но там, где это возможно, использовать методы лучевой оптики.
Рассмотрим путь светового пучка в линзовом волно воде с бесконечными апертурами, полагая, что поле про ходит через линзы на некотором расстоянии относительно оси. Начнем с предположения, что поле на первой опор ной плоскости (фиг. 5.6.1) описывается выражением
ф1= |
^ 1(а:)|Г1(а:), |
(5.7.1) |
где |
|
|
F, (х) = |
— ! _ е-(я/г«)(*+б)* |
(5.7.2) |
a
*, Ы = 1 г ^ е"(я/2Ш'8- |
(5-7,3) |
Линзовые волноводы |
285 |
Поле па следующей опорной плоскости задается соотно шением (5.6.7) с тем исключенном, что мы уже не требуем повторяемости поля, а используем интеграл в правой части этого соотношения для вычисления поля ф2 во вто рой опорной плоскости. Поскольку распределение поля записывается в виде произведения двух функций, одпа из которых зависит от х , а другая — от у, интеграл пред ставляет собой произведение интегралов по х и у. Функ ция g в выражении (5.7.3) является модой низшего порядка интеграла (5.6.10). Она удовлетворяет этому уравнению при а -э- оо и распространяется через систему линз без искажения. Поэтому зависимость поля волны от у всегда определяется выражением (5.7.3) с точностью до фазового множителя. Следовательно, достаточно исследовать лишь зависимость функции (5.7.1) от х.
Функция F на следующей линзе определяется выраже
нием |
(5.7.4) |
F2 = DFU |
где через D обозначен пнтегральпый оператор правой части уравнения (5.6.9). Для нормальноймоды получаем
Knfn = Df п. |
(5.7.5) |
Распределение поля на линзе с номером т дается выраже нием
Fn = D m-'F,. |
(5.7.6) |
Символ Dmобозначает лг-кратиое применение оператора D. Для нормальной моды имеем
х”!_ lf n- Dm~1fn- |
(5-7.7) |
Трудность рассматриваемой задачи состоит в том, что функция (5.7.2) не описывает нормальную моду линзового волновода. Она будет соответтвоватьнормальной моде лишь при | = 0. Для ненулевых значений £ выражение (5.7.2) описывает распределение поля, как у нормальной моды, но смещенное на величину —ё от оси волновода.
Чтобы найти распределение поля (5.7.6) па линзе с номером т, представим начальное поле Тф в виде супер позиции нормальных мод. Пусть апертуры линз настолько велики, что все нормальные моды, дающие заметный вклад
2S6 Глава 5
в разложение, можно приближенно описать с помощью выражения (5.0.15).
В общем виде можно записать
СО |
|
/•’. = ]>] flv/v- |
(5.7.8) |
\’=0 |
|
С помощью соотношения (5.7.7) из формул (5.7.6) и (5.7.8)
получим распределение ноля па линзе |
с номером т: |
СО |
|
Fm= 1 flX'-Vv |
(5.7.9) |
v=0 |
|
Таким образом, в принципе задача решена. Остается определить коэффициенты разложения av и сумму ряда
(5.7.9).
Эти коэффициенты находятся из условия ортогональ ности (5.6.20). Умножая (5.7.8) па и интегрируя, полу чаем
( / v - *) |
<ь. |
(5.7.10
Интеграл может быть найден с помощью таблиц Градштейна и Рыжика [61]:
1 |
(т гУ 12( - t f e~W W - |
(5.7.11) |
| / 2V |
||
|
|
Используя выражения (5.6.15) и (5.0.16), получаем из
(5.7.9)
Fr |
V |
i^(m |
О / я \п/2 , с,ц ТТ / . / |
Ш) */* 2 |
2ц , |
( V ) ( |
|
|
ц=0 |
|
|
х е -(л /2 Ш .-с2-Р1/2|2)_
л\
Т[ Х) Х
(5.7.12)
Сумму в выражении (5.7.12) можно оценить с помощью производящих функций полиномов Эрмита [61]:
e -(2 + 2(z__ 2 |
(5.7.13) |
ц=0 д! |
|
|
Линзовые |
волноводы |
287 |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
F, |
Ш) |
|
|
|
|
|
|
(5.7.14) |
|
|
|
|
|
|
Выражение б квадратных скобках может быть |
записано |
|||
п следующем виде: |
|
|
|
|
х1 |
(i2<m-1>+ 1) Г" + 2 |
= |
|
|
|
i m ( л /2)_ —im(jt/2) |
о _ |
2im(j-t/2)_ - 2 i m ( n / 2 ) |
|
= х2+2х£, —---------------------- е |
4 |
|
||
|
2 i |
1 - |
|
|
|
gim(n/2) _|_ e ~im(n/2) |
|
||
|
+ 2xl |
2t |
|
|
|
= ^£-f- | sin m Я \2 —2i;r£ cos m 4£- . |
(5.7.15) |
||
Поэтому распределение поля на липзе с номером т будет
F m = (X])l//l ехр |
{ “ W х |
|
X |
sin m -j-)2 — 2ix\ cos m |
| . (5.7.16) |
Мнимая часть показателя экспоненты указывает на зави симость фазового сдвига поля от х на каждой четной линзе. Физически это означает, что фазовые фронты у четных линз являются наклонными. Фазовые фронты у нечетных линз параллельны опорным плоскостям. Разумеется, эти результаты относятся только к конфокальному линзово му волноводу, возбуждаемому таким образом, что фазовый фронт поля у первой линзы параллелен опорной плоско сти. Максимум распределения поля будет в той точке, где действительная часть показателя экспоненты равна пулю, т. е. при
х = —|sinm-^-. |
(5.7.17) |
Сравнение с траекторией геометрооптнческих лучей (5.2.17) в конфокальных линзовых волноводах доказывает тот важный факт, что максимум распределения поля переме щается в волноводе так же, как луч в случае геометрооп тического решения.
288 |
Глава 5 |
Таким образом, для частного случая конфокального линзового волновода и выбранной лучевой траектории доказано, что «центр тяжести» распределения поля рас пространяется в линзовом волноводе так же, как геометрооптпческнй луч. Этот важный результат свидетельствует о том, что методы лучевой оптики дают хорошее прибли жение при решении волновых задач, так как он пока зывает, как перемещается вдоль линзового волновода «центр тяжести» распределения светового поля. Посколь ку методы геометрической оптики существенно проще волновой оптики, то предпочтительнее исследовать пове дение полей внутри линзового волновода именно этими методами. Мы доказали также, что волновое поле при распространении по волноводу сохраняет первоначаль ную форму. Это объясняется тем, что начальное поле выбрано таким образом, что оно соответствует смещенной моде пулевого порядка. В главе, посвященной гауссовым пучкам, будет показано, что в случае более общего рас пределения поля при движении центра тяжести вдоль лучевой траектории в процессе распространения волны вдоль волновода происходит периодическое изменение ширины траектории пучка. Частота этих изменений вдвое выше частоты осцилляций самого луча.
Важно понимать также, что поле сохраняет свою фор му только в волноводе с идеальными линзами. В следую щем разделе мы покажем, что в волноводе с нендеальными линзами в процессе распространения волнового поля происходит его деформация. Это наблюдается тогда, когда фокусное расстояние является функцией радиуса. Как мы видели в разд. 4.5, таким свойством обладают газовые линзы.
В разд. 3.6 было показано, что лучи в диэлектрике, переменный показатель преломления которого содержит только члены второго порядка по х и у, распространяют ся подобно центру тяжести волновых полей. Этот факт установлен с помощью теоремы Эренфеста из квантовой теории световых лучей. Эта теорема может быть теперь применена и к линзовому волноводу. Из нее следует, что только в линзовых волноводах с идеальными (квадратич ными) линзами, т. е. линзами, описываемыми формула ми (4.2.4) и (4.3.8), центр тяжести светового поля пере
Линзовые волноводы. |
289 |
мещается как геометрооптический луч. В волноводе с про извольными (иеквадратичнымп) линзами, например с га зовыми, отсутствует простая связь между траекторией волнового поля и лучевыми решениями геометрической оптики. Для небольших участков волновода еще можно приближенно считать, что лучи геометрической оптики описывают траекторию светового поля. Когда же поле проходит через сотни и тысячи неидеальпых линз, трудно ожидать, что геометрооптическое приближение справед ливо. Результаты геометрооптических расчетов в таких случаях ужо невозможно уверенно интерпретировать. В то же время эксперимент, выполненный со 100 стеклян ными линзами из обычного промышленного стекла, кото рые имели фокусное расстояние 2,5 см, показал, что наблю давшаяся траектория пучка лучей не разрушается после прохождения через линзовый волновод и что она соответ ствует предсказываемой из геометрооптических соображе ний. С другой стороны, моделирование с помощью ЭВМ процессов в линзовом волноводе, содержащем несколько сотен газовых линз, показало, что интерпретация волно вого поля с помощью лучей не является очевидной. Таким образом, в случае линз с большими искажениями геометрооптическое приближение в общем случае пеприемлемо.
5.8. РАЗРУШЕНИЕ П УЧКА В НЕИДЕАЛЬПЫ Х ЛИНЗОВЫХ ВОЛНОВОДАХ
В линзовом волноводе, содержащем хорошо выполнен ные тонкие линзы, световой пучок распространяется прак тически без искажений. Пучок может распространяться вдоль колеблющейся траектории, но еслп начальная форма поля соответствует одной из нормальных мод линзового волновода, то изменения поля не происходит даже в случае криволинейной траектории. Результаты моделирования па ЭВМ, а также экспериментальные исследования показали, что световой пучок в волноводе с неидеальными линзами не сохраняет своей формы и мо жет значительно искажаться. Газовые линзы далеки от идеальности и деформация светового пучка происходит в процессе его распространения даже через сравнительно небольшое число линз [28].
19-087